Теорема Морераса - Moreras theorem - Wikipedia

Если интеграл по каждому C равно нулю, то ж является голоморфный на D.

В комплексный анализ, филиал математика, Теорема Мореры, названный в честь Джачинто Морера, дает важный критерий для доказательства того, что функция является голоморфный.

Теорема Мореры утверждает, что непрерывный, сложный -значная функция ж определено на открытый набор D в комплексная плоскость это удовлетворяет

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0}$

для каждого замкнутого кусочно C¹ изгиб ${\displaystyle \gamma }$ в D должен быть голоморфным на D.

Предположение теоремы Мореры эквивалентно ж имея первообразный наD.

Обратное утверждение теоремы в общем случае неверно. Голоморфная функция не обязательно должна иметь первообразную в своей области определения, если не налагаются дополнительные предположения. Обратное верно, например, если домен односвязный; это Интегральная теорема Коши, заявив, что линейный интеграл голоморфной функции вдоль замкнутая кривая равно нулю.

Стандартный контрпример - функция ж(z) = 1/z, голоморфный на ℂ - {0}. В любой односвязной окрестности U в ℂ - {0}, 1 /z имеет первообразную, определяемую L(z) = ln (р) + iθ, куда z = повторно^iθ. Из-за двусмысленности θ с точностью до любого целого числа, кратного 2π, любой непрерывный выбор θ на U будет достаточно, чтобы определить первообразную 1 /z на U. (Дело в том, что θ не может быть определен непрерывно на простой замкнутой кривой, содержащей начало координат внутри себя, что является корнем того, почему 1 /z не имеет первообразной на всей своей области ℂ - {0}.) И поскольку производная аддитивной константы равна 0, любая константа может быть добавлена ​​к первообразной, и она по-прежнему является первообразной 1 /z.

В определенном смысле 1 /z Контрпример универсален: для каждой аналитической функции, не имеющей первообразной в области определения, причина этого в том, что 1 /z сам по себе не имеет первообразной на ℂ - {0}.

Доказательство

Интегралы по двум путям из а к б равны, так как их разность является интегралом по замкнутому контуру.

Имеется относительно элементарное доказательство теоремы. Конструируют антипроизводную для ж явно.

Без ограничения общности можно предположить, что D является связаны. Зафиксируйте точку z₀ в D, и для любого ${\displaystyle z\in D}$, позволять ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to D}$ быть кусочно C¹ кривая такая, что ${\displaystyle \gamma (0)=z_{0}}$ и ${\displaystyle \gamma (1)=z}$. Затем определите функцию F быть

${\displaystyle F(z)=\int _{\gamma }f(\zeta )\,d\zeta .}$

Чтобы убедиться, что функция определена правильно, предположим ${\displaystyle \tau :[0,1]\to D}$ еще один кусочно C¹ кривая такая, что ${\displaystyle \tau (0)=z_{0}}$ и ${\displaystyle \tau (1)=z}$. Кривая ${\displaystyle \gamma \tau ^{-1}}$ (т.е. кривая, объединяющая ${\displaystyle \gamma }$ с ${\displaystyle \tau }$ наоборот) является замкнутым кусочно C¹ кривая в D. Потом,

${\displaystyle \int _{\gamma }f(\zeta )\,d\zeta +\int _{\tau ^{-1}}f(\zeta )\,d\zeta =\oint _{\gamma \tau ^{-1}}f(\zeta )\,d\zeta =0.}$

Отсюда следует, что

${\displaystyle \int _{\gamma }f(\zeta )\,d\zeta =\int _{\tau }f(\zeta )\,d\zeta .}$

Затем, используя непрерывность ж чтобы оценить разностные коэффициенты, получаем, что F′(z) = ж(z). Если бы мы выбрали другой z₀ в D, F изменится на константу: а именно результат интегрирования ж вдоль любой кусочно-правильная кривая между новыми z₀ и старый, и это не меняет производную.

С ж - производная голоморфной функции F, он голоморфен. Тот факт, что производные голоморфных функций голоморфны, можно доказать, используя тот факт, что голоморфные функции аналитичны, то есть может быть представлен сходящимся степенным рядом, а также тем фактом, что степенной ряд может быть дифференцирован по члену. Это завершает доказательство.

Приложения

Теорема Мореры - стандартный инструмент в комплексный анализ. Он используется почти в любом рассуждении, которое включает неалгебраическое построение голоморфной функции.

Единые пределы

Например, предположим, что ж₁, ж₂, ... - последовательность голоморфных функций, сходятся равномерно к непрерывной функции ж на открытом диске. К Теорема Коши, мы знаем это

${\displaystyle \oint _{C}f_{n}(z)\,dz=0}$

для каждого п, вдоль любой замкнутой кривой C в диске. Тогда из равномерной сходимости следует, что

${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}\lim _{n\to \infty }f_{n}(z)\,dz=\lim _{n\to \infty }\oint _{C}f_{n}(z)\,dz=0}$

для каждой замкнутой кривой C, а значит, по теореме Мореры ж должен быть голоморфным. Этот факт можно использовать, чтобы показать, что для любого открытый набор Ω ⊆C, набор А(Ω) всех ограниченный, аналитические функции ты : Ω →C это Банахово пространство с уважением к верхняя норма.

Бесконечные суммы и интегралы

Теорема Мореры также может использоваться вместе с Теорема Фубини и М-тест Вейерштрасса чтобы показать аналитичность функций, определяемых суммами или интегралами, например Дзета-функция Римана

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

или Гамма-функция

${\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx.}$

В частности, показано, что

${\displaystyle \oint _{C}\Gamma (\alpha )\,d\alpha =0}$

для подходящей замкнутой кривой C, написав

${\displaystyle \oint _{C}\Gamma (\alpha )\,d\alpha =\oint _{C}\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx\,d\alpha }$

а затем используя теорему Фубини для обоснования изменения порядка интегрирования, получая

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\oint _{C}x^{\alpha -1}e^{-x}\,d\alpha \,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\oint _{C}x^{\alpha -1}\,d\alpha \,dx.}$

Тогда используется аналитичность α ↦ Икс^α−1 сделать вывод, что

${\displaystyle \oint _{C}x^{\alpha -1}\,d\alpha =0,}$

и, следовательно, указанный выше двойной интеграл равен 0. Аналогично, в случае дзета-функции M-тест оправдывает замену интеграла по замкнутой кривой и суммы местами.

Ослабление гипотез

Гипотезы теоремы Мореры могут быть значительно ослаблены. В частности, достаточно для интеграла

${\displaystyle \oint _{\partial T}f(z)\,dz}$

быть нулем для каждого замкнутого (сплошного) треугольника Т содержится в регионе D. Это на самом деле характеризует голоморфия, т.е. ж голоморфен на D тогда и только тогда, когда выполняются указанные выше условия. Отсюда также вытекает следующее обобщение отмеченного выше факта о равномерных пределах голоморфных функций: если ж₁, ж₂, ... - последовательность голоморфных функций, определенных на открытом множестве Ω ⊆C который сходится к функции ж равномерно на компактных подмножествах Ω, то ж голоморфно.

Смотрите также

• Уравнения Коши – Римана
• Способы контурной интеграции
• Остаток (комплексный анализ)
• Теорема Миттаг-Леффлера

Рекомендации

• Альфорс, Ларс (1 января 1979 г.), Комплексный анализ, Международная серия по чистой и прикладной математике, McGraw-Hill, ISBN  978-0-07-000657-7, Zbl  0395.30001.
• Конвей, Джон Б. (1973), Функции одной комплексной переменной I, Тексты для выпускников по математике, 11, Springer Verlag, ISBN  978-3-540-90328-4, Zbl  0277.30001.
• Грин, Роберт Э.; Кранц, Стивен Г. (2006), Теория функций одной комплексной переменной, Аспирантура по математике, 40, Американское математическое общество, ISBN  0-8218-3962-4
• Морера, Джачинто (1886), "Un teorema fondamentale nella teorica delle funzioni di una variabile complessa", Rendiconti del Reale Instituto Lombardo di Scienze e Lettere (на итальянском), 19 (2): 304–307, JFM  18.0338.02.
• Рудин, Вальтер (1987) [1966], Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Макгроу-Хилл, стр. xiv + 416, ISBN  978-0-07-054234-1, Zbl  0925.00005.

внешняя ссылка

• «Теорема Мореры», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Мореры». MathWorld.
• Статья EoM