Локально компактное поле - Locally compact field - Wikipedia

В алгебре локально компактное поле это топологическое поле топология которого образует локально компактное пространство^[1] (в частности, это хаусдорфово пространство). Такие поля были первоначально введены в p-адический анализ так как поля ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ - локально компактные топологические пространства, построенные по норме ${\displaystyle |\cdot |_{p}}$ на ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Топология (и структура метрического пространства) важна, поскольку позволяет строить аналоги поля алгебраических чисел в p-адическом контексте.

Структура

Конечномерные векторные пространства

Одна из полезных структурных теорем для векторных пространств над локально компактными полями состоит в том, что конечномерные векторные пространства имеют только класс эквивалентности нормы: sup norm^{[2] стр. 58-59}.

Конечные расширения поля

Учитывая конечное расширение поля ${\displaystyle K/F}$ над локально компактным полем ${\displaystyle F}$, существует не более одной единственной нормы поля ${\displaystyle |\cdot |_{K}}$ на ${\displaystyle K}$ расширение нормы поля ${\displaystyle |\cdot |_{F}}$; то есть,

${\displaystyle |f|_{K}=|f|_{F}}$

для всех ${\displaystyle f\in K}$ который находится в образе ${\displaystyle F\hookrightarrow K}$. Обратите внимание, что это следует из предыдущей теоремы и следующего трюка: если ${\displaystyle ||\cdot ||_{1},||\cdot ||_{2}}$ - две эквивалентные нормы, и

${\displaystyle ||x||_{1}<||x||_{2}}$

тогда для фиксированной постоянной ${\displaystyle c_{1}}$ существует ${\displaystyle N_{0}\in \mathbb {N} }$ такой, что

${\displaystyle \left({\frac {||x||_{1}}{||x||_{2}}}\right)^{N}<{\frac {1}{c_{1}}}}$

для всех ${\displaystyle N\geq N_{0}}$ поскольку последовательность, порожденная степенями ${\displaystyle N}$ сходиться к ${\displaystyle 0}$.

Конечные расширения Галуа

Если индекс расширения имеет степень ${\displaystyle n=[K:F]}$ и ${\displaystyle K/F}$ это расширение галуа, (так что все решения минимального многочлена любого ${\displaystyle a\in K}$ также содержится в ${\displaystyle K}$), то единственная норма поля ${\displaystyle |\cdot |_{K}}$ можно построить с помощью норма поля^{[2] стр. 61}. Это определяется как

${\displaystyle |a|_{K}=|N_{K/F}(a)|^{1/n}}$

Обратите внимание, что корень n-й степени необходим для того, чтобы иметь четко определенную норму поля, расширяющую норму на ${\displaystyle F}$ с учетом любых ${\displaystyle f\in K}$ в образе ${\displaystyle F\hookrightarrow K}$ его норма

${\displaystyle N_{K/F}(f)=\det m_{f}=f^{n}}$

поскольку он действует как скалярное умножение на ${\displaystyle F}$-векторное пространство ${\displaystyle K}$.

Примеры

Конечные поля

Все конечные поля локально компактны, так как могут быть снабжены дискретной топологией. В частности, любое поле с дискретной топологией локально компактно, поскольку каждая точка является окрестностью самой себя, а также замыканием окрестности, следовательно, компактна.

Местные поля

Основными примерами локально компактных полей являются p-адические рациональные числа ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ и конечные расширения ${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$. Каждый из них является примером местные поля. Обратите внимание на алгебраическое замыкание ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}_{p}}$ и его завершение ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ находятся нет локально компактные поля^{[2] стр. 72} со стандартной топологией.

Расширения поля Q_п

Расширения полей ${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$ можно найти с помощью Лемма Гензеля. Например, ${\displaystyle f(x)=x^{2}-7=x^{2}-(2+1\cdot 5)}$ не имеет решений в ${\displaystyle \mathbb {Q} _{5}}$ поскольку

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{2}-5)=2x}$

равен нулю мод ${\displaystyle p}$ если ${\displaystyle x\equiv 0{\text{ }}(p)}$, но ${\displaystyle x^{2}-7}$ не имеет мод решений ${\displaystyle 5}$. Следовательно ${\displaystyle \mathbb {Q} _{5}({\sqrt {7}})/\mathbb {Q} _{5}}$ является квадратичным расширением поля.

Смотрите также

• Местное поле
• Заполнить поле
• Разветвление локальных полей
• Локально компактная группа
• Локально компактная квантовая группа

Рекомендации

1. Наричи, Лоуренс (1971), Функциональный анализ и теория оценки, CRC Press, стр. 21–22, ISBN  9780824714840.
2. Коблиц, Нил. p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции. С. 57–74.

Внешняя ссылка

• Уловка неравенства https://math.stackexchange.com/a/2252625