Диск (математика) - Disk (mathematics)

Для использования в других целях см. Диск.

Диск с длина окружности (C) в черном, диаметр (D) в голубом, радиус (R) красным, и центр (O) пурпурный.

В геометрия, а диск (также пишется диск)^[1] регион в самолет ограниченный круг. Диск называется закрыто если он содержит круг, который составляет его границу, и открыто если это не так.^[2]

Формулы

В Декартовы координаты, то открытый диск центра ${\displaystyle (a,b)}$ и радиус р дается формулой^[1]

${\displaystyle D=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}<R^{2}\}}$

в то время как закрытый диск того же центра и радиуса определяется выражением

${\displaystyle {\overline {D}}=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\leq R^{2}\}.}$

В площадь закрытого или открытого диска радиуса р это πр² (видеть площадь диска ).^[3]

Характеристики

На диске есть круговая симметрия.^[4]

Открытый диск и закрытый диск не являются топологически эквивалентными (т. Е. Не являются гомеоморфный ), поскольку они имеют разные топологические свойства друг от друга. Например, каждый закрытый диск компактный тогда как каждый открытый диск не компактен.^[5] Однако с точки зрения алгебраическая топология у них много общих свойств: оба они стягиваемый^[6] и так гомотопический эквивалент в одну точку. Это означает, что их фундаментальные группы тривиальны, и все группы гомологии тривиальны, за исключением 0-го, изоморфного Z. В Эйлерова характеристика точки (а значит, и замкнутого или открытого диска) равно 1.^[7]

Каждый непрерывная карта с закрытого диска на себя имеет хотя бы один фиксированная точка (мы не требуем, чтобы карта была биективный или даже сюръективный ); В этом случае п= 2 из Теорема Брауэра о неподвижной точке.^[8] Утверждение неверно для открытого диска:^[9]

Рассмотрим, например, функцию${\displaystyle f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right)}$который отображает каждую точку открытого единичного диска в другую точку на открытом единичном диске справа от данного. Но для замкнутого единичного диска он фиксирует каждую точку на полукруге. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,x>0.}$

Смотрите также

• Единичный диск, диск радиуса один
• Кольцо (математика), область между двумя концентрическими окружностями
• Болл (математика), обычный термин для трехмерного аналога диска
• Дисковая алгебра, пространство функций на диске
• Ортоцентроидный диск, содержащую некоторые центры треугольника

Рекомендации

1. Клэпхэм, Кристофер; Николсон, Джеймс (2014), Краткий Оксфордский математический словарь, Oxford University Press, стр. 138, ISBN  9780199679591.
2. Арнольд, Б. Х. (2013), Интуитивные концепции элементарной топологии, Dover Книги по математике, Courier Dover Publications, стр. 58, ISBN  9780486275765.
3. Ротман, Джозеф Дж. (2013), Путешествие в математику: введение в доказательства, Dover Книги по математике, Courier Dover Publications, стр. 44, ISBN  9780486151687.
4. Альтманн, Саймон Л. (1992). Иконки и симметрии. Издательство Оксфордского университета. ISBN  9780198555995. диск круговой симметрии.
5. Модлин, Тим (2014), Новые основы физической геометрии: теория линейных структур, Oxford University Press, стр. 339, г. ISBN  9780191004551.
6. Коэн, Дэниел Э. (1989), Комбинаторная теория групп: топологический подход, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 14, Cambridge University Press, стр. 79, ISBN  9780521349369.
7. В более высоких размерностях эйлерова характеристика замкнутого шара остается равной +1, но эйлерова характеристика открытого шара равна +1 для четномерных шаров и −1 для нечетномерных шаров. Видеть Klain, Daniel A .; Рота, Джан-Карло (1997), Введение в геометрическую вероятность, Лециони Линси, Cambridge University Press, стр. 46–50..
8. Арнольд (2013), п. 132.
9. Арнольд (2013), Бывший. 1, стр. 135.