Квадратичный дифференциал - Quadratic differential

В математика, а квадратичный дифференциал на Риманова поверхность это раздел симметричный квадрат голоморфного котангенсный пучок. Если раздел голоморфный, то квадратичный дифференциал называется голоморфным. Векторное пространство голоморфных квадратичных дифференциалов на римановой поверхности имеет естественную интерпретацию как кокасательное пространство к пространству модулей Римана, или Пространство Тейхмюллера.

Местная форма

Каждый квадратичный дифференциал в области ${\displaystyle U}$ в комплексная плоскость можно записать как ${\displaystyle f(z)\,dz\otimes dz}$, куда ${\displaystyle z}$ - комплексная переменная, а ${\displaystyle f}$ является комплексной функцией на ${\displaystyle U}$. Такой «локальный» квадратичный дифференциал голоморфен тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f}$ является голоморфный. Учитывая диаграмму ${\displaystyle \mu }$ для общей римановой поверхности ${\displaystyle R}$ и квадратичный дифференциал ${\displaystyle q}$ на ${\displaystyle R}$, то отступление ${\displaystyle (\mu ^{-1})^{*}(q)}$ определяет квадратичный дифференциал на области комплексной плоскости.

Связь с абелевыми дифференциалами

Если ${\displaystyle \omega }$ является абелев дифференциал на римановой поверхности, то ${\displaystyle \omega \otimes \omega }$ является квадратичным дифференциалом.

Сингулярная евклидова структура

Голоморфный квадратичный дифференциал ${\displaystyle q}$ определяет Риманова метрика ${\displaystyle |q|}$ о дополнении его нулей. Если ${\displaystyle q}$ определена в области комплексной плоскости, а ${\displaystyle q=f(z)\,dz\otimes dz}$, то ассоциированная риманова метрика есть ${\displaystyle |f(z)|(dx^{2}+dy^{2})}$, куда ${\displaystyle z=x+iy}$. С ${\displaystyle f}$ голоморфна, то кривизна этой метрики равна нулю. Таким образом, голоморфный квадратичный дифференциал определяет плоскую метрику на дополнении множества ${\displaystyle z}$ такой, что ${\displaystyle f(z)=0}$.

Рекомендации

• Курт Штребель, Квадратичные дифференциалы. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 5. Springer-Verlag, Berlin, 1984. xii + 184 с. ISBN  3-540-13035-7.
• Я. Имаёси, М. Танигучи, М. Введение в пространства Тейхмюллера. Переведено и отредактировано авторами с японской версии. Springer-Verlag, Tokyo, 1992. xiv + 279 с. ISBN  4-431-70088-9.
• Фредерик П. Гардинер, Теория Тейхмюллера и квадратичные дифференциалы. Wiley-Interscience, Нью-Йорк, 1987. xvii + 236 с. ISBN  0-471-84539-6.