Такнод - Tacnode

Такнод в начале кривой, определяемой (Икс²+у² −3Икс)²−4Икс²(2-х) = 0

В классическая алгебраическая геометрия, а такнод (также называемый точка касания или же двойной куспид)^[1] это своего рода особая точка кривой. Он определяется как точка, в которой два (или более) соприкасающиеся круги к кривой в этой точке касательная. Это означает, что две ветви кривой имеют обычное касание в двойной точке.^[1]

Канонический пример:

${\displaystyle y^{2}-x^{4}=0.}$

Так узел произвольной кривой может быть определен в этом примере как точка самокасания. локально диффеоморфный в точку в начале этой кривой. Другой пример такнодомен кривая ссылок показано на рисунке, с уравнением

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-3x)^{2}-4x^{2}(2-x)=0.}$

Более общий фон

Рассмотрим гладкий функция с действительным знаком из двух переменные, сказать ж(Икс, у) куда Икс и у находятся действительные числа. Так ж - функция от плоскости к прямой. Пространство всех таких гладких функций есть действовал на группа из диффеоморфизмы плоскости и диффеоморфизмы прямой, т. е. диффеоморфные замены координировать в обоих источник и цель. Это действие разбивает все функциональное пространство вверх в классы эквивалентности, т.е. орбиты группового действия.

Одно такое семейство классов эквивалентности обозначается через А_k^±, куда k неотрицательный целое число. Это обозначение было введено В. И. Арнольд. Функция ж считается типом А_k^± если он находится на орбите Икс² ± у^k+1, т.е. существует диффеоморфное изменение координаты источника и цели, которое принимает ж в одну из этих форм. Эти простые формы Икс² ± у^k+1 говорят, дают нормальные формы для типа А_k^± -особенности.

Кривая с уравнением ж = 0 будет иметь тактовый узел, скажем, в начале координат, если и только если ж имеет тип А₃⁻-особенность в начале координат.

Обратите внимание, что узел (Икс² − у² = 0) соответствует типу А₁⁻-особенность. Такноде соответствует типу А₃⁻-особенность. Фактически каждый тип А_2п+1⁻-особенность, где п ≥ 0 - целое число, соответствует кривой с самопересечением. В качестве п увеличивается порядок самопересечения увеличивается: поперечное пересечение, обычное касание и т. д.

Тип А_2п+1⁺-особенности не представляют интереса по сравнению с действительными числами: все они дают изолированную точку. Над типом комплексных чисел А_2п+1⁺-особенности и тип А_2п+1⁻-особенности эквивалентны: (Икс,у) → (Икс, иу) дает требуемый диффеоморфизм нормальных форм.

Смотрите также

• Acnode
• Куспид или же Spinode
• Crunode

Рекомендации

1. Шварцман, Стивен (1994), The Words of Mathematics: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке, МАА Спектр, Математическая ассоциация Америки, п. 217, ISBN  978-0-88385-511-9.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Такноде". MathWorld.