Теорема Фубиниса - Fubinis theorem - Wikipedia

Для теоремы Фубини для категория, видеть Теорема Куратовского – Улама.

В математический анализ Теорема Фубини, представлен Гвидо Фубини в 1907 г., это результат, который дает условия, при которых можно вычислить двойной интеграл используя повторный интеграл. Можно изменить порядок интегрирования, если двойной интеграл дает конечный ответ, когда подынтегральное выражение заменяется его абсолютным значением.

${\displaystyle \int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y)=\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y}$

Как следствие, это позволяет порядок интеграции в некоторых повторных интегралах. Теорема Фубини подразумевает, что два повторных интеграла равны соответствующему двойному интегралу по его интегралам. Теорема Тонелли, представлен Леонида Тонелли в 1909 г. аналогична, но применяется к неотрицательной измеримой функции, а не к интегрируемой по ее области определения.

История

Частный случай теоремы Фубини для непрерывных функций на произведении замкнутых ограниченных подмножеств вещественных векторных пространств был известен Леонард Эйлер в 18 веке. Анри Лебег  (1904 ) распространил это на ограниченные измеримые функции на произведении интервалов.^[1] Леви (1906) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFLevi1906 (помощь) предположил, что теорема может быть распространена на интегрируемые, а не ограниченные функции, и это было доказано Фубини (1907).^[2] Леонида Тонелли  (1909 ) дал вариант теоремы Фубини, который применяется к неотрицательным функциям, а не к интегрируемым функциям.^[3]

Меры продукта

Если Икс и Y находятся измерять пространства с мерами есть несколько естественных способов определить мера продукта на свой продукт.

Продукт Икс×Y пространств с мерой (в смысл теории категорий ) имеет в качестве измеримых множеств σ-алгебра генерируется продуктами А×B измеримых подмножеств Икс и Y.

Мера μ на Икс×Y называется мера продукта если μ (А×B) = μ₁(А) μ₂(B) для измеримых подмножеств A⊂X и B⊂Y и меры µ₁ на Икс и µ₂ на Y. Как правило, на продукции может быть много разных мер. Икс×Y. И теорема Фубини, и теорема Тонелли нуждаются в технических условиях, чтобы избежать этого усложнения; наиболее распространенный способ - предположить, что все пространства мер σ-конечный, и в этом случае на Икс×Y. Всегда есть уникальная максимальная мера продукта на Икс×Y, где мера измеримого множества - это inf мер содержащих его множеств, которые являются счетными объединениями произведений измеримых множеств. Максимальную меру продукта можно построить, применив Теорема Каратеодори о продолжении аддитивной функции μ такой, что μ (А×B) = μ₁(А) μ₂(B) на кольце множеств, порожденных произведениями измеримых множеств. (Теорема Каратеодори о расширении дает меру на пространстве с мерой, которое, как правило, содержит больше измеримых множеств, чем пространство с мерой Икс×Y, так что, строго говоря, мера должна быть ограничена σ-алгебра генерируется продуктами А×B измеримых подмножеств Икс и Y.)

Произведение двух полные пространства мер обычно не бывает полным. Например, продукт Мера Лебега на единичном интервале я сам с собой не является мерой Лебега на квадрате я×я. Существует разновидность теоремы Фубини для полных мер, в которой используется пополнение произведения мер, а не незавершенное произведение.

Для интегрируемых функций

Предполагать Икс и Y находятся σ-конечный мерные пространства, и предположим, что X × Y дается мера продукта (которая уникальна как Икс и Y σ-конечны). Теорема Фубини утверждает, что если ж является X × Y интегрируемый, что означает, что ж это измеримая функция и

${\displaystyle \int _{X\times Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}(x,y)<\infty ,}$

тогда

${\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}$

Первые два интеграла представляют собой повторные интегралы по двум мерам соответственно, а третий - по мере произведения. Частные интегралы ${\displaystyle \int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y}$ и ${\displaystyle \int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x}$ не нужно определять везде, но это не имеет значения, поскольку точки, где они не определены, образуют набор меры 0.

Если указанный выше интеграл абсолютного значения не конечен, то два повторных интеграла могут иметь разные значения. Видеть ниже для иллюстрации этой возможности.

Условие, что Икс и Y σ-конечны, обычно безвредны, потому что на практике почти все пространства с мерой, для которых вы хотите использовать теорему Фубини, являются σ-конечными. Теорема Фубини имеет несколько довольно технических расширений на случай, когда Икс и Y не считаются σ-конечными (Фремлин 2003 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFFremlin2003 (помощь). Основная дополнительная сложность в этом случае заключается в том, что на Икс×Y. Теорема Фубини продолжает оставаться верной для максимальной меры продукта, но может не работать для других мер продукта. Например, есть мера продукта и неотрицательная измеримая функция. ж для которого двойной интеграл |ж| равен нулю, но два повторных интеграла имеют разные значения; см. ниже раздел о контрпримерах. Теорема Тонелли и теорема Фубини – Тонелли (сформулированная ниже) могут быть неверными на не σ-конечных пространствах даже для максимальной меры произведения.

Теорема Тонелли для неотрицательных измеримых функций

Теорема Тонелли (названный в честь Леонида Тонелли ) является продолжением теоремы Фубини. Заключение теоремы Тонелли идентично заключению теоремы Фубини, но предположение, что ${\displaystyle |f|}$ имеет конечный интеграл заменяется предположением, что ${\displaystyle f}$ - неотрицательная измеримая функция.

Теорема Тонелли утверждает, что если (Икс, А, μ) и (Y, B, ν) являются σ-пространства с конечной мерой, пока ж из X × Y to [0, ∞] - неотрицательная измеримая функция, то

${\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}$

Частным случаем теоремы Тонелли является перестановка сумм, как в ${\displaystyle \sum _{x}\sum _{y}a_{xy}=\sum _{y}\sum _{x}a_{xy}}$, куда ${\displaystyle a_{xy}}$ неотрицательны для всех Икс и у. Суть теоремы в том, что смена порядка суммирования сохраняется даже при расходе ряда. Фактически, единственный способ, которым изменение порядка суммирования может изменить сумму, - это когда существуют некоторые подпоследовательности, которые расходятся на ${\displaystyle +\infty }$ и другие расходятся ${\displaystyle -\infty }$. Если все элементы неотрицательны, этого не происходит в указанном примере.

Без условия σ-конечности пространств мер все три интеграла могут иметь разные значения. Некоторые авторы дают обобщения теоремы Тонелли на некоторые пространства с мерой, которые не являются σ-конечными, но эти обобщения часто добавляют условия, которые сразу же сводят проблему к σ-конечному случаю. Например, можно взять σ-алгебру на А×B быть произведением подмножеств конечной меры, а не произведением всех произведений измеримых подмножеств, хотя это имеет нежелательные последствия, так как проекции от продукта к его факторам А и B не поддаются измерению. Другой способ - добавить условие, что поддержка ж содержится в счетном объединении произведений множеств конечной меры. Фремлин (2003) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFFremlin2003 (помощь) дает некоторые довольно технические расширения теоремы Тонелли на некоторые не σ-конечные пространства. Ни одно из этих обобщений не нашло каких-либо значительных приложений вне абстрактной теории меры, в основном потому, что почти все пространства с мерой, представляющие практический интерес, σ-конечны.

Теорема Фубини – Тонелли

Объединение теоремы Фубини с теоремой Тонелли дает теорему Фубини – Тонелли (часто называемую просто теоремой Фубини), которая утверждает, что если Икс и Y находятся σ-конечная мера пробелы, а если ж измеримая функция, то

${\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}|f(x,y)|\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}(x,y)}$

Кроме того, если любой из этих интегралов конечен, то

${\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}$

Абсолютное значение ж в приведенных выше условиях может быть заменена либо положительной, либо отрицательной частью ж; эти формы включают теорему Тонелли как частный случай, поскольку отрицательная часть неотрицательной функции равна нулю и, следовательно, имеет конечный интеграл. Неформально все эти условия говорят о том, что двойной интеграл от ж хорошо определено, хотя, возможно, и бесконечно.

Преимущество теоремы Фубини – Тонелли перед теоремой Фубини состоит в том, что повторяющиеся интегралы модуля |ж| может быть легче изучить, чем двойной интеграл. Как и в теореме Фубини, единичные интегралы могут не быть определены на множестве меры 0.

Для полных мер

Приведенные выше версии теорем Фубини и Тонелли не применимы к интегрированию на произведении действительной прямой. р с самой собой с мерой Лебега. Проблема в том, что мера Лебега на р×р не является произведением меры Лебега на р с самим собой, а скорее завершение этого: произведение двух полных пространств с мерой Икс и Y в целом не полный. По этой причине иногда используются версии теоремы Фубини для полных мер: грубо говоря, все меры просто заменяются их пополнениями. Различные версии теоремы Фубини похожи на версии выше, со следующими небольшими отличиями:

• Вместо того, чтобы брать продукт Икс×Y из двух пространств с мерой берется пополнение некоторого продукта.
• Если ж является измеримым по завершении Икс×Y тогда его ограничения на вертикальные или горизонтальные линии могут быть неизмеримыми для подмножества линий с нулевой мерой, поэтому нужно учитывать возможность того, что вертикальные или горизонтальные интегралы не определены на множестве с мерой 0, потому что они включают интегрирование неизмеримых функции. Это не имеет большого значения, потому что они уже могут быть неопределенными из-за того, что функции не интегрируются.
• Обычно также предполагается, что меры по Икс и Y являются полными, в противном случае два частичных интеграла по вертикальной или горизонтальной линиям могут быть хорошо определены, но не измеримы. Например, если ж является характеристической функцией произведения измеримого множества и неизмеримого множества, содержащегося в множестве меры 0, то его единственный интеграл корректно определен всюду, но неизмерим.

Доказательства

Доказательства теорем Фубини и Тонелли обязательно носят несколько технический характер, так как они должны использовать гипотезу, связанную с σ-конечностью. Большинство доказательств включает построение полных теорем, доказывая их для все более сложных функций следующим образом.

• Шаг 1. Используйте тот факт, что мера на произведении является мерой произведения, чтобы доказать теоремы для характеристических функций прямоугольников.
• Шаг 2. Воспользуйтесь условием σ-конечности пространств (или некоторым родственным условием), чтобы доказать теорему для характеристических функций измеримых множеств. Это также относится к случаю простых измеримых функций (измеримых функций, принимающих только конечное число значений).
• Шаг 3. Используйте условие измеримости функций, чтобы доказать теоремы для положительно измеримых функций, аппроксимируя их простыми измеримыми функциями. Это доказывает теорему Тонелли.
• Шаг 4. Используйте условие интегрируемости функций, чтобы записать их как разность двух положительно интегрируемых функций, и примените теорему Тонелли к каждой из них. Это доказывает теорему Фубини.

Интегралы Римана

За Интегралы Римана, Теорема Фубини доказана путем уточнения разбиений по оси x и оси y, чтобы создать совместное разбиение формы ${\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]\times [y_{j},y_{j+1}]}$, который является разбиением над ${\displaystyle X\times Y}$. Это используется, чтобы показать, что двойные интегралы любого порядка равны интегралу по ${\displaystyle X\times Y}$.

Контрпримеры

Следующие примеры показывают, как теорема Фубини и теорема Тонелли могут потерпеть неудачу, если какая-либо из их гипотез опущена.

Несостоятельность теоремы Тонелли для не σ-конечных пространств

Предположим, что Икс - единичный интервал с измеримыми по Лебегу множествами и мерой Лебега, а Y - единичный интервал, все подмножества которого измеримы, а счетная мера, так что Y не является σ-конечным. Если ж - характеристическая функция диагонали Икс×Y, то интегрируя ж вдоль Икс дает функцию 0 на Y, но интегрируя ж вдоль Y дает функцию 1 на Икс. Таким образом, два повторных интеграла различны. Это показывает, что теорема Тонелли может не работать для пространств, которые не являются σ-конечными, независимо от того, какая мера произведения выбрана. Меры оба разложимый, показывая, что теорема Тонелли неверна для разложимых мер (которые немного более общие, чем σ-конечные меры).

Несостоятельность теоремы Фубини для немаксимальных мер произведения

Теорема Фубини верна для пространств, даже если они не считаются σ-конечными, при условии, что используется максимальная мера произведения. В приведенном выше примере для меры максимального произведения диагональ имеет бесконечную меру, поэтому двойной интеграл от |ж| бесконечно, и теорема Фубини выполняется вакуумно, но если мы дадим Икс×Y мера произведения такая, что мера множества равна сумме мер Лебега его горизонтальных сечений, то двойной интеграл от |ж| равен нулю, но два повторных интеграла по-прежнему имеют разные значения. Это дает пример меры продукта, где теорема Фубини не работает.

Это дает пример двух разных мер произведения на одном и том же произведении двух пространств мер. Для произведений двух пространств с σ-конечной мерой существует только одна мера произведения.

Несостоятельность теоремы Тонелли для неизмеримых функций

Предположим, что Икс - это первый несчетный ординал с конечной мерой, где измеримые множества либо счетны (с мерой 0), либо множества счетного дополнения (с мерой 1). (Неизмеримое) подмножество E из Икс×Икс заданные парами (Икс,у) с Икс<у исчисляется на каждой горизонтальной прямой и имеет счетное дополнение на каждой вертикальной прямой. Если ж - характеристическая функция E то два повторных интеграла от ж определены и имеют разные значения 1 и 0. Функция ж не поддается измерению. Это показывает, что теорема Тонелли может быть неверной для неизмеримых функций.

Несостоятельность теоремы Фубини для неизмеримых функций

Вариант приведенного выше примера показывает, что теорема Фубини может быть неверной для неизмеримых функций, даже если |ж| интегрируема, и оба повторяющихся интеграла корректно определены: если взять ж быть 1 на E и –1 в дополнении E, тогда |ж| интегрируема на произведении с интегралом 1, и оба повторяющихся интеграла определены корректно, но имеют разные значения 1 и –1.

Принимая гипотезу континуума, можно определить Икс с единичным интервалом я, поэтому существует ограниченная неотрицательная функция на я×я два повторных интеграла (с использованием меры Лебега) определены, но не равны. Этот пример нашел Вацлав Серпинский  (1920 ).^[4]Более сильные версии теоремы Фубини о произведении двух единичных интервалов с мерой Лебега, где функция больше не считается измеримой, а просто то, что два повторных интеграла хорошо определены и существуют, не зависят от стандартного Аксиомы Цермело – Френкеля из теория множеств. Гипотеза континуума и Аксиома мартина оба подразумевают, что существует функция на единичном квадрате, повторенные интегралы которой не равны, а Харви Фридман  (1980 ) показал, что это согласуется с ZFC, что сильная теорема типа Фубини для [0, 1] действительно верна, и всякий раз, когда существуют два повторных интеграла, они равны.^[5] Видеть Список утверждений, неразрешимых в ZFC.

Несостоятельность теоремы Фубини для неинтегрируемых функций

Теорема Фубини говорит нам, что (для измеримых функций на произведении σ-конечных пространств с мерой), если интеграл от модуля конечен, то порядок интегрирования не имеет значения; если мы проинтегрируем сначала по Икс а затем относительно у, мы получим тот же результат, что и при интегрировании сначала по у а затем относительно Икс. Предположение о конечности интеграла абсолютного значения:Интегрируемость по Лебегу ", и без него два повторяющихся интеграла могут иметь разные значения.

Простой пример, показывающий, что повторяющиеся интегралы в общем случае могут быть разными, - это принять два пространства мер как положительные целые числа и взять функцию ж(Икс,у) быть 1, если Икс=у, −1, если Икс=у+1 и 0 в противном случае. Тогда два повторяющихся интеграла имеют разные значения 0 и 1.

Другой пример для функции

${\displaystyle {\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}=-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}\arctan(y/x).}$

В повторные интегралы

${\displaystyle \int _{x=0}^{1}\left(\int _{y=0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x={\frac {\pi }{4}}}$

и

${\displaystyle \int _{y=0}^{1}\left(\int _{x=0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=-{\frac {\pi }{4}}}$

имеют разные значения. Соответствующие двойные интегралы не сходятся абсолютно (другими словами, интеграл от абсолютная величина не конечно):

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left|{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right|\,{\text{d}}y\,{\text{d}}x=\infty .}$

Смотрите также

• Принцип Кавальери (ранний частный случай)
• Формула Coarea (обобщение геометрической теории меры)
• Теорема распада (ограниченное обращение к теореме Фубини)
• Теорема Куратовского – Улама (аналог категории)
• Теорема Юнга (аналог дифференцирования)

Рекомендации

1. Лебег, Анри (1904), Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives, Париж: Готье-Виллар
2. Фубини, Гвидо (1907), "Sugli integli multipli", ПЗУ. Соотв. Л. Ренд. (5), 16 (1): 608–614, JFM  38.0343.02 Перепечатано в Фубини, Г. (1958), Opere scelte, 2, Cremonese, стр. 243–249.
3. Тонелли, Леонида (1909). "Sull'integrazione per parti". Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. (5). 18 (2): 246–253.
4. Серпинский, Вацлав (1920), "Sur un problème Concerant les ensembles mesurables superficiellement", Fundamenta Mathematicae, 1 (1): 112–115
5. Фридман, Харви (1980), «Согласованная теорема Фубини-Тонелли для неизмеримых функций», Иллинойсский журнал математики, 24 (3): 390–395, МИСТЕР  0573474

дальнейшее чтение

• ДиБенедетто, Эммануэле (2002), Реальный анализ, Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher, Бостон: Birkhäuser, Дои:10.1007/978-1-4612-0117-5, ISBN  0-8176-4231-5, МИСТЕР  1897317
• Биллингсли, Патрик (1995), "Мера продукта и теорема Фубини", Вероятность и мера, Нью-Йорк: Wiley, стр. 231–240, ISBN  0-471-00710-2
• Вейр, Алан Дж. (1973), «Теорема Фубини», Интеграция и мера Лебега, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 83–92, ISBN  0-521-08728-7

внешняя ссылка

• Кудрявцев, Л. (2001) [1994], «Теорема Фубини», Энциклопедия математики, EMS Press
• Тешл, Джеральд, Темы реального и функционального анализа, (конспект лекций)