Большой круг - Great circle

Эта статья о математическом понятии. О его приложениях в геодезии см. расстояние по дуге. Для использования в других целях см. Большой круг.

Большой круг делит сферу на два равных полушария.

А большой круг, также известный как ортодромия, из сфера пересечение сферы и самолет что проходит через Центральная точка сферы. Большой круг - это самый большой круг, который можно нарисовать на любой данной сфере. Любой диаметр любого большого круга совпадает с диаметром сферы, и поэтому все большие круги имеют один и тот же центр и длина окружности как друг друга. Этот частный случай круг сферы противостоит маленький круг, то есть пересечение сферы и плоскости, не проходящей через центр. Каждый круг в Евклидово 3-пространство представляет собой большой круг ровно одной сферы.

Для большинства пар различных точек на поверхности сферы существует уникальный большой круг, проходящий через две точки. Исключение составляет пара противоположный точек, для которых существует бесконечно много больших окружностей. Малая дуга большого круга между двумя точками - это кратчайший путь по поверхности между ними. В этом смысле малая дуга аналогична «прямым линиям» в Евклидова геометрия. Длина малой дуги большого круга принимается как расстояние между двумя точками на поверхности сферы в Риманова геометрия где такие большие круги называются Римановы круги. Эти великие круги являются геодезические сферы.

В диск ограниченный большим кругом, называется отличный диск: это пересечение мяч и плоскость, проходящая через его центр. В более высоких измерениях большие круги на п-сфера пересечение п-сфера с 2-мя плоскостями, проходящими через начало координат в евклидовом пространстве р^{п + 1}.

Вывод кратчайших путей

Смотрите также: Расстояние большого круга

Чтобы доказать, что малая дуга большого круга является кратчайшим путем, соединяющим две точки на поверхности сферы, можно применить вариационное исчисление к нему.

Рассмотрим класс всех правильных путей из точки ${\displaystyle p}$ в другую точку ${\displaystyle q}$. Вводить сферические координаты так что ${\displaystyle p}$ совпадает с северным полюсом. Любая кривая на сфере, которая не пересекает ни один полюс, за исключением, возможно, конечных точек, может быть параметризована следующим образом:

${\displaystyle \theta =\theta (t),\quad \phi =\phi (t),\quad a\leq t\leq b}$

при условии, что мы позволяем ${\displaystyle \phi }$ принимать произвольные реальные значения. Бесконечно малая длина дуги в этих координатах равна

${\displaystyle ds=r{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.}$

Итак, длина кривой ${\displaystyle \gamma }$ из ${\displaystyle p}$ к ${\displaystyle q}$ это функциональный кривой, заданной

${\displaystyle S[\gamma ]=r\int _{a}^{b}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.}$

Согласно Уравнение Эйлера – Лагранжа., ${\displaystyle S[\gamma ]}$ минимизируется тогда и только тогда, когда

${\displaystyle {\frac {\sin ^{2}\theta \phi '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}=C}$,

куда ${\displaystyle C}$ это ${\displaystyle t}$-независимая константа, и

${\displaystyle {\frac {\sin \theta \cos \theta \phi '^{2}}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\theta '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}.}$

Из первого из этих двух уравнений можно получить, что

${\displaystyle \phi '={\frac {C\theta '}{\sin \theta {\sqrt {\sin ^{2}\theta -C^{2}}}}}}$.

Интегрируя обе части и учитывая граничное условие, действительное решение ${\displaystyle C}$ равно нулю. Таким образом, ${\displaystyle \phi '=0}$ и ${\displaystyle \theta }$ может быть любым значением от 0 до ${\displaystyle \theta _{0}}$, указывая, что кривая должна лежать на меридиане сферы. В декартовых координатах это

${\displaystyle x\sin \phi _{0}-y\cos \phi _{0}=0}$

который представляет собой плоскость, проходящую через начало координат, то есть центр сферы.

Приложения

Некоторые примеры больших кругов на небесная сфера включить небесный горизонт, то небесный экватор, а эклиптика. Большие круги также используются как довольно точные приближения геодезические на земной шар поверхность для воздуха или моря навигация (хотя это не идеальная сфера ), а также на сфероидальных небесные тела.

В экватор идеализированной земли - это большой круг, а любой меридиан и его противоположный меридиан образуют большой круг. Другой большой круг - это тот, который разделяет суша и вода полушария. Большой круг делит землю на две части полушария и если большой круг проходит через точку, он должен пройти через противоположная точка.

В Преобразование фанка объединяет функцию по всем большим окружностям сферы.

Смотрите также

• Расстояние большого круга
• Навигация по большому кругу
• Линия румба

внешняя ссылка

• Большой круг - из MathWorld Описание Великого Круга, фигуры и уравнения. Mathworld, Wolfram Research, Inc. c1999 г.
• Большие круги на карте Меркатора Джона Снайдера с дополнительными вкладами Джеффа Брайанта, Пратика Десаи и Карла Уолла, Вольфрам Демонстрационный проект.
• Навигационные алгоритмы Бумага: The Sailings.
• Работа с картами - навигационные алгоритмы Бесплатное программное обеспечение для работы с картами: Rhumb line, Great Circle, Composite sailing, Meridional parts. Линии позиции «Пилотирование» - течения и береговая привязка.