Эллиптическая геометрия - Elliptic geometry

Эллиптическая геометрия является примером геометрия в котором Евклид параллельный постулат не держит. Вместо этого, как в сферическая геометрия, параллельных прямых нет, так как любые две прямые должны пересекаться. Однако, в отличие от сферической геометрии, обычно предполагается, что две линии пересекаются в одной точке (а не в двух). Из-за этого эллиптическую геометрию, описанную в этой статье, иногда называют единственная эллиптическая геометрия тогда как сферическую геометрию иногда называют двойная эллиптическая геометрия.

Появление этой геометрии в девятнадцатом веке стимулировало развитие неевклидовой геометрии в целом, включая гиперболическая геометрия.

Эллиптическая геометрия обладает множеством свойств, которые отличаются от свойств классической евклидовой плоской геометрии. Например, сумма интерьера углы любой треугольник всегда больше 180 °.

Определения

В эллиптической геометрии две линии перпендикуляр к заданной линии должны пересекаться. Фактически, все перпендикуляры с одной стороны пересекаются в одной точке, называемой абсолютный полюс этой строки. Перпендикуляры на другой стороне также пересекаются в одной точке. Однако, в отличие от сферической геометрии, полюса с обеих сторон одинаковы. Это потому, что нет противоположные точки в эллиптической геометрии. Например, в гиперсферической модели (описанной ниже) это достигается за счет того, что «точки» в нашей геометрии фактически являются парами противоположных точек на сфере. Причина этого заключается в том, что это позволяет эллиптической геометрии удовлетворять аксиоме, согласно которой существует уникальная линия, проходящая через любые две точки.

Каждой точке соответствует абсолютная полярная линия из которых это абсолютный полюс. Любая точка на этой полярной линии образует абсолютная сопряженная пара с шестом. Такая пара точек ортогональный, а расстояние между ними равно квадрант.^[1]^:89

В расстояние между парой точек пропорциональна углу между их абсолютными полярными точками.^[1]^:101

Как объяснил Х. С. М. Коксетер

Название «эллиптический», возможно, вводит в заблуждение. Это не подразумевает какой-либо прямой связи с кривой, называемой эллипсом, а только довольно надуманной аналогией. Центральная коника называется эллипсом или гиперболой в зависимости от того, что у нее нет асимптоты или двух. асимптоты. Аналогично, неевклидова плоскость называется эллиптической или гиперболической в соответствии с каждой из ее линии не содержит точка в бесконечности или две бесконечно удаленные точки.^[2]

Два измерения

Эллиптическая плоскость

Эллиптическая плоскость - это реальная проективная плоскость предоставлен метрика: Кеплер и Desargues использовал гномоническая проекция связать плоскость σ с точками на полушарие касательно этого. С центром полушария O точка п в σ определяет прямую OP пересекающая полушарие, и любая линия L ⊂ σ определяет плоскость ПР который пересекает полушарие в половине большой круг. Полусфера ограничена плоскостью, проходящей через точку O и параллельной σ. Этой плоскости не соответствует никакая обычная линия σ; вместо этого линия на бесконечности добавляется к σ. Поскольку любая прямая в этом продолжении σ соответствует плоскости, проходящей через O, и поскольку любая пара таких плоскостей пересекается по прямой, проходящей через O, можно сделать вывод, что любая пара прямых в продолжении пересекается: точка пересечения лежит там, где плоскость пересечение пересекает σ или бесконечно удаленную прямую. Таким образом подтверждается аксиома проективной геометрии, требующая пересечения всех пар прямых на плоскости.^[3]

Данный п и Q в σ эллиптическое расстояние между ними мера угла POQ, обычно измеряется в радианах. Артур Кэли положил начало изучению эллиптической геометрии, когда написал «Об определении расстояния».^[4]^:82 За этим стремлением к абстракции в геометрии последовали Феликс Кляйн и Бернхард Риманн ведущий к неевклидова геометрия и Риманова геометрия.

Сравнение с евклидовой геометрией

Сравнение эллиптической, евклидовой и гиперболической геометрий в двух измерениях

В евклидовой геометрии фигуру можно увеличивать или уменьшать до бесконечности, и результирующие фигуры аналогичны, то есть имеют одинаковые углы и одинаковые внутренние пропорции. В эллиптической геометрии дело обстоит иначе. Например, в сферической модели мы можем видеть, что расстояние между любыми двумя точками должно быть строго меньше половины окружности сферы (поскольку идентифицируются противоположные точки). Следовательно, линейный сегмент нельзя увеличивать до бесконечности. Геометр, измеряющий геометрические свойства пространства, в котором он или она обитает, может обнаружить посредством измерений, что существует определенная шкала расстояний, которая является свойством пространства. В масштабах, намного меньших, чем этот, пространство примерно плоское, геометрия примерно евклидова, а фигуры можно масштабировать вверх и вниз, оставаясь примерно одинаковыми.

Большая часть евклидовой геометрии переносится непосредственно на эллиптическую геометрию. Например, первый и четвертый постулаты Евклида о том, что между любыми двумя точками существует единственная линия и что все прямые углы равны, выполняются в эллиптической геометрии. Постулат 3 о том, что можно построить круг с любым заданным центром и радиусом, не выполняется, если «любой радиус» означает «любое действительное число», но остается верным, если его понимать как «длину любого заданного отрезка линии». Следовательно, любой результат в евклидовой геометрии, который следует из этих трех постулатов, будет иметь место в эллиптической геометрии, например, предложение 1 из книги I Элементы, в котором говорится, что для любого отрезка линии можно построить равносторонний треугольник, взяв за основу отрезок.

Эллиптическая геометрия также похожа на геометрию Евклида в том, что пространство непрерывно, однородно, изотропно и без границ. Изотропия гарантируется четвертым постулатом, что все прямые углы равны. В качестве примера однородности обратите внимание, что предложение Евклида I.1 подразумевает, что один и тот же равносторонний треугольник может быть построен в любом месте, а не только в местах, которые являются в некотором роде особенными. Отсутствие границ следует из второго постулата - растяжимости отрезка.

Одним из отличий эллиптической геометрии от евклидовой геометрии является то, что сумма внутренних углов треугольника больше 180 градусов. В сферической модели, например, треугольник может быть построен с вершинами в местах, где три положительные декартовы оси координат пересекают сферу, и все три его внутренних угла равны 90 градусам, что в сумме составляет 270 градусов. Для достаточно маленьких треугольников превышение более 180 градусов можно сделать сколь угодно малым.

В теорема Пифагора не работает в эллиптической геометрии. В треугольнике 90 ° –90 ° –90 °, описанном выше, все три стороны имеют одинаковую длину и, следовательно, не удовлетворяют требованиям ${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$ . Результат Пифагора восстанавливается в пределах малых треугольников.

Отношение длины окружности к ее площади меньше, чем в евклидовой геометрии. В общем, площадь и объем не масштабируются как вторая и третья степени линейных размеров.

Эллиптическое пространство

Эллиптическое пространство может быть построено аналогично построению трехмерного векторного пространства: с классы эквивалентности. На больших кругах сферы используются направленные дуги. Направленные отрезки линии равноценный когда они параллельны, одинаковой длины и одинаково ориентированы, поэтому направленные дуги на больших кругах равноправны, когда они имеют одинаковую длину, ориентацию и большой круг. Эти отношения равнодоступности создают трехмерное векторное пространство и эллиптическое пространство соответственно.

Доступ к структуре эллиптического пространства осуществляется через векторную алгебру Уильям Роуэн Гамильтон: он представлял сферу как область квадратных корней из минус единицы. потом Формула Эйлера ${ Displaystyle ехр ( тета г) = соз тета + г грех тета}$ (куда р находится на сфере) представляет собой большой круг в плоскости, перпендикулярной р. Противоположные точки р и -р соответствуют противоположно направленным окружностям. Дуга между θ и φ эквивалентна дуге между 0 и φ - θ. В эллиптическом пространстве длина дуги меньше π, поэтому дуги могут быть параметризованы θ в [0, π) или (–π / 2, π / 2].^[5]

За ${ displaystyle z = exp ( theta r), z ^ {*} = exp (- theta r) подразумевает zz ^ {*} = 1.}$ Говорят, что модуль или норма z равен единице (Гамильтон назвал его тензором z). Но с тех пор р пробегает сферу в 3-м пространстве, exp (θ r) пробегает сферу в 4-м пространстве, теперь называемую 3-сфера, поскольку его поверхность имеет три измерения. Гамильтон назвал свою алгебру кватернионы и он быстро стал полезным и знаменитым инструментом математики. Его четырехмерное пространство развивается в полярных координатах. ${ Displaystyle т ехр ( тета г),}$ с т в положительные действительные числа.

При выполнении тригонометрии на Земле или небесная сфера, стороны треугольников - дуги большого круга. Первым успехом кватернионов была рендеринг сферическая тригонометрия к алгебре.^[6] Гамильтон назвал кватернион нормы один Versor, а это точки эллиптического пространства.

С $р$ исправлено, версоры

{ displaystyle e ^ {ar}, quad 0 leq a < pi}

для мужчин эллиптическая линия. Расстояние от ${ displaystyle e ^ {ar}}$ к 1 $а$ . Для произвольного версора $ты$ , расстояние будет такое θ, для которого $cos θ = (ты + ты *)/2$ так как это формула для скалярной части любого кватерниона.

An эллиптическое движение описывается кватернионным отображением

{ displaystyle q mapsto uqv,}

куда

ты

и

v

фиксированные версоры.

Расстояния между точками такие же, как между точками изображения эллиптического движения. В случае, если $ты$ и $v$ являются кватернионами, сопряженными друг другу, движение есть пространственное вращение, а их векторная часть - ось вращения. В случае $ты = 1$ эллиптическое движение называется верно Перевод Клиффорда, или паратаксия. Дело $v = 1$ соответствует левому переводу Клиффорда.

Эллиптические линии через Versor $ты$ может иметь форму

{ displaystyle lbrace ue ^ {ar}: 0 leq a < pi rbrace}

или же

{ displaystyle lbrace e ^ {ar} u: 0 leq a < pi rbrace}

для фиксированного

р

.

Это правый и левый переводы Клиффорда. $ты$ по эллиптической линии через 1. эллиптическое пространство формируется из $S 3$ путем выявления точек противоположности.^[7]

Эллиптическое пространство имеет особую структуру, называемую Параллели Клиффорда и Поверхности Клиффорда.

Точки версора эллиптического пространства отображаются Преобразование Кэли к ℝ³ для альтернативного представления пространства.

Многомерные пространства

Гиперсферическая модель

Гиперсферическая модель является обобщением сферической модели на более высокие измерения. Пункты п-мерное эллиптическое пространство - это пары единичных векторов $(Икс, - Икс)$ в р^п+1, т. е. пары противоположных точек на поверхности единичного шара в (п + 1)-мерное пространство ( п-мерная гиперсфера). Линии в этой модели большие круги, т.е. пересечения гиперсферы с плоскими гиперповерхностями размерности п проходящий через начало координат.

Проективная эллиптическая геометрия

В проективной модели эллиптической геометрии точки п-размерный реальное проективное пространство используются как точки модели. Это моделирует абстрактную эллиптическую геометрию, также известную как проективная геометрия.

Пункты п-мерное проективное пространство можно отождествить с линиями, проходящими через начало координат в (п + 1)-мерного пространства, и может быть неоднозначно представлен ненулевыми векторами в р^п+1, при том понимании, что $ты$ и $λ ты$ , для любого ненулевого скаляра $λ$ , представляют одну и ту же точку. Расстояние определяется с помощью метрики

{ displaystyle d (u, v) = arccos left ({ frac {| u cdot v |} { | u | | v |}} right);}

то есть расстояние между двумя точками - это угол между их соответствующими линиями в р^п+1. Формула расстояния однородна по каждой переменной, причем $d (λ ты, μ v) = d (ты, v)$ если $λ$ и $μ$ ненулевые скаляры, поэтому он определяет расстояние в точках проективного пространства.

Примечательным свойством проективной эллиптической геометрии является то, что для четных размеров, таких как плоскость, геометрия не являетсяориентируемый. Он стирает различие между вращением по часовой стрелке и против часовой стрелки, идентифицируя их.

Стереографическая модель

Модель, представляющая то же пространство, что и гиперсферическая модель, может быть получена с помощью стереографическая проекция. Позволять E^п представлять р^п ∪ {∞}, то есть, $п$ -мерное реальное пространство, расширенное единственной бесконечно удаленной точкой. Мы можем определить метрику, хордовая метрика, наE^п к

{ displaystyle delta (u, v) = { frac {2 | uv |} { sqrt {(1+ | u | ^ {2}) (1+ | v | ^ {2 })}}}}

куда $ты$ и $v$ любые два вектора из р^п и ${ displaystyle | cdot |}$ - обычная евклидова норма. Мы также определяем

{ displaystyle delta (u, infty) = delta ( infty, u) = { frac {2} { sqrt {1+ | u | ^ {2}}}}.}

Результатом является метрическое пространство на E^п, который представляет собой расстояние вдоль хорды до соответствующих точек на гиперсферической модели, на которые она биективно отображается с помощью стереографической проекции. Модель сферической геометрии мы получим, если воспользуемся метрикой

{ displaystyle d (u, v) = 2 arcsin left ({ frac { delta (u, v)} {2}} right).}

Эллиптическая геометрия получается из этого путем определения точек $ты$ и $- ты$ , и принимая расстояние от $v$ к этой паре быть минимумом расстояний от $v$ к каждой из этих двух точек.

Самосогласованность

Поскольку сферическая эллиптическая геометрия может быть смоделирована, например, как сферическое подпространство евклидова пространства, отсюда следует, что если евклидова геометрия самосогласована, то сферическая эллиптическая геометрия является самосогласованной. Следовательно, невозможно доказать постулат параллельности на основе других четырех постулатов евклидовой геометрии.

Тарский доказал, что элементарная евклидова геометрия полный: существует алгоритм, который для каждого предложения может показать, что оно истинно или ложно.^[8] (Это не нарушает Теорема Гёделя, поскольку евклидова геометрия не может описать достаточное количество арифметика для применения теоремы.^[9]) Отсюда следует, что элементарная эллиптическая геометрия также является самосогласованной и полной.

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б Дункан Соммервилл (1914) Элементы неевклидовой геометрии, глава 3 Эллиптическая геометрия, стр. 88–122, Джордж Белл и сыновья
^ Кокстер 1969 94
^ Х. С. М. Коксетер (1965) Введение в геометрию, стр. 92
^ Кэли, Артур (1859), «Шестые мемуары о квантах» (PDF), Философские труды Лондонского королевского общества, 149: 61–90, Дои:10.1098 / рстл.1859.0004, ISSN 0080-4614, JSTOR 108690
^ Рафаэль Арци (1965) Линейная геометрия, Глава 3–8 Кватернионы и эллиптическое трехмерное пространство, стр. 186–94,Эддисон-Уэсли
^ W.R. Гамильтон (1844-1850) О кватернионах или новой системе воображаемых в алгебре, Философский журнал, ссылка на коллекцию Дэвида Р. Уилкинса на Тринити-колледж, Дублин
^ Лемэтр, Жорж (2017) [1948], перевод Ричарда Л. Аморосо, "Quaternions et espace elliptique" [Кватернионы и эллиптическое пространство] (PDF), Pontificia Academia Scientiarum, Acta, 12: 57–78
^ Тарский (1951)
^ Францен 2005, стр. 25–26.

внешняя ссылка

СМИ, связанные с Эллиптическая геометрия в Wikimedia Commons

[DS-1] а ^б Дункан Соммервилл (1914) Элементы неевклидовой геометрии, глава 3 Эллиптическая геометрия, стр. 88–122, Джордж Белл и сыновья

[2] Кокстер 1969 94

[3] Х. С. М. Коксетер (1965) Введение в геометрию, стр. 92

[4] Кэли, Артур (1859), «Шестые мемуары о квантах» (PDF), Философские труды Лондонского королевского общества, 149: 61–90, Дои:10.1098 / рстл.1859.0004, ISSN 0080-4614, JSTOR 108690

[5] Рафаэль Арци (1965) Линейная геометрия, Глава 3–8 Кватернионы и эллиптическое трехмерное пространство, стр. 186–94,Эддисон-Уэсли

[6] W.R. Гамильтон (1844-1850) О кватернионах или новой системе воображаемых в алгебре, Философский журнал, ссылка на коллекцию Дэвида Р. Уилкинса на Тринити-колледж, Дублин

[7] Лемэтр, Жорж (2017) [1948], перевод Ричарда Л. Аморосо, "Quaternions et espace elliptique" [Кватернионы и эллиптическое пространство] (PDF), Pontificia Academia Scientiarum, Acta, 12: 57–78

[8] Тарский (1951)

[9] Францен 2005, стр. 25–26.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]