C * -алгебра - C*-algebra

В математике, особенно в функциональный анализ, а C^∗-алгебра (произносится "C-star") - это Банахова алгебра вместе с инволюция удовлетворяющие свойствам прилегающий. Частным случаем является случай сложный алгебра А из непрерывные линейные операторы на сложный Гильбертово пространство с двумя дополнительными свойствами:

• А топологически закрытый набор в топология нормы операторов.
• А закрывается при операции взятия примыкает операторов.

Другой важный класс негильбертовой C * -алгебры включает алгебру непрерывных функций ${displaystyle C_{0}(X)}$.

C * -алгебры впервые рассматривались в первую очередь из-за их использования в квантовая механика к модель алгебры физических наблюдаемые. Это направление исследований началось с Вернер Гейзенберг с матричная механика и в более математически развитой форме с Паскуаль Джордан около 1933 г. Впоследствии Джон фон Нейман предпринял попытку установить общую основу для этих алгебр, которая завершилась серией работ о кольцах операторов. В этих статьях был рассмотрен специальный класс C * -алгебр, который теперь известен как алгебры фон Неймана.

Примерно в 1943 году работа Израиль Гельфанд и Марк Наймарк дал абстрактную характеристику C * -алгебр без ссылки на операторы в гильбертовом пространстве.

C * -алгебры сейчас являются важным инструментом в теории унитарные представления из локально компактные группы, а также используются в алгебраических формулировках квантовой механики. Еще одной активной областью исследований является программа получения классификации или определения степени возможной классификации для разделяемых простых ядерные C * -алгебры.

Абстрактная характеристика

Мы начнем с абстрактной характеризации С * -алгебр, данной в статье Гельфанда и Наймарка 1943 года.

C * -алгебра, А, это Банахова алгебра над полем сложные числа вместе с карта ${ extstyle xmapsto x^{*}}$ за ${ extstyle xin A}$ со следующими свойствами:

• Это инволюция, для каждого Икс в А:

${displaystyle x^{**}=(x^{*})^{*}=x}$

• Для всех Икс, у в А:

${displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$

${displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$

• Для любого комплексного числа λ из C и каждый Икс в А:

${displaystyle (lambda x)^{*}={overline {lambda }}x^{*}.}$

• Для всех Икс в А:

${displaystyle |x^{*}x|=|x||x^{*}|.}$

Замечание. Первые три тождества говорят, что А это *-алгебра. Последняя идентичность называется C * личность и эквивалентен:

${displaystyle |xx^{*}|=|x|^{2},}$

которое иногда называют B * -тождеством. Историю, стоящую за именами C * - и B * -алгебр, см. история раздел ниже.

C * -идентичность - очень строгое требование. Например, вместе с формула спектрального радиуса, это означает, что C * -норма однозначно определяется алгебраической структурой:

${displaystyle |x|^{2}=|x^{*}x|=sup{|lambda |:x^{*}x-lambda ,1{ ext{ is not invertible}}}.}$

А ограниченная линейная карта, π : А → B, между C * -алгебрами А и B называется * -гомоморфизм если

• За Икс и у в А

${displaystyle pi (xy)=pi (x)pi (y),}$

• За Икс в А

${displaystyle pi (x^{*})=pi (x)^{*},}$

В случае C * -алгебр любой * -гомоморфизм π между C * -алгебрами сжимающий, т.е. ограниченный с нормой ≤ 1. Кроме того, инъективным * -гомоморфизмом между C * -алгебрами является изометрический. Это следствия C * -тождества.

Биективный * -гомоморфизм π называется С * -изоморфизм, в таком случае А и B как говорят изоморфный.

Немного истории: B * -алгебры и C * -алгебры

Термин B * -алгебра был введен К. Э. Рикартом в 1946 г. для описания Банаховы * -алгебры удовлетворяющие условию:

• ${displaystyle lVert xx^{*}Vert =lVert xVert ^{2}}$ для всех Икс в данной B * -алгебре. (B * -условие)

Это условие автоматически означает, что * -инволюция изометрична, т. Е. ${displaystyle lVert xVert =lVert x^{*}Vert }$. Следовательно, ${displaystyle lVert xx^{*}Vert =lVert xVert lVert x^{*}Vert }$, а значит, B * -алгебра также является C * -алгеброй. Наоборот, из C * -условия следует B * -условие. Это нетривиально, и его можно доказать без использования условия ${displaystyle lVert xVert =lVert x^{*}Vert }$.^[1] По этим причинам термин B * -алгебра редко используется в современной терминологии и был заменен термином «C * -алгебра».

Термин C * -алгебра был введен И. Э. Сегал в 1947 г. для описания замкнутых по норме подалгебр в B(ЧАС), а именно пространство ограниченных операторов в некотором гильбертовом пространстве ЧАС. «C» означает «закрыто».^[2][3] В своей статье Сигал определяет C * -алгебру как «равномерно замкнутую самосопряженную алгебру ограниченных операторов в гильбертовом пространстве».^[4]

Структура C * -алгебр

C * -алгебры обладают большим количеством технически удобных свойств. Некоторые из этих свойств могут быть установлены с помощью непрерывное функциональное исчисление или редукцией к коммутативным C * -алгебрам. В последнем случае мы можем использовать тот факт, что их структура полностью определяется Изоморфизм Гельфанда.

Самосопряженные элементы

Самосопряженные элементы - это элементы формы Икс=Икс*. Множество элементов C * -алгебры А формы х * х образует закрытый выпуклый конус. Этот конус идентичен элементам формы хх *. Элементы этого конуса называются неотрицательный (или иногда положительный, хотя эта терминология противоречит ее использованию для элементов р.)

Множество самосопряженных элементов C * -алгебры А естественно имеет структуру частично заказанный векторное пространство; порядок обычно обозначается ≥. В этом порядке самосопряженный элемент Икс из А удовлетворяет Икс ≥ 0 тогда и только тогда, когда спектр из Икс неотрицательно,^{[требуется разъяснение ]} если и только если Икс = SS для некоторых s. Два самосопряженных элемента Икс и у из А удовлетворить Икс ≥ у если Икс−у ≥ 0.

Это частично упорядоченное подпространство позволяет определить положительный линейный функционал на C * -алгебре, которая, в свою очередь, используется для определения состояния C * -алгебры, которая, в свою очередь, может быть использована для построения спектр C * -алгебры с использованием Строительство ГНС.

Коэффициенты и приблизительные тождества

Любая C * -алгебра А имеет приблизительная личность. На самом деле существует направленная семья {е_λ}_λ∈I самосопряженных элементов А такой, что

${displaystyle xe_{lambda }ightarrow x}$

${displaystyle 0leq e_{lambda }leq e_{mu }leq 1quad {mbox{ whenever }}lambda leq mu .}$

В случае А отделима, А имеет последовательную приблизительную идентичность. В более общем смысле, А будет иметь последовательную приблизительную идентичность тогда и только тогда, когда А содержит строго положительный элемент, т.е. положительный элемент час такой, что ха плотно в А.

Используя приближенные тождества, можно показать, что алгебраическая частное C * -алгебры замкнутой собственной двусторонней идеальный с естественной нормой является C * -алгеброй.

Точно так же замкнутый двусторонний идеал C * -алгебры сам является C * -алгеброй.

Примеры

Конечномерные C * -алгебры

Алгебра M (п, C) из п × п матрицы над C становится C * -алгеброй, если мы рассматриваем матрицы как операторы в евклидовом пространстве, C^п, и используйте норма оператора || · || по матрицам. Инволюция задается сопряженный транспонировать. В более общем смысле можно рассматривать конечные прямые суммы матричных алгебр. Фактически, все C * -алгебры, конечномерные как векторные пространства, имеют этот вид с точностью до изоморфизма. Требование самосопряженности означает, что конечномерные C * -алгебры являются полупростой, из чего можно вывести следующую теорему Артин – Веддерберн тип:

Теорема. Конечномерная C * -алгебра, А, является канонически изоморфна конечной прямой сумме

${displaystyle A=igoplus _{ein min A}Ae}$

где мин А - множество минимальных ненулевых самосопряженных центральных проекций А.

Каждая C * -алгебра, Ae, изоморфна (неканоническим образом) полной матричной алгебре M (dim (е), C). Конечное семейство, индексированное на min А данный {dim (е)}_е называется вектор размерности из А. Этот вектор однозначно определяет класс изоморфизма конечномерной C * -алгебры. На языке K-теория, этот вектор является положительный конус из K₀ группа А.

А †-алгебра (или, точнее, a † -замкнутая алгебра) - это имя, которое иногда используется в физика^[5] для конечномерной C * -алгебры. В кинжал, †, используется в названии, потому что физики обычно используют этот символ для обозначения Эрмитово сопряженный, и часто не беспокоятся о тонкостях, связанных с бесконечным количеством измерений. (Математики обычно используют звездочку * для обозначения эрмитова сопряженного.) † -алгебры занимают видное место в квантовая механика, и особенно квантовая информатика.

Непосредственным обобщением конечномерных C * -алгебр являются приближенно конечномерные C * -алгебры.

C * -алгебры операторов

Прототипным примером C * -алгебры является алгебра B (H) ограниченных (эквивалентно непрерывных) линейные операторы определены на комплексе Гильбертово пространство ЧАС; Вот Икс* обозначает сопряженный оператор оператора Икс : ЧАС → ЧАС. Фактически, любая C * -алгебра, А, * -изоморфна замкнутой по норме присоединенной замкнутой подалгебре в B(ЧАС) для подходящего гильбертова пространства, ЧАС; это содержание Теорема Гельфанда – Наймарка..

C * -алгебры компактных операторов

Позволять ЧАС быть отделяемый бесконечномерное гильбертово пространство. Алгебра K(ЧАС) из компактные операторы на ЧАС это норма закрыта подалгебра B(ЧАС). Он также закрыт по инволюции; следовательно, это C * -алгебра.

Конкретные C * -алгебры компактных операторов допускают характеризацию, аналогичную теореме Веддерберна для конечномерных C * -алгебр:

Теорема. Если А является С * -подалгеброй в K(ЧАС), то существуют гильбертовы пространства {ЧАС_я}_я∈я такой, что

${displaystyle Acong igoplus _{iin I}K(H_{i}),}$

где прямая сумма (C * -) состоит из элементов (Т_я) декартового произведения Π K(ЧАС_я) с ||Т_я|| → 0.

Хотя K(ЧАС) не имеет тождественного элемента, последовательное приблизительная личность за K(ЧАС) могут быть разработаны. Чтобы быть конкретным, ЧАС изоморфно пространству суммируемых с квадратом последовательностей л²; мы можем предположить, что ЧАС = л². Для каждого натурального числа п позволять ЧАС_п - подпространство последовательностей л² которые исчезают для индексов k ≤ п и разреши е_п - ортогональная проекция на ЧАС_п. Последовательность {е_п}_п является приблизительным тождеством для K(ЧАС).

K(ЧАС) - двусторонний замкнутый идеал B(ЧАС). Для сепарабельных гильбертовых пространств это единственный идеал. В частное из B(ЧАС) к K(ЧАС) это Калкина алгебра.

Коммутативные C * -алгебры

Позволять Икс быть локально компактный Хаусдорфово пространство. Космос ${displaystyle C_{0}(X)}$ комплекснозначных непрерывных функций на Икс который исчезнуть в бесконечности (определено в статье о локальная компактность ) образуют коммутативную C * -алгебру ${displaystyle C_{0}(X)}$ при поточечном умножении и сложении. Инволюция - поточечное сопряжение. ${displaystyle C_{0}(X)}$ имеет мультипликативный единичный элемент тогда и только тогда, когда ${displaystyle X}$ компактный. Как и любая C * -алгебра, ${displaystyle C_{0}(X)}$ имеет приблизительная личность. В случае ${displaystyle C_{0}(X)}$ это немедленно: рассмотрим направленное множество компактных подмножеств ${displaystyle X}$, и для каждого компакта ${displaystyle K}$ позволять ${displaystyle f_{K}}$ - функция компактного носителя, тождественно равная 1 на ${displaystyle K}$. Такие функции существуют Теорема Титце о продолжении что относится к локально компактным хаусдорфовым пространствам. Любая такая последовательность функций ${displaystyle {f_{K}}}$ это приблизительное тождество.

В Представительство Гельфанда утверждает, что любая коммутативная C * -алгебра * -изоморфна алгебре ${displaystyle C_{0}(X)}$, куда ${displaystyle X}$ это пространство символы оснащен слабая * топология. Кроме того, если ${displaystyle C_{0}(X)}$ является изоморфный к ${displaystyle C_{0}(Y)}$ как C * -алгебры, то ${displaystyle X}$ и ${displaystyle Y}$ находятся гомеоморфный. Эта характеристика - одна из мотиваций для некоммутативная топология и некоммутативная геометрия программы.

C * -оборачивающая алгебра

Дана банахова * -алгебра А с приблизительная личность, существует единственная (с точностью до C * -изоморфизма) C * -алгебра E(А) и * -морфизм π из А в E(А) который универсальный, т. е. всякий второй непрерывный * -морфизм π ': А → B множится однозначно через π. Алгебра E(А) называется C * -оборачивающая алгебра банаховой * -алгебры А.

Особое значение имеет C * -алгебра локально компактная группа грамм. Это определяется как обертывающая C * -алгебра групповая алгебра из грамм. C * -алгебра грамм обеспечивает контекст для общих гармонический анализ из грамм в случае грамм неабелева. В частности, двойственное к локально компактной группе определяется как пространство примитивных идеалов групповой C * -алгебры. Видеть спектр C * -алгебры.

Алгебры фон Неймана

Алгебры фон Неймана, известные как W * -алгебры до 1960-х годов, представляют собой особый вид C * -алгебр. Они должны быть закрыты в слабая операторная топология, что слабее топологии нормы.

В Теорема Шермана – Такеды влечет, что любая C * -алгебра имеет универсальную обертывающую W * -алгебру такую, что любой гомоморфизм W * -алгебры пропускается через нее.

Тип для C * -алгебр

C * -алгебра А имеет тип I тогда и только тогда, когда для всех невырожденных представлений π группы А алгебра фон Неймана π (А) ′ ′ (То есть бикоммутант π (А)) является алгеброй фон Неймана типа I. На самом деле достаточно рассматривать только факторпредставления, т.е. представления π, для которых π (А) ′ ′ - фактор.

Локально компактная группа называется группой типа I тогда и только тогда, когда ее группа C * -алгебра это тип I.

Однако, если C * -алгебра имеет представления не типа I, то по результатам Джеймс Глимм он также имеет представления типа II и типа III. Таким образом, для C * -алгебр и локально компактных групп имеет смысл говорить только о свойствах типа I и не типа I.

C * -алгебры и квантовая теория поля

В квантовая механика, обычно описывают физическую систему с C * -алгеброй А с единичным элементом; самосопряженные элементы А (элементы Икс с Икс* = Икс) считаются наблюдаемые, измеримые величины системы. А государственный системы определяется как положительный функционал на А (а C-линейное отображение φ: А → C с φ (ты) ≥ 0 для всех ты ∈ А) такое, что φ (1) = 1. Ожидаемое значение наблюдаемой Икс, если система находится в состоянии φ, то φ (Икс).

Этот подход C * -алгебры используется в аксиоматизации Хаага-Кастлера теории локальная квантовая теория поля, где каждый открытый набор Пространство-время Минковского ассоциирована с C * -алгеброй.

Смотрите также

• Банахова алгебра
• Банахова * -алгебра
• *-алгебра
• C * -модуль Гильберта
• Операторная K-теория
• Система оператора, унитальное подпространство * -замкнутой C * -алгебры.
• Конструкция Гельфанда – Наймарка – Сигала

Примечания

1. Доран и Белфи 1986, стр. 5–6, Google Книги.
2. Доран и Белфи 1986, п. 6, Google Книги.
3. Сигал 1947
4. Сигал 1947, п. 75
5. Джон А. Холбрук, Дэвид В. Крибс и Раймонд Лафламм. «Бесшумные подсистемы и структура коммутанта в квантовой коррекции ошибок». Квантовая обработка информации. Том 2, номер 5, стр. 381–419. Октябрь 2003 г.

Рекомендации

• Арвесон, В. (1976), Приглашение в C * -алгебру, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90176-0. Отличное введение в предмет, доступное для тех, кто знает основы функциональный анализ.
• Конн, Ален, Некоммутативная геометрия, ISBN  0-12-185860-X. Эта книга широко считается источником нового исследовательского материала, дающего много подтверждающей интуиции, но это сложно.
• Диксмье, Жак (1969), Представительства Les C * -algèbres et leurs, Готье-Виллар, ISBN  0-7204-0762-1. Это несколько устаревшая ссылка, но все же считается высококачественной технической экспозицией. Он доступен на английском языке в прессе Северной Голландии.
• Доран, Роберт С.; Белфи, Виктор А. (1986), Характеризации C * -алгебр: теоремы Гельфанда-Наймарка, CRC Press, ISBN  978-0-8247-7569-8.
• Эмч, Г. (1972), Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля, Wiley-Interscience, ISBN  0-471-23900-3. Математически строгий справочник, обеспечивающий обширную физику
• А.И. Штерн (2001) [1994], «С * -алгебра», Энциклопедия математики, EMS Press
• Сакаи, С. (1971), C * -алгебры и W * -алгебры, Спрингер, ISBN  3-540-63633-1.
• Сигал, Ирвинг (1947), «Неприводимые представления операторных алгебр», Бюллетень Американского математического общества, 53 (2): 73–88, Дои:10.1090 / S0002-9904-1947-08742-5.