Гармонический анализ - Harmonic analysis

Чтобы узнать, как определить структуру музыкального произведения, см. Гармония.

Для более широкого освещения этой темы см. Гармоника (математика).

Гармоники цвета. Диаграмма гармонического анализа показывает, как разные длины волн взаимодействуют с красным светом. При разнице λ / 2 (половина длины волны) красный идеально синхронизирован со своей второй гармоникой в ​​ультрафиолете. Все другие длины волн в видимом спектре имеют разницу менее λ / 2, образуя гармонические колебания в комбинированных волнах. На λ / 14 колебания повторяются каждую 14-ю волну, а на λ / 8 они будут повторяться каждую 8-ю волну. Колебания наиболее быстры на λ / 4, циклически повторяя каждую 4-ю волну, в то время как на λ / 3 они циклически повторяются каждую 7-ю волну, а на λ / 2,5 они повторяются каждую 13-ю волну. В нижнем разделе показано, как гармоника λ / 4 взаимодействует в видимом свете (зеленый и красный), как это показано на снимке. оптический плоский.

Гармонический анализ это филиал математика занимается представлением функции или сигналы как суперпозиция основных волны, изучение и обобщение понятий Ряд Фурье и Преобразования Фурье (т.е. расширенная форма Анализ Фурье ). За последние два столетия он стал обширным предметом, находящим применение в самых разных областях, например теория чисел, теория представлений, обработка сигналов, квантовая механика, приливный анализ и нейробиология.

Период, термин "гармоники "возникла как Древнегреческий слово гармоникос, что означает «опытный в музыке».^[1] В физическом собственное значение проблемы, это стало означать волны, частоты которых целые кратные друг друга, как и частоты гармоники нот, но этот термин был обобщен за пределы своего первоначального значения.

Классическое преобразование Фурье на р^п все еще является областью постоянных исследований, особенно в отношении преобразования Фурье для более общих объектов, таких как умеренные распределения. Например, если мы наложим некоторые требования на дистрибутив ж, мы можем попытаться перевести эти требования в терминах преобразования Фурье ж. В Теорема Пэли – Винера. является примером этого. Из теоремы Пэли – Винера сразу следует, что если ж ненулевой распределение из компактная опора (они включают функции компактного носителя), то его преобразование Фурье никогда не имеет компактного носителя. Это очень простая форма принцип неопределенности в настройке гармонического анализа.

Ряды Фурье удобно изучать в контексте Гильбертовы пространства, который обеспечивает связь между гармоническим анализом и функциональный анализ.

Абстрактный гармонический анализ

Одна из самых современных ветвей гармонического анализа, уходящая корнями в середину 20 века, - это анализ на топологические группы. Основные мотивирующие идеи - это различные Преобразования Фурье, которое можно обобщить до преобразования функции определено на Хаусдорфе локально компактные топологические группы.

Теория для абелевский локально компактные группы называется Понтрягинская двойственность.

Гармонический анализ изучает свойства этой двойственности и преобразования Фурье и пытается распространить эти функции на другие параметры, например, на случай неабелевой Группы Ли.

Для общих неабелевых локально компактных групп гармонический анализ тесно связан с теорией представлений унитарных групп. Для компактных групп Теорема Питера – Вейля объясняет, как можно получить гармоники, выбрав одно неприводимое представление из каждого класса эквивалентности представлений. Этот выбор гармоник обладает некоторыми полезными свойствами классического преобразования Фурье с точки зрения переноса сверток в точечные произведения или иного демонстрации определенного понимания лежащих в основе группа структура. Смотрите также: Некоммутативный гармонический анализ.

Если группа не является ни абелевой, ни компактной, то в настоящее время не известна общая удовлетворительная теория («удовлетворительно» означает, по крайней мере, столь же сильную, как Теорема Планшереля ). Однако было проанализировано много конкретных случаев, например SL_п. В этом случае, представления в бесконечности размеры играют решающую роль.

Другие отрасли

• Изучение собственные значения и собственные векторы из Лапласиан на домены, коллекторы, и (в меньшей степени) графики также считается разделом гармонического анализа. См., Например, слышать форму барабана.^[2]
• Гармонический анализ на евклидовых пространствах имеет дело со свойствами преобразование Фурье на р^п не имеющие аналога в общих группах. Например, тот факт, что преобразование Фурье инвариантно относительно вращения. Разложение преобразования Фурье на его радиальную и сферическую составляющие приводит к таким темам, как Функции Бесселя и сферические гармоники.
• Гармонический анализ на трубчатых областях касается обобщающих свойств Пространства Харди в более высокие измерения.

Прикладной гармонический анализ

Временной сигнал бас-гитары открытой струнной ноты A (55 Гц)

Преобразование Фурье временного сигнала бас-гитары открытой струны A-ноты (55 Гц)^[3]

Многие применения гармонического анализа в науке и технике начинаются с идеи или гипотезы о том, что явление или сигнал состоит из суммы отдельных колебательных компонентов. Океан приливы и вибрирует струны общие и простые примеры. Теоретический подход часто заключается в попытке описать систему дифференциальное уравнение или же система уравнений для прогнозирования основных характеристик, включая амплитуду, частоту и фазы колебательных компонентов. Конкретные уравнения зависят от поля, но теории обычно пытаются выбрать уравнения, которые представляют основные применимые принципы.

Экспериментальный подход обычно заключается в собирать данные это точно количественно определяет явление. Например, при изучении приливов и отливов экспериментатор будет получать образцы глубины воды как функции времени с достаточно близкими интервалами, чтобы увидеть каждое колебание, и в течение достаточно длительного периода, чтобы, вероятно, было несколько периодов колебаний. При исследовании вибрирующих струн экспериментаторы обычно получают звуковую волну, дискретизированную с частотой, по крайней мере, вдвое превышающей ожидаемую наивысшую частоту, и продолжительностью, во много раз превышающей период самой низкой ожидаемой частоты.

Например, верхний сигнал справа представляет собой звуковую волну, когда бас-гитара играет на открытой струне, соответствующей ноте A с основной частотой 55 Гц. Форма волны кажется колеблющейся, но она сложнее простой синусоидальной волны, что указывает на наличие дополнительных волн. Различные волновые составляющие, влияющие на звук, можно выявить, применив метод математического анализа, известный как преобразование Фурье, результат которого показан на нижнем рисунке. Обратите внимание, что есть заметный пик на 55 Гц, но есть другие пики на 110 Гц, 165 Гц и на других частотах, соответствующих целым кратным 55 Гц. В этом случае частота 55 Гц определяется как основная частота колебаний струны, а целые кратные известны как гармоники.

Смотрите также

• Сходимость рядов Фурье.
• Гармоника (математика)
• Оценка спектральной плотности
• Тезис Тейта

Рекомендации

1. "гармонический". Интернет-словарь этимологии.
2. Террас, Одри (2013). Гармонический анализ на симметричных пространствах - евклидовом пространстве, сфере и верхней полуплоскости Пуанкаре (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. п. 37. ISBN  978-1461479710. Получено 12 декабря 2017.
3. Вычислено с https://sourceforge.net/projects/amoreaccuratefouriertransform/.

Библиография

• Элиас Штайн и Гвидо Вайс, Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах, Princeton University Press, 1971. ISBN  0-691-08078-X
• Элиас Штайн с Тимоти С. Мерфи, Гармонический анализ: методы вещественных переменных, ортогональность и колебательные интегралы, Princeton University Press, 1993.
• Элиас Штайн, Темы гармонического анализа, связанные с теорией Литтлвуда-Пэли, Издательство Принстонского университета, 1970.
• Ицхак Кацнельсон, Введение в гармонический анализ, Третье издание. Издательство Кембриджского университета, 2004. ISBN  0-521-83829-0; 0-521-54359-2
• Теренс Тао, Преобразование Фурье. (Вводит разложение функций на нечетные + четные части как гармоническое разложение над.)
• Юрий Иванович Любич. Введение в теорию банаховых представлений групп. Перевод с русскоязычного издания 1985 г. (Харьков, Украина). Birkhäuser Verlag. 1988 г.
• Джордж В. Макки, Гармонический анализ как использование симметрии - исторический обзор, Бык. Амер. Математика. Soc. 3 (1980), 543–698.

внешняя ссылка