Единичный диск - Unit disk

Открытый евклидов единичный диск

В математика, то открытый единичный диск (или же диск) вокруг п (куда п данная точка в самолет ), - множество точек, расстояние от которых п меньше 1:

{ Displaystyle D_ {1} (P) = {Q: vert P-Q vert <1 }. ,}

В закрытый единичный диск вокруг п - множество точек, расстояние от которых п меньше или равно единице:

{ displaystyle { bar {D}} _ {1} (P) = {Q: | P-Q | leq 1 }. ,}

Блочные диски - это частные случаи диски и единичные шары; как таковые, они содержат внутреннюю часть единичный круг а в случае замкнутого единичного диска - сама единичная окружность.

Без дополнительных уточнений термин единичный диск используется для открытого единичного диска о источник, ${ displaystyle D_ {1} (0)}$ , с уважением к стандартная евклидова метрика. Это интерьер круг радиуса 1 с центром в начале координат. Этот набор можно отождествить с набором всех сложные числа из абсолютная величина меньше одного. Если рассматривать как подмножество комплексной плоскости (C) единичный диск часто обозначают ${ Displaystyle mathbb {D}}$ .

Открытый единичный диск, плоскость и верхняя полуплоскость

Функция

{ displaystyle f (z) = { frac {z} {1- | z | ^ {2}}}}

это пример настоящего аналитический и биективный функция от открытого единичного диска до плоскости; его обратная функция также является аналитической. Считается реальным двумерным аналитическое многообразие, то открытый единичный круг изоморфен всей плоскости. В частности, открытый единичный диск гомеоморфный на весь самолет.

Однако нет конформный биективное отображение открытого единичного диска и плоскости. Считается Риманова поверхность, поэтому открытый единичный диск отличается от комплексная плоскость.

Между открытым единичным диском и открытым единичным диском существуют конформные биективные отображения. верхняя полуплоскость. Таким образом, рассматриваемый как риманова поверхность, открытый единичный круг изоморфен («биголоморфен» или «конформно эквивалентен») верхней полуплоскости, и эти два понятия часто используются как взаимозаменяемые.

В более общем плане Теорема римана отображения заявляет, что каждый односвязный открытое подмножество комплексной плоскости, которая отличается от самой комплексной плоскости, допускает конформное и биективное отображение в открытый единичный круг.

Одно биективное конформное отображение открытого единичного диска в открытую верхнюю полуплоскость - это Преобразование Мёбиуса

{ Displaystyle г (z) = я { гидроразрыва {1 + z} {1-z}}}

что является обратным Преобразование Кэли.

Геометрически можно представить, что реальная ось изгибается и сжимается так, что верхняя полуплоскость становится внутренней частью диска, а реальная ось образует окружность диска, за исключением одной точки наверху, «бесконечно удаленной точки». Биективное конформное отображение открытого единичного круга в открытую верхнюю полуплоскость также может быть построено как композиция двух стереографические проекции: сначала единичный диск стереографически проецируется вверх на единичную верхнюю полусферу, принимая «южный полюс» единичной сферы в качестве центра проекции, а затем эта полусфера проецируется сбоку на вертикальную полуплоскость, касающуюся сфера, принимая точку на полусфере, противоположную точке касания, как центр проекции.

Единичный диск и верхняя полуплоскость не взаимозаменяемы как области для Пространства Харди. Этому различию способствует тот факт, что единичная окружность имеет конечные (одномерные) Мера Лебега в то время как настоящая линия - нет.

Гиперболическая плоскость

Открытый единичный диск образует множество точек для Модель диска Пуанкаре гиперболической плоскости. Круговые дуги перпендикулярно единичной окружности образуют «линии» в этой модели. Единичный круг - это Кейли абсолют что определяет метрика на диске с помощью перекрестное соотношение в стиле Метрика Кэли – Клейна. На языке дифференциальной геометрии дуги окружности, перпендикулярные единичной окружности, имеют вид геодезические которые показывают кратчайшее расстояние между точками модели. Модель включает движения которые выражаются специальной унитарной группой СУ (1,1). Модель диска может быть преобразована в Модель полуплоскости Пуанкаре отображением грамм приведено выше.

И диск Пуанкаре, и полуплоскость Пуанкаре равны конформный модели гиперболической плоскости, то есть углы между пересекающимися кривыми сохраняются благодаря движениям их групп изометрий.

Другая модель гиперболического пространства также построена на открытом единичном диске: Модель Бельтрами-Кляйна. это не конформный, но обладает тем свойством, что геодезические являются прямыми линиями.

Единичные диски по отношению к другим показателям

Сверху вниз: открыть единичный диск в Евклидова метрика, метрика такси, и Метрика Чебышева.

Одни также рассматривают единичные диски по отношению к другим метрики. Например, с метрика такси и Метрика Чебышева диски выглядят как квадраты (хотя нижележащие топологии такие же, как евклидова).

Площадь евклидова единичного диска равна π и это периметр равно 2π. Напротив, периметр (относительно метрики такси) единичного диска в геометрии такси равен 8. В 1932 г. Станислав Голомб доказал, что в метриках, возникающих из норма периметр единичного диска может принимать любое значение от 6 до 8, и что эти экстремальные значения получаются тогда и только тогда, когда единичный диск является правильным шестиугольник или параллелограмм, соответственно.

Смотрите также

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Блочный диск». MathWorld.
По периметру и площади единичного диска Авторы J.C. Альварес Павия и А.С. Томпсон