Унитарное представительство - Unitary representation

В математика, а унитарное представительство из группа грамм это линейное представление π из грамм на комплексе Гильбертово пространство V такое, что π (грамм) это унитарный оператор для каждого грамм ∈ грамм. Общая теория хорошо развита в случае грамм это локально компактный (Хаусдорф) топологическая группа и представления сильно непрерывный.

Теория широко применялась в квантовая механика с 1920-х годов, особенно под влиянием Герман Вейль книга 1928 года Gruppentheorie und Quantenmechanik. Один из пионеров в построении общей теории унитарных представлений любой группы грамм а не только для определенных групп, полезных в приложениях, Джордж Макки.

Контекст в гармоническом анализе

Теория унитарных представлений групп тесно связана с гармонический анализ. В случае абелевой группы грамм, достаточно полное представление о теории представлений грамм дан кем-то Понтрягинская двойственность. В общем случае классы унитарной эквивалентности (см. ниже ) из несводимый унитарные представления грамм составить его унитарный дуальный. Этот набор можно идентифицировать с спектр C * -алгебры связано с грамм посредством группа C * -алгебра строительство. Это топологическое пространство.

Общий вид Теорема Планшереля пытается описать регулярное представление грамм на L²(грамм) с помощью мера на унитарном дуальном. За грамм абелева это дается теорией двойственности Понтрягина. За грамм компактный, это делается Теорема Питера – Вейля; в этом случае унитарное двойственное дискретное пространство, а мера прикрепляет атом к каждой точке массы, равной ее степени.

Формальные определения

Позволять грамм - топологическая группа. А сильно непрерывное унитарное представление из грамм в гильбертовом пространстве ЧАС является гомоморфизмом групп из грамм в унитарную группу ЧАС,

{ displaystyle pi: G rightarrow operatorname {U} (H)}

такой, что грамм → π (грамм) ξ - непрерывная по норме функция для любого ξ ∈ ЧАС.

Обратите внимание, что если G является Группа Ли, гильбертово пространство также допускает подлежащие гладкие и аналитические структуры. Вектор ξ в ЧАС как говорят гладкий или же аналитический если карта грамм → π (грамм) ξ гладкая или аналитическая (по норме или в слабых топологиях на ЧАС).^[1] Гладкие векторы плотны в ЧАС классическим аргументом Ларс Гординг, поскольку свертка гладкими функциями компактная опора дает гладкие векторы. Аналитические векторы плотны по классическому аргументу Эдвард Нельсон, усиленный Роу Гудманом, поскольку векторы в образе теплового оператора е^–TD, соответствующий эллиптический дифференциальный оператор D в универсальная обертывающая алгебра из грамм, являются аналитическими. Не только гладкие или аналитические векторы образуют плотные подпространства; они также образуют общие ядра для неограниченных кососопряженных операторов, соответствующих элементам Алгебра Ли, в смысле спектральная теория.^[2]

Два унитарных представления π₁: грамм → U (ЧАС₁), π₂: грамм → U (ЧАС₂) называются унитарно эквивалентный если есть унитарное преобразование А:ЧАС₁ → ЧАС₂ такое, что π₁(грамм) = А^* ∘ π₂(грамм) ∘ А для всех грамм в грамм. Когда это держится, А считается оператор переплетения для представлений (π₁,ЧАС₁), (π₂,ЧАС₂).^[3]

Если ${ displaystyle pi}$ является представлением связной группы Ли ${ displaystyle G}$ на конечномерный Гильбертово пространство ${ displaystyle H}$ , тогда ${ displaystyle pi}$ унитарно тогда и только тогда, когда ассоциированное представление алгебры Ли ${ displaystyle d pi: { mathfrak {g}} rightarrow mathrm {End} (H)}$ отображается в пространство кососамосопряженных операторов на ${ displaystyle H}$ .^[4]

Полная сводимость

Унитарное представление полностью сводимый, в том смысле, что для любых закрытых инвариантное подпространство, то ортогональное дополнение снова замкнутое инвариантное подпространство. Это на уровне наблюдения, но это фундаментальное свойство. Например, это означает, что конечномерные унитарные представления всегда являются прямой суммой неприводимых представлений в алгебраическом смысле.

Поскольку с унитарными представлениями работать гораздо проще, чем с общим случаем, естественно рассмотреть унитаризуемые представления, которые становятся унитарными при введении подходящей комплексной структуры гильбертова пространства. Это очень хорошо работает для конечные группы, и в более общем плане для компактные группы аргументом усреднения, примененным к произвольной эрмитовой структуре.^[5] Например, естественное доказательство Теорема Машке находится по этому маршруту.

Унитаризуемость и унитарный двойственный вопрос

В общем, для некомпактных групп более серьезный вопрос - какие представления унитаризуемы. Одной из важных нерешенных проблем математики является описание унитарный дуальный, эффективная классификация неприводимых унитарных представлений всех вещественных редуктивный Группы Ли. Все несводимый унитарные представления допустимый (а точнее их Модули Хариш-Чандры являются), а допустимые представления задаются Классификация Ленглендса, и легко сказать, какие из них обладают нетривиальным инвариантом полуторалинейная форма. Проблема в том, что в общем случае трудно сказать, когда квадратичная форма положительно определенный. Для многих редуктивных групп Ли это было решено; видеть теория представлений SL2 (R) и теория представлений группы Лоренца Например.

Примечания

^ Уорнер (1972)
^ Рид и Саймон (1975)
^ Пол Салли (2013) Основы математического анализа, Американское математическое общество стр. 234
^ Зал 2015 Предложение 4.8.
^ Зал 2015 Раздел 4.4

Смотрите также

[1] Уорнер (1972)

[2] Рид и Саймон (1975)

[3] Пол Салли (2013) Основы математического анализа, Американское математическое общество стр. 234

[4] Зал 2015 Предложение 4.8.

[5] Зал 2015 Раздел 4.4

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]