Нулевой набор - Null set

Для набора без элементов см. Пустой набор.

В математический анализ, а нулевой набор ${displaystyle Nsubset mathbb {R} }$ это набор, который может быть покрытый по счетный союз интервалы сколь угодно малой общей длины. Понятие null, установленное в теория множеств ожидает развития Мера Лебега поскольку нулевой набор обязательно имеет измерять ноль. В более общем плане, на данном измерить пространство ${displaystyle M=(X,Sigma ,mu )}$ нулевой набор - это набор ${displaystyle Ssubset X}$ такой, что ${displaystyle mu (S)=0}$.

Пример

Каждое счетное подмножество действительных чисел (то есть конечное или счетно бесконечное) равно нулю. Например, множество натуральных чисел счетно, имея мощность ${displaystyle aleph _{0}}$ (алеф-зеро или же алеф-нуль ), нулевой. Другой пример - набор рациональных чисел, который также является счетным и, следовательно, нулевым.

Однако есть некоторые бесчисленные наборы, такие как Кантор набор, которые имеют значение NULL.

Определение

Предполагать ${displaystyle A}$ является подмножеством реальная линия ${displaystyle mathbb {R} }$ такой, что

${displaystyle forall varepsilon >0 exists left{U_{n}ight}_{n},U_{n}=(a_{n},b_{n})subset mathbb {R} :quad Asubset igcup _{n=1}^{infty }U_{n} land sum _{n=1}^{infty }left|U_{n}ight|<varepsilon ,,}$

где U_п находятся интервалы и |U| это длина U, тогда А - нулевой набор,^[1] также известный как набор с нулевым содержанием.

По терминологии математический анализ, это определение требует наличия последовательность из открытые крышки из А для чего предел длины крышек равна нулю.

Нулевые наборы включают все конечные множества, все счетные множества, и даже некоторые бесчисленный такие наборы, как Кантор набор.

Характеристики

В пустой набор всегда является нулевым набором. В общем, любой счетный союз нулевых наборов равно нулю. Любое измеримое подмножество нулевого набора само по себе является нулевым набором. Вместе эти факты показывают, что м-нульные наборы Икс сформировать сигма-идеал на Икс. Точно так же измеримые м-нулевые множества образуют сигма-идеал сигма-алгебра измеримых множеств. Таким образом, нулевые множества можно интерпретировать как незначительные наборы, определяя понятие почти всюду.

Мера Лебега

В Мера Лебега это стандартный способ присвоения длина, площадь или же объем к подмножествам Евклидово пространство.

Подмножество N из ${displaystyle mathbb {R} }$ имеет нулевую меру Лебега и считается нулевым множеством в ${displaystyle mathbb {R} }$ если и только если:

Учитывая любые положительное число ε, есть а последовательность {я_п} из интервалы в ${displaystyle mathbb {R} }$ такой, что N содержится в объединении {я_п} и общая длина объединения меньше, чем ε.

Это условие можно обобщить на ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$, с помощью п-кубики вместо интервалов. Фактически, идея может иметь смысл на любом Риманово многообразие, даже если там нет меры Лебега.

Например:

• Что касается ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$, все 1-точечные наборы равны нулю, и поэтому все счетные множества равны нулю. В частности, множество Q из рациональное число является нулевым набором, несмотря на то, что плотный в ${displaystyle mathbb {R} }$.
• Стандартная конструкция Кантор набор является примером нулевого бесчисленное множество в ${displaystyle mathbb {R} }$; однако возможны и другие конструкции, приписывающие набору Кантора какую-либо меру.
• Все подмножества ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ чей измерение меньше чем п иметь нулевую меру Лебега в ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$. Например, прямые или круги - это нулевые наборы в ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$.
• Лемма Сарда: набор критические значения гладкой функции имеет нулевую меру.

Если λ - мера Лебега для ${displaystyle mathbb {R} }$ и π - мера Лебега для ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$, то мера продукта ${displaystyle lambda imes lambda =pi }$. В терминах нулевых множеств следующая эквивалентность была названа Теорема Фубини:^[2]

• За ${displaystyle Asubset mathbb {R} ^{2}}$ и ${displaystyle A_{x}={y:(x,y)in A},}$

  ${displaystyle (pi (A)=0)equiv lambda left(left{x:lambda left(A_{x}ight)>0ight}ight)=0.}$

Использует

Нулевые множества играют ключевую роль в определении Интеграл Лебега: если функции ж и грамм равны, за исключением нулевого набора, тогда ж интегрируема тогда и только тогда, когда грамм есть, и их интегралы равны.

Мера, в которой измеримы все подмножества нулевых множеств, называется полный. Любая неполная мера может быть завершена для формирования полной меры, утверждая, что подмножества нулевых множеств имеют нулевую меру. Мера Лебега - пример полной меры; в некоторых конструкциях он определяется как завершение неполного Мера Бореля.

Подмножество множества Кантора, не измеримое по Борелю

Мера Бореля неполна. Одна простая конструкция - начать со стандартного Кантор набор K, которая замкнута, следовательно, измерима по Борелю и имеет нулевую меру, и найти подмножество F из K которое не измеримо по Борелю. (Поскольку мера Лебега полна, это F конечно измерим по Лебегу.)

Во-первых, мы должны знать, что каждый набор положительной меры содержит неизмеримое подмножество. Позволять ж быть Функция Кантора, непрерывная функция, локально постоянная на K^c, и монотонно возрастает на [0, 1], причем ж(0) = 0 и ж(1) = 1. Очевидно, ж(K^c) счетно, поскольку содержит по одной точке на компонент K^c. Следовательно ж(K^c) имеет нулевую меру, поэтому ж(K) имеет меру один. Нам нужен строго монотонная функция так что рассмотрим грамм(Икс) = ж(Икс) + Икс. С грамм(Икс) строго монотонно и непрерывно, это гомеоморфизм. Более того, грамм(K) имеет меру один. Позволять E ⊂ грамм(K) неизмеримо, и пусть F = грамм⁻¹(E). Потому что грамм инъективно, мы имеем F ⊂ K, и так F - нулевой набор. Однако если бы это было измеримо по Борелю, то грамм(F) также было бы измеримо по Борелю (здесь мы используем тот факт, что прообраз борелевского множества непрерывной функцией измеримо; грамм(F) = (грамм⁻¹)⁻¹(F) является прообразом F через непрерывную функцию час = грамм⁻¹.) Следовательно, F является нулевым, но не измеримым по Борелю множеством.

Haar null

В отделяемый Банахово пространство (Икс, +), групповая операция перемещает любое подмножество А ⊂ Икс переводчикам А + Икс для любого Икс ∈ Икс. Когда есть вероятностная мера μ на σ-алгебре Борелевские подмножества из Икс, так что для всех Икс, μ (А + Икс) = 0, то А это Нулевой набор Хаара.^[3]

Термин относится к нулевой инвариантности мер транслятов, связывая ее с полной инвариантностью, обнаруженной с Мера Хаара.

Некоторые алгебраические свойства топологические группы были связаны с размером подмножеств и нулевых множеств Хаара.^[4]Нулевые множества Хаара использовались в Польские группы чтобы показать это, когда А это не скудный набор тогда А⁻¹А содержит открытую окрестность элемент идентичности.^[5] Это свойство названо в честь Хьюго Штайнхаус так как это заключение Теорема Штейнгауза.

Смотрите также

• Функция Кантора
• Мера (математика)
• Пустой набор

Рекомендации

1. Франк, Джон (2009). (Краткое) Введение в интеграцию Лебега. Студенческая математическая библиотека. 48. Американское математическое общество. п. 28. Дои:10.1090 / stml / 048. ISBN  978-0-8218-4862-3.
2. ван Доувен, Эрик К. (1989). «Теорема Фубини для нулевых множеств». Американский математический ежемесячный журнал. 96 (8): 718–21. Дои:10.1080/00029890.1989.11972270. JSTOR  2324722. МИСТЕР  1019152.
3. Матускова, Ева (1997). «Выпуклость и нулевые множества Хаара» (PDF). Труды Американского математического общества. 125 (6): 1793–1799. Дои:10.1090 / S0002-9939-97-03776-3. JSTOR  2162223.
4. Солецкий, С. (2005). «Размеры подмножеств групп и нулевые множества Хаара». Геометрический и функциональный анализ. 15: 246–73. CiteSeerX  10.1.1.133.7074. Дои:10.1007 / s00039-005-0505-z. МИСТЕР  2140632.
5. Додос, Панделис (2009). «Свойство Штейнхауза и нулевые множества Хаара». Бюллетень Лондонского математического общества. 41 (2): 377–44. arXiv:1006.2675. Bibcode:2010arXiv1006.2675D. Дои:10.1112 / blms / bdp014. МИСТЕР  4296513.

дальнейшее чтение

• Капински, Марек; Копп, Эккехард (2005). Мера, интеграл и вероятность. Springer. п. 16. ISBN  978-1-85233-781-0.
• Джонс, Фрэнк (1993). Интегрирование Лебега на евклидовых пространствах. Джонс и Бартлетт. п. 107. ISBN  978-0-86720-203-8.
• Окстоби, Джон К. (1971). Мера и категория. Springer-Verlag. п. 3. ISBN  978-0-387-05349-3.