Функциональное пространство - Function space

В математика, а функциональное пространство это набор из функции между двумя фиксированными наборами. Часто домен и / или codomain будут дополнительные структура который наследуется функциональным пространством. Например, набор функций из любого набора Икс в векторное пространство имеет естественный структура векторного пространства задается точечно сложение и скалярное умножение. В других сценариях функциональное пространство может наследовать топологический или же метрика структура, отсюда и название функция Космос.

В линейной алгебре

Смотрите также: Векторное пространство § Функциональные пространства

Сложение функций: сумма синуса и экспоненциальной функции равна ${\displaystyle \sin +\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ с ${\displaystyle (\sin +\exp )(x)=\sin(x)+\exp(x)}$

Позволять V быть векторным пространством над поле F и разреши Икс быть любым набором. Функции Икс → V можно задать структуру векторного пространства над F где операции определены поточечно, т.е. для любых ж, грамм : Икс → V, любой Икс в Икс, и любые c в F, определять

${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(c\cdot f)(x)&=c\cdot f(x)\end{aligned}}}$

Когда домен Икс имеет дополнительную структуру, вместо этого можно рассмотреть подмножество (или же подпространство ) всех таких функций, которые уважают эту структуру. Например, если Икс также является векторным пространством над F, набор линейные карты Икс → V сформировать векторное пространство над F с поточечными операциями (часто обозначаются Hom (Икс,V)). Одно из таких мест - двойное пространство из V: набор линейные функционалы V → F со сложением и скалярным умножением, определенными поточечно.

Примеры

Функциональные пространства появляются в различных областях математики:

• В теория множеств, набор функций из Икс к Y может быть обозначено Икс → Y или же Y^Икс.
  • В частном случае набор мощности набора Икс можно отождествить с набором всех функций из Икс к {0, 1}, обозначается 2^Икс.
• Набор биекции из Икс к Y обозначается ${\displaystyle X\leftrightarrow Y}$. Факториальная запись Икс! может использоваться для перестановок одного набора Икс.
• В функциональный анализ то же самое наблюдается для непрерывный линейные преобразования, в том числе топологии на векторных пространствах выше, и многие из основных примеров представляют собой функциональные пространства, несущие топология; самые известные примеры включают Гильбертовы пространства и Банаховы пространства.
• В функциональный анализ набор всех функций из натуральные числа в какой-то набор Икс называется пространство последовательности. Он состоит из набора всех возможных последовательности элементов Икс.
• В топология, можно попытаться построить топологию на пространстве непрерывных функций из топологическое пространство Икс к другому Y, с полезностью в зависимости от характера помещений. Часто используемый пример - это компактно-открытая топология, например пространство петли. Также доступен топология продукта на пространстве теоретико-множественных функций (т.е. не обязательно непрерывных функций) Y^Икс. В этом контексте эту топологию также называют топология поточечной сходимости.
• В алгебраическая топология, изучение теория гомотопии по сути является инвариантом дискретных инвариантов функциональных пространств;
• В теории случайные процессы, основная техническая проблема состоит в том, как построить вероятностная мера на функциональном пространстве пути процесса (функции времени);
• В теория категорий функциональное пространство называется экспоненциальный объект или же объект карты. С одной стороны, это представление канонический бифунктор; но как (одиночный) функтор типа [Икс, -], он выглядит как присоединенный функтор к функтору типа (- ×Икс) на объектах;
• В функциональное программирование и лямбда-исчисление, типы функций используются для выражения идеи функции высшего порядка.
• В теория предметной области, основная идея - найти конструкции из частичные заказы который может моделировать лямбда-исчисление, создавая хорошо работающий декартова закрытая категория.
• в теория представлений конечных групп, учитывая два конечномерных представления V и W группы грамм, можно составить представление грамм над векторным пространством линейных отображений Hom (V,W) называется Hom представление.^[1]

Функциональный анализ

Функциональный анализ организован вокруг адекватных методов, позволяющих использовать функциональные пространства как топологические векторные пространства в пределах досягаемости идей, которые применимы к нормированные пространства конечной размерности. Здесь мы используем реальную линию в качестве примера области, но пробелы ниже существуют на подходящих открытых подмножествах ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbf {R} ^{n}}$

• ${\displaystyle C(\mathbf {R} )}$ непрерывные функции наделен топологией равномерной нормы
• ${\displaystyle C_{c}(\mathbf {R} )}$ непрерывные функции с компактная опора
• ${\displaystyle B(\mathbf {R} )}$ ограниченные функции
• ${\displaystyle C_{0}(\mathbf {R} )}$ непрерывные функции, обращающиеся в нуль на бесконечности
• ${\displaystyle C^{r}(\mathbf {R} )}$ непрерывные функции, которые имеют непрерывные первые р производные.
• ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbf {R} )}$ гладкие функции
• ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbf {R} )}$ гладкие функции с компактная опора
• ${\displaystyle C^{\omega }(\mathbf {R} )}$ вещественные аналитические функции
• ${\displaystyle L^{p}(\mathbf {R} )}$, за ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$, это L^п Космос из измеримый функции, чьи п-норма ${\displaystyle ||f||_{p}=\left(\int _{\mathbf {R} }|f|^{p}\right)^{1/p}}$ конечно
• ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbf {R} )}$, то Пространство Шварца из быстро уменьшается гладкие функции и его непрерывное двойственное, ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbf {R} )}$ умеренные распределения
• ${\displaystyle D(\mathbf {R} )}$ компактная опора в предельной топологии
• ${\displaystyle W^{k,p}}$ Соболевское пространство функций, чьи слабые производные до заказа k находятся в ${\displaystyle L^{p}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$ голоморфные функции
• линейные функции
• кусочно-линейные функции
• непрерывные функции, компактная открытая топология
• все функции, пространство поточечной сходимости
• Харди космос
• Пространство Гёльдера
• Càdlàg функции, также известные как Скороход Космос
• ${\displaystyle {\text{Lip}}_{0}(\mathbf {R} )}$, пространство всех Липшиц функции на ${\displaystyle \mathbf {R} }$ которые исчезают в нуле.

Норма

Если у является элементом функционального пространства ${\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}$ из всех непрерывные функции которые определены на закрытый интервал [a, b], норма ${\displaystyle \|y\|_{\infty }}$ определено на ${\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}$ это максимум абсолютная величина из у (Икс) за а ≤ Икс ≤ б,^[2]

${\displaystyle \|y\|_{\infty }\equiv \max _{a\leq x\leq b}|y(x)|\qquad {\text{where}}\ \ y\in {\mathcal {C}}(a,b)}$

называется единая норма или же верхняя норма ('sup norm').

Библиография

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. (1967). Элементы теории функций и функционального анализа. Courier Dover Publications.
• Штейн, Элиас; Шакарчи, Р. (2011). Функциональный анализ: введение в другие темы анализа. Издательство Принстонского университета.

Смотрите также

• Список математических функций
• Алгебра Клиффорда
• Тензорное поле
• Спектральная теория
• Функциональный детерминант

Сноски

1. Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс. Springer Science & Business Media. п. 4. ISBN  9780387974958.
2. Гельфанд, И.М.; Фомин, С.В. (2000). Сильверман, Ричард А. (ред.). Вариационное исчисление (Полный текст под ред.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 6. ISBN  978-0486414485.