Локально компактное поле - Locally compact field - Wikipedia

В алгебре локально компактное поле это топологическое поле топология которого образует локально компактное пространство[1] (в частности, это хаусдорфово пространство). Такие поля были первоначально введены в p-адический анализ так как поля - локально компактные топологические пространства, построенные по норме на . Топология (и структура метрического пространства) важна, поскольку позволяет строить аналоги поля алгебраических чисел в p-адическом контексте.

Структура

Конечномерные векторные пространства

Одна из полезных структурных теорем для векторных пространств над локально компактными полями состоит в том, что конечномерные векторные пространства имеют только класс эквивалентности нормы: sup norm[2] стр. 58-59.

Конечные расширения поля

Учитывая конечное расширение поля над локально компактным полем , существует не более одной единственной нормы поля на расширение нормы поля ; то есть,

для всех который находится в образе . Обратите внимание, что это следует из предыдущей теоремы и следующего трюка: если - две эквивалентные нормы, и

тогда для фиксированной постоянной существует такой, что

для всех поскольку последовательность, порожденная степенями сходиться к .

Конечные расширения Галуа

Если индекс расширения имеет степень и это расширение галуа, (так что все решения минимального многочлена любого также содержится в ), то единственная норма поля можно построить с помощью норма поля[2] стр. 61. Это определяется как

Обратите внимание, что корень n-й степени необходим для того, чтобы иметь четко определенную норму поля, расширяющую норму на с учетом любых в образе его норма

поскольку он действует как скалярное умножение на -векторное пространство .

Примеры

Конечные поля

Все конечные поля локально компактны, так как могут быть снабжены дискретной топологией. В частности, любое поле с дискретной топологией локально компактно, поскольку каждая точка является окрестностью самой себя, а также замыканием окрестности, следовательно, компактна.

Местные поля

Основными примерами локально компактных полей являются p-адические рациональные числа и конечные расширения . Каждый из них является примером местные поля. Обратите внимание на алгебраическое замыкание и его завершение находятся нет локально компактные поля[2] стр. 72 со стандартной топологией.

Расширения поля Qп

Расширения полей можно найти с помощью Лемма Гензеля. Например, не имеет решений в поскольку

равен нулю мод если , но не имеет мод решений . Следовательно является квадратичным расширением поля.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Наричи, Лоуренс (1971), Функциональный анализ и теория оценки, CRC Press, стр. 21–22, ISBN  9780824714840.
  2. ^ а б c Коблиц, Нил. p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции. С. 57–74.

Внешняя ссылка