Локально компактная группа - Locally compact group

В математика, а локально компактная группа это топологическая группа г для которого основная топология локально компактный и Хаусдорф. Локально компактные группы важны, потому что многие примеры групп, которые возникают в математике, являются локально компактными, и такие группы имеют естественный мера называется Мера Хаара. Это позволяет определить интегралы из Измеримый по Борелю функции на г так что стандартные понятия анализа, такие как преобразование Фурье и ${ Displaystyle L ^ {p}}$ пробелы можно обобщить.

Многие результаты конечная группа теория представлений доказываются усреднением по группе. Для компактных групп модификации этих доказательств дают аналогичные результаты путем усреднения по нормированному Интеграл Хаара. В общем, локально компактном окружении такие методы не требуются. Полученная в результате теория является центральной частью гармонический анализ. Теория представлений для локально компактных абелевы группы описывается Понтрягинская двойственность.

Примеры и контрпримеры

Любые компактная группа локально компактно.
- В частности круговая группа Т комплексных чисел с единичным модулем при умножении компактна и, как таковая, локально компактна. Группа круга исторически служила первой топологически нетривиальной группой, которая также обладала свойством локальной компактности, и как таковая мотивировала поиск более общей теории, представленной здесь.
Любые дискретная группа локально компактно. Таким образом, теория локально компактных групп включает в себя теорию обычных групп, поскольку любой группе можно дать дискретная топология.
Группы Ли, которые являются локально евклидовыми, все являются локально компактными группами.
Хаусдорф топологическое векторное пространство локально компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерный.
Аддитивная группа рациональное число Q не является локально компактным, если задано относительная топология как подмножество действительные числа. Он локально компактен, если задан дискретной топологией.
Аддитивная группа п-адические числа Q_п локально компактна для любого простое число п.

Свойства

По однородности, локальная компактность основного пространства для топологической группы должна проверяться только на единице. То есть группа г является локально компактным пространством тогда и только тогда, когда единичный элемент имеет компактный окрестности. Отсюда следует, что существует местная база компактных окрестностей в каждой точке.

Топологическая группа хаусдорфова тогда и только тогда, когда тривиальная одноэлементная подгруппа замкнута.

Каждые закрыто подгруппа локально компактной группы локально компактна. (Условие замыкания необходимо, как показывает группа рациональных чисел.) Наоборот, каждая локально компактная подгруппа хаусдорфовой группы замкнута. Каждые частное локально компактной группы локально компактна. В товар семейства локально компактных групп локально компактно тогда и только тогда, когда все факторы, кроме конечного числа, действительно компактны.

Топологические группы всегда полностью обычный как топологические пространства. Локально компактные группы обладают более сильным свойством быть нормальный.

Каждая локально компактная группа, являющаяся счетный является метризуемый как топологическая группа (т.е. может быть дана левоинвариантная метрика, совместимая с топологией) и полный.

В Польская группа г, σ-алгебра Нулевые множества Хаара удовлетворяет условие счетной цепи если и только если г локально компактно.^[1]

Локально компактные абелевы группы

Для любой локально компактной абелевой (LCA) группы А, группа непрерывных гомоморфизмов

Hom (А, S¹)

от А группе окружности снова локально компактна. Понтрягинская двойственность утверждает, что это функтор вызывает эквивалентность категорий

LCA^op → LCA.

Этот функтор меняет некоторые свойства топологических групп. Например, конечные группы соответствуют конечным группам, компактные группы соответствуют дискретным группам и метризуемый группы соответствуют счетным объединениям компактных групп (и наоборот во всех утверждениях).

Группы LCA образуют точная категория, где допустимые мономорфизмы - замкнутые подгруппы, а допустимые эпиморфизмы - топологические фактор-отображения. Следовательно, можно рассматривать K-теория спектр этой категории. Клаузен (2017) показал, что он измеряет разницу между алгебраическая K-теория из Z и р, целые и действительные числа, соответственно, в том смысле, что существует последовательность гомотопических слоев

K (Z) → K (р) → К (ДМС).

Смотрите также

использованная литература

^ Славомир Солецкий (1996) На нулевых наборах Хаара, Fundamenta Mathematicae 149

Фолланд, Джеральд Б. (1995), Курс абстрактного гармонического анализа, CRC Press, ISBN 978-0-8493-8490-5.
Клаузен, Дастин (2017), K-теоретический подход к картам Артина, arXiv:1703.07842, Bibcode:2017arXiv170307842C

[1] Славомир Солецкий (1996) На нулевых наборах Хаара, Fundamenta Mathematicae 149

[1]