Нестандартный анализ - Nonstandard analysis

Готфрид Вильгельм Лейбниц утверждал, что идеализированные числа, содержащие бесконечно малые быть представленным.

В история исчисления полон философских споров о значении и логической значимости флюсии или же бесконечно малый числа. Стандартный способ разрешить эти споры - определить операции исчисления, используя эпсилон – дельта процедуры, а не бесконечно малые. Нестандартный анализ^[1][2][3] вместо этого переформулирует исчисление, используя логически строгое понятие бесконечно малый числа.

Нестандартный анализ зародился в начале 1960-х годов математиком Авраам Робинсон.^[4][5] Он написал:

... идея бесконечно малого или бесконечно малый количества, кажется, естественно апеллируют к нашей интуиции. Во всяком случае, использование бесконечно малых величин было широко распространено на этапе становления дифференциального и интегрального исчисления. Что касается возражения ... что расстояние между двумя различными действительными числами не может быть бесконечно малым, Готфрид Вильгельм Лейбниц утверждал, что теория бесконечно малых подразумевает введение идеальных чисел, которые могут быть бесконечно малыми или бесконечно большими по сравнению с действительными числами, но которые были обладать теми же свойствами, что и последний.

Робинсон утверждал, что это закон непрерывности Лейбница является предшественником принцип передачи. Робинсон продолжил:

Однако ни он, ни его ученики и последователи не смогли дать рационального развития, ведущего к системе такого рода. В результате теория бесконечно малых величин постепенно потеряла репутацию и была заменена классической теорией пределов.^[6]

Робинсон продолжает:

... Идеи Лейбница могут быть полностью подтверждены, и ... они приводят к новому и плодотворному подходу к классическому анализу и многим другим разделам математики. Ключ к нашему методу - подробный анализ взаимосвязи между математическими языками и математическими структурами, лежащий в основе современного теория моделей.

В 1973 г. интуиционист Аренд Хейтинг высоко оценил нестандартный анализ как «стандартную модель важных математических исследований».^[7]

Вступление

Ненулевой элемент упорядоченное поле ${displaystyle mathbb {F} }$ бесконечно мал тогда и только тогда, когда его абсолютная величина меньше любого элемента ${displaystyle mathbb {F} }$ формы ${displaystyle {frac {1}{n}}}$, за ${displaystyle n}$ стандартное натуральное число. Упорядоченные поля, содержащие бесконечно малые элементы, также называются неархимедов. В более общем плане нестандартный анализ - это любая форма математики, основанная на нестандартные модели и принцип передачи. Поле, удовлетворяющее принципу переноса действительных чисел, - это поле гиперреальное поле, а нестандартный реальный анализ использует эти поля как нестандартные модели реальных чисел.

Оригинальный подход Робинсона был основан на этих нестандартных моделях поля действительных чисел. Его классическая основополагающая книга на эту тему Нестандартный анализ был опубликован в 1966 году и до сих пор издается.^[8] На странице 88 Робинсон пишет:

Существование нестандартных моделей арифметики было обнаружено Торальф Сколем (1934). Метод Сколема предвещает сверхмощный строительство [...]

Для разработки исчисления бесконечно малых необходимо решить несколько технических вопросов. Например, недостаточно построить упорядоченное поле с бесконечно малыми величинами. См. Статью о гиперреальные числа для обсуждения некоторых важных идей.

Основные определения

В этом разделе мы обрисовываем один из простейших подходов к определению гиперреального поля. ${displaystyle ^{*}mathbb {R} }$. Позволять ${displaystyle mathbb {R} }$ - поле действительных чисел, и пусть ${displaystyle mathbb {N} }$ быть полукольцо натуральных чисел. Обозначим через ${displaystyle mathbb {R} ^{mathbb {N} }}$ набор последовательностей действительных чисел. Поле ${displaystyle ^{*}mathbb {R} }$ определяется как подходящее частное от ${displaystyle mathbb {R} ^{mathbb {N} }}$, следующее. Возьмите неглавный ультрафильтр ${displaystyle Fsubseteq P(mathbb {N} )}$. Особенно, ${displaystyle F}$ содержит Фильтр Фреше. Рассмотрим пару последовательностей

${displaystyle u=(u_{n}),v=(v_{n})in mathbb {R} ^{mathbb {N} }}$

Мы говорим что ${displaystyle u}$ и ${displaystyle v}$ эквивалентны, если они совпадают по набору индексов, входящему в состав ультрафильтра, или в формулах:

${displaystyle {nin mathbb {N} :u_{n}=v_{n}}in F}$

Частное от ${displaystyle mathbb {R} ^{mathbb {N} }}$ полученное отношение эквивалентности является гиперреальным полем ${displaystyle ^{*}mathbb {R} }$, ситуация описывается формулой ${displaystyle ^{*}mathbb {R} ={mathbb {R} ^{mathbb {N} }}/{F}}$.

Мотивация

Есть как минимум три причины рассмотреть нестандартный анализ: исторический, педагогический и технический.

Исторический

Наиболее ранние разработки исчисления бесконечно малых Ньютон и Лейбниц был сформулирован с использованием таких выражений, как бесконечно малое число и исчезающее количество. Как отмечено в статье о гиперреальные числа, эти формулировки подверглись широкой критике со стороны Джордж Беркли и другие. Было непросто разработать последовательную теорию анализа с использованием бесконечно малых величин, и первым, кто сделал это удовлетворительным образом, был Авраам Робинсон.^[6]

В 1958 году Курт Шмиден и Детлеф Лаугвиц опубликовала статью "Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung"^[9] - «Расширение исчисления бесконечно малых», предложившее конструкцию кольца, содержащего бесконечно малые числа. Кольцо было построено из последовательностей действительных чисел. Две последовательности считались эквивалентными, если они отличались только конечным числом элементов. Арифметические операции определялись поэлементно. Однако построенное таким образом кольцо содержит делители нуля и поэтому не может быть полем.

Педагогический

Х. Джером Кейслер, Дэвид Толл, и другие преподаватели утверждают, что использование бесконечно малых более интуитивно понятно и легче понимается учащимися, чем "эпсилон – дельта" подход аналитическим концепциям.^[10] Такой подход иногда может обеспечить более легкое доказательство результатов, чем соответствующая формулировка доказательства эпсилон-дельта. Большая часть упрощения происходит от применения очень простых правил нестандартной арифметики, а именно:

бесконечно малый × конечный = бесконечно малый

бесконечно малый + бесконечно малый = бесконечно малый

вместе с принципом передачи, упомянутым ниже.

Еще одно педагогическое применение нестандартного анализа: Эдвард Нельсон трактовка теории случайные процессы.^[11]

Технический

Некоторые недавние работы были выполнены в области анализа с использованием концепций нестандартного анализа, особенно в области исследования предельных процессов статистики и математической физики. Серхио Альбеверио и другие.^[12] обсудите некоторые из этих приложений.

Подходы к нестандартному анализу

Существует два основных разных подхода к нестандартному анализу: семантический или же теоретико-модельный подход и синтаксический подход. Оба этих подхода применимы к другим областям математики, выходящим за рамки анализа, включая теорию чисел, алгебру и топологию.

Оригинальная формулировка нестандартного анализа Робинсоном попадает в категорию семантический подход. Как он разработал в своих статьях, он основан на изучении моделей (в частности, насыщенные модели ) из теория. С момента появления работы Робинсона был разработан более простой семантический подход (благодаря Элиасу Закону) с использованием чисто теоретико-множественных объектов, называемых надстройки. В этом подходе модель теории заменяется объектом, называемым надстройка V(S) над набором S. Начиная с надстройки V(S) один строит другой объект *V(S) с использованием сверхмощный строительство вместе с отображением V(S) → *V(S) что удовлетворяет принцип передачи. Карта * связывает формальные свойства V(S) и *V(S). Кроме того, можно рассмотреть более простую форму насыщения, называемую счетный насыщенность. Этот упрощенный подход также больше подходит для использования математиками, которые не являются специалистами в теории моделей или логике.

В синтаксический подход требует гораздо меньше логики и теории моделей для понимания и использования. Этот подход был разработан в середине 1970-х годов математиком Эдвард Нельсон. Нельсон ввел полностью аксиоматическую формулировку нестандартного анализа, которую он назвал теория внутренних множеств (IST).^[13] IST является продолжением Теория множеств Цермело – Френкеля (ZF) тем, что наряду с основным бинарным отношением принадлежности ∈, он вводит новый унарный предикат стандарт, который может применяться к элементам математической вселенной вместе с некоторыми аксиомами для рассуждений с этим новым предикатом.

Синтаксический нестандартный анализ требует большой осторожности при применении принципа формирования множества (формально известного как аксиома понимания ), что математики обычно принимают как должное. Как указывает Нельсон, в рассуждениях IST ошибочны незаконное формирование множества. Например, в IST нет набора, элементы которого являются в точности стандартными целыми числами (здесь стандарт понимается в смысле нового предиката). Чтобы избежать незаконного формирования набора, нужно использовать только предикаты ZFC для определения подмножеств.^[13]

Другой пример синтаксического подхода - это Альтернативная теория множеств^[14] представлен Петр Вопенка, пытаясь найти аксиомы теории множеств, более совместимые с нестандартным анализом, чем аксиомы ZF.

В 2018 году Абдельджалил Саге предложил явный подход к построению поля нестандартного анализа без использования ультрафильтров.

В том же 2018 году Ангга Нуграха представил другой подход для создания того, что он называет наивным анализом бесконечно малых.^[15][16] Его подход является чем-то средним между двумя упомянутыми выше подходами (семантическим и синтаксическим). Семантически он предложил модель, ${displaystyle mathbb {R^{Z_{<}}} }$, это в некотором смысле упрощенная версия ${displaystyle mathbb {^{*}R} }$. Однако он не позволил этому помешать цели использовать общий язык для обсуждения обоих ${displaystyle mathbb {R^{Z_{<}}} }$ и ${displaystyle mathbb {R} }$. Аксиоматически он также говорил о синтаксисе. Он использовал некоторые принципы, которые напоминают Белл.^[17] а также - микростабильность и прочее. Тем не менее, ему не нужно было различать «внутренние» и «внешние» наборы, поскольку его стратегия такова. Кусочки и пермеат, поэтому ему не пришлось беспокоиться о несоответствиях, возникающих в результате их объединения. Еще одно преимущество использования его подхода состоит в том, что он работает достаточно интуитивно, без (слишком) увязших в технических сложностях.

Книга Робинсона

Книга Авраама Робинсона Нестандартный анализ был опубликован в 1966 году. Некоторые темы, разработанные в книге, уже были представлены в его статье 1961 года под тем же названием (Robinson 1961).^[18] В дополнение к содержанию первого полного описания нестандартного анализа, книга содержит подробный исторический раздел, в котором Робинсон подвергает сомнению некоторые из полученных мнений по истории математики, основанные на восприятии до нестандартного анализа бесконечно малых как несовместимых сущностей. Таким образом, Робинсон оспаривает идею о том, что Огюстен-Луи Коши "s"теорема о сумме " в Cours d'Analyse относительно сходимости ряда непрерывных функций был неправильным, и предлагает инфинитезимальную интерпретацию своей гипотезы, которая приводит к правильной теореме.

Проблема инвариантного подпространства

Абрахам Робинсон и Аллен Бернштейн использовали нестандартный анализ, чтобы доказать, что каждый полиномиально компактный линейный оператор на Гильбертово пространство имеет инвариантное подпространство.^[19]

Учитывая оператора Т на гильбертовом пространстве ЧАС, рассмотрим орбиту точки v в ЧАС под итерациями Т. Применяя Грама – Шмидта, получаем ортонормированный базис (е_я) за ЧАС. Позволять (ЧАС_я) - соответствующая вложенная последовательность «координатных» подпространств ЧАС. Матрица а_{я, j} выражая Т относительно (е_я) является почти верхнетреугольным в том смысле, что коэффициенты а_я+1,я являются единственными ненулевыми субдиагональными коэффициентами. Бернштейн и Робинсон показывают, что если Т полиномиально компактно, то существует гиперконечный индекс ш такой, что матричный коэффициент а_ш+1,ш бесконечно мала. Далее рассмотрим подпространство ЧАС_ш из *ЧАС. Если у в ЧАС_ш имеет конечную норму, то Т(у) бесконечно близок к ЧАС_ш.

Теперь позвольте Т_ш быть оператором ${displaystyle P_{w}circ T}$ действующий на ЧАС_ш, куда п_ш ортогональная проекция на ЧАС_ш. Обозначим через q многочлен такой, что q(Т) компактный. Подпространство ЧАС_ш является внутренним из гиперконечного измерения. Перенося верхнюю триангуляризацию операторов конечномерного комплексного векторного пространства, мы получаем внутренний ортонормированный базис гильбертова пространства (е_k) за ЧАС_ш куда k бежит от 1 к ш, такое, что каждое из соответствующих k-мерные подпространства E_k является Т-инвариантный. Обозначим через Π_k проекция на подпространство E_k. Для ненулевого вектора Икс конечной нормы в ЧАС, можно считать, что q(Т)(Икс) не равно нулю, или |q(Т)(Икс)| > 1 исправить идеи. С q(Т) компактный оператор, (q(Т_ш))(Икс) бесконечно близок к q(Т)(Икс) и поэтому есть также |q(Т_ш)(Икс)| > 1. Теперь позвольте j - наибольший индекс такой, что ${displaystyle |q(T_{w})left(Pi _{j}(x)ight)|<{ frac {1}{2}}}$. Тогда пространство всех стандартных элементов, бесконечно близкое к E_j - искомое инвариантное подпространство.

Прочитав препринт статьи Бернштейна и Робинсона, Пол Халмос переосмыслили свое доказательство, используя стандартные методы.^[20] Обе статьи появились в одном и том же номере журнала. Тихоокеанский математический журнал. Некоторые идеи, использованные в доказательстве Халмоша, вновь проявились много лет спустя в собственной работе Халмоша по квазитреугольным операторам.

Другие приложения

Другие результаты были получены в рамках переосмысления или опровержения ранее известных результатов. Особый интерес представляет доказательство Тетуро Камаэ.^[21] из индивидуальная эргодическая теорема или Л. ван ден Дрис и Алекс Уилки лечение^[22] из Теорема Громова о группах полиномиального роста. Нестандартный анализ использовали Ларри Маневиц и Шмуэль Вайнбергер доказать результат в алгебраической топологии.^[23]

Однако реальный вклад нестандартного анализа заключается в концепциях и теоремах, которые используют новый расширенный язык нестандартной теории множеств. Среди списка новых приложений в математике есть новые подходы к вероятности,^[11]гидродинамика,^[24] теория меры^[25] негладкий и гармонический анализ,^[26] и Т. Д.

Существуют также приложения нестандартного анализа к теории случайных процессов, в частности построения Броуновское движение в качестве случайные прогулки. Альбеверио и др.^[12] иметь отличное введение в эту область исследований.

Приложения к исчислению

В качестве приложения к математическое образование, Х. Джером Кейслер написал Элементарное исчисление: бесконечно малый подход.^[10] Покрытие нестандартное исчисление, он развивает дифференциальное и интегральное исчисление с использованием гиперреалистических чисел, которые включают бесконечно малые элементы. Эти приложения нестандартного анализа зависят от существования стандартная часть конечного гиперреального р. Стандартная часть р, обозначенный ул (р), - стандартное действительное число, бесконечно близкое к р. Одним из устройств визуализации, которые использует Кейслер, является воображаемый микроскоп с бесконечным увеличением, чтобы различать точки, бесконечно близкие друг к другу. Книга Кейслера сейчас больше не издается, но она находится в свободном доступе на его веб-сайте; см. ссылки ниже.

Критика

Несмотря на элегантность и привлекательность некоторых аспектов нестандартного анализа, также высказывались критические замечания, например, со стороны Эрретт Бишоп, Ален Конн, и П. Халмос, как описано в критика нестандартного анализа.

Логическая структура

Учитывая любой набор S, то надстройка над набором S это набор V(S) определяется условиями

${displaystyle V_{0}(S)=S,}$

${displaystyle V_{n+1}(S)=V_{n}(S)cup wp (V_{n}(S)),}$

${displaystyle V(S)=igcup _{nin mathbf {N} }V_{n}(S).}$

Таким образом, надстройка над S получается, начиная с S и повторяя операцию присоединения набор мощности из S и взяв объединение полученной последовательности. Надстройка над действительными числами включает множество математических структур: например, она содержит изоморфный копии всех сепарабельных метрических пространств и метризуемых топологических векторных пространств. Практически вся математика, интересующая аналитика, происходит внутри V(р).

Рабочий вид нестандартного анализа - это набор *р и отображение * : V(р) → V(*р) который удовлетворяет некоторым дополнительным свойствам. Чтобы сформулировать эти принципы, мы сначала дадим несколько определений.

Формула имеет ограниченная количественная оценка тогда и только тогда, когда единственные кванторы, которые встречаются в формуле, имеют диапазон, ограниченный наборами, то есть все имеют форму:

${displaystyle forall xin A,Phi (x,alpha _{1},ldots ,alpha _{n})}$

${displaystyle exists xin A,Phi (x,alpha _{1},ldots ,alpha _{n})}$

Например, формула

${displaystyle forall xin A, exists yin 2^{B},quad xin y}$

имеет ограниченную количественную оценку, универсальная количественная переменная Икс колеблется над А, экзистенциально количественная переменная у колеблется в пределах мощности B. С другой стороны,

${displaystyle forall xin A, exists y,quad xin y}$

не имеет ограниченной количественной оценки, поскольку количественная оценка у без ограничений.

Внутренние наборы

Множество Икс является внутренний если и только если Икс является элементом *А для какого-то элемента А из V(р). *А сам по себе является внутренним, если А принадлежит V(р).

Сформулируем базовую логическую основу нестандартного анализа:

• Принцип расширения: Отображение * - это тождество на р.
• Принцип передачи: Для любой формулы п(Икс₁, ..., Икс_п) с ограниченной квантификацией и со свободными переменными Икс₁, ..., Икс_п, и для любых элементов А₁, ..., А_п из V(р), имеет место следующая эквивалентность:

${displaystyle P(A_{1},ldots ,A_{n})iff P(*A_{1},ldots ,*A_{n})}$

• Счетная насыщенность: Если {А_k}_{k ∈ N} - убывающая последовательность непустых внутренних множеств, причем k переходя по натуральным числам, то

${displaystyle igcap _{k}A_{k}eq emptyset }$

С помощью ультрапродуктов можно показать, что такая карта * существует. Элементы V(р) называются стандарт. Элементы *р называются гиперреальные числа.

Первые последствия

Символ *N обозначает нестандартные натуральные числа. По принципу расширения это надмножество N. Набор *N − N непусто. Чтобы увидеть это, примените счетное насыщенность к последовательности внутренних множеств

${displaystyle A_{n}={kin {^{*}mathbf {N} }:kgeq n}}$

Последовательность {А_п}_{п ∈ N} имеет непустое пересечение, что доказывает результат.

Начнем с некоторых определений: Hyperreals р, s находятся бесконечно близко если и только если

${displaystyle rcong siff forall heta in mathbf {R} ^{+}, |r-s|leq heta }$

Гиперреальный р является бесконечно малый тогда и только тогда, когда оно бесконечно близко к 0. Например, если п это гиперинтегральный, т.е. элемент *N − N, тогда 1/п бесконечно малая величина. Гиперреальный р является ограничено (или же конечный) тогда и только тогда, когда в его абсолютном значении преобладает (меньше) стандартное целое число. Ограниченные гиперреалы образуют подкольцо *р содержащий реалы. В этом кольце бесконечно малые гиперреалы являются идеальный.

Множество ограниченных гиперреалов или множество бесконечно малых гиперреалов являются внешний подмножества V(*р); на практике это означает, что ограниченная количественная оценка, когда граница является внутренним набором, никогда не распространяется на эти наборы.

Пример: Самолет (Икс, у) с Икс и у в пределах *р является внутренним и является моделью плоской евклидовой геометрии. Самолет с Икс и у ограничены ограниченными значениями (аналогично Самолет Дена ) является внешним, и в этой ограниченной плоскости постулат параллельности нарушается. Например, любая линия, проходящая через точку (0, 1) на у-ось с бесконечно малым наклоном параллельна оси Икс-ось.

Теорема. Для любого ограниченного гиперреального р существует единственный стандартный реальный символ, обозначенный ул (р) бесконечно близко к р. Отображение ул является кольцевым гомоморфизмом кольца ограниченных гиперреалов в р.

Отображение st также является внешним.

Один из способов мышления стандартная часть гиперреального, это с точки зрения Дедекинд сокращает; любой ограниченный гиперреальный s определяет разрез, рассматривая пару множеств (L, U) куда L это набор стандартных рациональных чисел а меньше, чем s и U это набор стандартных рациональных чисел б лучше чем s. Действительное число, соответствующее (L, U) можно увидеть, что удовлетворяет условию быть стандартной частью s.

Одна интуитивная характеристика непрерывности такова:

Теорема. Действительная функция ж на интервале [а, б] непрерывна тогда и только тогда, когда для каждого гиперреального Икс в интервале *[а, б], у нас есть: *ж(Икс) ≅ *ж(st (Икс)).

(видеть микропрерывность Больше подробностей). По аналогии,

Теорема. Действительная функция ж дифференцируема по реальной стоимости Икс тогда и только тогда, когда для каждого бесконечно малого гиперреального числа час, Значение

${displaystyle f'(x)=operatorname {st} left({frac {{^{*}f}(x+h)-{^{*}f}(x)}{h}}ight)}$

существует и не зависит от час. В этом случае ж′(Икс) является действительным числом и является производной от ж в Икс.

κ-насыщенность

Можно «улучшить» насыщенность, разрешив пересечение коллекций с более высокой мощностью. Модель κ-насыщенный если когда-нибудь ${displaystyle {A_{i}}_{iin I}}$ представляет собой набор внутренних множеств с свойство конечного пересечения и ${displaystyle |I|leq kappa }$,

${displaystyle igcap _{iin I}A_{i}eq emptyset }$

Это полезно, например, в топологическом пространстве Икс, где мы можем захотеть |2^Икс|-насыщенность для обеспечения пересечения стандарта база соседства непусто.^[27]

Для любого кардинала κ, а κ-насыщенное расширение можно построить.^[28]

Смотрите также

• Переполнение
• Нестандартное исчисление
• Принцип передачи
• Теория внутреннего множества
• Элементарное исчисление: бесконечно малый подход
• Гиперреальное число
• Hyperinteger
• Бесконечно малый
• Сюрреалистический номер
• Неклассический анализ
• Гладкий анализ бесконечно малых
• Критика нестандартного анализа
• Влияние нестандартного анализа
• Сверхконечное множество
• Конструктивный нестандартный анализ
• Расчет стал проще

дальнейшее чтение

• E. E. Rosinger, [math / 0407178]. Краткое введение в нестандартный анализ. arxiv.org.

Рекомендации

1. Нестандартный анализ на практике. Отредактировано Франсин Динер, Марк Динер. Спрингер, 1995.
2. Нестандартный анализ, аксиоматически. К В. Владимир Григорьевич Кановей, Майкл Рикен. Спрингер, 2004.
3. Нестандартный анализ для работающего математика. Отредактировано Питер А. Леб, Манфред П. Х. Вольф. Спрингер, 2000.
4. Нестандартный анализ. К Авраам Робинсон. Издательство Принстонского университета, 1974.
5. Абрахам Робинсон и нестандартный анализ В архиве 15 апреля 2014 г. Wayback Machine: История, философия и основы математики. К Джозеф В. Даубен. www.mcps.umn.edu.
6. Робинсон, А.: Нестандартный анализ. North-Holland Publishing Co., Амстердам, 1966 г.
7. Хейтинг, А. (1973) «Обращение к профессору А. Робинсону. По случаю лекции в память о Брауэре, прочитанной профессором А. Робинсоном 26 апреля 1973 года». Nieuw Arch. Виск. (3) 21. С. 134–137.
8. Робинсон, Авраам (1996). Нестандартный анализ (Пересмотренная ред.).Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-04490-2.
9. Курт Шмиден и Детлеф Лаугвиц: Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung, Mathematische Zeitschrift 69 (1958), 1-39
10. Х. Джером Кейслер, Элементарное исчисление: бесконечно малый подход. Первое издание 1976 г .; 2-е издание 1986 г .: полный текст 2-го издания
11. Эдвард Нельсон: Радикально элементарная теория вероятностей, Princeton University Press, 1987, полный текст
12. Серхио Альбеверио, Янс Эрик Фенстад, Рафаэль Хёг-Крон, Том Линдстрём: Нестандартные методы стохастического анализа и математической физики, Академик Пресс 1986.
13. Эдвард Нельсон: Теория внутренних множеств: новый подход к нестандартному анализу, Бюллетень Американского математического общества, Vol. 83, номер 6, ноябрь 1977 г. Глава по теории внутренних множеств доступна по адресу http://www.math.princeton.edu/~nelson/books/1.pdf
14. Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств. Тойбнер, Лейпциг, 1979.
15. Нуграха, Ангга (2018). "Наивный анализ бесконечно малых".
16. Нуграха, Ангга; МакКубре-Джорденс, Маартен; Динер, Ханнес (23 сентября 2020 г.). "Наивный анализ бесконечно малых: его конструкция и свойства". arXiv:2009.11424 [math.LO ].
17. Белл, Дж. Л. (Джон Лейн) (2008). Учебник по анализу бесконечно малых (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-511-37143-1. OCLC  316764804.
18. Робинсон, Абрахам: «Нестандартный анализ», Кон. Nederl. Акад. Wetensch. Amsterdam Proc. AM (= Indag. Math. 23), 1961, 432-440.
19. Аллен Бернштейн и Авраам Робинсон, Решение проблемы инвариантного подпространства К. Т. Смита и П. Р. Халмоша, Тихоокеанский математический журнал 16: 3 (1966) 421-431
20. П. Халмос, Инвариантные подпространства для полиномиально компактных операторов, Тихоокеанский журнал математики, 16: 3 (1966) 433-437.
21. Т. Камаэ: Простое доказательство эргодической теоремы с помощью нестандартного анализа, Израильский математический журнал, вып. 42, номер 4, 1982.
22. Л. ван ден Дрис и А. Дж. Уилки: Теорема Громова о группах полиномиального роста и элементарной логике, Журнал алгебры, том 89, 1984.
23. Маневиц, Ларри М .; Вайнбергер, Шмуэль: Дискретные круговые действия: заметка с использованием нестандартного анализа. Israel J. Math. 94 (1996), 147--155.
24. Капински М., Cutland Н. Дж. Нестандартные методы стохастической механики жидкости.Сингапур и др., World Scientific Publishers (1995)
25. Катленд Н. Лоеб Практические меры: последние достижения. Берлин и др .: Springer (2001)
26. Гордон Э. И., Кутателадзе С.С., и Кусраев А.Г. Инфинитезимальный анализ Дордрехт, Kluwer Academic Publishers (2002)
27. Salbany, S .; Тодоров, Т. Нестандартный анализ в топологии точек. Институт математической физики Эрвинга Шредингера.
28. Chang, C.C .; Кейслер, Х. Дж. Теория моделей. Третье издание. Исследования по логике и основам математики, 73. North-Holland Publishing Co., Амстердам, 1990. xvi + 650 с. ISBN  0-444-88054-2

Библиография

• Кроуэлл, Исчисление. Текст, использующий бесконечно малые числа.
• Роберт Голдблатт (1998) Лекции о гиперреалах. Введение в нестандартный анализ. Тексты для выпускников по математике, 188. Springer-Verlag МИСТЕР1643950
• Эрмосо, Нестандартный анализ и гиперреалы. Нежное введение.
• Херд, А.Э. и Лоеб, П.А.: Введение в нестандартный реальный анализ, Лондон, Academic Press, 1985. ISBN  0-12-362440-1
• Кейслер, Х. Джером Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых. Включает аксиоматическую трактовку гиперреалов и находится в свободном доступе по лицензии Creative Commons.
• Кейслер, Х. Джером: Инфинитезимальный подход к стохастическому анализу, т. 297 мемуаров Американского математического общества, 1984.
• Наранонг С., Нестандартный анализ с теоретико-модельной точки зрения. Обтекаемое введение в духе Робинзона.
• Робинсон, А. Нестандартный анализ. Nederl. Акад. Wetensch. Proc. Сер. A 64 = Indag. Математика. 23 (1961) 432–440.
• Роберт, А. Нестандартный анализ, Вили, Нью-Йорк, 1988. ISBN  0-471-91703-6
• Сколем, чт. (1934) "Uber die Nicht-charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschliesslich Zahlenvariablen", Fundamenta Mathematicae 23: 150–161.
• Строян, К. Краткое введение в исчисление бесконечно малых
• Гордон Э., Кусраев А., Кутателадзе С.. Инфинитезимальный анализ
• Тао, Т. Эпсилон комнаты, II. Страницы третьего курса математического блога. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2010 г. (стр. 209–229).

внешняя ссылка

• Призраки ушедших количеств пользователя Линдси Киган.