Серия Тейлор - Taylor series - Wikipedia

По мере того, как степень полинома Тейлора увеличивается, он приближается к правильной функции. Это изображение показывает грех Икс и его тейлоровские приближения полиномами степени 1, 3, 5, 7, 9, 11, и 13 в Икс = 0.

В математика, то Серия Тейлор из функция является бесконечная сумма терминов, которые выражаются через функции производные в одной точке. Для большинства обычных функций функция и сумма ее ряда Тейлора в этой точке равны. Серии Тейлора названы в честь Брук Тейлор который ввел их в 1715 г.

Если ноль - это точка, в которой рассматриваются производные, ряд Тейлора также называется Серия Маклорена, после Колин Маклорен, который широко использовал этот особый случай из серии Тейлора в 18 веке.

В частичная сумма сформированный п первый член ряда Тейлора - это многочлен степени п это называется пth Полином Тейлора функции. Полиномы Тейлора - это приближения функции, которые обычно становятся лучше при п увеличивается. Теорема Тейлора дает количественные оценки ошибки, вносимой использованием таких приближений. Если ряд Тейлора функции равен сходящийся, его сумма равна предел из бесконечная последовательность полиномов Тейлора. Функция может отличаться от суммы ее ряда Тейлора, даже если ее ряд Тейлора сходится. Функция аналитический в какой-то момент Икс если он равен сумме своего ряда Тейлора по некоторой открытый интервал (или же открытый диск в комплексная плоскость ) содержащий Икс. Это означает, что функция аналитична в каждой точке интервала (или круга).

Определение

Серия Тейлора настоящий или же комплексная функция ж (Икс) то есть бесконечно дифференцируемый в настоящий или же комплексное число а это степенной ряд

${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots ,}$

куда п! обозначает факториал из п. В более компактном сигма-обозначение, это можно записать как

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n},}$

куда ж^(п)(а) обозначает пth производная из ж оценивается в момент а. (Производная нулевого порядка от ж определяется как ж сам и (Икс − а)⁰ и 0! оба определены как 1.)

Когда а = 0, серию также называют Серия Маклорена.^[1]

Примеры

Серия Тейлора для любого многочлен - это сам многочлен.

Серия Маклорена для 1/1 − Икс это геометрическая серия

${\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,}$

поэтому серия Тейлора для 1/Икс в а = 1 является

${\displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .}$

Интегрируя приведенный выше ряд Маклорена, мы находим ряд Маклорена для ln (1 - Икс), куда пер обозначает натуральный логарифм:

${\displaystyle -x-{\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{4}}x^{4}-\cdots .}$

Соответствующий ряд Тейлора для пер Икс в а = 1 является

${\displaystyle (x-1)-{\tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\tfrac {1}{4}}(x-1)^{4}+\cdots ,}$

и, в более общем плане, соответствующий ряд Тейлора для пер Икс в произвольной ненулевой точке а является:

${\displaystyle \ln a+{\frac {1}{a}}(x-a)-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\left(x-a\right)^{2}}{2}}+\cdots .}$

Серия Маклорена для экспоненциальная функция е^Икс является

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}&={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \\&=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\end{aligned}}}$

Приведенное выше разложение справедливо, поскольку производная от е^Икс относительно Икс это также е^Икс, и е⁰ равно 1. Это оставляет условия (Икс − 0)^п в числителе и п! в знаменателе для каждого члена в бесконечной сумме.

История

Греческий философ Зенон рассмотрел проблему суммирования бесконечного ряда для достижения конечного результата, но отклонил это как невозможное;^[2] результат был Парадокс Зенона. Потом, Аристотель предложил философское разрешение парадокса, но математическое содержание, по-видимому, оставалось неразрешенным, пока не было рассмотрено Архимед, как это было до Аристотеля досократическим атомистом Демокрит. Это было через Архимеда метод истощения что бесконечное количество прогрессивных подразделений может быть выполнено для достижения конечного результата.^[3] Лю Хуэй несколько столетий спустя независимо использовал аналогичный метод.^[4]

В XIV веке самые ранние примеры использования рядов Тейлора и близких к ним методов были даны Мадхава Сангамаграмы.^[5][6] Хотя никаких записей о его работах не сохранилось, более поздние работы Индийские математики предполагают, что он обнаружил ряд частных случаев из серии Тейлора, в том числе для тригонометрические функции из синус, косинус, касательная, и арктангенс. В Керальская школа астрономии и математики далее расширил свои работы с помощью различных расширений серий и рациональных приближений до 16 века.

В 17 веке Джеймс Грегори также работал в этой области и опубликовал несколько серий Маклорена. Однако только в 1715 г. был наконец предоставлен общий метод построения этих рядов для всех функций, для которых они существуют. Брук Тейлор,^[7] в честь которого теперь назван сериал.

Серия Маклорен была названа в честь Колин Маклорен, профессор из Эдинбурга, опубликовавший частный случай результата Тейлора в 18 веке.

Аналитические функции

Функция е^{(−1/Икс2)} не аналитический в Икс = 0: ряд Тейлора идентично 0, хотя функция - нет.

Основная статья: Аналитическая функция

Если ж (Икс) дается сходящимся степенным рядом в открытом диске (или интервале действительной прямой) с центром в б в комплексной плоскости это называется аналитический на этом диске. Таким образом, для Икс на этом диске, ж дается сходящимся степенным рядом

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-b)^{n}.}$

Дифференциация по Икс формула выше п раз, затем установка Икс = б дает:

${\displaystyle {\frac {f^{(n)}(b)}{n!}}=a_{n}}$

и поэтому разложение в степенной ряд согласуется с рядом Тейлора. Таким образом, функция аналитична в открытом круге с центром в б тогда и только тогда, когда его ряд Тейлора сходится к значению функции в каждой точке диска.

Если ж (Икс) равна сумме своего ряда Тейлора для всех Икс в комплексной плоскости это называется весь. Многочлены, экспоненциальная функция е^Икс, а тригонометрические функции синус и косинус являются примерами целых функций. Примеры неполных функций включают квадратный корень, то логарифм, то тригонометрическая функция касательная и обратная ей, арктан. Для этих функций ряды Тейлора не сходиться если Икс далеко от б. То есть серия Тейлора расходится в Икс если расстояние между Икс и б больше, чем радиус схождения. Ряд Тейлора можно использовать для вычисления значения всей функции в каждой точке, если значение функции и всех ее производных известно в одной точке.

Использование ряда Тейлора для аналитических функций включает:

1. Частичные суммы ( Полиномы Тейлора ) ряда можно использовать как приближение функции. Эти приближения хороши, если включено достаточно много членов.
2. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов может выполняться последовательно по каждому члену, что делает его особенно простым.
3. An аналитическая функция однозначно продолжается до голоморфная функция на открытом диске в комплексная плоскость. Это делает машины комплексный анализ имеется в наличии.
4. (Усеченный) ряд может использоваться для численного вычисления значений функции (часто путем преобразования полинома в Чебышевская форма и оценивая его с помощью Алгоритм Кленшоу ).
5. Алгебраические операции можно легко проделать с представлением степенного ряда; например, Формула Эйлера следует из разложений в ряд Тейлора для тригонометрических и экспоненциальных функций. Этот результат имеет фундаментальное значение в таких областях, как гармонический анализ.
6. Аппроксимации с использованием первых нескольких членов ряда Тейлора могут сделать неразрешимые в противном случае проблемы возможными для ограниченной области; этот подход часто используется в физике.

Ошибка аппроксимации и сходимость

Основная статья: Теорема Тейлора

Синусоидальная функция (синий цвет) близко аппроксимируется своим полиномом Тейлора степени 7 (розовый) для полного периода с центром в начале координат.

Многочлены Тейлора для ln (1 + Икс) обеспечивают только точные приближения в диапазоне −1 < Икс ≤ 1. За Икс > 1, Многочлены Тейлора более высокой степени дают худшие приближения.

Приближения Тейлора для ln (1 + Икс) (чернить). За Икс > 1, приближения расходятся.

Изображение справа - точное приближение грех Икс вокруг точки Икс = 0. Розовая кривая - многочлен седьмой степени:

${\displaystyle \sin \left(x\right)\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}.\!}$

Погрешность этого приближения не более |Икс|⁹/9!. В частности, для −1 < Икс < 1, ошибка меньше 0,000003.

Напротив, также показано изображение функции натурального логарифма. ln (1 + Икс) и некоторые из его многочленов Тейлора вокруг а = 0. Эти приближения сходятся к функции только в области −1 < Икс ≤ 1; вне этой области полиномы Тейлора более высокой степени хуже приближения для функции.

В ошибка понесенные при приближении функции ее пМногочлен Тейлора -й степени называется остаток или же остаточный и обозначается функцией р_п(Икс). Теорема Тейлора может быть использована для оценки размер остатка.

В общем, ряды Тейлора не обязательно сходящийся вообще. И на самом деле набор функций со сходящимся рядом Тейлора представляет собой скудный набор в Fréchet space из гладкие функции. И даже если ряд Тейлора функции ж сходится, его предел не обязательно должен быть равен значению функции ж (Икс). Например, функция

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$

является бесконечно дифференцируемый в Икс = 0, и там все производные равны нулю. Следовательно, ряд Тейлора ж (Икс) о Икс = 0 тождественно нулю. Тем не мение, ж (Икс) не является нулевой функцией, поэтому не равен ее ряду Тейлора вокруг начала координат. Таким образом, ж (Икс) является примером неаналитическая гладкая функция.

В реальный анализ, этот пример показывает, что есть бесконечно дифференцируемые функции ж (Икс) чьи серии Тейлора нет равно ж (Икс) даже если они сходятся. Напротив, голоморфные функции учился в комплексный анализ всегда имеют сходящийся ряд Тейлора, и даже ряд Тейлора мероморфные функции, которые могут иметь особенности, никогда не сходятся к значению, отличному от самой функции. Сложная функция е^−1/z2, однако, не приближается к 0, когда z приближается к 0 по мнимой оси, так что это не непрерывный в комплексной плоскости и его ряд Тейлора не определен в 0.

В более общем плане каждая последовательность действительных или комплексных чисел может выглядеть как коэффициенты в ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой функции, определенной на вещественной прямой, как следствие Лемма Бореля. В результате радиус схождения ряда Тейлора может быть нулевым. Существуют даже бесконечно дифференцируемые функции, определенные на вещественной прямой, ряды Тейлора которых всюду имеют радиус сходимости 0.^[8]

Функцию нельзя записать в виде ряда Тейлора с центром в необычность; в этих случаях часто все же можно добиться разложения в ряд, если допустить также отрицательные степени переменной Икс; видеть Серия Laurent. Например, ж (Икс) = е^−1/Икс2 можно записать как серию Лорана.

Обобщение

Однако есть обобщение^[9][10] ряда Тейлора, который сходится к значению самой функции для любого ограниченный непрерывная функция на (0,∞), используя исчисление конечные разности. В частности, имеется следующая теорема в силу Эйнар Хилле, что для любого т > 0,

${\displaystyle \lim _{h\to 0^{+}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {\Delta _{h}^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t).}$

Здесь Δ^п
_час это п-й конечно-разностный оператор с размером шага час. Этот ряд в точности совпадает с рядом Тейлора, за исключением того, что вместо дифференцирования появляются разделенные различия: ряд формально подобен ряду Серия Ньютон. Когда функция ж аналитический в а, члены ряда сходятся к членам ряда Тейлора и в этом смысле обобщают обычный ряд Тейлора.

В общем, для любой бесконечной последовательности а_я, выполняется тождество степенного ряда:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n!}}\Delta ^{n}a_{i}=e^{-u}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {u^{j}}{j!}}a_{i+j}.}$

Так, в частности,

${\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}e^{-{\frac {t}{h}}}\sum _{j=0}^{\infty }f(a+jh){\frac {\left({\frac {t}{h}}\right)^{j}}{j!}}.}$

Серия справа - это ожидаемое значение из ж (а + Икс), куда Икс это Распределенный по Пуассону случайная переменная что принимает значение jh с вероятностью е^−т/час·(т/час)^j/j!. Следовательно,

${\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }f(a+x)dP_{{\frac {t}{h}},h}(x).}$

В закон больших чисел означает, что тождество выполнено.^[11]

Список некоторых общих функций серии Маклорена

Смотрите также: Список математических рядов

Далее следуют несколько важных расширений серии Maclaurin.^[12] Все эти расширения действительны для сложных аргументов Икс.

Экспоненциальная функция

В экспоненциальная функция е^Икс (синим цветом), и сумма первых п + 1 члены его ряда Тейлора в 0 (красным).

В экспоненциальная функция ${\displaystyle e^{x}}$ (с базой е ) имеет серию Маклорена

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots }$.

Он сходится для всех Икс.

Натуральный логарифм

В натуральный логарифм (с базой е ) имеет серию Маклорена

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1-x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\\\ln(1+x)&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots .\end{aligned}}}$

Они сходятся для ${\displaystyle |x|<1}$. (Кроме того, серия для ln (1 - Икс) сходится для Икс = −1, а серия для ln (1 + Икс) сходится для Икс = 1.)

Геометрическая серия

В геометрическая серия и его производные имеют ряд Маклорена

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{1-x}}&=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\\{\frac {1}{(1-x)^{2}}}&=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\\{\frac {1}{(1-x)^{3}}}&=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.\end{aligned}}}$

Все сходятся для ${\displaystyle |x|<1}$. Это частные случаи биномиальный ряд приведено в следующем разделе.

Биномиальный ряд

В биномиальный ряд это степенной ряд

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}}$

коэффициенты которого являются обобщенными биномиальные коэффициенты

${\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.}$

(Если п = 0, этот продукт пустой продукт и имеет значение 1.) Он сходится при ${\displaystyle |x|<1}$ для любого действительного или комплексного числа α.

Когда α = −1, по сути, это бесконечный геометрический ряд, упомянутый в предыдущем разделе. Особые случаи α = 1/2 и α = −1/2 дай квадратный корень функция и ее обратный:

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\frac {1}{2}}&=1+{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{8}}x^{2}+{\tfrac {1}{16}}x^{3}-{\tfrac {5}{128}}x^{4}+{\tfrac {7}{256}}x^{5}-\ldots ,\\(1+x)^{-{\frac {1}{2}}}&=1-{\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {3}{8}}x^{2}-{\tfrac {5}{16}}x^{3}+{\tfrac {35}{128}}x^{4}-{\tfrac {63}{256}}x^{5}+\ldots .\end{aligned}}}$

Когда только линейный член сохраняется, это упрощает биномиальное приближение.

Тригонометрические функции

Обычный тригонометрические функции и их обратные имеют следующий ряд Маклорена:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}}$

Все углы выражены в радианы. Цифры B_k появляясь в расширениях загар Икс являются Числа Бернулли. В E_k в расширении сек Икс находятся Числа Эйлера.

Гиперболические функции

В гиперболические функции имеют ряды Маклорена, тесно связанные с рядами для соответствующих тригонометрических функций:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}\left(4^{n}-1\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\operatorname {arsinh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&&&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\operatorname {artanh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&&&&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm 1\end{aligned}}}$

Цифры B_k появляясь в сериале для танх Икс являются Числа Бернулли.

Расчет ряда Тейлора

Существует несколько методов вычисления ряда Тейлора большого числа функций. Можно попытаться использовать определение ряда Тейлора, хотя это часто требует обобщения формы коэффициентов в соответствии с очевидной закономерностью. В качестве альтернативы можно использовать такие манипуляции, как подстановка, умножение или деление, сложение или вычитание стандартных рядов Тейлора, чтобы построить ряд Тейлора функции, поскольку ряд Тейлора является степенным рядом. В некоторых случаях можно также получить ряд Тейлора, многократно применяя интеграция по частям. Особенно удобно использование системы компьютерной алгебры для расчета ряда Тейлора.

Первый пример

Чтобы вычислить полином Маклорена 7-й степени для функции

${\displaystyle f(x)=\ln(\cos x),\quad x\in \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)}$ ,

сначала можно переписать функцию как

${\displaystyle f(x)=\ln {\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )}\!}$.

Ряд Тейлора для натурального логарифма (с использованием нотация большой O )

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{O}\left(x^{4}\right)\!}$

а для косинусной функции

${\displaystyle \cos x-1=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+{O}\left(x^{8}\right)\!}$.

Разложение последнего ряда имеет нулевой постоянный срок, что позволяет подставить вторую серию в первую и легко опустить члены более высокого порядка, чем 7-я степень, используя большой О обозначение:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\ln {\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )}\\&=(\cos x-1)-{\tfrac {1}{2}}(\cos x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(\cos x-1)^{3}+{O}\left((\cos x-1)^{4}\right)\\&=\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+{O}\left(x^{8}\right)\right)-{\frac {1}{2}}\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{O}\left(x^{6}\right)\right)^{2}+{\frac {1}{3}}\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+O\left(x^{4}\right)\right)^{3}+{O}\left(x^{8}\right)\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}-{\frac {x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{48}}-{\frac {x^{6}}{24}}+O\left(x^{8}\right)\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{12}}-{\frac {x^{6}}{45}}+O\left(x^{8}\right).\end{aligned}}\!}$

Поскольку косинус - это даже функция, коэффициенты при всех нечетных степенях Икс, Икс³, Икс⁵, Икс⁷, ... должно быть равно нулю.

Второй пример

Предположим, нам нужен ряд Тейлора в 0 функции

${\displaystyle g(x)={\frac {e^{x}}{\cos x}}.\!}$

Для экспоненциальной функции

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots \!}$

и, как в первом примере,

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \!}$

Предположим, что степенной ряд равен

${\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots \!}$

Тогда умножение на знаменатель и подстановка ряда косинуса дает

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots \right)\cos x\\&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots \right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)\\&=c_{0}-{\frac {c_{0}}{2}}x^{2}+{\frac {c_{0}}{4!}}x^{4}+c_{1}x-{\frac {c_{1}}{2}}x^{3}+{\frac {c_{1}}{4!}}x^{5}+c_{2}x^{2}-{\frac {c_{2}}{2}}x^{4}+{\frac {c_{2}}{4!}}x^{6}+c_{3}x^{3}-{\frac {c_{3}}{2}}x^{5}+{\frac {c_{3}}{4!}}x^{7}+c_{4}x^{4}+\cdots \end{aligned}}\!}$

Сбор условий до четвертого порядка доходности

${\displaystyle e^{x}=c_{0}+c_{1}x+\left(c_{2}-{\frac {c_{0}}{2}}\right)x^{2}+\left(c_{3}-{\frac {c_{1}}{2}}\right)x^{3}+\left(c_{4}-{\frac {c_{2}}{2}}+{\frac {c_{0}}{4!}}\right)x^{4}+\cdots \!}$

Ценности ${\displaystyle c_{i}}$ можно найти путем сравнения коэффициентов с верхним выражением для ${\displaystyle e^{x}}$, что дает:

${\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=1+x+x^{2}+{\frac {2x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{2}}+\cdots .\!}$

Третий пример

Здесь мы используем метод, называемый «косвенное расширение», чтобы расширить данную функцию. В этом методе используется известное разложение Тейлора экспоненциальной функции. Чтобы расширить (1 + Икс)е^Икс как серию Тейлора в Икс, воспользуемся известным рядом Тейлора функции е^Икс:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots .}$

Таким образом,

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)e^{x}&=e^{x}+xe^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{n!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{n!}}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(n-1)!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n!}}+{\frac {1}{(n-1)!}}\right)x^{n}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+1}{n!}}x^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n+1}{n!}}x^{n}.\end{aligned}}}$

Ряд Тейлора как определения

Классически алгебраические функции определяются алгебраическим уравнением, а трансцендентные функции (включая те, что обсуждались выше) определяются некоторым свойством, которое выполняется для них, например дифференциальное уравнение. Например, экспоненциальная функция - функция, которая везде равна своей производной и принимает значение 1 в начале координат. Однако с равным успехом можно определить аналитическая функция своей серией Тейлора.

Ряды Тейлора используются для определения функций и "операторы "в различных областях математики. В частности, это верно в областях, где классические определения функций не работают. Например, используя ряды Тейлора, можно расширить аналитические функции на наборы матриц и операторов, такие как матричная экспонента или же матричный логарифм.

В других областях, таких как формальный анализ, удобнее работать напрямую с степенной ряд самих себя. Таким образом, можно определить решение дифференциального уравнения в качестве степенной ряд, который, как надеются доказать, является рядом Тейлора искомого решения.

Ряд Тейлора от нескольких переменных

Ряд Тейлора также может быть обобщен на функции более чем одной переменной с^[13][14]

${\displaystyle {\begin{aligned}T(x_{1},\ldots ,x_{d})&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\ldots ,a_{d})\\&=f(a_{1},\ldots ,a_{d})+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{\frac {1}{2!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}{\frac {\partial ^{2}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{3!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}\sum _{l=1}^{d}{\frac {\partial ^{3}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}\partial x_{l}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l})+\cdots \end{aligned}}}$

Например, для функции ${\displaystyle f(x,y)}$ это зависит от двух переменных, Икс и у, ряд Тейлора второго порядка о точке (а, б) является

${\displaystyle f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+{\frac {1}{2!}}{\Big (}(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b){\Big )}}$

где нижние индексы обозначают соответствующие частные производные.

Разложение в ряд Тейлора второго порядка скалярнозначной функции более чем одной переменной можно компактно записать как

${\displaystyle T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}Df(\mathbf {a} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}\left\{D^{2}f(\mathbf {a} )\right\}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots ,}$

куда D ж (а) это градиент из ж оценивается в Икс = а и D² ж (а) это Матрица Гессе. Применяя многоиндексная запись ряд Тейлора для нескольких переменных принимает вид

${\displaystyle T(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}{\alpha !}}\left({\mathrm {\partial } ^{\alpha }}f\right)(\mathbf {a} ),}$

что следует понимать как еще более сокращенный мультииндекс версия первого уравнения этого абзаца с полной аналогией для случая одной переменной.

Пример

Аппроксимация функции рядами Тейлора второго порядка (оранжевым цветом) ж (Икс,у) = е^Икс ln (1 + у) вокруг происхождения.

Чтобы вычислить разложение в ряд Тейлора второго порядка вокруг точки (а, б) = (0, 0) функции

${\displaystyle f(x,y)=e^{x}\ln(1+y),}$

сначала вычисляются все необходимые частные производные:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{y}&={\frac {e^{x}}{1+y}}\\[6pt]f_{xx}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{yy}&=-{\frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}}\\[6pt]f_{xy}&=f_{yx}={\frac {e^{x}}{1+y}}.\end{aligned}}}$

Оценка этих производных в начале координат дает коэффициенты Тейлора

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(0,0)&=0\\f_{y}(0,0)&=1\\f_{xx}(0,0)&=0\\f_{yy}(0,0)&=-1\\f_{xy}(0,0)&=f_{yx}(0,0)=1.\end{aligned}}}$

Подставляя эти значения в общую формулу

${\displaystyle {\begin{aligned}T(x,y)=&f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)\\&{}+{\frac {1}{2!}}\left((x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b)\right)+\cdots \end{aligned}}}$

производит

${\displaystyle {\begin{aligned}T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{\frac {1}{2}}{\Big (}0(x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{\Big )}+\cdots \\&=y+xy-{\frac {y^{2}}{2}}+\cdots \end{aligned}}}$

С ln (1 + у) аналитичен в |у| < 1, у нас есть

${\displaystyle e^{x}\ln(1+y)=y+xy-{\frac {y^{2}}{2}}+\cdots ,\qquad |y|<1.}$

Сравнение с рядом Фурье

Основная статья: Ряд Фурье

Тригонометрический Ряд Фурье позволяет выразить периодическая функция (или функция, определенная на закрытом интервале [а,б]) как бесконечную сумму тригонометрические функции (синусы и косинусы ). В этом смысле ряд Фурье аналогичен ряду Тейлора, поскольку последний позволяет выразить функцию в виде бесконечной суммы полномочия. Тем не менее, две серии отличаются друг от друга в нескольких важных моментах:

• Конечные усечения ряда Тейлора ж (Икс) о сути Икс = а все в точности равны ж в а. Напротив, ряд Фурье вычисляется путем интегрирования по всему интервалу, поэтому, как правило, нет такой точки, где все конечные усечения ряда являются точными.
• Вычисление ряда Тейлора требует знания функции на произвольном малом район точки, тогда как вычисление ряда Фурье требует знания функции во всей ее области определения интервал. В определенном смысле можно сказать, что ряд Тейлора «локален», а ряд Фурье - «глобален».
• Ряд Тейлора определен для функции, имеющей бесконечно много производных в одной точке, тогда как ряд Фурье определен для любой интегрируемая функция. В частности, функцию нельзя было нигде дифференцировать. (Например, ж (Икс) может быть Функция Вейерштрасса.)
• Сходимость обоих рядов имеет очень разные свойства. Даже если ряд Тейлора имеет положительный радиус сходимости, полученный ряд может не совпадать с функцией; но если функция аналитическая, то ряд сходится точечно функции, и равномерно на каждом компактном подмножестве интервала сходимости. Что касается ряда Фурье, если функция интегрируемый с квадратом то ряд сходится в среднее квадратичное, но необходимы дополнительные требования для обеспечения поточечной или равномерной сходимости (например, если функция периодическая и класса C¹ тогда сходимость равномерная).
• Наконец, на практике нужно аппроксимировать функцию конечным числом членов, скажем, многочленом Тейлора или частичной суммой тригонометрического ряда соответственно. В случае ряда Тейлора ошибка очень мала в окрестности точки, в которой она вычисляется, в то время как она может быть очень большой в удаленной точке. В случае ряда Фурье ошибка распределяется по области определения функции.

Смотрите также

• Асимптотическое разложение
• Производящая функция
• Серия Мадхава
• Интерполяция разделенной разности Ньютона
• Аппроксимация Паде
• Серия Puiseux
• Оператор сдвига

Примечания

1. Томас и Финни 1996, §8.9
2. Линдберг, Дэвид (2007). Начало западной науки (2-е изд.). Издательство Чикагского университета. п. 33. ISBN  978-0-226-48205-7.
3. Клайн, М. (1990). Математическая мысль от древних до наших дней. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр.35 –37. ISBN  0-19-506135-7.
4. Boyer, C .; Мерцбах, У. (1991). История математики (Второе исправленное изд.). Джон Уайли и сыновья. стр.202–203. ISBN  0-471-09763-2.
5. «Ни Ньютон, ни Лейбниц - Предыстория исчисления и небесной механики в средневековой Керале» (PDF). MAT 314. Колледж Канисиуса. В архиве (PDF) из оригинала от 23.02.2015. Получено 2006-07-09.
6. С. Г. Дани (2012). «Древнеиндийская математика - конспект». Резонанс. 17 (3): 236–246. Дои:10.1007 / s12045-012-0022-у.
7. Тейлор, Брук (1715). Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Прямые и обратные методы увеличения] (на латыни). Лондон. п. 21–23 (Предложение VII, Теория 3, Кор. 2). Переведено на английский язык Струик, Д. Дж. (1969). Справочник по математике 1200–1800 гг.. Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. С. 329–332.
8. Рудин, Вальтер (1980), Реальный и комплексный анализ, Нью-Дели: Макгроу-Хилл, стр. 418, упражнение 13, ISBN  0-07-099557-5
9. Феллер, Уильям (1971), Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Том 2 (3-е изд.), Wiley, стр. 230–232..
10. Хилле, Эйнар; Филлипс, Ральф С. (1957), Функциональный анализ и полугруппы, Публикации Коллоквиума AMS, 31, Американское математическое общество, стр. 300–327..
11. Феллер, Уильям (1970). Введение в теорию вероятностей и ее приложения. 2 (3-е изд.). п. 231.
12. Большинство из них можно найти в (Абрамовиц и Стегун 1970 ).
13. Ларс Хёрмандер (1990), Анализ дифференциальных операторов в частных производных, том 1, Springer, уравнение. 1.1.7 и 1.1.7 ′
14. Duistermaat; Колк (2010), Распространения: теория и приложения, Бирхаузер, гл. 6

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен А. (1970), Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами, Нью-Йорк: Dover Publications, Девятая печать
• Thomas, George B., Jr; Финни, Росс Л. (1996), Исчисление и аналитическая геометрия (9-е изд.), Эддисон Уэсли, ISBN  0-201-53174-7
• Гринберг, Майкл (1998), Высшая инженерная математика (2-е изд.), Прентис Холл, ISBN  0-13-321431-1

внешняя ссылка

• "Серия Тейлор", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Серия Тейлор". MathWorld.
• Полином Тейлора - практическое введение
• Мадхава Сангамаграммы
• "обсуждение метода Паркера-Сохацкого "
• Еще одна визуализация Тейлора - где можно выбрать точку аппроксимации и количество производных
• Возвращение к ряду Тейлора для численных методов в Численные методы для студентов STEM
• Золушка 2: расширение Тейлора
• Серия Тейлор
• Обратные тригонометрические функции Ряд Тейлора
• «Суть исчисления: серия Тейлора» - через YouTube.