Линейная форма - Linear form

В линейная алгебра, а линейная форма (также известный как линейный функционал, а однотипный, или ковектор) это линейная карта из векторное пространство в свою область скаляры. Если векторов представлены как вектор-столбец (как и Википедия соглашения), то линейные функционалы представлены в виде векторы-строки, а их действие на векторы задается матричный продукт с вектор строки слева и вектор столбца справа. В общем, если V это векторное пространство через поле k, то линейный функционал ж это функция от V к k что линейно:

${\displaystyle f({\vec {v}}+{\vec {w}})=f({\vec {v}})+f({\vec {w}})}$ для всех ${\displaystyle {\vec {v}},{\vec {w}}\in V}$

${\displaystyle f(a{\vec {v}})=af({\vec {v}})}$ для всех ${\displaystyle {\vec {v}}\in V,a\in k.}$

Множество всех линейных функционалов из V к k, обозначаемый Hom_k(V,k), образует векторное пространство над k с определенными операциями сложения и скалярного умножения точечно. Это пространство называется двойное пространство из V, или иногда алгебраическое двойственное пространство, чтобы отличить его от непрерывное двойное пространство. Часто пишут V^∗, V ′, V^# или же V^∨ когда поле k понимается.

Примеры

«Функция постоянного нуля», отображающая каждый вектор в ноль, тривиально является линейным функционалом. Любой другой линейный функционал (например, приведенный ниже) является сюръективным (т.е. его диапазон равен всем k).

Линейные функционалы в R^п

Предположим, что векторы в вещественном координатном пространстве р^п представлены как векторы-столбцы

${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$

Для каждого вектора-строки [а₁ ... а_п] существует линейный функционал ж определяется

${\displaystyle f({\vec {x}})=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n},}$

и каждый линейный функционал может быть выражен в этой форме.

Это можно интерпретировать как произведение матриц или скалярное произведение вектора-строки [а₁ ... а_п] и вектор-столбец ${\displaystyle {\vec {x}}}$:

${\displaystyle f({\vec {x}})=\left[a_{1}\dots a_{n}\right]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}.}$

(Определенно) Интеграция

Линейные функционалы впервые появились в функциональный анализ, изучение векторные пространства функций. Типичный пример линейного функционала: интеграция: линейное преобразование, определяемое Интеграл Римана

${\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

- линейный функционал из векторного пространства C [а, б] непрерывных функций на отрезке [а, б] к действительным числам. Линейность я следует из стандартных фактов об интеграле:

${\displaystyle {\begin{aligned}I(f+g)&=\int _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx=I(f)+I(g)\\I(\alpha f)&=\int _{a}^{b}\alpha f(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\alpha I(f).\end{aligned}}}$

Оценка

Позволять п_п обозначим векторное пространство действительных полиномиальных функций степени ≤п определенный на интервале [а, б]. Если c ∈ [а, б], тогда пусть ev_c : п_п → р быть функциональная оценка

${\displaystyle \operatorname {ev} _{c}f=f(c).}$

Отображение ж → ж(c) линейно, поскольку

${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(c)&=f(c)+g(c)\\(\alpha f)(c)&=\alpha f(c).\end{aligned}}}$

Если Икс₀, ..., Икс_п находятся п + 1 отдельные точки в [а, б], то оценочные функционалы ev_Икся, я = 0, 1, ..., п сформировать основа двойственного пространства п_п.  (Лакс (1996) доказывает этот последний факт, используя Интерполяция Лагранжа.)

Не пример

Функция ж имея уравнение линии ж(Икс) = а + rx с а ≠ 0 (например. ж(Икс) = 1 + 2Икс) является нет линейный функционал на ℝ, так как это не линейный.^{[nb 1]} Однако это аффинно-линейный.

Визуализация

Геометрическая интерпретация 1-формы α как стопка гиперплоскости постоянного значения, каждый из которых соответствует тем векторам, которые α сопоставляется с заданным скалярным значением, показанным рядом с ним, вместе с «смыслом» увеличения. В   нулевая плоскость проходит через начало координат.

В конечных размерах линейный функционал можно визуализировать в терминах его наборы уровней, наборы векторов, которые соответствуют заданному значению. В трех измерениях наборы уровней линейного функционала представляют собой семейство взаимно параллельных плоскостей; в более высоких измерениях они параллельны гиперплоскости. Этот метод визуализации линейных функционалов иногда вводится в общая теория относительности тексты, такие как Гравитация к Миснер, Торн и Уиллер (1973).

Приложения

Приложение к квадратуре

Если Икс₀, ..., Икс_п находятся п + 1 отдельные точки в [а, б], то линейные функционалы ev_Икся : ж → ж(Икс_я) определенная выше форма основа двойственного пространства п_п, пространство многочленов степени ≤ п. Функционал интеграции я также является линейным функционалом на п_п, и поэтому может быть выражена как линейная комбинация этих базовых элементов. В символах есть коэффициенты а₀, ..., а_п для которого

${\displaystyle I(f)=a_{0}f(x_{0})+a_{1}f(x_{1})+\dots +a_{n}f(x_{n})}$

для всех ж ∈ п_п. Это составляет основу теории числовая квадратура.^[1]

В квантовой механике

Линейные функционалы особенно важны в квантовая механика. Квантово-механические системы представлены Гильбертовы пространства, которые анти –изоморфный в их собственные двойственные пространства. Состояние квантово-механической системы можно отождествить с линейным функционалом. Для получения дополнительной информации см. обозначение бюстгальтера.

Распределения

В теории обобщенные функции, некоторые виды обобщенных функций, называемые распределения могут быть реализованы как линейные функционалы на пространствах тестовые функции.

Двойственные векторы и билинейные формы

Линейные функционалы (1-формы) α, β и их сумма σ и векторы ты, v, ш, в 3D Евклидово пространство. Количество (1-форма) гиперплоскости пересекается вектором равна внутренний продукт.^[2]

Каждый невырожденный билинейная форма на конечномерном векторном пространстве V вызывает изоморфизм V → V^∗ : v ↦ v^∗ такой, что

${\displaystyle v^{*}(w):=\langle v,w\rangle \quad \forall w\in V,}$

где билинейная форма на V обозначается ⟨ , ⟩ (например, в Евклидово пространство ⟨v, ш⟩ = v ⋅ ш это скалярное произведение из v и ш).

Обратный изоморфизм равен V^∗ → V : v^∗ ↦ v, куда v уникальный элемент V такой, что

${\displaystyle \langle v,w\rangle =v^{*}(w)\quad \forall w\in V.}$

Определенный выше вектор v^∗ ∈ V^∗ считается двойной вектор из v ∈ V.

В бесконечном измерении Гильбертово пространство, аналогичные результаты имеют Теорема Рисса о представлении. Есть отображение V → V^∗ в непрерывное двойное пространство V^∗. 

Отношение к базам

Ниже мы предполагаем, что размерность конечна. Обсуждение аналогичных результатов в бесконечных измерениях см. Основа Шаудера.

Основа двойственного пространства

Пусть векторное пространство V иметь основу ${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\dots ,{\vec {e}}_{n}}$, не обязательно ортогональный. Тогда двойное пространство V * имеет основу ${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{1},{\tilde {\omega }}^{2},\dots ,{\tilde {\omega }}^{n}}$ называется двойная основа определяется специальным свойством, которое

${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}({\vec {e}}_{j})=\left\{{\begin{matrix}1&\mathrm {if} \ i=j\\0&\mathrm {if} \ i\not =j.\end{matrix}}\right.}$

Или, точнее,

${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}({\vec {e}}_{j})=\delta _{ij}}$

где δ - Дельта Кронекера. Здесь верхние индексы базисных функционалов не являются экспонентами, а вместо этого контравариантный индексы.

Линейный функционал ${\displaystyle {\tilde {u}}}$ принадлежащий двойственному пространству ${\displaystyle {\tilde {V}}}$ можно выразить как линейная комбинация базисных функционалов с коэффициентами («компонентами») ты_я,

${\displaystyle {\tilde {u}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}.}$

Затем, применяя функционал ${\displaystyle {\tilde {u}}}$ к базисному вектору е_j дает

${\displaystyle {\tilde {u}}({\vec {e}}_{j})=\sum _{i=1}^{n}\left(u_{i}\,{\tilde {\omega }}^{i}\right){\vec {e}}_{j}=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left({\vec {e}}_{j}\right)\right]}$

из-за линейности скалярных кратных функционалов и поточечной линейности сумм функционалов. потом

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {u}}({\vec {e}}_{j})&=\sum _{i}u_{i}\left[{\tilde {\omega }}^{i}\left({\vec {e}}_{j}\right)\right]=\sum _{i}u_{i}{\delta ^{i}}_{j}\\&=u_{j}.\end{aligned}}}$

Таким образом, каждый компонент линейного функционала может быть извлечен путем применения функционала к соответствующему базисному вектору.

Двойная основа и внутренний продукт

Когда пространство V несет внутренний продукт, то можно явно написать формулу дуального базиса данного базиса. Позволять V иметь (не обязательно ортогональный) базис ${\displaystyle {\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}}$. В трех измерениях (п = 3) двойственный базис можно записать явно

${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}({\vec {v}})={1 \over 2}\,\left\langle {\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon ^{ijk}\,({\vec {e}}_{j}\times {\vec {e}}_{k}) \over {\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{2}\times {\vec {e}}_{3}},{\vec {v}}\right\rangle ,}$

за я = 1, 2, 3, где ε это Символ Леви-Чивита и ${\displaystyle \langle ,\rangle }$ внутренний продукт (или скалярное произведение ) на V.

В более высоких измерениях это обобщает следующим образом

${\displaystyle {\tilde {\omega }}^{i}({\vec {v}})=\left\langle {\frac {{\underset {{}^{1\leq i_{2}<i_{3}<\dots <i_{n}\leq n}}{\sum }}\varepsilon ^{ii_{2}\dots i_{n}}(\star {\vec {e}}_{i_{2}}\wedge \dots \wedge {\vec {e}}_{i_{n}})}{\star ({\vec {e}}_{1}\wedge \dots \wedge {\vec {e}}_{n})}},{\vec {v}}\right\rangle ,}$

куда ${\displaystyle \star }$ это Звездный оператор Ходжа.

Смена поля

Любое векторное пространство Икс над ℂ также является векторным пространством над ℝ, наделенный сложная структура; то есть существует настоящий векторное подпространство Икс_ℝ так что мы можем (формально) написать Икс = Икс_ℝ ⊕ Икс_ℝя в качестве ℝ-векторные пространства. Каждый ℂ-линейный функционал на Икс это ℝ-линейный оператор, но это не ℝ-линейный функциональный на Икс, потому что его диапазон (а именно, ℂ) двумерна над ℝ. (И наоборот, a ℝ-линейный функционал слишком мал, чтобы быть ℂ-линейный функционал.)

Однако каждый ℂ-линейный функционал однозначно определяет ℝ-линейный функционал на Икс_ℝ к ограничение. Что еще более удивительно, этот результат может быть обратным: каждый ℝ-линейный функционал грамм на Икс вызывает канонический ℂ-линейный функционал L_грамм ∈ Икс^#, так что действительная часть L_грамм является грамм: определять

L_грамм(Икс) := грамм(Икс) - я грамм(ix) для всех Икс ∈ Икс.

L _• является ℝ-линейный (т.е. L_{грамм+час} = L_грамм + L_час и L_rg = р L_грамм для всех р ∈ ℝ и грамм, час ∈ Икс_ℝ^#). Точно так же обратная сюръекция Hom (Икс, ℂ) → Hom (Икс, ℝ) определяется ж ↦ Im ж это карта я ↦ (Икс ↦ я(ix) + я я(Икс)).

Эта связь была обнаружена Генри Лёвиг в 1934 г. (хотя обычно это приписывают Ф. Мюррею),^[3] и может быть обобщен на произвольные конечные расширения поля естественным образом.

В бесконечных измерениях

Смотрите также: Непрерывный линейный оператор

Ниже все векторные пространства закончились либо действительные числа ℝ или сложные числа ℂ.

Если V это топологическое векторное пространство, пространство непрерывный линейные функционалы - непрерывный дуальный - часто называют просто двойным пространством. Если V это Банахово пространство, то и его (непрерывная) двойственная. Чтобы отличить обычное двойственное пространство от непрерывного двойственного пространства, первое иногда называют алгебраическое двойственное пространство. В конечных измерениях каждый линейный функционал непрерывен, поэтому непрерывный двойственный такой же, как алгебраический двойственный, но в бесконечных измерениях непрерывный двойственный является собственным подпространством алгебраического двойственного.

Линейный функционал ж на (не обязательно локально выпуклый ) топологическое векторное пространство Икс непрерывна тогда и только тогда, когда существует непрерывная полунорма п на Икс такой, что |ж| ≤ п.^[4]

Характеризуя замкнутые подпространства

Непрерывные линейные функционалы обладают хорошими свойствами для анализ: линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда его ядро закрыто,^[5] а нетривиальный непрерывный линейный функционал - это открытая карта, даже если (топологическое) векторное пространство не является полным.^[6]

Гиперплоскости и максимальные подпространства

Векторное подпространство M из Икс называется максимальный если M ⊊ Икс, но нет векторных подпространств N удовлетворение M ⊊ N ⊊ Икс. M является максимальным тогда и только тогда, когда оно является ядром некоторого нетривиального линейного функционала на Икс (т.е. M = ker ж для некоторого нетривиального линейного функционала ж на Икс). А гиперплоскость в Икс является транслятом максимального векторного подпространства. По линейности подмножество ЧАС из Икс является гиперплоскостью тогда и только тогда, когда существует некоторый нетривиальный линейный функционал ж на Икс такой, что ЧАС = { Икс ∈ Икс : ж(Икс) = 1}.^[3]

Отношения между несколькими линейными функционалами

Любые два линейных функционала с одним и тем же ядром пропорциональны (т. Е. Скалярно кратны друг другу). Этот факт можно обобщить до следующей теоремы.

Теорема^[7][8] — Если ж, грамм₁, ..., грамм_п линейные функционалы на Икс, то эквивалентны следующие:

1. ж можно записать как линейная комбинация из грамм₁, ..., грамм_п (т.е. существуют скаляры s₁, ..., s_п такой, что ж = s₁ грамм₁ + ⋅⋅⋅ + s_п грамм_п);
2. ∩^п
   _я=1 Ker грамм_я ⊆ Кер ж;
3. существует реальное число р такой, что |ж(Икс)| ≤ р |грамм_я(Икс)| для всех Икс ∈ Икс и все я.

Если ж является нетривиальным линейным функционалом на Икс с ядром N, Икс ∈ Икс удовлетворяет ж(Икс) = 1, и U это сбалансированный подмножество Икс, тогда N ∩ (Икс + U) = ∅ если и только если |ж(ты)| < 1 для всех ты ∈ U.^[6]

Теорема Хана-Банаха

Основная статья: Теорема Хана-Банаха

Любой (алгебраический) линейный функционал на векторное подпространство можно расширить на все пространство; например, описанные выше оценочные функционалы могут быть расширены до векторного пространства многочленов на всех ℝ. Однако это расширение не всегда может быть выполнено при сохранении непрерывности линейного функционала. Семейство теорем Хана-Банаха дает условия, при которых это расширение может быть выполнено. Например,

Теорема Хана – Банаха о мажорируемом расширении^[9](Рудин 1991, Чт. 3.2) — Если п : Икс → ℝ это сублинейная функция, и ж : M → ℝ это линейный функционал на линейное подпространство M ⊆ Икс в котором преобладают п на M, то существует линейное продолжение F : Икс → ℝ из ж ко всему пространству Икс в котором преобладают п, т.е. существует линейный функционал F такой, что

F(м) = ж(м) для всех м ∈ M,

|F(Икс)| ≤ п(Икс) для всех Икс ∈ Икс.

Равностепенная непрерывность семейств линейных функционалов

Позволять Икс быть топологическое векторное пространство (TVS) с непрерывное двойное пространство Икс'.

Для любого подмножества ЧАС из Икс', следующие эквиваленты:^[10]

1. ЧАС является равностепенный;
2. ЧАС содержится в полярный некоторых окрестностей 0 в Икс;
3. в (пред) полярный из ЧАС является окрестностью 0 в Икс;

Если ЧАС является равностепенно непрерывным подмножеством Икс' то следующие множества также равностепенно непрерывны: слабый-* закрытие, сбалансированный корпус, то выпуклый корпус, а выпуклый сбалансированный корпус.^[10] Более того, Теорема Алаоглу следует, что слабое - * замыкание равностепенно непрерывного подмножества Икс' слабо- * компактно (и поэтому каждое равностепенно непрерывное подмножество слабо- * относительно компактно).^[11][10]

Смотрите также

• Разрывная линейная карта
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - Векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами
• Положительный линейный функционал
• Многолинейная форма - Отображение нескольких векторов в базовое поле скаляров, линейное по каждому аргументу
• Топологическое векторное пространство - Векторное пространство с понятием близости

Примечания

1. Например, ж(1 + 1) = а + 2р ≠ 2а + 2р = ж(1) + ж(1).

Рекомендации

1. Lax 1996
2. J.A. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация. W.H. Freeman & Co. стр. 57. ISBN  0-7167-0344-0.
3. Наричи и Бекенштейн 2011 С. 10-11.
4. Наричи и Бекенштейн 2011, п. 126.
5. Рудин 1991, Теорема 1.18
6. Наричи и Бекенштейн 2011, п. 128.
7. Рудин 1991 С. 63-64.
8. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 1-18.
9. Наричи и Бекенштейн 2011 С. 177-220.
10. Наричи и Бекенштейн 2011, pp. 225-273.
11. Шефер и Вольф, 1999 г., Следствие 4.3.

Библиография

• Епископ Ричард; Гольдберг, Сэмюэл (1980), «Глава 4», Тензорный анализ на многообразиях, Dover Publications, ISBN  0-486-64039-6
• Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа. Тексты для выпускников по математике. 96 (2-е изд.). Springer. ISBN  0-387-97245-5.
• Данфорд, Нельсон (1988). Линейные операторы (на румынском языке). Нью-Йорк: Interscience Publishers. ISBN  0-471-60848-3. OCLC  18412261.
• Халмос, Пол (1974), Конечномерные векторные пространства, Спрингер, ISBN  0-387-90093-4
• Лакс, Питер (1996), Линейная алгебра, Wiley-Interscience, ISBN  978-0-471-11111-5
• Миснер, Чарльз В.; Торн, Кип. С.; Уилер, Джон А. (1973), Гравитация, У. Х. Фриман, ISBN  0-7167-0344-0
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл Наука / Инженерия / Математика. ISBN  978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шютц, Бернард (1985), «Глава 3», Первый курс общей теории относительности, Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-27703-5
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN  978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.