Абсолютная конвергенция - Absolute convergence - Wikipedia

В математика, бесконечная серия числа говорят сходятся абсолютно (или быть абсолютно сходящийся) если сумма абсолютные значения слагаемых конечно. Точнее, настоящий или же сложный серии ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ говорят сходятся абсолютно если ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=L}$ для какого-то реального числа ${\displaystyle \textstyle L}$. Точно так же несобственный интеграл из функция, ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}$, говорят, сходятся абсолютно, если интеграл от модуля подынтегральной функции конечен, т. е. если ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }\left|f(x)\right|dx=L.}$

Абсолютная сходимость важна для изучения бесконечных рядов, поскольку ее определение достаточно сильное, чтобы иметь свойства конечных сумм, которыми обладают не все сходящиеся ряды, но достаточно широкое, чтобы встречаться обычно. (Сходящийся ряд, который не является абсолютно сходящимся, называется условно сходящийся.) Абсолютно сходящиеся ряды ведут себя "красиво". Например, перестановки не меняют значения суммы. Это неверно для условно сходящихся рядов: переменный гармонический ряд ${\textstyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots }$ сходится к ${\displaystyle \ln 2}$, а его перестановка ${\textstyle 1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{4}}+\cdots }$ (в котором повторяющийся образец знаков - это два положительных члена, за которыми следует один отрицательный член) сходится к ${\textstyle {\frac {3}{2}}\ln 2}$.

Фон

Можно изучить сходимость рядов ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ чьи условия а_п являются элементами произвольного абелева топологическая группа. Понятие абсолютной сходимости требует большей структуры, а именно норма, которая является положительной вещественной функцией ${\displaystyle \|\cdot \|:G\to \mathbb {R_{+}} }$ на абелевой группе грамм (написано аддитивно, с единичным элементом 0) такая, что:

1. Норма элемента идентичности грамм равно нулю: ${\displaystyle \|0\|=0.}$
2. Для каждого Икс в грамм, ${\displaystyle \|x\|=0}$ подразумевает ${\displaystyle x=0.}$
3. Для каждого Икс в грамм, ${\displaystyle \|\!-x\|=\|x\|.}$
4. Для каждого Икс, у в грамм, ${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$

В этом случае функция ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$ индуцирует структуру метрическое пространство (тип топология ) на грамм. Поэтому мы можем рассматривать грамм-значный ряд и определим такой ряд как абсолютно сходящийся, если ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\|a_{n}\|<\infty .}$

В частности, эти утверждения применяются с использованием нормы |Икс| (абсолютная величина ) в пространстве действительных или комплексных чисел.

В топологических векторных пространствах

Если Икс это топологическое векторное пространство (TVS) и ${\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ это (возможно бесчисленный ) семья в Икс тогда эта семья абсолютно суммируемый если^[1]

1. ${\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ является суммируемый в Икс (то есть, если предел ${\displaystyle \lim _{H\in {\mathcal {F}}(A)}x_{H}}$ из сеть ${\displaystyle \left(x_{H}\right)_{H\in {\mathcal {F}}(A)}}$ сходится в Икс, куда ${\displaystyle {\mathcal {F}}(A)}$ это направленный набор всех конечных подмножеств А направлено включением ${\displaystyle \subseteq }$ и ${\displaystyle x_{H}:=\sum _{i\in H}x_{i}}$), и
2. для каждой непрерывной полунормы п на Икс, семья ${\displaystyle \left(p\left(x_{\alpha }\right)\right)_{\alpha \in A}}$ суммируется в ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Если Икс является нормируемым пространством и если ${\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ это абсолютно суммируемая семья в Икс, то обязательно все, кроме счетного набора ${\displaystyle x_{\alpha }}$равны 0.

Абсолютно суммируемые семейства играют важную роль в теории ядерные пространства.

Отношение к конвергенции

Если грамм является полный по метрике d, то любой абсолютно сходящийся ряд сходится. Доказательство такое же, как и для комплекснозначных рядов: используйте полноту для вывода критерия сходимости Коши - ряд сходится тогда и только тогда, когда его хвосты можно сделать сколь угодно малыми по норме - и примените неравенство треугольника.

В частности, для серий со значениями в любых Банахово пространство, абсолютная сходимость влечет сходимость. Верно и обратное: если абсолютная сходимость влечет сходимость в нормированном пространстве, то это пространство является банаховым.

Если ряд сходится, но не абсолютно сходится, он называется условно сходящийся. Примером условно сходящегося ряда является переменный гармонический ряд. Многие стандартные тесты на расхождение и конвергенцию, в первую очередь включая тест соотношения и корневой тест, демонстрируют абсолютную сходимость. Это потому, что степенной ряд абсолютно сходится внутри своего диска сходимости.

Доказательство того, что любой абсолютно сходящийся ряд комплексных чисел сходится

Предположим, что ${\textstyle \sum |a_{k}|,a_{k}\in \mathbb {C} }$ сходится. Тогда эквивалентно ${\textstyle \sum [\mathrm {Re} (a_{k})^{2}+\mathrm {Im} (a_{k})^{2}]^{1/2}}$ сходится, откуда следует, что ${\textstyle \sum |\mathrm {Re} (a_{k})|}$ и ${\textstyle \sum |\mathrm {Im} (a_{k})|}$ сходятся путем почленного сравнения неотрицательных членов. Достаточно показать, что из сходимости этих рядов следует сходимость ${\textstyle \sum \mathrm {Re} (a_{k})}$ и ${\textstyle \sum \mathrm {Im} (a_{k})}$, тогда сходимость ${\textstyle \sum a_{k}=\sum \mathrm {Re} (a_{k})+i\sum \mathrm {Im} (a_{k})}$ следует, по определению сходимости комплекснозначных рядов.

Предыдущее обсуждение показывает, что нам нужно только доказать, что сходимость ${\textstyle \sum |a_{k}|,a_{k}\in \mathbb {R} }$ следует сходимость ${\textstyle \sum a_{k}}$.

Позволять ${\textstyle \sum |a_{k}|,a_{k}\in \mathbb {R} }$ сходиться. С ${\displaystyle 0\leq a_{k}+|a_{k}|\leq 2|a_{k}|}$, у нас есть

${\displaystyle 0\leq \sum _{k=1}^{n}(a_{k}+|a_{k}|)\leq \sum _{k=1}^{n}2|a_{k}|}$.

С ${\textstyle \sum 2|a_{k}|}$ сходится, ${\textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}(a_{k}+|a_{k}|)}$ это ограниченный монотонный последовательность частичных сумм, и ${\textstyle \sum (a_{k}+|a_{k}|)}$ также должны сходиться. Отмечая, что ${\textstyle \sum a_{k}=\sum (a_{k}+|a_{k}|)-\sum |a_{k}|}$ является разностью сходящихся рядов, мы заключаем, что это тоже сходящийся ряд, как и требовалось.

Альтернативное доказательство с использованием критерия Коши и неравенства треугольника

Применяя критерий Коши сходимости комплексного ряда, мы также можем доказать этот факт как простое следствие неравенство треугольника.^[2] Посредством Критерий Коши, ${\textstyle \sum |a_{i}|}$ сходится тогда и только тогда, когда для любого ${\displaystyle \epsilon >0}$, Существует ${\displaystyle N}$ такой, что ${\textstyle {\big |}\sum _{i=m}^{n}|a_{i}|{\big |}=\sum _{i=m}^{n}|a_{i}|<\epsilon }$ для любого ${\displaystyle n>m\geq N}$. Но из неравенства треугольника следует, что ${\textstyle {\big |}\sum _{i=m}^{n}a_{i}{\big |}\leq \sum _{i=m}^{n}|a_{i}|}$, так что ${\textstyle {\big |}\sum _{i=m}^{n}a_{i}{\big |}<\epsilon }$ для любого ${\displaystyle n>m\geq N}$, что и является критерием Коши для ${\textstyle \sum a_{i}}$.

Доказательство того, что любой абсолютно сходящийся ряд в банаховом пространстве сходится

Приведенный выше результат легко обобщается на любой случай. Банахово пространство (Икс, ǁ⋅ǁ). Позволять ∑Икс_п - абсолютно сходящийся ряд поИкс. В качестве ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|}$ это Последовательность Коши действительных чисел, для любых ε> 0 и достаточно большой натуральные числа м > п он содержит:

${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{m}\|x_{k}\|-\sum _{k=1}^{n}\|x_{k}\|\right|=\sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon .}$

По неравенству треугольника для нормы ǁ⋅ǁ, сразу получаем:

${\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{m}x_{k}-\sum _{k=1}^{n}x_{k}\right\|=\left\|\sum _{k=n+1}^{m}x_{k}\right\|\leq \sum _{k=n+1}^{m}\|x_{k}\|<\varepsilon ,}$

что обозначает ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}}$ последовательность Коши вИкс, следовательно, ряд сходится вИкс.^[3]

Перестановки и безусловная сходимость

В общем контексте грамм-значного ряда, проводится различие между абсолютной и безусловной сходимостью, и утверждение, что действительный или комплексный ряд, который не является абсолютно сходящимся, обязательно условно сходящимся (то есть не безусловно сходящимся) является теоремой, а не определением. Это обсуждается более подробно ниже.

Учитывая серию ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ со значениями в нормированной абелевой группе грамм и перестановка σ натуральных чисел строится новый ряд ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma (n)}}$, говорят, что это перестановка оригинальной серии. Сериал называется безусловно сходящийся если все перестановки ряда сходятся к одному и тому же значению.

Когда грамм полная, абсолютная сходимость влечет безусловную сходимость:

Теорема. Позволять

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=A\in G,\quad \sum _{i=1}^{\infty }\|a_{i}\|<\infty }$

и разреши σ : N → N быть перестановкой. Потом:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A.}$

Проблема обратного интересна. Для реальных рядов из Теорема Римана о перестановке эта безусловная сходимость влечет абсолютную сходимость. Поскольку ряд со значениями в конечномерном нормированном пространстве абсолютно сходится, если каждая из его одномерных проекций абсолютно сходится, отсюда следует, что абсолютная и безусловная сходимость совпадают при р^п-значная серия.

Но есть безусловно и не абсолютно сходящиеся ряды со значениями в Банахово пространство ℓ^∞, Например:

${\displaystyle a_{n}={\tfrac {1}{n}}e_{n},}$

куда ${\displaystyle \{e_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ является ортонормированным базисом. Теорема А. Дворецкий и К. А. Роджерс утверждает, что каждое бесконечномерное банахово пространство допускает безусловно сходящийся ряд, который не сходится абсолютно.^[4]

Доказательство теоремы

Для любого ε> 0 можно выбрать ${\displaystyle \kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\in \mathbb {N} }$, такое, что:

${\displaystyle {\begin{aligned}\forall N>\kappa _{\varepsilon }&\quad \sum _{n=N}^{\infty }\|a_{n}\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\\\forall N>\lambda _{\varepsilon }&\quad \left\|\sum _{n=1}^{N}a_{n}-A\right\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}}$

Позволять

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\varepsilon }&=\max \left\{\kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\right\}\\M_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \left\{\sigma ^{-1}\left(\left\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\right\}\end{aligned}}}$

Наконец-то для любого целое число ${\displaystyle N>M_{\sigma ,\varepsilon }}$ позволять

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\sigma ,\varepsilon }&=\left\{1,\ldots ,N\right\}\setminus \sigma ^{-1}\left(\left\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\\S_{\sigma ,\varepsilon }&=\min \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\L_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\end{aligned}}}$

потом

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|&=\left\|\sum _{i\in \sigma ^{-1}\left(\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\}\right)}a_{\sigma (i)}-A+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\sum _{j=S_{\sigma ,\varepsilon }}^{L_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{j}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\sum _{j=N_{\varepsilon }+1}^{\infty }\left\|a_{j}\right\|&&S_{\sigma ,\varepsilon }\geq N_{\varepsilon }+1\\&<\varepsilon \end{aligned}}}$

Это показывает, что

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists M_{\sigma ,\varepsilon },\forall N>M_{\sigma ,\varepsilon }\quad \left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|<\varepsilon ,}$

то есть:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A}$

Q.E.D.

Продукты серии

В Продукт Коши двух рядов сходится к произведению сумм, если хотя бы один ряд сходится абсолютно. То есть предположим, что

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=A}$ и ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}=B}$.

Произведение Коши определяется как сумма членов c_п куда:

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.}$

Тогда, если либо то а_п или же б_п сумма абсолютно сходится, то

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}=AB.}$

Абсолютная сходимость интегралов

В интеграл ${\displaystyle \int _{A}f(x)\,dx}$ действительной или комплексной функции называется сходятся абсолютно если ${\displaystyle \int _{A}\left|f(x)\right|\,dx<\infty .}$ Еще говорят, что ${\displaystyle f}$ является абсолютно интегрируемый. Проблема абсолютной интегрируемости сложна и зависит от того, Риман, Лебег, или же Курцвейл-Хеншток (калибровочный) интеграл; для интеграла Римана это также зависит от того, рассматриваем ли мы только интегрируемость в собственном смысле (${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle A}$ обе ограниченный ), или разрешить более общий случай несобственных интегралов.

Как стандартное свойство интеграла Римана, когда ${\displaystyle A=[a,b]}$ ограниченный интервал, каждый непрерывная функция ограничена и интегрируема (по Риману), и поскольку ${\displaystyle f}$ непрерывный подразумевает ${\displaystyle |f|}$ непрерывна, каждая непрерывная функция абсолютно интегрируема. Фактически, поскольку ${\displaystyle g\circ f}$ интегрируем по Риману на ${\displaystyle [a,b]}$ если ${\displaystyle f}$ является (правильно) интегрируемым и ${\displaystyle g}$ непрерывно, то ${\displaystyle |f|=|\cdot |\circ f}$ собственно интегрируем по Риману, если ${\displaystyle f}$ является. Однако это утверждение неверно в случае несобственных интегралов. Например, функция ${\displaystyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} ,\ \ x\mapsto x^{-1}\sin x}$ неправильно интегрируем по Риману на своей неограниченной области, но не абсолютно интегрируем:

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {1}{2}}{\big [}\pi -2\,\mathrm {Si} (1){\big ]}\approx 0.62,}$ но ${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\Big |}{\frac {\sin x}{x}}{\Big |}\,dx=\infty }$.

Действительно, в более общем плане, учитывая любую серию ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ можно рассматривать связанные ступенчатая функция ${\displaystyle f_{a}:[0,\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$ определяется ${\displaystyle f_{a}([n,n+1))=a_{n}}$. потом ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{a}\,dx}$ сходится абсолютно, сходится условно или расходится согласно соответствующему поведению ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$

Иная ситуация с интегралом Лебега, который не обрабатывает ограниченные и неограниченные области интегрирования отдельно (Смотри ниже). Тот факт, что интеграл ${\displaystyle |f|}$ неограничен в приведенных выше примерах означает, что ${\displaystyle f}$ также не интегрируема по Лебегу. Фактически, в теории интегрирования Лебега, учитывая, что ${\displaystyle f}$ является измеримый, ${\displaystyle f}$ интегрируема (по Лебегу) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle |f|}$ интегрируемо (по Лебегу). Однако гипотеза о том, что ${\displaystyle f}$ измеримость имеет решающее значение; вообще не верно, что абсолютно интегрируемые функции на ${\displaystyle [a,b]}$ интегрируемы (просто потому, что они не поддаются измерению): пусть ${\displaystyle S\subset [a,b]}$ быть неизмеримым подмножество и рассмотреть ${\displaystyle f=\chi _{S}-1/2,}$ куда ${\displaystyle \chi _{S}}$ это характеристическая функция из ${\displaystyle S}$. потом ${\displaystyle f}$ не измерима по Лебегу и, следовательно, не интегрируема, но ${\displaystyle |f|\equiv 1/2}$ является постоянной функцией и, очевидно, интегрируемой.

С другой стороны, функция ${\displaystyle f}$ может быть интегрируемым по Курцвейлю-Хенстоку (калибровочно-интегрируемым), а ${\displaystyle |f|}$ не является. Это включает случай неправильно интегрируемых по Риману функций.

В общем, на любом измерить пространство ${\displaystyle A}$, интеграл Лебега действительной функции определяется в терминах его положительной и отрицательной частей, поэтому факты:

1. ж интегрируемость влечет |ж| интегрируемый
2. ж измеримый, |ж| интегрируемый подразумевает ж интегрируемый

существенно встроены в определение интеграла Лебега. В частности, применение теории к счетная мера на набор S, восстанавливается понятие неупорядоченного суммирования рядов, разработанное Муром – Смитом с использованием (так называемых сейчас) сетей. Когда S = N - множество натуральных чисел, интегрируемость по Лебегу, неупорядоченная суммируемость и абсолютная сходимость совпадают.

Наконец, все сказанное выше верно для интегралов со значениями в банаховом пространстве. Определение банаховозначного интеграла Римана является очевидной модификацией обычного. Для интеграла Лебега нужно обойти разложение на положительные и отрицательные части с помощью уравнения Даниэля. функциональная аналитика подход, получение Интеграл Бохнера.

Смотрите также

• Сходимость рядов Фурье.
• Условная сходимость
• Способы сходимости (аннотированный указатель)
• Главное значение Коши
• Теорема Фубини
• 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · ·

Рекомендации

1. Шефер и Вольф, 1999 г. С. 179-180.
2. Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 71–72. ISBN  0-07-054235-X.
3. Меггинсон, Роберт Э. (1998), Введение в теорию банаховых пространств, Тексты для выпускников по математике, 183, Нью-Йорк: Springer-Verlag, p. 20, ISBN  0-387-98431-3 (Теорема 1.3.9)
4. Дворецкий, А .; Роджерс, К. А. (1950), "Абсолютная и безусловная сходимость в линейных нормированных пространствах", Proc. Natl. Акад. Sci. СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ. 36:192–197.

Процитированные работы

• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.

Общие ссылки

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Вальтер Рудин, Принципы математического анализа (Макгроу-Хилл: Нью-Йорк, 1964).
• Питч, Альбрехт (1972). Ядерные локально выпуклые пространства. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-05644-0. OCLC  539541.
• Робертсон, А. П. (1973). Топологические векторные пространства. Кембридж, Англия: Издательство университета. ISBN  0-521-29882-2. OCLC  589250.
• Райан, Раймонд (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств. Лондон Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  1-85233-437-1. OCLC  48092184.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-09513-6. OCLC  5126158.