Числа Эпсилона (математика) - Epsilon numbers (mathematics) - Wikipedia

В математика, то числа эпсилона представляют собой собрание трансфинитные числа чьим определяющим свойством является то, что они фиксированные точки из экспоненциальная карта. Следовательно, они не достижимы из 0 через конечную серию приложений выбранного экспоненциального отображения и «более слабых» операций, таких как сложение и умножение. Исходные числа эпсилона были введены Георг Кантор в контексте порядковая арифметика; они порядковые номера ε, удовлетворяющие уравнение

в котором ω - наименьший бесконечный ординал.

Наименьший такой порядковый номер ε0 (произносится эпсилон ноль или же эпсилон ноль), который можно рассматривать как «предел», полученный трансфинитная рекурсия из последовательности меньших предельных ординалов:

Более крупные порядковые фиксированные точки экспоненциальной карты индексируются порядковыми нижними индексами, в результате чего . Порядковый номер ε0 все еще счетный, как и любое число эпсилон, индекс которого является счетным (существуют несчетные порядковые номера и несчетные числа эпсилон, индекс которых является несчетным порядковым номером).

Наименьшее эпсилон-число ε0 появляется во многих индукция доказательства, потому что для многих целей трансфинитная индукция требуется только с точностью до ε0 (как в Доказательство непротиворечивости Гентцена и доказательство Теорема Гудштейна ). Его использование Gentzen доказать непротиворечивость Арифметика Пеано, вместе с Вторая теорема Гёделя о неполноте, показывают, что арифметика Пеано не может доказать обоснованность этого порядка (на самом деле это наименьший ординал с этим свойством, и как таковой в теоретико-доказательственном порядковый анализ, используется как мера силы теории арифметики Пеано).

Многие большие числа эпсилона могут быть определены с помощью Функция Веблена.

Более общий класс эпсилон-чисел был идентифицирован Джон Хортон Конвей и Дональд Кнут в сюрреалистический номер система, состоящая из всех сюрреалей, которые являются неподвижными точками базового экспоненциального отображения ω Икс → ωИкс.

Гессенберг (1906) определенные гамма-числа (см. аддитивно неразложимый порядковый ) быть числами γ> 0 такими, что α + γ = γ, если α <γ, и дельта-числами (см. аддитивно неразложимый ординал § Мультипликативно неразложимый ) быть числами δ> 1 такими, что αδ = δ, если 0 <α <δ, и числами эпсилон быть числами ε> 2 такими, что αε= ε, если 1 <α <ε. Его гамма-числа имеют вид ωβ, а его дельта-числа имеют вид ωωβ.

Порядковые числа ε

Стандартное определение порядковое возведение в степень с основанием α:

  • за предел .

Из этого определения следует, что для любого фиксированного ординала α > 1, отображение это нормальная функция, поэтому он имеет сколь угодно большой фиксированные точки посредством лемма о неподвижной точке для нормальных функций. Когда , эти неподвижные точки и есть порядковые эпсилон-числа. Наименьшее из них, ε₀, является супремумом последовательности

в котором каждый элемент является изображением своего предшественника при отображении . (Общий термин дается с использованием Обозначение Кнута со стрелкой вверх; то оператор эквивалентен тетрация.) Так же, как ωω определяется как верхняя грань оператора {ωk } для натуральных чисел k, наименьшее порядковое эпсилон-число ε₀ также может быть обозначено ; это обозначение гораздо реже, чем ε₀.

Следующее число эпсилона после является

в котором последовательность снова строится путем повторного возведения в степень по основанию ω, но начинается с вместо 0. Уведомление

Другая последовательность с тем же супремумом, , получается путем начала с 0 и возведения в степень с основанием ε₀:

Число эпсилона индексированный любым последующим порядковым номером α + 1, строится аналогично, возведением в степень по основанию ω, начиная с (или по базе возведение в степень, начиная с 0).

Эпсилон-число, индексируемое предельный порядковый номер α устроен иначе. Номер является супремумом набора чисел эпсилон . Первое такое число . Независимо от того, является ли индекс α предельным ординалом, является неподвижной точкой не только возведения в степень по основанию ω, но также и по возведению в степень по основанию γ для всех ординалов .

Поскольку числа эпсилон являются неограниченным подклассом порядковых чисел, они пронумерованы с использованием самих порядковых чисел. Для любого порядкового номера , - наименьшее число эпсилон (фиксированная точка экспоненциального отображения), еще не входящее в набор . Может показаться, что это неконструктивный эквивалент конструктивного определения, использующего повторное возведение в степень; но эти два определения одинаково неконструктивны на этапах, индексированных предельными ординалами, которые представляют трансфинитную рекурсию более высокого порядка, чем взятие верхней грани экспоненциального ряда.

Следующие факты об эпсилон-числах очень просто доказать:

  • Хотя это довольно большое количество, все еще счетный, являясь счетным объединением счетных ординалов; по факту, счетно тогда и только тогда, когда счетно.
  • Объединение (или супремум) любого непустого набора чисел эпсилон является числом эпсилон; так например
это число эпсилон. Таким образом, отображение это нормальная функция.

Представление коренными деревьями

Любое эпсилон-число ε имеет Нормальная форма Кантора , что означает, что нормальная форма Кантора не очень полезна для чисел эпсилон. Порядковые числа меньше ε0Однако их можно описать с помощью их нормальных форм Кантора, что приводит к представлению ε0 как упорядоченный набор всех конечные корневые деревья, следующее. Любой порядковый имеет нормальную форму Кантора куда k натуральное число и являются ординалами с , однозначно определяется . Каждый из ординалов в свою очередь имеет аналогичную нормальную форму Кантора. Мы получаем конечное корневое дерево, представляющее α, путем соединения корней деревьев, представляющих в новый корень. (Это приводит к тому, что число 0 представлено одним корнем, а число представлен деревом, содержащим корень и единственный лист.) Порядок на множестве конечных корневых деревьев определяется рекурсивно: сначала мы упорядочиваем поддеревья, соединенные с корнем, в порядке убывания, а затем используем лексикографический порядок на этих упорядоченных последовательностях поддеревьев. Таким образом, множество всех конечных корневых деревьев становится упорядоченный набор которое по порядку изоморфно ε0.

Иерархия Веблена

Неподвижные точки «эпсилон-отображения» образуют нормальную функцию, неподвижные точки которой образуют нормальную функцию, у которой…; это известно как Иерархия Веблена (функции Веблена с базой φ0(α) = ωα). В обозначениях иерархии Веблена эпсилон-отображение - это φ1, а его неподвижные точки нумеруются φ2.

Продолжая в том же духе, можно определить отображения φα для прогрессивно увеличивающихся ординалов α (включая, с помощью этой разреженной формы трансфинитной рекурсии, предельные ординалы) с постепенно увеличивающимися наименьшими фиксированными точкамиα + 1(0). Наименьший порядковый номер, недоступный из 0 с помощью этой процедуры - i. е., наименьший ординал α, для которого φα(0) = α, или, что то же самое, первая неподвижная точка отображения -это Порядковый номер Фефермана – Шютте Γ0. В теории множеств, где можно доказать существование такого ординала, существует отображение Γ, которое перечисляет неподвижные точки Γ0, Γ1, Γ2, ... из ; это все еще эпсилон-числа, поскольку они лежат в образе φβ для любого β ≤ Γ0, в том числе отображения φ1 который перечисляет числа эпсилона.

Сюрреалистические числа ε

В О числах и играх, классическая экспозиция на сюрреалистические числа, Джон Хортон Конвей предоставил ряд примеров понятий, которые имеют естественные расширения от ординалов до сюрреалов. Одна из таких функций - -карта ; это отображение естественным образом обобщается и включает в себя все сюрреалистические числа. домен, что, в свою очередь, обеспечивает естественное обобщение Нормальная форма Кантора для сюрреалистических чисел.

Естественно рассматривать любую фиксированную точку этой расширенной карты как эпсилон-число, независимо от того, является ли это строго порядковым числом. Некоторые примеры неординальных чисел эпсилон:

и

Есть естественный способ определить за каждое сюрреалистическое число п, и карта остается сохраняющей порядок. Конвей продолжает определять более широкий класс «неприводимых» сюрреалистических чисел, который включает в себя числа эпсилон как особенно интересный подкласс.

Смотрите также

Рекомендации

  • J.H. Конвей, О числах и играх (1976) Academic Press ISBN  0-12-186350-6
  • Раздел XIV.20 Серпинский, Вацлав (1965), Кардинальные и порядковые числа (2-е изд.), PWN - Польские научные издательства