Теорема Банаха – Алаоглу - Banach–Alaoglu theorem - Wikipedia

В функциональный анализ и смежные отрасли математика, то Теорема Банаха – Алаоглу (также известен как Теорема Алаоглу) утверждает, что закрыто единичный мяч из двойное пространство из нормированное векторное пространство является компактный в слабая * топология.^[1] Обычное доказательство идентифицирует единичный шар со слабой * топологией как замкнутое подмножество товар компактов с топология продукта. Как следствие Теорема Тихонова, этот продукт, а следовательно, и единичный шар внутри, компактны.

Эта теорема имеет приложения в физике, когда описывается множество состояний алгебры наблюдаемых, а именно то, что любое состояние может быть записано как выпуклая линейная комбинация так называемых чистых состояний.

История

По словам Лоуренса Наричи и Эдварда Бекенштейна, теорема Алаоглу - «очень важный результат - возможно, то самый важный факт о слабая * топология - [это] отражается во всем функциональном анализе ".^[2] В 1912 году Хелли доказал, что единичный шар непрерывного сопряженного пространства C ([а, б]) счетно слабо- * компактно.^[3] В 1932 г. Стефан Банах доказал, что замкнутый единичный шар в непрерывном сопряженном пространстве любого отделяемый нормированное пространство последовательно слабо- * компактно (Банах рассматривал только последовательная компактность ).^[3] Доказательство для общего случая было опубликовано в 1940 г. математиком Леонидас Алаоглу. Согласно Pietsch [2007], есть по крайней мере 12 математиков, которые могут претендовать на эту теорему или на ее важного предшественника.^[2]

В Теорема Бурбаки – Алаоглу это обобщение^[4][5] исходной теоремы Бурбаки к двойные топологии на локально выпуклые пространства. Эта теорема также называется Теорема Банаха-Алаоглу или Слабая * теорема компактности и его обычно называют просто Теорема Алаоглу^[2]

Заявление

Смотрите также: Топологическое векторное пространство § Двойственное пространство, Двойная система, и Полярный набор

Если Икс является вещественным или комплексным векторным пространством, тогда мы допустим ${\displaystyle X^{\#}}$ обозначить алгебраическое двойственное пространство из Икс. Если Икс это топологическое векторное пространство (TVS), то обозначим непрерывное двойственное пространство к Икс к ${\displaystyle X^{\prime }}$, куда ${\displaystyle X^{\prime }\subseteq X^{\#}}$ обязательно держит. Обозначим слабая * топология на ${\displaystyle X^{\#}}$ (соответственно на ${\displaystyle X^{\prime }}$) к ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ (соотв. ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$). Важно отметить, что топология подпространства который ${\displaystyle X^{\prime }}$ наследуется от ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ просто ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right).}$

Теорема Алаоглу^[3] — Для любых ТВС Икс (нет обязательно Хаусдорф или же локально выпуклый ), полярный

${\displaystyle U^{\circ }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{x\in U}\left|x^{\prime }\left(x\right)\right|\leq 1\right\}}$

любой район U из 0 в Икс компактна в слабая * топология^[6] ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ на ${\displaystyle X^{\prime }.}$ Более того, ${\displaystyle U^{\circ }}$ равен полюсу U относительно канонической системы ${\displaystyle \left(X,X^{\#}\right)}$ и это также компактное подмножество ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$

Доказательство —

Для этого доказательства мы будем использовать основные свойства, перечисленные в статьях: полярный набор, двойная система, и непрерывный линейный оператор.

Напомним, когда Икс^# наделен слабая * топология ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$ тогда ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ это полное пространство; тем не мение, ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$ может не быть полным пространством. Везде, если не указано иное, все полярные множества будут взяты относительно канонической спаривание ${\displaystyle \left(X,X^{\prime }\right)}$ куда ${\displaystyle X^{\prime }}$ является непрерывным двойственным пространством Икс.

Позволять U быть окрестностью начала координат в Икс и разреши:

• ${\displaystyle U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }:\sup _{u\in U}\left|f\left(u\right)\right|\leq 1\right\}}$ быть полярником U относительно канонического спаривания ${\displaystyle \left(X,X^{\prime }\right)}$;
• U^∘∘ быть биполярный из U относительно ${\displaystyle \left(X,X^{\prime }\right)}$;
• ${\displaystyle U^{\#}=\left\{f\in X^{\#}:\sup _{u\in U}\left|f(u)\right|\leq 1\right\}}$ быть полярником U относительно канонической дуальной системы ${\displaystyle \left(X,X^{\#}\right).}$

Хорошо известный факт о полярах множеств состоит в том, что U^∘∘∘ = U^∘.

(1) Сначала покажите, что U^# = U^∘ а затем вывести, что U^∘ это ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$-закрытое подмножество ${\displaystyle X^{\#}:}$ Хорошо известен результат о том, что поляра множества слабо замкнута, из чего следует, что ${\displaystyle U^{\#}}$ это ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$-закрытое подмножество ${\displaystyle X^{\#}.}$ Поскольку каждый непрерывный линейный функционал является линейным функционалом, U^∘ ⊆ U^# держит. Для обратного включения, если ж ∈ U^# тогда с ${\displaystyle \sup _{u\in U}\left|f(u)\right|\leq 1}$ и U это район 0 в Икс, следует, что ж это непрерывный линейный функционал (то есть, ${\displaystyle f\in X^{\prime }}$) откуда следует, что U^# ⊆ U^∘).

(2) Покажите, что U^∘ является ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$-полностью ограниченный подмножество ${\displaystyle X^{\prime }:}$ Посредством биполярная теорема, U ⊆ U^∘∘ так с тех пор U является поглощающий в Икс, следует, что ${\displaystyle U^{\circ \circ }}$ также является увлекательным подмножеством Икс, что, как можно показать, означает, что ${\displaystyle U^{\circ }}$ является ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$-ограниченный. С Икс отличает точки из ${\displaystyle X^{\prime }}$, можно показать, что подмножество ${\displaystyle X^{\prime }}$ является ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$-ограничен тогда и только тогда, когда он ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$-полностью ограниченный. Из этого следует, что ${\displaystyle U^{\circ }}$ является ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$-полностью ограничен.

(3) Теперь покажите, что ${\displaystyle U^{\circ }}$ является ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$-общенно ограниченное подмножество ${\displaystyle X^{\#}:}$ Напомним, что ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ топология на ${\displaystyle X^{\prime }}$ идентична топологии подпространства, что ${\displaystyle X^{\prime }}$ наследуется от ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right).}$ Этот факт вместе с (2) означает, что ${\displaystyle U^{\circ }}$ это ${\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)}$-общенно ограниченное подмножество ${\displaystyle X^{\#}.}$

(4) Наконец, выведите, что ${\displaystyle U^{\circ }}$ это ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$-компактное подмножество ${\displaystyle X^{\prime }:}$ Потому что ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ это полное пространство и ${\displaystyle U^{\circ }}$ является замкнутым (согласно (1)) и вполне ограниченным (согласно (3)) подмножеством ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$, следует, что U^∘ компактный. ∎

Если Икс это нормированное векторное пространство, то поляра окрестности замкнута и ограничена по норме в сопряженном пространстве. В частности, если U - открытый (или закрытый) единичный шар в Икс затем полярный U замкнутый единичный шар в непрерывном сопряженном пространстве ${\displaystyle X^{\prime }}$ из Икс (с обычная двойная норма ). Следовательно, эта теорема может быть специализирована для:

Теорема Банаха-Алаоглу: Если Икс является нормированным пространством, то замкнутый единичный шар в непрерывном сопряженном пространстве ${\displaystyle X^{\prime }}$ (наделенный обычным норма оператора ) компактен относительно слабая * топология.

Когда непрерывное двойное пространство ${\displaystyle X^{\prime }}$ из Икс является бесконечномерным нормированным пространством, то это невозможно для закрытого единичного шара в ${\displaystyle X^{\prime }}$ быть компактным подмножеством, когда ${\displaystyle X^{\prime }}$ имеет обычную топологию нормы. Это связано с тем, что единичный шар в топологии нормы компактен тогда и только тогда, когда пространство конечномерно (см. Теорема Ф. Рисса ). Эта теорема является одним из примеров полезности наличия разных топологий в одном векторном пространстве.

Следует предупредить, что, несмотря на внешность, теорема Банаха – Алаоглу действительно нет подразумевают, что слабая * топология локально компактный. Это потому, что замкнутый единичный шар - это только окрестность начала координат в сильная топология, но обычно не является окрестностью начала координат в слабой * топологии, поскольку в слабой * топологии она имеет пустую внутренность, если пространство не является конечномерным. Фактически, это результат Weil все это локально компактный Хаусдорф топологические векторные пространства должны быть конечномерными.

Последовательная теорема Банаха – Алаоглу.

Частным случаем теоремы Банаха – Алаоглу является последовательный вариант теоремы, утверждающей, что замкнутый единичный шар двойственного пространства отделяемый нормированное векторное пространство последовательно компактный в слабой * топологии. Фактически, слабая топология * на замкнутом единичном шаре двойственного к сепарабельному пространству имеет вид метризуемый, поэтому компактность и последовательная компактность эквивалентны.

В частности, пусть Икс быть отделимым нормированным пространством и B закрытый единичный шар в Икс^∗. С Икс отделимо, пусть (Икс_п)^∞
_п=1 - счетное плотное подмножество. Тогда следующее определяет метрику, где для любого Икс, у ∈ B:

${\displaystyle \rho (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }\,2^{-n}\,{\frac {\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}{1+\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}}}$

в котором ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ обозначает двойственность пары Икс^∗ с Икс. Последовательная компактность B в этой метрике может быть показан аргумент диагонализации аналогично тому, который использовался при доказательстве Теорема Арцела – Асколи.

Вследствие конструктивного характера доказательства (в отличие от общего случая, основанного на выбранной аксиоме) секвенциальная теорема Банаха – Алаоглу часто используется в области уравнения в частных производных для построения решений PDE или вариационные задачи. Например, если хочется минимизировать функционал ${\displaystyle F:X^{\prime }\to \mathbb {R} }$ на двойственном сепарабельном нормированном векторном пространстве Икс, одна из распространенных стратегий - сначала построить минимизирующую последовательность ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots \in X^{\prime }}$ который приближается к нижнему пределу F, используйте последовательную теорему Банаха – Алаоглу, чтобы выделить подпоследовательность, сходящуюся в слабой * топологии к пределу Икс, а затем установить, что Икс минимизатор F. Последний шаг часто требует F подчиняться (последовательный) нижняя полунепрерывность свойство в слабой * топологии.

Когда ${\displaystyle X^{\prime }}$ - пространство конечных радоновских мер на вещественной прямой (так что ${\displaystyle X=C_{0}\left(\mathbb {R} \right)}$ - пространство непрерывных функций, исчезающих на бесконечности, согласно Теорема Рисса о представлении ) секвенциальная теорема Банаха – Алаоглу эквивалентна Теорема выбора Хелли.

Доказательство —

Для каждого Икс ∈ Икс, позволять

${\displaystyle D_{x}=\left\{z\in \mathbb {C} :\left|z\right|\leq \|x\|\right\},}$

и

${\displaystyle D=\prod _{x\in X}D_{x}.}$

Поскольку каждый D_Икс компактное подмножество комплексной плоскости, D также компактна в топология продукта к Теорема Тихонова.

Шар закрытого блока в ${\displaystyle X^{\prime }}$, B₁(Икс*) можно идентифицировать как подмножество D естественным образом:

${\displaystyle f\in B_{1}\left(X^{\prime }\right)\mapsto \left(f(x)\right)_{x\in X}\in D.}$

Это отображение инъективно и непрерывно, с B₁(Икс*) с топологией weak- * и D топология продукта. Инверсия этой карты, определенная на ее диапазоне, также является непрерывной.

Чтобы завершить доказательство этой теоремы, теперь будет показано, что диапазон приведенного выше отображения замкнут. Учитывая чистую

${\displaystyle \left(f_{\alpha }(x)\right)_{x\in X}\to \left(\lambda _{x}\right)_{x\in X}}$

в D, функционал, определяемый

${\displaystyle g(x)=\lambda _{x}}$

лежит в ${\displaystyle B_{1}(X^{\prime }).}$

Последствия

Последствия для нормированных пространств

Предположить, что Икс это нормированное пространство и наделить его непрерывным дуальным пространством ${\displaystyle X^{\prime }}$ с обычным двойная норма.

• Шар закрытого блока в ${\displaystyle X^{\prime }}$ слабо- * компактно.^[3]
  • Обратите внимание, что если ${\displaystyle X^{\prime }}$ бесконечномерно, то его замкнутый единичный шар обязательно нет компактна в топологии нормы Теорема Ф. Рисса (несмотря на то, что он слабый - * компактный).
• А Банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда его замкнутый единичный шар ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$-компактный.^[3]
• Если Икс это рефлексивное банахово пространство, то каждая ограниченная последовательность из Икс имеет слабо сходящуюся подпоследовательность. (Это следует из применения теоремы Банаха – Алаоглу к слабо метризуемому подпространству Икс; или, более кратко, применяя Теорема Эберлейна – Шмулиана.) Например, предположим, что Икс = L^п(μ), 1<п<∞. Позволять ж_п - ограниченная последовательность функций из Икс. Тогда существует подпоследовательность ж_пk и ж ∈ Икс такой, что

  ${\displaystyle \int f_{n_{k}}g\,d\mu \to \int fg\,d\mu }$

  для всех грамм ∈ L^q(μ) = Икс* (где 1 /п+1/q= 1). Соответствующий результат для п= 1 неверно, так как L¹(μ) не рефлексивно.

Последствия для гильбертовых пространств

• В гильбертовом пространстве каждое ограниченное и замкнутое множество слабо относительно компактно, поэтому каждая ограниченная сеть имеет слабо сходящуюся подсеть (гильбертовы пространства - это рефлексивный ).
• Будучи замкнутыми по норме, выпуклые множества слабо замкнуты (Теорема Хана – Банаха ), замыкания по норме выпуклых ограниченных множеств в гильбертовых или рефлексивных банаховых пространствах слабо компактны.
• Замкнутые и ограниченные множества в B (H) предкомпактны относительно слабая операторная топология (слабая операторная топология слабее, чем сверхслабая топология что, в свою очередь, является слабой топологией по отношению к предуалу B (H), то класс трассировки операторы). Следовательно, ограниченные последовательности операторов имеют слабую точку накопления. Как следствие, B (H) имеет Свойство Гейне-Бореля, если он снабжен либо слабым оператором, либо сверхслабой топологией.

Отношение к аксиоме выбора

Поскольку теорема Банаха – Алаоглу обычно доказывается с помощью Теорема Тихонова, он полагается на ZFC аксиоматическая структура, и в частности аксиома выбора. Большинство основных функций функционального анализа также опираются на ZFC. Однако теорема действительно нет полагаться на аксиому выбора в сепарабельном случае (см. ниже): в этом случае фактически имеется конструктивное доказательство. В несепарабельном случае лемма об ультрафильтре, которая строго слабее выбранной аксиомы, достаточна для доказательства теоремы Банаха-Алаоглу и фактически эквивалентна ей.

Смотрите также

• Теорема Бишопа – Фелпса
• Теорема Банаха – Мазура.
• Теорема дельта-компактности
• Теорема Эберлейна – Шмулиана - связывает три различных типа слабой компактности в банаховом пространстве.
• Теорема Голдстайна
• Теорема Джеймса
• Теорема Крейна-Мильмана
• Лемма Мазура - О сильно сходящихся комбинациях слабо сходящейся последовательности в банаховом пространстве.
• Топологическое векторное пространство - Векторное пространство с понятием близости

Рекомендации

1. Рудин 1991, Теорема 3.15.
2. Наричи и Бекенштейн 2011 С. 235-240.
3. Наричи и Бекенштейн 2011, pp. 225-273.
4. Кёте 1969, Теорема (4) в п. 20.9.
5. Meise & Vogt 1997, Теорема 23.5.
6. Явно подмножество ${\displaystyle B^{\prime }\subseteq X^{\prime }}$ называется «компактным (соответственно вполне ограниченным и т. д.) в слабой * топологии», если когда ${\displaystyle X^{\prime }}$ дается слабая * топология и подмножество ${\displaystyle B^{\prime }}$ дается топология подпространства унаследовано от ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right),}$ тогда ${\displaystyle B^{\prime }}$ это компактный (соотв. полностью ограниченный и т. д.) пространство.

• Кете, Готфрид (1969). Топологические векторные пространства I. Нью-Йорк: Springer-Verlag. См. §20.9.
• Мейсе, Рейнхольд; Фогт, Дитмар (1997). Введение в функциональный анализ. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN  0-19-851485-9. См. Теорему 23.5, с. 264.
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Рудин, В. (1991). Функциональный анализ (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: МакГроу-Хилл. ISBN  0-07-054236-8. См. Теорему 3.15, с. 68.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шехтер, Эрик (1997). Справочник по анализу и его основам. Сан-Диего: Academic Press.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

дальнейшее чтение

• Джон Б. Конвей (1994). Курс функционального анализа (2-е изд.). Берлин: Springer-Verlag. ISBN  0-387-97245-5. См. Главу 5, раздел 3.
• Питер Б. Лакс (2002). Функциональный анализ. Wiley-Interscience. С. 120–121. ISBN  0-471-55604-1.