Фильтр Фреше - Fréchet filter

В математика, то Фильтр Фреше, также называемый кофинитный фильтр, на набор Икс это определенный набор подмножеств Икс (то есть это частное подмножество набор мощности из Икс). Подмножество F из Икс принадлежит фильтру Фреше если и только если то дополнять из F в Икс конечно. Любой такой набор F как говорят cofinite в Икс, поэтому его также называют кофинитный фильтр на Икс.

Фильтр Фреше представляет интерес в топология, откуда возникли фильтры, и относится к порядок и теория решетки потому что набор мощности набора - это частично заказанный набор под установить включение (точнее, он образует решетку) .Фильтр Фреше назван в честь французского математика. Морис Фреше (1878–1973), занимавшийся топологией.

Определение

Подмножество А набора Икс как говорят cofinite в Икс это его дополнять в Икс (т.е. множество Икс ∖ А) является конечный. В Фильтр Фреше на Икс, обозначаемый F, - множество всех непустых кофинитных подмножеств Икс. Это:[1]

F = {А ⊆ Икс : Икс ∖ А конечно и А ≠ ∅}.

Если Икс является не конечное множество, то каждое коконечное подмножество Икс обязательно не пусто, так что в этом случае определение становится просто

F = {А ⊆ Икс : Икс ∖ А конечно}.

Это делает F а фильтр на решетке (п(Икс), ⊆), набор мощности п из Икс с включением множества, учитывая, что S c обозначает дополнение к множеству S в Икс, выполняются два условия:

Условие пересечения
Если два множества финитно дополняются в Икс, то и их пересечение тоже, так как (А ∩ B)c = Аc ∪ Bc, и
Состояние верхнего набора
Если множество конечно дополняется в Икс, то его надмножества в Икс.

Свойства

Если базовый набор Икс конечно, то F = п(Икс) поскольку каждое подмножество Икс, и, в частности, каждое дополнение, тогда конечно. Этот случай иногда исключается по определению или еще называется неправильный фильтр на Икс.[2] Разрешение Икс быть конечным создает единственное исключение из того, что фильтр Фреше свободный и неосновной поскольку фильтр на конечном множестве не может быть свободным, а неглавный фильтр не может содержать какие-либо синглтоны в качестве членов.

Если Икс бесконечно, то каждый член F бесконечно, так как это просто Икс минус конечное число ее членов. Дополнительно, F бесконечно, поскольку одно из его подмножеств является множеством всех {Икс }c, где Икс ∈ Икс.

Фильтр Фреше является одновременно бесплатным и неглавным, за исключением указанного выше конечного случая, и включен в каждый бесплатный фильтр. Это также двойной фильтр идеальный всех конечных подмножеств (бесконечных) Икс.

Фильтр Фреше не обязательно ультрафильтр (или максимально правильный фильтр). Рассматривать =п(ℕ), где ℕ это натуральные числа. Набор четных чисел - это дополнение набора нечетных чисел. Поскольку ни одно из этих множеств не является конечным, ни одно из них не входит в фильтр Фреше на ℕ. Однако ультрафильтр является бесплатным тогда и только тогда, когда он включает фильтр Фреше. Существование свободных ультрафильтров было установлено Тарским в 1930 году на основе теоремы, эквивалентной аксиоме выбора, и используется при построении гиперреалы в нестандартный анализ.[3]

Примеры

Если Икс это конечный набор то фильтр Фреше на Икс состоит из всех непустых подмножеств Икс.

На съемочной площадке ℕ из натуральные числа, множество бесконечных интервалов B = { (п, ∞) : п ∈ ℕ} - это Фреше основание фильтра, т.е. фильтр Фреше на ℕ состоит из всех надмножеств элементов B.[нужна цитата ]

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ «Кофинитный фильтр». mathworld.wolfram.com.
  2. ^ Ходжес, Уилфрид (2008). «Теория моделей». Энциклопедия математики и ее приложений. Издательство Кембриджского университета. п. 265. ISBN  978-0-521-06636-5.
  3. ^ Пинто, Дж. Соуза; Хоскинс, Р.Ф. (2004). Инфинитезимальные методы математического анализа. Математика и приложения. Издательство Хорвуд. п. 53. ISBN  978-1-898563-99-0.

внешние ссылки