Дифференциальный (математика) - Differential (mathematics)

В математика, дифференциал относится к бесконечно малый различия или к производные функций.^[1] Этот термин используется в различных разделах математики, таких как исчисление, дифференциальная геометрия, алгебраическая геометрия и алгебраическая топология.

Основные понятия

• В исчисление, то дифференциал представляет собой изменение линеаризация из функция.
  • В полный дифференциал является его обобщением для функций многих переменных.
• В традиционных подходах к исчислению дифференциалы (например. dx, dy, dtи т. д.) интерпретируются как бесконечно малые. Существует несколько методов точного определения бесконечно малых чисел, но достаточно сказать, что бесконечно малое число меньше по модулю, чем любое положительное действительное число, точно так же, как бесконечно большое число больше любого действительного числа.
• В дифференциал это другое название для Матрица якобиана из частные производные функции из р^п к р^м (особенно когда это матрица рассматривается как линейная карта ).
• В более общем плане дифференциал или продвигать относится к производной карты между гладкие многообразия и определяемые им операции прямого продвижения. Дифференциал также используется для определения двойственного понятия откат.
• Стохастическое исчисление дает представление о стохастический дифференциал и соответствующее исчисление для случайные процессы.
• В интегратор в Интеграл Стилтьеса представлен как дифференциал функции. Формально появляющийся под интегралом дифференциал ведет себя точно так же, как дифференциал: таким образом, интеграция путем замены и интеграция по частям формулы для интеграла Стилтьеса соответствуют соответственно Правило цепи и правило продукта для дифференциала.

Дифференциальная геометрия

Понятие дифференциала мотивирует несколько концепций в дифференциальная геометрия (и дифференциальная топология ).

• В дифференциал (вперед) отображения между многообразиями.
• Дифференциальные формы обеспечивают основу, которая учитывает умножение и дифференцирование дифференциалов.
• В внешняя производная - понятие дифференцирования дифференциальных форм, обобщающее дифференциал функции (которая является дифференциальная 1-форма ).
• Откат - это, в частности, геометрическое название Правило цепи для составления карты между многообразиями с дифференциальной формой на целевом многообразии.
• Ковариантные производные или дифференциалы дать общее понятие для различения векторные поля и тензорные поля на коллекторе или, в более общем смысле, на участках векторный набор: увидеть Подключение (векторный набор). В конечном итоге это приводит к общей концепции связь.

Алгебраическая геометрия

Дифференциация также важна в алгебраическая геометрия, и есть несколько важных понятий.

• Абелевы дифференциалы обычно подразумевают дифференциальные одноформные на алгебраическая кривая или Риманова поверхность.
• Квадратичные дифференциалы (которые ведут себя как «квадраты» абелевых дифференциалов) также важны в теории римановых поверхностей.
• Дифференциалы Kähler дать общее понятие дифференциала в алгебраической геометрии.

Другие значения

Период, термин дифференциал также был принят в гомологической алгебре и алгебраической топологии из-за той роли, которую внешняя производная играет в когомологиях де Рама: в коцепьевой комплекс ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$, карты (или кограничные операторы) d_я часто называют дифференциалами. Двойственно граничные операторы в цепном комплексе иногда называют кодифференциалы.

Свойства дифференциала также мотивируют алгебраические понятия происхождение и дифференциальная алгебра.

использованная литература

1. «дифференциал - определение дифференциала в английском языке по оксфордским словарям». Оксфордские словари - английский. Получено 13 апреля 2018.

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциалы». MathWorld.