Теория внутреннего множества - Internal set theory

Теория внутреннего множества (IST) - математическая теория наборы разработан Эдвард Нельсон который обеспечивает аксиоматическую основу для части нестандартный анализ представлен Авраам Робинсон. Вместо добавления новых элементов в действительные числа, Подход Нельсона модифицирует аксиоматические основы за счет синтаксического обогащения. Таким образом, аксиомы вводят новый термин «стандарт», который может использоваться для того, чтобы сделать различение невозможным в рамках традиционного аксиомы для множеств. Таким образом, IST - это обогащение ZFC: все аксиомы ZFC выполняются для всех классических предикатов, в то время как новый унарный предикат «стандартный» удовлетворяет трем дополнительным аксиомам I, S и T. В частности, можно показать, что подходящие нестандартные элементы в наборе действительных чисел обладают свойствами, которые соответствуют свойствам бесконечно малый и неограниченное количество элементов.

Формулировка Нельсона сделана более доступной для математика-непрофессионала, поскольку в ней не учтены многие сложности метаматематического анализа. логика которые изначально требовались, чтобы строго обосновать непротиворечивость систем счисления, содержащих бесконечно малые элементы.

Интуитивное обоснование

Хотя IST имеет совершенно формальную аксиоматическую схему, описанную ниже, интуитивное обоснование значения термина стандарт желательно. Это нет часть формальной теории, но это педагогический прием, который может помочь студенту интерпретировать формализм. Существенное различие, аналогичное концепции определяемые числа, противопоставляет конечность области понятий, которую мы можем определить и обсудить, с неограниченной бесконечностью множества чисел; сравнивать финитизм.

• Количество символов, которыми пишется, конечно.
• Количество математических символов на любой странице конечно.
• Количество страниц математики, которое один математик может создать за всю жизнь, конечно.
• Любое работающее математическое определение обязательно конечно.
• Есть только конечное число различных объектов, которые математик может определить за свою жизнь.
• В ходе нашей (предположительно конечной) цивилизации будет только конечное число математиков.
• Следовательно, существует только конечный набор целых чисел, которые наша цивилизация может обсуждать за отведенный ей срок жизни.
• Что это за предел на самом деле, нам непонятно, поскольку оно зависит от многих случайных культурных факторов.
• Это ограничение само по себе не поддается математической проверке, но то, что существует такой предел, в то время как набор целых чисел продолжается вечно без ограничений, является математической истиной.

Период, термин стандарт поэтому интуитивно считается соответствующим некоторой обязательно конечной части «доступных» целых чисел. Этот аргумент может быть применен к любому бесконечному набору объектов - есть только определенное количество элементов, которые можно указать за конечное время, используя конечный набор символов, и всегда есть те, которые выходят за пределы нашего терпения и выносливости, неважно. как мы настойчивы. Мы должны признать изобилие нестандартный элементы - слишком большие или слишком анонимные для понимания - в любом бесконечном множестве.

Принципы стандарт предикат

Следующие принципы вытекают из вышеупомянутой интуитивной мотивации и поэтому должны быть выведены из формальных аксиом. На данный момент мы принимаем предмет обсуждения как знакомый набор целых чисел.

• Любое математическое выражение, не использующее новый предикат стандарт явно или неявно является внутренняя формула.
• Любое определение, которое делает это, является внешняя формула.
• Любой номер однозначно указанная по внутренней формуле является стандартной (по определению).
• Нестандартные числа - это именно те числа, которые нельзя однозначно задать (из-за ограничений времени и пространства) внутренней формулой.
• Нестандартные числа неуловимы: каждое из них слишком велико, чтобы им можно было управлять в десятичной системе счисления или в любом другом представлении, явном или неявном, независимо от того, насколько изобретательны ваши обозначения. Все, что вам удастся произвести, по определению просто еще один стандартный номер.
• Тем не менее, в любом бесконечном подмножестве чисел есть (много) нестандартных целых чисел. N.
• Нестандартные числа - это вполне обычные числа, имеющие десятичное представление, разложение на простые множители и т. Д. Все классические теоремы, применимые к натуральным числам, применимы и к нестандартным натуральным числам. Мы создали не новые числа, а новый метод различения существующих чисел.
• Более того, любая классическая теорема, верная для всех стандартных чисел, обязательно верна для всех натуральных чисел. В противном случае формулировка «наименьшее число, не удовлетворяющее теореме» была бы внутренней формулой, однозначно определяющей нестандартное число.
• Предикат «нестандартный» - это логически последовательный метод различения большой числа - обычный срок будет безграничный. Взаимные значения этих неограниченных чисел обязательно будут чрезвычайно маленькими действительными числами - бесконечно малые. Чтобы избежать путаницы с другими интерпретациями этих слов, в новых статьях на IST эти слова заменены конструкциями «i-large» и «i-small».
• Обязательно существует только конечное число стандартных чисел, но требуется осторожность: мы не можем собрать их вместе и считать, что результат является четко определенным математическим набором. Это не будет подтверждено формализмом (интуитивное оправдание состоит в том, что точные границы этого набора меняются со временем и историей). В частности, мы не сможем говорить о самом большом стандартном номере или самом маленьком нестандартном числе. Будет справедливо говорить о некотором конечном множестве, содержащем все стандартные числа, но эта неклассическая формулировка может применяться только к нестандартному множеству.

Формальные аксиомы для IST

IST - это аксиоматическая теория в логика первого порядка с равенством в язык содержащий двоичный предикатный символ ∈ и одноместный предикатный символ st (Икс). Формулы, не содержащие st (т.е. формулы обычного языка теории множеств), называются внутренними, другие формулы - внешними. Мы используем сокращения

${\displaystyle {\begin{aligned}\exists ^{\mathrm {st} }x\,\phi (x)&=\exists x\,(\operatorname {st} (x)\land \phi (x)),\\\forall ^{\mathrm {st} }x\,\phi (x)&=\forall x\,(\operatorname {st} (x)\to \phi (x)).\end{aligned}}}$

IST включает в себя все аксиомы Теория множеств Цермело – Френкеля с аксиома выбора (ZFC). Обратите внимание, что схема ZFC разделение и замена находятся нет расширены на новый язык, их можно использовать только с внутренними формулами. Кроме того, IST включает три новых схемы аксиом - удобно по одной для каждой буквы в имени: ядеактивация Sтандардизация и Тперевод.

я: Идеализация

• Для любой внутренней формулы ${\displaystyle \phi }$ без свободного появления zуниверсальное замыкание следующей формулы является аксиомой:

  ${\displaystyle \forall ^{\mathrm {st} }z\,(z{\text{ is finite}}\to \exists y\,\forall x\in z\,\phi (x,y,u_{1},\dots ,u_{n}))\leftrightarrow \exists y\,\forall ^{\mathrm {st} }x\,\phi (x,y,u_{1},\dots ,u_{n}).}$

• На словах: Для каждого внутреннего отношения р, и для произвольных значений для всех других свободных переменных, мы имеем, что если для каждого стандартного конечного множества F, существует грамм такой, что р(грамм, ж) выполняется для всех ж в F, то есть особый грамм так что для любой стандарт ж у нас есть р(грамм, ж), и наоборот, если существует грамм так что для любого стандарта ж, у нас есть р(грамм, ж), то для каждого конечного множества F, существует грамм такой, что р(грамм, ж) выполняется для всех ж в F.

Утверждение этой аксиомы включает два следствия. Импликация справа налево может быть переформулирована простым утверждением, что элементы стандартных конечных множеств стандартны. Более важная импликация слева направо выражает, что совокупность всех стандартных множеств содержится в конечном (нестандартном) множестве, и, более того, это конечное множество может быть взято таким, чтобы удовлетворять любому заданному внутреннему свойству, общему для всех стандартных конечных множеств.

Эта очень общая схема аксиом поддерживает существование «идеальных» элементов в соответствующих обстоятельствах. Три конкретных приложения демонстрируют важные последствия.

Применительно к отношению ≠

Если S стандартна и конечна, в качестве отношения р(грамм, ж): грамм и ж не равны и грамм в S. С "Для каждого стандартного конечного множества F существует элемент g в S такой, что g ≠ f для всех f в F"ложно (нет такого грамм существует, когда F = S), мы можем использовать Идеализацию, чтобы сказать нам, что "В S существует G такая, что G ≠ f для всех стандартных f"также ложно, т.е. все элементы S стандартные.

Если S бесконечно, то в качестве соотношения примем р(грамм, ж): грамм и ж не равны и грамм в S. С "Для каждого стандартного конечного множества F существует элемент g в S такой, что g ≠ f для всех f в F"(бесконечное множество S не является подмножеством конечного множества F), мы можем использовать Idealisation, чтобы получить "В S существует G такая, что G ≠ f для всех стандартных f. »Другими словами, каждое бесконечное множество содержит нестандартный элемент (на самом деле их много).

Набор мощности стандартного конечного множества является стандартным (посредством Transfer) и конечным, поэтому все подмножества стандартного конечного набора являются стандартными.

Если S нестандартно, за отношение р(грамм, ж): грамм и ж не равны и грамм в S. С "Для каждого стандартного конечного множества F существует элемент g в S такой, что g ≠ f для всех f в F"(нестандартный набор S не является подмножеством стандартного и конечного множества F), мы можем использовать Idealisation, чтобы получить "В S существует G такая, что G ≠ f для всех стандартных f.«Другими словами, каждый нестандартный набор содержит нестандартный элемент.

Вследствие всех этих результатов все элементы множества S стандартны тогда и только тогда, когда S стандартно и конечно.

Применительно к отношению <

С "Для каждого стандартного конечного набора натуральных чисел F существует натуральное число g такое, что g> f для всех f в F" - сказать, грамм = максимум (F) + 1 - мы можем использовать Идеализацию для получения "Существует натуральное число G такое, что G> f для всех стандартных натуральных чисел f. »Другими словами, существует натуральное число, большее, чем каждое стандартное натуральное число.

Применительно к отношению ∈

Точнее берем за р(грамм, ж): грамм конечное множество, содержащее элемент ж. С "Для каждого стандартного конечного множества F существует конечное множество g такое, что f ∈ g для всех f в F"- говорят, выбирая грамм = F сам по себе - мы можем использовать Идеализацию, чтобы получить "Существует конечное множество G такое, что f ∈ G для всех стандартных f. "Для любого набора S, пересечение S с набором грамм конечное подмножество S который содержит каждый стандартный элемент S. грамм обязательно нестандартный.

S: Стандартизация

• Если ${\displaystyle \phi }$ любая формула (она может быть внешней) без свободного появления ууниверсальное закрытие

  ${\displaystyle \forall ^{\mathrm {st} }x\,\exists ^{\mathrm {st} }y\,\forall ^{\mathrm {st} }t\,(t\in y\leftrightarrow (t\in x\land \phi (t,u_{1},\dots ,u_{n})))}$

это аксиома.

• Прописью: если А - стандартный набор, а P - любое свойство, внутреннее или иное, тогда существует уникальное стандартное подмножество B из А стандартные элементы которого являются в точности стандартными элементами А удовлетворение п (но поведение Bнестандартных элементов не предписывается).

T: передача

• Если ${\displaystyle \phi (x,u_{1},\dots ,u_{n})}$ - внутренняя формула без каких-либо других свободных переменных, кроме указанных, то

  ${\displaystyle \forall ^{\mathrm {st} }u_{1}\dots \forall ^{\mathrm {st} }u_{n}\,(\forall ^{\mathrm {st} }x\,\phi (x,u_{1},\dots ,u_{n})\to \forall x\,\phi (x,u_{1},\dots ,u_{n}))}$

это аксиома.

• Прописью: Если все параметры А, B, C, ..., W внутренней формулы F иметь стандартные значения тогда F(Икс, А, B,..., W) относится ко всем Икс's, как только он будет соответствовать всем стандартам Икс's - из чего следует, что все однозначно определенные понятия или объекты в классической математике являются стандартными.

Формальное обоснование аксиом

Помимо интуитивных мотивов, предложенных выше, необходимо обосновать, что дополнительные аксиомы IST не приводят к ошибкам или несоответствиям в рассуждениях. Ошибки и философские слабости в рассуждениях о бесконечно малых числах в работе Готфрид Лейбниц, Иоганн Бернулли, Леонард Эйлер, Огюстен-Луи Коши, а другие были причиной того, что они изначально были заброшены в пользу более громоздких^{[нужна цитата ]} настоящий номер -основанные аргументы, разработанные Георг Кантор, Ричард Дедекинд, и Карл Вейерштрасс, которые последователи Вейерштрасса считали более строгими.

Подход к теории внутренних множеств такой же, как и к любой новой аксиоматической системе - мы строим модель для новых аксиом с использованием элементов более простой и надежной схемы аксиом. Это очень похоже на обоснование непротиворечивости аксиом неевклидова геометрия отмечая, что они могут быть смоделированы соответствующей интерпретацией большие круги на сфере в обычном 3-м пространстве.

Фактически с помощью подходящей модели может быть дано доказательство относительной согласованности IST по сравнению с ZFC: если ZFC согласован, то IST согласован. Фактически, можно сделать более сильное утверждение: IST - это консервативное расширение ZFC: любая внутренняя формула, которая может быть доказана в рамках внутренней теории множеств, может быть доказана в аксиомах Цермело – Френкеля только с помощью аксиомы выбора.^[1]

Связанные теории

Связанные теории были разработаны Карел Хрбачек и другие.

Примечания

1. Нельсон, Эдвард (1977). Теория внутреннего множества: новый подход к нестандартному анализу. Бюллетень Американского математического общества 83 (6): 1165–1198.

Рекомендации

• Роберт, Ален (1985). Нестандартный анализ. Джон Вили и сыновья. ISBN  0-471-91703-6.
• Теория внутреннего множества, глава незаконченной книги Нельсона.