Конечная геометрия - Finite geometry

Конечная аффинная плоскость порядка 2, содержащая 4 «точки» и 6 «прямых». Линии одного цвета «параллельны». Центр фигуры не является «точкой» этой аффинной плоскости, поэтому две зеленые «линии» не «пересекаются».

А конечная геометрия есть ли геометрический система, которая имеет только конечный количество точки Знакомые Евклидова геометрия не конечно, потому что евклидова прямая содержит бесконечно много точек. Геометрия, основанная на графике, отображаемой на экране компьютера, где пиксели считаются точками, будет конечной геометрией. Хотя существует множество систем, которые можно назвать конечной геометрией, внимание в основном уделяется конечной геометрии. проективный и аффинные пространства из-за их регулярности и простоты. Другие важные типы конечной геометрии конечны. Мёбиуса или инверсивные плоскости и Самолеты Лагерра, которые являются примерами общего типа, называемого Самолеты Benz, и их многомерные аналоги, такие как высшие конечные инверсивные геометрии.

Конечная геометрия может быть построена с помощью линейная алгебра, начиная с векторные пространства через конечное поле; аффинное и проективные плоскости так построенные называются Галуа геометрии. Конечная геометрия также может быть определена чисто аксиоматически. Наиболее распространенными конечными геометриями являются геометрии Галуа, поскольку любая конечная геометрия проективное пространство размерности три или больше изоморфный в проективное пространство над конечным полем (то есть проективизация векторного пространства над конечным полем). Однако у размерности два есть аффинные и проективные плоскости, которые не изоморфны геометрии Галуа, а именно недезарговские планы. Подобные результаты справедливы и для других типов конечных геометрий.

Конечные плоскости

Конечная аффинная плоскость порядка 3, содержащая 9 точек и 12 прямых.

Следующие замечания относятся только к конечным самолеты.Существуют два основных вида геометрии конечных плоскостей: аффинный и проективный.В аффинная плоскость, нормальное чувство параллельно линий. проективная плоскость, напротив, любые две прямые пересекаются в единственной точке, поэтому параллельных прямых не существует. Как конечная аффинная плоская геометрия, так и конечная проективная плоская геометрия могут быть описаны довольно простыми аксиомы.

Конечные аффинные плоскости

Геометрия аффинной плоскости - это непустое множество Икс (элементы которого называются «точками») вместе с непустой коллекцией L подмножеств Икс (элементы которых называются «линиями»), такие что:

1. Для каждых двух различных точек есть ровно одна линия, содержащая обе точки.
2. Аксиома Playfair: Данная строка ${\displaystyle \ell }$ и точка ${\displaystyle p}$ не на ${\displaystyle \ell }$, существует ровно одна линия ${\displaystyle \ell '}$ содержащий ${\displaystyle p}$ такой, что ${\displaystyle \ell \cap \ell '=\varnothing .}$
3. Существует набор из четырех точек, никакие три из которых не принадлежат одной линии.

Последняя аксиома гарантирует, что геометрия не банальный (либо пустой или слишком простые, чтобы представлять интерес, например, одна линия с произвольным количеством точек на ней), в то время как первые два определяют характер геометрии.

Простейшая аффинная плоскость содержит всего четыре точки; это называется аффинная плоскость порядка 2. (Порядок аффинной плоскости - это количество точек на любой прямой, см. Ниже.) Поскольку никакие три не коллинеарны, любая пара точек определяет единственную прямую, и поэтому эта плоскость содержит шесть прямых. Он соответствует тетраэдру, в котором непересекающиеся ребра считаются «параллельными», или квадрату, в котором не только противоположные стороны, но и диагонали считаются «параллельными». В общем, конечная аффинная плоскость порядка п имеет п² очки и п² + п линии; каждая строка содержит п точек, и каждая точка находится на п + 1 линий. Аффинная плоскость порядка 3 известна как Конфигурация Гессен.

Конечные проективные плоскости

Геометрия проективной плоскости - это непустое множество Икс (элементы которого называются «точками») вместе с непустой коллекцией L подмножеств Икс (элементы которых называются «линиями»), такие что:

1. Для каждых двух различных точек есть ровно одна линия, содержащая обе точки.
2. Пересечение любых двух различных прямых содержит ровно одну точку.
3. Существует набор из четырех точек, никакие три из которых не принадлежат одной линии.

Двойственность в Самолет Фано: Каждая точка соответствует линии и наоборот.

Исследование первых двух аксиом показывает, что они почти идентичны, за исключением того, что роли точек и линий поменялись местами. двойственность для проективной плоской геометрии, что означает, что любое истинное утверждение, допустимое для всех этих геометрий, остается верным, если мы меняем точки на прямые и прямые на точки. Наименьшая геометрия, удовлетворяющая всем трем аксиомам, содержит семь точек. В этой простейшей проективной плоскости также есть семь линий; каждая точка находится на трех линиях, и каждая линия содержит три точки.

В Самолет Фано

Эту конкретную проективную плоскость иногда называют Самолет Фано.Если какая-либо из линий удаляется из плоскости вместе с точками на этой прямой, полученная геометрия является аффинной плоскостью порядка 2. Плоскость Фано называется в проективная плоскость порядка 2, поскольку она единственна (с точностью до изоморфизма). В общем случае проективная плоскость порядка п имеет п² + п +1 балл и столько же линий; каждая строка содержит п +1 балл, и каждая точка включена п + 1 линия.

Перестановка семи точек плоскости Фано, несущая коллинеарен точки (точки на одной линии) к коллинеарным точкам называется коллинеация самолета. Полный группа коллинеации имеет порядок 168 и изоморфна группе PSL (2,7) ≈ PSL (3,2), который в этом частном случае также изоморфен общая линейная группа GL (3,2) ≈ PGL (3,2).

Заказ самолетов

Конечная плоскость порядок п один такой, что каждая строка имеет п точек (для аффинной плоскости) или такие, что каждая линия имеет п +1 балл (за проективную плоскость). Один из основных открытых вопросов в конечной геометрии:

Всегда ли порядок конечной плоскости является степенью простых чисел?

Предполагается, что это правда.

Аффинная и проективная плоскости порядка п существуют всякий раз, когда п это основная сила (а простое число поднял до положительный целое число показатель степени ), используя аффинную и проективную плоскости над конечным полем с п = п^k элементы. Плоскости, не полученные из конечных полей, также существуют (например, для ${\displaystyle n=9}$), но все известные примеры имеют порядок степени простого числа.^[1]

Лучшим общим результатом на сегодняшний день является Теорема Брука – Райзера. 1949 года, в котором говорится:

Если п это положительное число формы 4k + 1 или же 4k + 2 и п не равно сумме двух целых квадраты, тогда п не встречается как порядок конечной плоскости.

Наименьшее целое число, которое не является степенью простого числа и не покрывается теоремой Брука – Райзера, равно 10; 10 имеет вид 4k + 2, но он равен сумме квадратов 1² + 3². Несуществование конечной плоскости порядка 10 было доказано в компьютерное доказательство который закончился в 1989 году - см. (Лам 1991 ) для подробностей.

Следующее наименьшее число, которое следует рассмотреть, - 12, для которого не было доказано ни положительного, ни отрицательного результата.

История

Отдельные примеры можно найти в работе Томас Пенингтон Киркман (1847) и систематическое развитие конечной проективной геометрии, данное фон Штаудт (1856).

Первое аксиоматическое рассмотрение конечной проективной геометрии было разработано Итальянский математик Джино Фано. В своей работе^[2] о доказательстве независимости множества аксиом для проективный п-Космос что он разработал,^[3] он рассматривал конечное трехмерное пространство с 15 точками, 35 линиями и 15 плоскостями (см. диаграмму), в котором каждая линия имела только три точки.^[4]

В 1906 г. Освальд Веблен и В. Х. Бусси описали проективная геометрия с помощью однородные координаты с записями из Поле Галуа GF (q). Когда п + 1 координаты, п-мерная конечная геометрия обозначается PG (п, д).^[5] Возникает в синтетическая геометрия и имеет связанное преобразование группа.

Конечные пространства трех или более измерений

Для некоторых важных различий между конечными самолет геометрию и геометрию многомерных конечных пространств, см. аксиоматическое проективное пространство. Для обсуждения многомерных конечных пространств в целом см., Например, работы J.W.P. Hirschfeld. Изучение этих многомерных пространств (п ≥ 3) имеет множество важных приложений в передовых математических теориях.

Аксиоматическое определение

А проективное пространство S аксиоматически можно определить как множество п (набор точек) вместе с набором L подмножеств п (набор линий), удовлетворяющий этим аксиомам:^[6]

• Каждые две разные точки п и q находятся ровно в одной строке.
• Веблен аксиома:^[7] Если а, б, c, d - разные точки, а линии, проходящие через ab и CD встретиться, а затем и линии ac и bd.
• На любой линии должно быть не менее 3 точек.

Последняя аксиома исключает приводимые случаи, которые можно записать как несвязное объединение проективных пространств вместе с двухточечными прямыми, соединяющими любые две точки в различных проективных пространствах. Более абстрактно его можно определить как структура заболеваемости (п, L, я) состоящий из набора п точек, набор L линий и отношение инцидентности я указание, какие точки лежат на каких линиях.

Получение конечный проективное пространство требует еще одной аксиомы:

• Набор точек п - конечное множество.

В любом конечном проективном пространстве каждая линия содержит одинаковое количество точек и порядок пространства определяется как на единицу меньше этого общего числа.

Подпространство проективного пространства - это подмножество Икс, такая, что любая линия, содержащая две точки Икс это подмножество Икс (то есть полностью содержится в Икс). Полное пространство и пустое пространство всегда являются подпространствами.

В геометрический размер пространства называется п если это наибольшее число, для которого существует строго возрастающая цепочка подпространств этой формы:

${\displaystyle \varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots \subset X_{n}=P.}$

Алгебраическая конструкция

Этим аксиомам удовлетворяет стандартная алгебраическая конструкция систем. Для делительное кольцо D построить (п + 1)-мерное векторное пространство над D (размерность векторного пространства - это количество элементов в базисе). Позволять п - одномерные (одиночные образующие) подпространства и L 2-мерные (два независимых образующих) подпространства (замкнутые относительно векторного сложения) этого векторного пространства. Заболеваемость - это сдерживание. Если D конечно, то это должно быть конечное поле GF (q), поскольку по Маленькая теорема Веддерберна все конечные тела являются полями. В этом случае эта конструкция дает конечное проективное пространство. Кроме того, если геометрическая размерность проективного пространства не меньше трех, то существует тело, из которого пространство может быть построено таким образом. Следовательно, все конечные проективные пространства геометрической размерности не менее трех определены над конечными полями. Конечное проективное пространство, определенное над таким конечным полем, имеет q + 1 точки на линии, поэтому два понятия порядка совпадают. Такое конечное проективное пространство обозначается через PG (п, q), где PG обозначает проективную геометрию, п - геометрический размер геометрии и q размер (порядок) конечного поля, используемого для построения геометрии.

В целом количество k-мерные подпространства PG (п, q) дается продуктом:^[8]

${\displaystyle {{n+1} \choose {k+1}}_{q}=\prod _{i=0}^{k}{\frac {q^{n+1-i}-1}{q^{i+1}-1}},}$

который является Биномиальный коэффициент Гаусса, а q аналог биномиальный коэффициент.

Классификация конечных проективных пространств по геометрической размерности

• Размер 0 (без линий): пространство представляет собой единую точку и настолько вырождено, что обычно игнорируется.
• Размер 1 (ровно одна линия): все точки лежат на единственной линии, называемой проективная линия.
• Размер 2: есть как минимум 2 линии, и любые две линии пересекаются. Проективное пространство для п = 2 это проективная плоскость. Их гораздо сложнее классифицировать, поскольку не все они изоморфны PG (d, q). В Дезарговские самолеты (те, которые изоморфны PG (2, q)) удовлетворить Теорема дезарга и являются проективными плоскостями над конечными полями, но есть много недезарговские планы.
• Размер не менее 3: существуют две непересекающиеся линии. В Теорема Веблена – Юнга. в конечном случае утверждает, что каждое проективное пространство геометрической размерности п ≥ 3 изоморфен PG (п, q), то п-мерное проективное пространство над некоторым конечным полем GF (q).

Наименьшее проективное трехпространство

PG (3,2), но не все линии нарисованы

Наименьшее 3-мерное проективное пространство находится над полем GF (2) и обозначается PG (3,2). В нем 15 точек, 35 линий и 15 плоскостей. Каждая плоскость содержит 7 точек и 7 линий. Каждая строка содержит 3 точки. Как геометрии, эти плоскости изоморфный к Самолет Фано.

Квадратная модель Fano 3-space

Каждая точка содержится в 7 строках. Каждая пара различных точек содержится ровно в одной прямой, и каждая пара различных плоскостей пересекается ровно на одной прямой.

В 1892 г. Джино Фано был первым, кто рассмотрел такую ​​конечную геометрию.

Проблема школьницы Киркмана

PG (3,2) возникает как фон для решения Проблема школьницы Киркмана, который гласит: «Пятнадцать школьниц ходят каждый день в пяти группах по три человека. Организуйте прогулку девочек на неделю так, чтобы за это время каждая пара девочек гуляла вместе в группе только один раз». Есть 35 различных комбинаций для прогулок девочек. Также есть 7 дней в неделю, по 3 девушки в каждой группе. Два из семи неизоморфных решений этой проблемы могут быть сформулированы в терминах структур в трехмерном пространстве Фано, PG (3,2), известном как упаковки. А распространять проективного пространства является раздел точек на непересекающиеся линии, а упаковка - это разбиение линий на непересекающиеся развороты. В PG (3,2) разброс представляет собой разделение 15 точек на 5 непересекающихся линий (по 3 точки на каждой линии), что соответствует расположению школьниц в определенный день. Упаковка PG (3,2) состоит из семи непересекающихся разворотов и, таким образом, соответствует полной неделе аранжировок.

Смотрите также

• Блочный дизайн - обобщение конечной проективной плоскости.
• Обобщенный многоугольник
• Геометрия падения
• Линейное пространство (геометрия)
• Рядом с полигоном
• Частичная геометрия
• Полярное пространство

Примечания

1. Laywine, Charles F .; Маллен, Гэри Л. (17 сентября 1998 г.). Дискретная математика с использованием латинских квадратов. Джон Вили и сыновья. ISBN  9780471240648.
2. Фано, Г. (1892), "Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva", Giornale di Matematiche, 30: 106–132
3. Коллино, Конте и Верра, 2013 г., п. 6
4. Малькевич Конечная геометрия? Рекомендуемая колонка AMS
5. Освальд Веблен (1906) Конечные проективные геометрии, Труды Американского математического общества 7: 241–59
6. Бойтельшпахер и Розенбаум 1998, стр. 6–7
7. также упоминается как Аксиома Веблена – Юнга и ошибочно как аксиома Паша (Бойтельшпахер и Розенбаум 1998, стр. 6–7). Паша интересовало реальное проективное пространство и он пытался ввести порядок, который не касается аксиомы Веблена – Юнга.
8. Дембовский 1968, п. 28, где формула в терминах размерности векторного пространства определяется выражением N_k+1(п + 1, q).

Рекомендации

• Баттен, Линн Маргарет (1997), Комбинаторика конечных геометрий, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0521590140
• Бойтельшпахер, Альбрехт; Розенбаум, Юте (1998), Проективная геометрия: от основ до приложений, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-48364-3, МИСТЕР  1629468
• Коллино, Альберто; Конте, Альберто; Верра, Алессандро (2013). «О жизни и научной деятельности Джино Фано». arXiv:1311.7177.
• Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете, Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  3-540-61786-8, МИСТЕР  0233275
• Евс, Ховард (1963), Обзор геометрии: Том первый, Бостон: Allyn and Bacon Inc.
• Холл, Маршалл (1943), «Проективные плоскости», Труды Американского математического общества, Американское математическое общество, 54 (2): 229–277, Дои:10.2307/1990331, ISSN  0002-9947, JSTOR  1990331, МИСТЕР  0008892
• Лам, К. В. Х. (1991), «Поиск конечной проективной плоскости порядка 10», Американский математический ежемесячный журнал, 98 (4): 305–318, Дои:10.2307/2323798

• Малькевич, Джо. "Конечная геометрия?". Получено 2 декабря, 2013.
• Месерв, Брюс Э. (1983), Основные понятия геометрии, Нью-Йорк: Dover Publications.
• Polster, Burkard (1999). «Да, зачем пробовать ее сырую мокрую шляпу: тур по самому маленькому проективному пространству». Математический интеллект. 21 (2): 38–43. Дои:10.1007 / BF03024845.
• Сегре, Бениамино (1960), О геометрии Галуа (PDF), Нью-Йорк: Cambridge University Press, стр. 488–499, заархивировано оригинал (PDF) на 2015-03-30, получено 2015-07-02

• Шульт, Эрнест Э. (2011), Точки и линии, Universitext, Springer, Дои:10.1007/978-3-642-15627-4, ISBN  978-3-642-15626-7

• Бал, Симеон (2015), Конечная геометрия и комбинаторные приложения, Тексты студентов Лондонского математического общества, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-1107518438.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "конечная геометрия". MathWorld.
• Геометрия падения Эрика Мурхауса
• Алгебраическая комбинаторная геометрия. Теренс Тао
• Очерк конечной геометрии Майкла Гринберга
• Конечная геометрия (сценарий)
• Ресурсы конечной геометрии
• Дж. В. П. Хиршфельд, исследователь конечных геометрий
  • Книги Хиршфельда по конечной геометрии
• Колонка AMS: Конечная геометрия?
• Геометрия Галуа и обобщенные многоугольники, интенсив в 1998 г.
• Карнахан, Скотт (2007-10-27), «Малые конечные множества», Секретный семинар по ведению блогов, заметки о выступлении Жан-Пьер Серр о канонических геометрических свойствах малых конечных множеств.
• «Проблема 31: проблема школьницы Киркмана» на Wayback Machine (архивировано 17 августа 2010 г.)
• Проективная плоскость порядка 12 на MathOverflow.