Итерированный интеграл - Iterated integral

В многомерное исчисление, повторный интеграл это результат применения интегралы к функция из более одной переменной (Например ${\displaystyle f(x,y)}$ или же ${\displaystyle f(x,y,z)}$) таким образом, что каждый из интегралов рассматривает некоторые переменные как заданные константы. Например, функция ${\displaystyle f(x,y)}$, если ${\displaystyle y}$ считается данным параметр, можно проинтегрировать по ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle \int f(x,y)dx}$. Результат является функцией ${\displaystyle y}$ и поэтому его интеграл можно рассматривать. Если это будет сделано, результатом будет повторный интеграл

${\displaystyle \int \left(\int f(x,y)\,dx\right)\,dy.}$

Ключевым моментом в понятии повторных интегралов является то, что он в принципе отличается от кратный интеграл

${\displaystyle \iint f(x,y)\,dx\,dy.}$

В общем, хотя эти два могут быть разными, Теорема Фубини заявляет, что при определенных условиях они эквивалентны.

Альтернативное обозначение повторных интегралов

${\displaystyle \int dy\int dx\,f(x,y)}$

также используется.

В обозначениях, использующих круглые скобки, повторные интегралы вычисляются после оперативный порядок обозначается круглыми скобками, начиная с самого внутреннего интеграла снаружи. В альтернативной записи написания ${\textstyle \int dy\,\int dx\,f(x,y)}$, в первую очередь вычисляется самое вложенное подынтегральное выражение.

Примеры

Простое вычисление

Для повторного интеграла

${\displaystyle \int \left(\int (x+y)\,dx\right)\,dy}$

интеграл

${\displaystyle \int (x+y)\,dx={\frac {x^{2}}{2}}+yx}$

сначала вычисляется, а затем результат используется для вычисления интеграла относительноу.

${\displaystyle \int \left({\frac {x^{2}}{2}}+yx\right)\,dy={\frac {yx^{2}}{2}}+{\frac {xy^{2}}{2}}}$

В этом примере опущены константы интегрирования. После первого интегрирования поИкс, нам потребовалось бы строго ввести «постоянную» функцию оту. То есть, если бы мы дифференцировали эту функцию по x, любые члены, содержащие толькоу исчезнет, ​​оставив исходное подынтегральное выражение. Аналогично для второго интеграла мы бы ввели «постоянную» функцию отИкс, потому что мы интегрировали в отношенииу. Таким образом, неопределенное интегрирование не имеет большого смысла для функций нескольких переменных.

Порядок важен

Порядок, в котором вычисляются интегралы, важен в повторных интегралах, особенно когда подынтегральное выражение не является непрерывным в области интегрирования. Примеры, в которых разный порядок приводит к разным результатам, обычно относятся к таким сложным функциям, как приведенный ниже.

Пусть последовательность ${\displaystyle a_{0}=0<a_{1}<a_{2}<\cdots }$, так что ${\displaystyle a_{n}\rightarrow 1}$. Позволять ${\displaystyle g_{n}}$ - непрерывная функция, не обращающаяся в нуль на интервале ${\displaystyle (a_{n},a_{n+1})}$ и ноль в другом месте, так что ${\displaystyle \int _{0}^{1}g_{n}=1}$ для каждого ${\displaystyle n}$. Определять

${\displaystyle f(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }(g_{n}(x)-g_{n+1}(x))g_{n}(y).}$

В предыдущей сумме на каждом конкретном ${\displaystyle (x,y)}$, не более одного члена отличен от нуля. Для этой функции бывает, что

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{0}^{a_{1}}\left(\int _{0}^{a_{1}}g_{0}(x)g_{0}(y)\,dy\right)\,dx=1\neq 0=\int _{0}^{1}0\,dy=\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\right)\,dy}$^[1]

Рекомендации

1. Рудин, В., Реальный и комплексный анализ, 1970