Теорема римана отображения - Riemann mapping theorem

В комплексный анализ, то Теорема римана отображения заявляет, что если U это непустой односвязный открытое подмножество из плоскость комплексных чисел C что не все из C, то существует биголоморфный отображение ж (т.е. биективный голоморфный отображение, обратное к которому также голоморфно) из U на открытый единичный диск

${displaystyle D={zin mathbf {C} :|z|<1}.}$

Это отображение известно как Отображение Римана.^[1]

Интуитивно условие, что U быть просто связным означает, что U не содержит «дырок». Дело в том, что ж биголоморфно означает, что это конформная карта и поэтому сохраняет угол. Интуитивно такая карта сохраняет форму любой достаточно маленькой фигуры, возможно, вращая и масштабируя (но не отражая) ее.

Анри Пуанкаре доказал, что карта ж по сути уникален: если z₀ является элементом U и φ - произвольный угол, то существует ровно один ж как указано выше, что ж(z₀) = 0 и такой, что аргумент производной от ж в момент z₀ равно φ. Это простое следствие Лемма Шварца.

Как следствие теоремы, любые два односвязных открытых подмножества Сфера Римана у которых отсутствует по крайней мере две точки сферы, можно конформно отобразить друг в друга.

История

Теорема была сформулирована (в предположении, что граница из U кусочно гладкая) по Бернхард Риманн в 1851 г. защитил кандидатскую диссертацию. Ларс Альфорс однажды написал относительно первоначальной формулировки теоремы, что она «в конечном итоге сформулирована в терминах, которые бросят вызов любой попытке доказательства, даже с использованием современных методов». Ошибочное доказательство Римана зависело от Принцип Дирихле (названный самим Риманом), который в то время считался здравым. Тем не мение, Карл Вейерштрасс обнаружили, что этот принцип не является универсальным. Потом, Дэвид Гильберт смог доказать, что в значительной степени принцип Дирихле верен при гипотезе, с которой работал Риман. Однако для того, чтобы принцип Дирихле был справедливым, необходимы некоторые гипотезы относительно границы U которые вообще не действуют для односвязных доменов. Односвязные области с произвольными границами впервые рассматривались Уильям Фогг Осгуд  (1900 ).

Первое доказательство теоремы связано с Константин Каратеодори, опубликовавший его в 1912 году. В его доказательстве Римановы поверхности и это было упрощено Пол Кобе два года спустя так, что они не требовались.

Еще одно доказательство из-за Липот Фейер и чтобы Фриджес Рис, вышла в 1922 г. и была значительно короче предыдущих. В этом доказательстве, как и в доказательстве Римана, искомое отображение получено как решение экстремальной задачи. Доказательство Фейера – Рисса было дополнительно упрощено Александр Островский и Каратеодори.

Важность

Следующие пункты подробно описывают единственность и мощность теоремы об отображении Римана:

• Даже относительно простые отображения Римана (например, карта из внутренней части круга во внутреннюю часть квадрата) не имеют явной формулы, использующей только элементарные функции.
• Односвязные открытые множества на плоскости могут быть очень сложными, например, граница может быть никуда-дифференцируемый фрактальная кривая бесконечной длины, даже если само множество ограничено. Тот факт, что такой набор может быть отображен в сохраняющий угол Обращение к красивому и обычному устройству диска кажется нелогичным.
• Аналог теоремы Римана об отображении для более сложных областей неверен. Следующий простейший случай - двусвязные области (области с одним отверстием). Любая двусвязная область, за исключением проколотого диска и проколотой плоскости, конформно эквивалентна некоторому кольцу {z : р < |z| <1} с 0 < р <1, однако конформных отображений между аннулировать кроме инверсии и умножения на константы, поэтому кольцо {z : 1 < |z| <2} конформно не эквивалентно кольцу {z : 1 < |z| <4} (как может быть доказано с использованием экстремальной длины ).
• Аналог теоремы об отображении Римана в трех или более реальных измерениях неверен. Семейство конформных отображений в трех измерениях очень бедно и по существу содержит только Преобразования Мебиуса.
• Даже если произвольно гомеоморфизмы в более высоких размерах разрешены, стягиваемый коллекторы могут быть найдены, не гомеоморфные шару (например, Континуум Уайтхеда ).
• Теорема Римана об отображении - это самый простой способ доказать, что любые две односвязные области на плоскости являются гомеоморфный. Несмотря на то, что класс непрерывных функций намного больше, чем у конформных отображений, нелегко построить взаимно однозначную функцию на диске, зная только, что область односвязна.

Доказательство через нормальные семьи

Основная статья: Нормальные семьи

Простое подключение

Теорема. Для открытого домена грамм ⊂ ℂ следующие условия эквивалентны:^[2]

1. грамм просто связано;
2. интеграл от каждой голоморфной функции ж вокруг замкнутой кусочно гладкой кривой в грамм исчезает;
3. каждая голоморфная функция из грамм - производная голоморфной функции;
4. каждая нигде не исчезающая голоморфная функция ж на грамм имеет голоморфный логарифм;
5. каждая нигде не исчезающая голоморфная функция грамм на грамм имеет голоморфный квадратный корень;
6. для любого ш не в грамм, то номер намотки из ш для любой кусочно гладкой замкнутой кривой в грамм равно 0;
7. дополнение грамм в расширенной комплексной плоскости ℂ ∪ {∞} связно.

(1) ⇒ (2), поскольку любая непрерывная замкнутая кривая с базовой точкой а в грамм, можно непрерывно деформировать до постоянной кривой а. Итак, линейный интеграл от ж дз над кривой равен 0.

(2) ⇒ (3) потому что интеграл по любому кусочно-гладкому пути γ из а к z может использоваться для определения примитива.

(3) ⇒ (4) интегрированием ж⁻¹df/дз вдоль γ от а к Икс дать ветку логарифма.

(4) ⇒ (5), извлекая квадратный корень как грамм (z) = exp ж(z) / 2 где ж - голоморфный выбор логарифма.

(5) ⇒ (6), поскольку если γ - кусочно замкнутая кривая и ж_п являются последовательными квадратными корнями из z − ш за ш за пределами грамм, то количество витков ж_п ∘ γ о ш 2^п умноженное на число витков γ около 0. Следовательно, число витков γ около ш должно делиться на 2^п для всех п, поэтому должно быть равно 0.

(6) ⇒ (7) в противном случае расширенная плоскость ℂ ∪ {∞} грамм можно записать как несвязное объединение двух открытых и замкнутых множеств А и B с ∞ в B и А ограниченный. Пусть δ> 0 - кратчайшее евклидово расстояние. А и B и построим на ℂ квадратную сетку длиной δ / 4 с точкой а из А в центре квадрата. Позволять C - компакт из объединения всех квадратов на расстоянии ≤ δ / 4 от А. потом C ∩ B = ∅ и ∂C не встречается А или же B: состоит из конечного числа горизонтальных и вертикальных сегментов в грамм образуя конечное число замкнутых прямоугольных путей γ_j в грамм . Принимая C_я покрывать все квадраты А, (2 π)⁻¹ ∫_∂C d arg (z − а) равно сумме номеров намоток C_я над а, так что дает 1. С другой стороны, сумма номеров витков γ_j о а равно 1. Следовательно, номер намотки хотя бы одного из γ_j о а не равно нулю.

(7) ⇒ (1) Это чисто топологический аргумент. Пусть γ - кусочно гладкая замкнутая кривая, основанная в z₀ в грамм. По приближению γ находится в том же гомотопия класс как прямоугольный путь на квадратной сетке длиной δ> 0 на основе z₀; такой прямоугольный путь определяется последовательностью N последовательно направленные вертикальные и горизонтальные стороны. Индукцией по N, такой путь может быть деформирован в постоянный путь в углу сетки. Если путь пересекается в точке z₁, то он распадается на два прямоугольных пути длиной < N, поэтому может быть деформирован до постоянного пути при z₁ по предположению индукции и элементарным свойствам фундаментальная группа. Рассуждение следует «северо-восточному аргументу»:^[3][4] на несамопересекающемся пути будет угол z₀ с наибольшей действительной частью (восток), а затем среди тех, с наибольшей мнимой частью (север). Если нужно изменить направление, путь идет от z₀ - δ к z₀ а затем в ш₀ = z₀ − я п δ для п ≥ 1, а затем переходит влево к ш₀ - δ. Позволять р - открытый прямоугольник с этими вершинами. Число витков пути равно 0 для точек справа от вертикального сегмента от z₀ к ш₀ и −1 для точек справа; и, следовательно, внутри р. Так как номер обмотки 0 выключен грамм, р лежит в грамм. Если z это точка пути, она должна лежать в грамм; если z находится на ∂р но не на пути, по непрерывности извилистый номер пути вокруг z равно −1, поэтому z также должен лежать в грамм. Следовательно р ∪ ∂р ⊂ грамм. Но в этом случае путь можно деформировать, заменив три стороны прямоугольника четвертыми, в результате чего будет на 2 стороны меньше. (Самопересечения разрешены.)

Теорема римана отображения

• Теорема сходимости Вейерштрасса. Равномерный предел на компактах последовательности голоморфных функций голоморфен; аналогично для производных.

Это непосредственное следствие Теорема Мореры за первое заявление. Интегральная формула Коши дает формулу для производных, с помощью которой можно проверить, что производные также равномерно сходятся на компактах.^[5]

• Теорема Гурвица. Если последовательность нигде не исчезающих голоморфных функций на открытой области имеет равномерный предел на компактах, то либо предел тождественно равен нулю, либо предел нигде не обращается в нуль. Если последовательность однолистных голоморфных функций на открытой области имеет равномерный предел на компактах, то либо предел постоянен, либо предел однолистен.

Если предельная функция отлична от нуля, то ее нули должны быть изолированы. Нули с кратностями можно подсчитать по номеру витка (2 я π)⁻¹ ∫_C грамм(z)⁻¹ грамм‘(z) дз для голоморфной функции грамм. Следовательно, числа витков непрерывны при одинаковых пределах, так что если каждая функция в последовательности не имеет нулей, то и предел не может. Для второго утверждения предположим, что ж(а) = ж(б) и установить грамм_п(z) = ж_п(z) − ж_п(а). Они никуда не исчезают на диске, но грамм(z) = ж(z) − ж(б) исчезает в а, так грамм должно исчезнуть идентично.^[6]

Определения. Семья ${displaystyle {cal {F}}}$ голоморфных функций на открытой области называется нормальный если какая-либо последовательность функций в ${displaystyle {cal {F}}}$ имеет подпоследовательность, сходящуюся к голоморфной функции равномерно на компактах. Семья ${displaystyle {cal {F}}}$ является компактный если всякий раз, когда последовательность ж_п лежит в ${displaystyle {cal {F}}}$ и равномерно сходится к ж на компактах, то ж также лежит в ${displaystyle {cal {F}}}$. Семья ${displaystyle {cal {F}}}$ как говорят локально ограниченный если их функции равномерно ограничены на каждом компакт-диске. Различая Интегральная формула Коши, следует, что производные локально ограниченного семейства также локально ограничены.^[7][8]

• Теорема Монтеля. Всякое локально ограниченное семейство голоморфных функций в области грамм это нормально.

Позволять ж_п вполне ограниченная последовательность и выбрано счетное плотное подмножество ш_м из грамм. По локальной ограниченности и «диагональному аргументу» подпоследовательность может быть выбрана так, что грамм_п сходится в каждой точке ш_м. Необходимо проверить, что эта последовательность голоморфных функций сходится на грамм равномерно на каждом компакте K. Брать E открыть с K ⊂ E так что закрытие E компактна и содержит грамм. Поскольку последовательность (грамм_п′) локально ограничена, |грамм_п′| ≤ M на E. По компактности, если δ> 0 взять достаточно малым, конечное число открытых дисков D_k радиуса δ> 0 требуются для покрытия K оставаясь в E. С

${displaystyle g_{n}(b)-g_{n}(a)=int _{a}^{b}g_{n}^{prime }(z),dz}$,

|грамм_п(а) − грамм_п(б)| ≤ M |а − б| ≤ 2 δ M. Теперь для каждого k выберите некоторые ш_я в D_k куда грамм_п(ш_я) сходится, принимая п и м настолько велик, что находится в пределах δ от своего предела. Тогда для z в D_k,

${displaystyle |g_{n}(z)-g_{m}(z)|leq |g_{n}(z)-g_{n}(w_{i})|+|g_{n}(w_{i})-g_{m}(w_{i})|+|g_{m}(w_{1})-g_{(}z)|leq 4Mdelta +2delta .}$

Следовательно, последовательность (грамм_п) образует последовательность Коши в равномерной норме на K как требуется.^[9][10]

• Теорема Римана об отображении. Если грамм является односвязной областью ≠ ℂ и а лежит в грамм, существует единственное конформное отображение ж из грамм на единичный диск D нормализованы так, что ж(а) = 0 и ж ′(а) > 0.

Уникальность следует из-за ж и грамм удовлетворял тем же условиям час = ж ∘ грамм⁻¹ было бы однолистным голоморфным отображением единичного круга с час(0) = 0 и час‘(0) >0. Но по Лемма Шварца, однолистные голоморфные отображения единичного круга в себя задаются Преобразования Мебиуса k(z) = е^яθ(z - α) / (1 - α * z) с | α | <1. Итак час должна быть карта идентичности и ж = грамм.

Чтобы доказать существование, возьмите ${displaystyle {cal {F}}}$ быть семейством голоморфных однолистных отображений ж из грамм в открытый единичный диск D с ж(а) = 0 и ж ‘(а) > 0. По теореме Монтеля это нормальная семья. По характеристике простой связности для б в ℂ грамм есть голоморфная ветвь квадратного корня ${displaystyle h(z)={sqrt {z-b}}}$ в грамм. Это однозначно и час(z₁) ≠ − час(z₂) за z₁ и z₂ в грамм. С грамм должен содержать закрытый диск Δ с центром час(а) и радиус р > 0, нет точек −Δ может лежать в грамм. Позволять F - единственное преобразование Мёбиуса, принимающее ℂ −Δ на D с нормализацией F(час(а)) = 0 и F′(час(а)) > 0. По конструкции F ∘ час в ${displaystyle {cal {F}}}$, так что ${displaystyle {cal {F}}}$ является непустой. Методика Koebe использовать экстремальная функция для создания конформного отображения, решающего проблему: в этой ситуации его часто называют Функция Альфорса из грамм, после Альфорс.^[11] Пусть 0 < M ≤ ∞ - верхняя грань ж′(а) за ж в ${displaystyle {cal {F}}}$. Выбирать ж_п в ${displaystyle {cal {F}}}$ с ж_п′(а) стремясь к M. По теореме Монтеля, переходя при необходимости к подпоследовательности, ж_п стремится к голоморфной функции ж равномерно по компактам. По теореме Гурвица ж является либо однолистным, либо постоянным. Но ж имеет ж(а) = 0 и ж′(а) > 0. Так M конечно, равно ж′(а) > 0 и ж лежит в ${displaystyle {cal {F}}}$. Осталось проверить, что конформное отображение ж берет грамм на D. Если нет, возьмите c ≠ 0 в D ж(грамм) и разреши ЧАС - голоморфный квадратный корень из (ж(z) − c)/(1 − c*ж(z)) на грамм. Функция ЧАС однозначно и карты грамм в D. Позволять F(z) = е^яθ(ЧАС(z) − ЧАС(а))/(1 − ЧАС(а)*ЧАС(z)) куда ЧАС′(а)/|ЧАС′(а)| = е^−яθ. потом F лежит в ${displaystyle {cal {F}}}$ и обычное вычисление показывает, что F′(а) = ЧАС′(а) / (1 − |ЧАС(а)|²) = ж′(а) (√|c| +√|c|⁻¹)/2 > ж′(а) = M. Это противоречит максимальности M, так что ж должен принимать все значения в D.^[12][13][14]

Замечание. Как следствие теоремы об отображении Римана, каждая односвязная область на плоскости гомеоморфна единичному кругу. Если точки опущены, это следует из теоремы. Для всей плоскости гомеоморфизм φ (z) = z/(1 + |z|) задает гомеоморфизм на D.

Отображение параллельных щелей

Теорема Кёбе об униформизации нормальных семейств также обобщается на униформизаторы ж для многосвязных областей к конечным параллельные щелевые области, где щели имеют угол θ к Икс-ось. Таким образом, если грамм - область в ℂ ∪ {∞}, содержащая ∞ и ограниченная конечным числом жордановых контуров, существует единственная однолистная функция ж на грамм с ж(z) = z⁻¹ + а₁ z + а₂ z² ⋅⋅⋅ возле ∞, максимизируя Re е ^{−2я θ} а₁ и имея имидж ж(грамм) область параллельной щели с углом θ к Икс-ось.^[15][16][17]

Первое доказательство того, что области с параллельными щелями являются каноническими областями для в многосвязном случае, было дано формулой Дэвид Гильберт в 1909 г. Дженкинс (1958) в своей книге об унивалентных функциях и конформных отображениях дал трактовку, основанную на работе Герберт Грётч и Рене де Поссель с начала 1930-х гг .; это был предшественник квазиконформные отображения и квадратичные дифференциалы, позже разработанная как техника экстремальная метрика из-за Освальд Тайхмюллер.^[18] Менахем Шиффер дал лечение, основанное на очень общих вариационные принципы, резюмированные в обращениях, которые он дал Международный конгресс математиков в 1950 и 1958 годах. В теореме о «граничной вариации» (чтобы отличить ее от «внутренней вариации») он вывел дифференциальное уравнение и неравенство, которые основывались на теоретико-мерной характеристике отрезков прямой линии Ютреда Шаттлворта Хаслама. -Джонс из 1936 года. Доказательство Хаслама-Джонса считалось трудным и только в середине 1970-х годов было дано удовлетворительное доказательство Шобером и Кэмпбеллом-Ламурё.^[19][20][21]

Шифф (1993) дал доказательство униформизации для параллельных областей щелей, которое было похоже на теорему об отображении Римана. Для упрощения обозначений будут сделаны горизонтальные разрезы. Во-первых, по Неравенство Бибербаха, любая однолистная функция грамм(z) = z + c z² + ··· с z в открытом единичном диске должно удовлетворять |c| ≤ 2. Как следствие, если ж(z) = z + а₀ + а₁ z^–1 + ··· однозначно в | z | > р, тогда | ж(z) – а₀ | ≤ 2 | z |: взять S > р, наборграмм(z) = S [ж(S/z) – б]^–1 за z в единичном диске, выбирая б так что знаменатель никуда не денется, и примените Лемма Шварца. Далее функция ж_р(z) = z + р²/z характеризуется «экстремальным условием» как единственная однолистная функция в z > р формы z + а₁ z^–1 + ··· что максимизирует Re а₁: это непосредственное следствие Теорема площади Гренвалла, применительно к семейству однолистных функций ж(z р) / р в z > 1.^[22][23]

Теперь докажем, что многосвязная область грамм ⊂ ℂ ∪ {∞} можно униформизировать с помощью конформного отображения с горизонтальной параллельной щелью ж(z) = z + а₁ z^–1 + ···, брать р достаточно большой, чтобы ∂грамм лежит в открытом диске |z| < р. За S > р, однолистность и оценка | ж(z) | ≤ 2 |z| подразумевают, что если z лежит в грамм с | z | ≤ S, тогда | ж(z) | ≤ 2S. Поскольку в семье однозначных ж локально ограничены в грамм {∞}, по теореме Монтеля они образуют нормальную семью. Кроме того, если ж_п находится в семье и стремится ж равномерно на компактах, то ж также входит в семейство, и каждый коэффициент разложения Лорана в точке ∞ ж_п стремится к соответствующему коэффициенту при ж. В частности, это относится к коэффициенту: так что по компактности однозначно ж что максимизирует Re а₁. Чтобы проверить это ж(z) = z + а₁ + ⋅⋅⋅ - требуемое преобразование параллельной щели, предположим сокращение до абсурда который ж(грамм) = грамм₁ имеет компактный и связный компонент K его границы, которая не является горизонтальной щелью. Тогда дополнение грамм₂ из K в ℂ ∪ {∞} просто связано с грамм₂ ⊃ грамм₁. По теореме об отображении Римана существует конформное отображение час(ш) = ш + б₁ ш⁻¹ + ⋅⋅⋅ такой, что час(грамм₂) составляет ℂ с удаленной горизонтальной щелью. Так час(ж(z)) = z + (а₁ + б₁)z⁻¹ + ⋅⋅⋅ и поэтому Re (а₁ + б₁) ≤ Re а₁ крайностью ж. Таким образом Re б₁ ≤ 0. С другой стороны, по теореме об отображении Римана существует конформное отображение k(ш) = ш + c₀ + c₁ ш⁻¹ + ⋅⋅⋅ из |ш| > S на грамм₂. потом ж(k(ш)) − c₀ = ш + (а₁ + c₁) ш⁻¹ + ⋅⋅⋅. По строгой максимальности для отображения щелей в предыдущем абзаце Re c₁ б₁ + c₁), так что Re б₁ > 0. Два неравенства для Re б₁ противоречивы.^[24][25][26]

Доказательство единственности конформного преобразования параллельной щели приведено в Голузин (1969) и Грунский (1978). Применяя инверсию Преобразование Жуковского час в область горизонтальной щели, можно считать, что грамм область, ограниченная единичной окружностью C₀ и содержит аналитические дуги C_я и изолированные точки (изображения другой инверсии преобразования Жуковского под другими параллельными горизонтальными щелями). Таким образом, взяв фиксированный а в грамм, есть однозначное отображение F₀(ш) = час ∘ ж (ш) = (ш - а)⁻¹ + а₁ (ш − а) + а₂(ш − а)² + ⋅⋅⋅ с изображением горизонтальной щелевой области. Предположим, что F₁(ш) еще один униформизатор с F₁(ш) = (ш - а)⁻¹ + б₁ (ш − а) + б₂(ш − а)² + ⋅⋅⋅. Изображения под F₀ или же F₁ каждого C_я иметь фиксированный у-координатными являются горизонтальные сегменты. С другой стороны F₂(ш) = F₀(ш) − F₁(ш) голоморфен в грамм. Если он постоянный, то он должен быть тождественно нулем, поскольку F₂(а) = 0. Предположим, F₂ непостоянно. Тогда по предположению F₂(C_я) все горизонтальные линии. Если т нет ни в одной из этих строк, Принцип аргумента Коши показывает, что количество решений F₂(ш) = т в грамм равен нулю (любой т в конечном итоге будет обведен контурами в грамм близко к C_яs). Это противоречит тому, что непостоянная голоморфная функция F₂ является открытое отображение.^[27]

Доказательство эскиза с помощью задачи Дирихле

Данный U и точка z₀ в U, мы хотим построить функцию ж который отображает U на единичный диск и z₀ до 0. Для этого скетча мы будем предполагать, что U ограничен, а его граница гладкая, как и у Римана. Написать

${displaystyle f(z)=(z-z_{0})e^{g(z)}}$

куда грамм = ты + iv - некоторая (подлежит определению) голоморфная функция с вещественной частью ты и мнимая часть v. Тогда ясно, что z₀ единственный ноль из ж. Мы требуем |ж(z) | = 1 для z ∈ ∂U, поэтому нам нужно

${displaystyle u(z)=-log |z-z_{0}|}$

на границе. С ты - действительная часть голоморфной функции, мы знаем, что ты обязательно гармоническая функция; т.е. удовлетворяет Уравнение Лапласа.

Тогда возникает вопрос: действительно ли действительная гармоническая функция ты существуют, что определено на всех U а есть ли данное граничное условие? Положительный ответ дает Принцип Дирихле. Когда-то существование ты было установлено, Уравнения Коши – Римана для голоморфной функции грамм позвольте нам найти v (этот аргумент зависит от предположения, что U быть просто связным). Один раз ты и v были построены, необходимо проверить, что полученная функция ж действительно обладает всеми необходимыми свойствами.^[28]

Теорема униформизации

Теорема Римана об отображении может быть обобщена на контекст Римановы поверхности: Если U непустое односвязное открытое подмножество Риманова поверхность, тогда U биголоморфно одному из следующих: Сфера Римана, C или же D. Это известно как теорема униформизации.

Теорема о гладком отображении Римана

В случае односвязной ограниченной области с гладкой границей функция отображения Римана и все ее производные продолжаются по непрерывности до замыкания области. Это можно доказать, используя свойства регулярности решений краевой задачи Дирихле, которые следуют либо из теории Соболевские пространства для плоских областей или из классическая теория потенциала. Другие методы доказательства теоремы о гладком отображении Римана включают теорию ядерных функций^[29] или Уравнение Бельтрами.

Алгоритмы

Вычислительное конформное отображение широко используется в задачах прикладного анализа и математической физики, а также в инженерных дисциплинах, таких как обработка изображений.

В начале 80-х был открыт элементарный алгоритм вычисления конформных отображений. Данные баллы ${displaystyle z_{0},ldots ,z_{n}}$ на плоскости алгоритм вычисляет явное конформное отображение единичного круга на область, ограниченную жордановой кривой ${displaystyle gamma }$ с ${displaystyle z_{0},ldots ,z_{n}in gamma .}$ Этот алгоритм сходится для регионов Иордании^[30] в смысле равномерно близких границ. Имеются соответствующие равномерные оценки на замкнутой области и замкнутом круге для отображающих функций и их обратных. Улучшенные оценки получаются, если точки данных лежат на ${displaystyle C^{1}}$ кривая или K-квазиокружность. Алгоритм был открыт как приближенный метод конформной сварки; однако его также можно рассматривать как дискретизацию Дифференциальное уравнение Лёвнера.^[31]

О численной аппроксимации конформного отображения между двумя плоскими областями известно следующее.^[32]

Положительные результаты:

• Существует алгоритм A, который вычисляет униформизирующую карту в следующем смысле. Позволять ${displaystyle Omega }$ - ограниченная односвязная область, а ${displaystyle w_{0}in Omega .}$ ∂Ω предоставляется A оракулом, представляющим его в пиксельном смысле (т. Е. Если экран разделен на ${displaystyle 2^{n} imes 2^{n}}$ пикселей, оракул может сказать, принадлежит ли каждый пиксель границе или нет). Затем A вычисляет абсолютные значения униформизирующей карты ${displaystyle phi :(Omega ,w_{0}) o (D,0)}$ с точностью ${displaystyle 2^{-n}}$ в пространстве, ограниченном ${displaystyle Ccdot n^{2}}$ и время ${displaystyle 2^{O(n)}}$, где C зависит только от диаметра ${displaystyle Omega }$ и ${displaystyle d(w_{0},partial Omega ).}$ Кроме того, алгоритм вычисляет значение φ (w) с точностью ${displaystyle 2^{-n}}$ так долго как ${displaystyle |phi (w)|<1-2^{-n}.}$ Более того, A запрашивает ∂Ω с точностью не более ${displaystyle 2^{-O(n)}.}$ В частности, если ∂Ω является полиномиальным пространством, вычислимым в пространстве ${displaystyle n^{a}}$ для некоторой постоянной ${displaystyle ageq 1}$ и время ${displaystyle T(n)<2^{O(n^{a})},}$ тогда A можно использовать для вычисления униформизирующей карты в пространстве ${displaystyle Ccdot n^{max(a,2)}}$ и время ${displaystyle 2^{O(n^{a})}.}$

• Существует алгоритм A ′, который вычисляет униформизирующее отображение в следующем смысле. Позволять ${displaystyle Omega }$ - ограниченная односвязная область, а ${displaystyle w_{0}in Omega .}$ Предположим, что для некоторых ${displaystyle n=2^{k},}$ ∂Ω дается A ′ с точностью ${displaystyle { frac {1}{n}}}$ к ${displaystyle O(n^{2})}$ пикселей. Затем A ′ вычисляет абсолютные значения униформизирующего отображения ${displaystyle phi :(Omega ,w_{0}) o (D,0)}$ в пределах ошибки ${displaystyle O(1/n)}$ в рандомизированном пространстве, ограниченном ${displaystyle O(k)}$ и многочлен времени от ${displaystyle n=2^{k}}$ (то есть по BPL (п)-машина). Кроме того, алгоритм вычисляет значение ${displaystyle phi (w)}$ с точностью ${displaystyle { frac {1}{n}}}$ так долго как ${displaystyle |phi (w)|<1-{ frac {1}{n}}.}$

Отрицательные результаты:

• Предположим, что существует алгоритм A, который для односвязной области ${displaystyle Omega }$ с вычислимой границей за линейное время, внутренним радиусом> 1/2 и числом ${displaystyle n}$ вычисляет первый ${displaystyle 20n}$ цифры конформный радиус ${displaystyle r(Omega ,0),}$ тогда мы можем использовать один вызов A для решения любого экземпляра #СИДЕЛ (п) с линейными накладными расходами по времени. Другими словами, #П поливремени сводится к вычислению конформного радиуса множества.

• Рассмотрим задачу вычисления конформного радиуса односвязной области ${displaystyle Omega ,}$ где граница ${displaystyle Omega }$ дано с точностью ${displaystyle 1/n}$ явным набором ${displaystyle O(n^{2})}$ пикселей. Обозначим задачу вычисления конформного радиуса с точностью ${displaystyle 1/n^{c}}$ к ${displaystyle CONF(n,n^{c}).}$ Потом, ${displaystyle MAJ_{n}}$ является AC0 сводится к ${displaystyle CONF(n,n^{c})}$ для любого ${displaystyle 0<c<{ frac {1}{2}}.}$

Смотрите также

• Теорема Каратеодори
• Теорема об измеримом римановом отображении
• Отображение Шварца – Кристоффеля - конформное преобразование верхней полуплоскости внутрь простого многоугольника.
• Конформный радиус

Примечания

1. Существование f эквивалентно существованию Функция Грина.
2. Видеть
   • Альфорс 1966
   • Бирдон 1979
   • Конвей 1978
   • Гамелен 2001
3. Гамелен 2001, стр. 256–257, элементарное доказательство.
4. Беренштейн и Гей 1991, стр. 86–87
5. Гамелен 2001
6. Гамелен 2001
7. Дюрен 1983
8. Яних 1993
9. Дюрен 1983
10. Яних 1993
11. Гамелен 2001, п. 309
12. Дюрен 1983
13. Яних 1993
14. Альфорс 1953, Альфорс 1966, Альфорс 1978
15. Дженкинс 1958, стр. 77–78
16. Дюрен 1980
17. Шифф 1993, стр. 162–166
18. Дженкинс 1958, стр. 77–78
19. Шобер 1975
20. Дюрен 1980
21. Дюрен 1983
22. Шифф 1993
23. Голузин 1969, стр. 210–216
24. Шифф 1993
25. Голузин 1969, стр. 210–216
26. Нехари 1952, стр. 351–358
27. Голузин 1969, стр. 214−215
28. Гамелен 2001, стр. 390–407
29. Белл 1992
30. Иорданский регион - это внутренняя часть Кривая Иордании.
31. Маршалл, Дональд Э .; Роде, Штеффен (2007). «Сходимость варианта алгоритма Зиппера для конформного отображения». Журнал SIAM по численному анализу. 45 (6): 2577. CiteSeerX  10.1.1.100.2423. Дои:10.1137/060659119.
32. Биндер, Илья; Браверман, Марк; Ямпольский, Михаил (2007). «О вычислительной сложности отображения Римана». Arkiv för Matematik. 45 (2): 221. arXiv:математика / 0505617. Bibcode:2007ArM .... 45..221B. Дои:10.1007 / s11512-007-0045-х.

Рекомендации

• Альфорс, Ларс В. (1953), Комплексный анализ. Введение в теорию аналитических функций одного комплексного переменного, Макгроу-Хилл
• Альфорс, Ларс В. (1966), Комплексный анализ. Введение в теорию аналитических функций одного комплексного переменного, Международная серия по чистой и прикладной математике (2-е изд.), McGraw-Hill
• Альфорс, Ларс В. (1978), Комплексный анализ. Введение в теорию аналитических функций одного комплексного переменного, Международная серия по чистой и прикладной математике (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN  0070006571
• Бирдон, Алан Ф. (1979), Комплексный анализ: принцип аргументации в анализе и топологии, Джон Уайли и сыновья, ISBN  0471996718
• Белл, Стивен Р. (1992), Преобразование Коши, теория потенциала и конформное отображение, Исследования по высшей математике, CRC Press, ISBN  0-8493-8270-X
• Беренштейн, Карлос А .; Гей, Роджер (1991), Комплексные переменные. Введение, Тексты для выпускников по математике, 125, Springer-Verlag, ISBN  0387973494
• Конвей, Джон Б. (1978), Функции одной комплексной переменной, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90328-3
• Конвей, Джон Б. (1995), Функции одной комплексной переменной II, Springer-Verlag, ISBN  0-387-94460-5
• Дюрен, П.Л. (1980), «Экстремальные задачи для однолистных функций», в Brannan, D.A .; Клуни, Дж. (ред.), Аспекты современного комплексного анализа, Academic Press, стр. 181–208, ISBN  9780121259501
• Дюрен, П.Л. (1983), Унивалентные функции, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 259, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90795-5
• Гамлен, Теодор В. (2001), Комплексный анализ, Тексты для бакалавриата по математике, Springer, ISBN  0-387-95069-9
• Голузин, Г. М. (1969), Геометрическая теория функций комплексного переменного, Переводы математических монографий, 26, Американское математическое общество
• Грётч, Герберт (1932), «Убер дас параллельшлитцтеорема дер конформен аббилдунг шлихтер берейхе», Berichte über die Verhandlungen der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse (на немецком), 84: 15–36, Zbl  0005.06802
• Грунский, Гельмут (1978), Лекции по теории функций в многосвязных областях, Studia Mathematica, 4, Vandenhoeck & Ruprecht, ISBN  978-3-525-40142-2
• Грей, Джереми (1994), «К истории теоремы Римана об отображении» (PDF), Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Серия II. Дополнение (34): 47–94, МИСТЕР  1295591
• Йених, Клаус (1993), Funktionentheorie. Eine Einführung, Springer-Lehrbuch (на немецком языке) (3-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  3540563377
• Дженкинс, Джеймс А. (1958), Однолистные функции и конформное отображение., Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете, 18, Springer-Verlag
• Кодаира, Кунихико (2007), Комплексный анализ, Кембриджские исследования по высшей математике, 107, Издательство Кембриджского университета, ISBN  9780521809375
• Кранц, Стивен Г. (2006), "Теорема Римана об отображении и ее обобщения", Теория геометрических функций, Биркхойзер, стр. 83–108, ISBN  0-8176-4339-7
• Нехари, Зеев (1952), Конформное отображение, Dover Publications, ISBN  9780486611372
• Осгуд, У.Ф. (1900), «О существовании функции Грина для наиболее общей просто связанной плоской области», Труды Американского математического общества, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, 1 (3): 310–314, Дои:10.2307/1986285, ISSN  0002-9947, JFM  31.0420.01, JSTOR  1986285
• де Поссель, Рене (1931), "Zum Parallelschlitztheorm unendlich- vielfach zusammenhängender Gebiete", Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (на немецком языке): 199−202
• Реммерт, Райнхольд (1998), Классические темы по теории сложных функций, Springer-Verlag, ISBN  0-387-98221-3
• Риман, Бернхард (1851), Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse (PDF) (на немецком языке), Геттинген
• Шобер, Гленн (1975), «Приложение C. Граничная вариация Шиффера и основная лемма», Универсальные функции - избранные темы, Конспект лекций по математике, 478, Springer-Verlag, стр. 181–190
• Шифф, Джоэл Л. (1993), Нормальные семьи, Университекст, Springer-Verlag, ISBN  0387979670
• Уолш, Дж. Л. (1973), "История теоремы об отображении Римана", Американский математический ежемесячник, 80: 270–276, Дои:10.2307/2318448, ISSN  0002-9890, JSTOR  2318448, МИСТЕР  0323996

внешняя ссылка

• Долженко, Е. (2001) [1994], «Теорема Римана», Энциклопедия математики, EMS Press