Теорема Биркгофа – Гротендика - Birkhoff–Grothendieck theorem

В математика, то Теорема Биркгофа – Гротендика классифицирует голоморфный векторные пакеты над комплексом проективная линия. В частности, каждое голоморфное векторное расслоение над ${displaystyle mathbb {CP} ^{1}}$ является прямой суммой голоморфных линейные пакеты. Теорема была доказана Александр Гротендик  (1957, Теорема 2.1),^[1] и более или менее эквивалентен Факторизация Биркгофа представлен Джордж Дэвид Биркофф  (1909 ).^[2]

утверждение

Точнее, формулировка теоремы такова.

Каждые голоморфное векторное расслоение ${displaystyle {mathcal {E}}}$ на ${displaystyle mathbb {CP} ^{1}}$ голоморфно изоморфно прямой сумме линейных расслоений:

${displaystyle {mathcal {E}}cong {mathcal {O}}(a_{1})oplus cdots oplus {mathcal {O}}(a_{n}).}$

Из обозначений следует, что каждое слагаемое является Серр твист некоторое количество раз тривиальная связка. Представление уникально с точностью до перестановочных факторов.

Обобщение

Тот же результат верен в алгебраической геометрии для алгебраическое векторное расслоение над ${displaystyle mathbb {P} _{k}^{1}}$ для любого поля ${displaystyle k}$.^[3]Это также верно для ${displaystyle mathbb {P} ^{1}}$ с одной или двумя точками орбифолда, а также для цепочек проективных прямых, пересекающихся по узлам.^[4]

Приложения

Одним из приложений этой теоремы является классификация всех когерентных пучков на ${displaystyle mathbb {CP} ^{1}}$. У нас есть два случая: векторные расслоения и когерентные пучки с носителями вдоль подмногообразия, поэтому ${displaystyle {mathcal {O}}(k),{mathcal {O}}_{np}}$ где n - степень жирности точки в ${displaystyle x}$. Поскольку единственными подмногообразиями являются точки, мы имеем полную классификацию когерентных пучков.

Смотрите также

• Алгебраическая геометрия проективных пространств
• Последовательность Эйлера
• Принцип разделения
• K-теория
• Линия прыжка

использованная литература

1. Гротендик, Александр (1957). "Сюр ла классификация голоморфных волокон по сфер де Римана". Американский журнал математики. 79 (1): 121–138. Дои:10.2307/2372388. JSTOR  2372388.
2. Биркофф, Джордж Дэвид (1909). «Особые точки обыкновенных линейных дифференциальных уравнений». Труды Американского математического общества. 10 (4): 436–470. Дои:10.2307/1988594. ISSN  0002-9947. JFM  40.0352.02. JSTOR  1988594.
3. Хазевинкель, Михиэль; Мартин, Клайд Ф. (1982). «Краткое элементарное доказательство теоремы Гротендика об алгебраических векторных расслоениях над проективной прямой». Журнал чистой и прикладной алгебры. 25 (2): 207–211. Дои:10.1016/0022-4049(82)90037-8.
4. Мартенс, Йохан; Фаддей, Майкл (2016). «Вариации на тему Гротендика». Compositio Mathematica. 152: 62–98. arXiv:1210.8161. Bibcode:2012arXiv1210.8161M. Дои:10.1112 / S0010437X15007484. S2CID  119716554.

дальнейшее чтение

• Оконек, Ц .; Schneider, M .; Шпиндлер, Х. (1980). Векторные расслоения на комплексных проективных пространствах. Успехи в математике. Birkhäuser.