Риманова поверхность - Riemann surface

Риманова поверхность для функции ж(z) = √z. Две горизонтальные оси представляют реальную и мнимую части z, а по вертикальной оси отложена действительная часть √z. Мнимая часть √z представлен окраской точек. Для этой функции это также высота после поворота графика на 180 ° вокруг вертикальной оси.

В математика, особенно в комплексный анализ, а Риманова поверхность является одномерным комплексное многообразие. Эти поверхности были впервые изучены и названы в честь Бернхард Риманн. Римановы поверхности можно рассматривать как деформированные версии комплексная плоскость: локально около каждой точки они выглядят как пятна комплексной плоскости, но глобальные топология может быть совсем другим. Например, они могут выглядеть как сфера или тор или несколько листов, склеенных между собой.

Главный интерес к римановым поверхностям заключается в том, что голоморфные функции можно определить между ними. В настоящее время римановы поверхности считаются естественной средой для изучения глобального поведения этих функций, особенно многозначные функции такой как квадратный корень и другие алгебраические функции, или логарифм.

Каждая риманова поверхность является двумерной вещественно-аналитической многообразие (т.е. поверхность ), но он содержит больше структуры (в частности, сложная структура ), который нужен для однозначного определения голоморфных функций. Двумерное вещественное многообразие можно превратить в риманову поверхность (обычно несколькими неэквивалентными способами) тогда и только тогда, когда оно ориентируемый и метризуемый. Итак, сфера и тор допускают сложные структуры, но Лента Мебиуса, Бутылка Клейна и реальная проективная плоскость не.

Геометрические факты о римановых поверхностях настолько "хороши", насколько это возможно, и часто дают интуицию и мотивацию для обобщений на другие кривые, многообразия или многообразия. В Теорема Римана – Роха является ярким примером этого влияния.

Определения

Есть несколько эквивалентных определений римановой поверхности.

Риманова поверхность Икс это связаны комплексное многообразие из сложное измерение один. Это значит, что Икс это связанный Пространство Хаусдорфа который наделен атлас из графики к открытый единичный диск из комплексная плоскость: за каждую точку Икс ∈ Икс Существует окрестности из Икс это гомеоморфный к открытому единичному диску комплексной плоскости, а карты переходов между двумя перекрывающимися диаграммами должны быть голоморфный.
Риманова поверхность - это ориентированное многообразие (реального) измерения два - двусторонний поверхность - вместе с конформная структура. Опять же, многообразие означает, что локально в любой точке Икс из Икс, пространство гомеоморфно некоторому подмножеству вещественной плоскости. Дополнение "Риман" означает, что Икс наделен дополнительной структурой, позволяющей угол измерение на коллекторе, а именно класс эквивалентности так называемых Римановы метрики. Рассмотрены две такие метрики. эквивалент если углы, которые они измеряют, одинаковы. Выбор класса эквивалентности метрик на Икс является дополнительным элементом конформной структуры.

Сложная структура порождает конформную структуру, выбирая стандартную Евклидова метрика дается на комплексной плоскости и транспортирует его в Икс с помощью графиков. Сложнее показать, что конформная структура определяет сложную структуру.^[1]

Примеры

Сфера Римана.

Тор.

В комплексная плоскость C - самая основная риманова поверхность. Карта ж(z) = z (карта идентичности) определяет диаграмму для C, и {ж} является атлас за C. Карта г(z) = z^* (в сопрягать map) также определяет диаграмму на C и {г} - это атлас для C. Графики ж и г несовместимы, поэтому это дает C с двумя различными структурами римановой поверхности. На самом деле, учитывая риманову поверхность Икс и его атлас А, сопряженный атлас B = {ж^* : ж ∈ А} никогда не совместим с А, и дает Икс с отчетливой несовместимой структурой Римана.
Аналогичным образом каждое непустое открытое подмножество комплексной плоскости естественным образом можно рассматривать как риманову поверхность. В более общем смысле, каждое непустое открытое подмножество римановой поверхности является римановой поверхностью.
Позволять S = C ∪ {∞} и пусть ж(z) = z где z в S {∞} и г(z) = 1 / z где z в S {0} и 1 / ∞ определяется как 0. Тогда ж и г диаграммы, они совместимы, и { ж, г } - это атлас для S, изготовление S в риманову поверхность. Эта конкретная поверхность называется Сфера Римана потому что это можно интерпретировать как обертывание комплексной плоскости вокруг сферы. В отличие от комплексной плоскости, это компактный.
Теория компактная риманова поверхностьs можно показать, что он эквивалентен проективному алгебраические кривые которые определены над комплексными числами и неособственны. Например, тор C/(Z + τ Z), где τ является комплексным не действительным числом, соответствует через Эллиптическая функция Вейерштрасса связанный с решетка Z + τ Z, чтобы эллиптическая кривая заданный уравнением
у² = Икс³ + а х + б.
Тори - единственные римановы поверхности род один, поверхности высших родов г предоставляются гиперэллиптические поверхности
у² = п(Икс),
где п это сложный многочлен степени 2г + 1.
Все компактные римановы поверхности являются алгебраические кривые поскольку они могут быть встроены в некоторые ${ Displaystyle mathbb {CP} ^ {п}}$ . Это следует из Теорема вложения Кодаира и тот факт, что на любой комплексной кривой существует положительное линейное расслоение.^[2]
Важными примерами некомпактных римановых поверхностей являются аналитическое продолжение.

ж(z) = arcsin z
ж(z) = журнал z
ж(z) = z^1/2
ж(z) = z^1/3
ж(z) = z^1/4

Дополнительные определения и свойства

Как и любое отображение между комплексными многообразиями, функция ж: M → N между двумя римановыми поверхностями M и N называется голоморфный если для каждого графика г в атлас из M и каждый график час в атласе N, карта час ∘ ж ∘ г⁻¹ голоморфна (как функция от C к C) везде, где это определено. Композиция двух голоморфных отображений голоморфна. Две римановы поверхности M и N называются биголоморфный (или конформно эквивалентный чтобы подчеркнуть конформную точку зрения), если существует биективный голоморфная функция из M к N обратное к которому также голоморфно (последнее условие оказывается автоматическим и поэтому его можно опустить). Две конформно эквивалентные римановы поверхности для всех практических целей идентичны.

Ориентируемость

Каждая риманова поверхность, будучи комплексным многообразием, является ориентируемый как реальный коллектор. Для сложных графиков ж и г с функцией перехода час = ж(г⁻¹(z)), час можно рассматривать как карту из открытого набора р² к р² чья Якобиан в точке z это просто реальная линейная карта, полученная умножением на комплексное число час'(z). Однако настоящая детерминант умножения на комплексное число α равно |α|², поэтому якобиан час имеет положительный определитель. Следовательно, комплексный атлас - это ориентированный атлас.

Функции

Каждая некомпактная риманова поверхность допускает непостоянные голоморфные функции (со значениями в C). Фактически всякая некомпактная риманова поверхность является Коллектор Штейна.

Напротив, на компактной римановой поверхности Икс каждая голоморфная функция со значениями в C постоянно из-за принцип максимума. Однако всегда существуют непостоянные мероморфные функции (голоморфные функции со значениями в Сфера Римана C ∪ {∞}). Точнее, функциональное поле из Икс конечный расширение из C(т) поле функции от одной переменной, т.е. любые две мероморфные функции алгебраически зависимы. Это утверждение распространяется на более высокие измерения, см. Сигель (1955). Мероморфные функции могут быть заданы довольно явно в терминах Римана тета-функции и Карта Абеля – Якоби поверхности.

Аналитический против алгебраического

Существование непостоянных мероморфных функций позволяет показать, что любая компактная риманова поверхность является проективное разнообразие, т.е. может быть задано как многочлен уравнения внутри проективное пространство. На самом деле можно показать, что любую компактную риманову поверхность можно встроенный в комплексное проективное 3-пространство. Это удивительная теорема: римановы поверхности задаются диаграммами с локальными заплатами. Если добавить одно глобальное условие, а именно компактность, поверхность обязательно будет алгебраической. Эта особенность римановых поверхностей позволяет изучать их либо средствами аналитический или алгебраическая геометрия. Соответствующее утверждение для многомерных объектов неверно, т.е. существуют компактные комплексные 2-многообразия, которые не являются алгебраическими. С другой стороны, всякое проективное комплексное многообразие обязательно алгебраично, см. Теорема Чоу.

В качестве примера рассмотрим тор Т := C/(Z + τ Z). Функция Вейерштрасса ${ Displaystyle WP _ { тау} (г)}$ принадлежащий решетке Z + τ Z это мероморфная функция на Т. Эта функция и ее производная ${ Displaystyle WP _ { тау} '(г)}$ генерировать функциональное поле Т. Есть уравнение

{ displaystyle [ wp '(z)] ^ {2} = 4 [ wp (z)] ^ {3} -g_ {2} wp (z) -g_ {3},}

где коэффициенты г₂ и г₃ зависят от τ, давая эллиптическую кривую E_τ в смысле алгебраической геометрии. Обратное изменение достигается j-инвариантный j(E), по которому можно определить τ а значит, тор.

Классификация римановых поверхностей.

Множество всех римановых поверхностей можно разделить на три подмножества: гиперболические, параболические и эллиптические римановы поверхности. Геометрически они соответствуют поверхностям с отрицательной, исчезающей или положительной постоянной. секционная кривизна. То есть каждая связная риманова поверхность ${ displaystyle X}$ допускает уникальный полный 2-мерный реальный Метрика Римана с постоянной кривизной, равной ${ displaystyle -1,0}$ или ${ displaystyle 1}$ который принадлежит к конформному классу римановых метрик, определяемых его структурой как римановой поверхности. Это можно рассматривать как следствие существования изотермические координаты.

В комплексных аналитических терминах Пуанкаре – Кебе теорема униформизации (обобщение Теорема римана отображения ) утверждает, что каждая односвязная риманова поверхность конформно эквивалентна одному из следующих утверждений:

Сфера Римана ${ displaystyle { widehat { mathbf {C}}}: = mathbf {C} cup { infty }}$ , который изоморфен ${ Displaystyle mathbf {P} ^ {1} ( mathbf {C})}$ ;
Комплексная плоскость ${ displaystyle mathbf {C}}$ ;
В открытый диск ${ Displaystyle mathbf {D}: = {z in mathbf {C}: | z | <1 }}$ который изоморфен верхняя полуплоскость ${ Displaystyle mathbf {H}: = {z in mathbf {C}: mathrm {Im} (z)> 0 }}$ .

Риманова поверхность бывает эллиптической, параболической или гиперболической в зависимости от того, универсальный чехол изоморфен ${ Displaystyle mathbf {P} ^ {1} ( mathbf {C})}$ , ${ displaystyle mathbf {C}}$ или ${ displaystyle mathbf {D}}$ . Элементы в каждом классе допускают более точное описание.

Эллиптические римановы поверхности

Сфера Римана ${ Displaystyle mathbf {P} ^ {1} ( mathbf {C})}$ единственный пример, так как нет группа играет роль на нем биголоморфными преобразованиями свободно и правильно прерывисто а значит, любая риманова поверхность, универсальное покрытие которой изоморфно ${ Displaystyle mathbf {P} ^ {1} ( mathbf {C})}$ сам должен быть ему изоморфен.

Параболические римановы поверхности

Если ${ displaystyle X}$ является римановой поверхностью, универсальное покрытие которой изоморфно комплексной плоскости ${ displaystyle mathbf {C}}$ то она изоморфна одной из следующих поверхностей:

${ displaystyle mathbf {C}}$ сам;
Частное ${ Displaystyle mathbf {C} / mathbf {Z}}$ ;
Частное ${ Displaystyle mathbf {C} / ( mathbf {Z} + mathbf {Z} tau)}$ где ${ displaystyle tau in mathbf {C}}$ с ${ Displaystyle mathrm {Im} ( тау)> 0}$ .

Топологически их всего три типа: плоскость, цилиндр и тор. Но в то время как в двух первых случаях (параболическая) структура римановой поверхности уникальна, варьируя параметр ${ Displaystyle тау}$ в третьем случае дает неизоморфные римановы поверхности. Описание по параметру ${ Displaystyle тау}$ дает Пространство Тейхмюллера «помеченных» римановых поверхностей (в дополнение к структуре римановой поверхности добавляются топологические данные «разметки», которые можно рассматривать как фиксированный гомеоморфизм к тору). Для получения аналитического пространство модулей (забывая маркировку), мы берем фактор пространства Тейхмюллера по группа классов отображения. В данном случае это модульная кривая.

Гиперболические римановы поверхности

В остальных случаях ${ displaystyle X}$ является гиперболической римановой поверхностью, которая изоморфна фактору верхней полуплоскости по Фуксова группа (это иногда называют Фуксова модель для поверхности). Топологический тип ${ displaystyle X}$ может быть любой ориентируемой поверхностью, кроме тор и сфера.

Особый интерес представляет случай, когда ${ displaystyle X}$ компактный. Тогда его топологический тип описывается его родом ${ displaystyle g geq 2}$ . Его пространство Тейхмюллера и пространство модулей равны ${ displaystyle 6g-6}$ -размерный. Можно дать аналогичную классификацию римановых поверхностей конечного типа (гомеоморфных замкнутой поверхности без конечного числа точек). Однако в целом пространство модулей римановых поверхностей бесконечного топологического типа слишком велико, чтобы допускать такое описание.

Карты между римановыми поверхностями

Геометрическая классификация отражена в картах между римановыми поверхностями, как подробно описано в Теорема Лиувилля и Маленькая теорема Пикара: преобразования из гиперболического в параболический в эллиптический просты, но преобразования из эллиптического в параболический или из параболического в гиперболический очень ограничены (действительно, обычно постоянны!). В сфере есть включения диска в плоскости: ${ displaystyle Delta subset mathbf {C} subset { widehat { mathbf {C}}},}$ но любое голоморфное отображение из сферы в плоскость постоянно, любое голоморфное отображение из плоскости в единичный круг постоянно (теорема Лиувилля), и фактически любое голоморфное отображение из плоскости в плоскость за вычетом двух точек постоянно (Маленький Пикард теорема)!

Проколотые сферы

Эти утверждения поясняются рассмотрением типа сферы Римана ${ displaystyle { widehat { mathbf {C}}}}$ с рядом проколов. Без проколов это сфера Римана, которая имеет эллиптическую форму. С одним проколом, который может быть размещен на бесконечности, это комплексная плоскость, которая является параболической. При двух проколах это параболическая плоскость или, альтернативно, кольцевое пространство или цилиндр. При трех и более проколах он гиперболический - сравните пара штанов. Можно отобразить от одного прокола до двух с помощью экспоненциального отображения (которое является целым и имеет существенную особенность на бесконечности, поэтому не определяется на бесконечности и пропускает ноль и бесконечность), но все отображает от нуля проколов до одного или нескольких, или от одного-двух проколов до трех и более - постоянны.

Разветвленные накрытия

Продолжая в том же духе, компактные римановы поверхности могут отображаться на поверхности ниже род, но не к выше род, за исключением постоянных карт. Это потому, что голоморфные и мероморфные отображения ведут себя локально как ${ Displaystyle г mapsto г ^ {п},}$ поэтому непостоянные карты разветвленные карты покрытия, а для компактных римановых поверхностей они ограничены Формула Римана – Гурвица в алгебраическая топология, что связывает Эйлерова характеристика пространства и разветвленной крышки.

Например, гиперболические римановы поверхности - это разветвленные перекрытия сферы (они имеют непостоянные мероморфные функции), но сфера не покрывает и не отображается как-либо иначе на поверхности более высокого рода, кроме как в качестве константы.

Изометрии римановых поверхностей

В группа изометрии униформизированной римановой поверхности (эквивалентно конформной группа автоморфизмов ) отражает его геометрию:

род 0 - группа изометрий сферы Группа Мебиуса проективных преобразований комплексной прямой,
группа изометрий плоскости - это подгруппа фиксирующая бесконечность, а проколотой плоскости - подгруппа, оставляющая инвариантным множество, содержащее только бесконечность и ноль: либо фиксируя их обе, либо меняя их местами (1 /z).
группа изометрии верхняя полуплоскость - действительная группа Мёбиуса; это сопряжено с группой автоморфизмов диска.
род 1 - группа изометрий тора в общих переводах (как Абелева разновидность ), хотя квадратная решетка и гексагональная решетка обладают симметрией сложения от поворота на 90 ° и 60 °.
Для рода г ≥ 2, группа изометрий конечна и имеет порядок не выше 84 (г−1), по Теорема об автоморфизмах Гурвица; поверхности, реализующие эту оценку, называются Поверхности Гурвица.
Известно, что всякая конечная группа может быть реализована как полная группа изометрий некоторой римановой поверхности.^[3]
- Для рода 2 порядок максимизируется Поверхность Больца, с заказом 48.
- Для рода 3 порядок максимизируется Кляйн квартика, с заказом 168; это первая поверхность Гурвица, и ее группа автоморфизмов изоморфна единственной простая группа порядка 168, которая является второй по величине неабелевой простой группой. Эта группа изоморфна обоим PSL (2,7) и PSL (3,2).
- Для рода 4 Принесите поверхность является высокосимметричной поверхностью.
- Для рода 7 порядок максимизируется Поверхность Macbeath, с заказом 504; это вторая поверхность Гурвица, и ее группа автоморфизмов изоморфна PSL (2,8), четвертой по величине неабелевой простой группе.

Теоретико-функциональная классификация

Приведенная выше схема классификации обычно используется геометрами. Существует другая классификация римановых поверхностей, которая обычно используется комплексными аналитиками. В нем используются разные определения «параболического» и «гиперболического». В этой альтернативной схеме классификации риманова поверхность называется параболический если на поверхности нет непостоянных отрицательных субгармонических функций, иначе называется гиперболический.^[4]^[5] Этот класс гиперболических поверхностей далее подразделяется на подклассы в зависимости от того, являются ли функциональные пространства, отличные от отрицательных субгармонических функций, вырожденными, например Римановы поверхности, на которых все ограниченные голоморфные функции постоянны, или на которых все ограниченные гармонические функции постоянны, или на которых все положительные гармонические функции постоянны, и т. Д.

Чтобы избежать путаницы, классификацию, основанную на показателях постоянной кривизны, назовите геометрическая классификация, и основанный на вырожденности функциональных пространств теоретико-функциональная классификация. Например, риманова поверхность, состоящая из «всех комплексных чисел, кроме 0 и 1», является параболической в теоретико-функциональной классификации, но гиперболической в геометрической классификации.

Смотрите также

Примечания

^ См. (Йост2006, Гл. 3.11) для построения соответствующей сложной конструкции.
^ Ноллет, Скотт. "ТЕОРЕМА КОДАЙРЫ И УПЛОТНЕНИЕ МОДУЛИ ПРОСТРАНСТВА МАМФОРДА Mg" (PDF).
^ Гринберг, Л. (1974). «Максимальные группы и подписи». Разрывные группы и римановы поверхности: материалы конференции 1973 г. в Университете Мэриленда. Анна. Математика. Исследования. 79. С. 207–226. ISBN 0691081387.
^ Альфорс, Ларс; Сарио, Лео (1960), Римановы поверхности (1-е изд.), Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, п. 204
^ Родин, Бертон; Сарио, Лео (1968), Основные функции (1-е изд.), Принстон, Нью-Джерси: D. Von Nostrand Company, Inc., п. 199, ISBN 9781468480382

использованная литература

Farkas, Hershel M .; Кра, Ирвин (1980), Римановы поверхности (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90465-8
Пабло Арес Гастези, Книга поверхностей Римана.
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Г-Н 0463157, OCLC 13348052, особенно Глава IV.
Йост, Юрген (2006), Компактные римановы поверхности, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 208–219, ISBN 978-3-540-33065-3
Пападопулос, Атанас, изд. (2007), Справочник по теории Тейхмюллера. Vol. я, ИРМА Лекции по математике и теоретической физике, 11, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, Дои:10.4171/029, ISBN 978-3-03719-029-6, Г-Н 2284826, S2CID 119593165
Лотон, Шон; Петерсон, Элиша (2009), Пападопулос, Атанас (ред.), Справочник по теории Тейхмюллера. Vol. II, ИРМА Лекции по математике и теоретической физике, 13, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, arXiv:математика / 0511271, Дои:10.4171/055, ISBN 978-3-03719-055-5, Г-Н 2524085, S2CID 16687772
Пападопулос, Атанас, изд. (2012), Справочник по теории Тейхмюллера. Vol. III, ИРМА Лекции по математике и теоретической физике, 19, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, Дои:10.4171/103, ISBN 978-3-03719-103-3
Сигель, Карл Людвиг (1955), "Meromorphe Funktionen auf kompakten analytischen Mannigfaltigkeiten", Nachrichten der Akademie der Wissenschaften в Геттингене. II. Mathematisch-Physikalische Klasse, 1955: 71–77, ISSN 0065-5295, Г-Н 0074061
Вейль, Германн (2009) [1913], Понятие римановой поверхности (3-е изд.), Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47004-7, Г-Н 0069903

внешняя ссылка

[1] См. (Йост2006, Гл. 3.11) для построения соответствующей сложной конструкции.

[2] Ноллет, Скотт. "ТЕОРЕМА КОДАЙРЫ И УПЛОТНЕНИЕ МОДУЛИ ПРОСТРАНСТВА МАМФОРДА Mg" (PDF).

[3] Гринберг, Л. (1974). «Максимальные группы и подписи». Разрывные группы и римановы поверхности: материалы конференции 1973 г. в Университете Мэриленда. Анна. Математика. Исследования. 79. С. 207–226. ISBN 0691081387.

[4] Альфорс, Ларс; Сарио, Лео (1960), Римановы поверхности (1-е изд.), Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, п. 204

[5] Родин, Бертон; Сарио, Лео (1968), Основные функции (1-е изд.), Принстон, Нью-Джерси: D. Von Nostrand Company, Inc., п. 199, ISBN 9781468480382

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]