Лемма Гензеля - Hensels lemma - Wikipedia

В математика, Лемма Гензеля, также известный как Лемма Гензеля о поднятии, названный в честь Курт Хенсель, является результатом модульная арифметика, заявив, что если полиномиальное уравнение имеет простой корень по модулю а простое число п, то этот корень соответствует единственному корню того же уравнения по модулю любой более высокой степени п, который можно найти итеративно "подъем "решение по модулю последовательных степеней п. В более общем плане он используется как общее название аналогов для полный коммутативные кольца (включая п-адические поля в частности) Метод Ньютона для решения уравнений. С п-адический анализ в некотором смысле проще, чем реальный анализ, существуют относительно аккуратные критерии, гарантирующие корень многочлена.

Заявление

Существует много эквивалентных утверждений леммы Гензеля. Пожалуй, наиболее распространенное утверждение следующее.

Общее утверждение

Предполагать ${\displaystyle K}$ - поле, полное относительно нормированной дискретной оценка ${\displaystyle v}$. Предположим, кроме того, что ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ кольцо целых чисел ${\displaystyle K}$ (т.е. все элементы ${\displaystyle K}$ с неотрицательной оценкой), пусть ${\displaystyle \pi \in K}$ быть таким, чтобы ${\displaystyle v(\pi )=1}$ и разреши ${\displaystyle k={\mathcal {O}}_{K}/\pi {\mathcal {O}}_{K}}$ обозначить поле вычетов. Позволять ${\displaystyle f(X)\in {\mathcal {O}}_{K}[X]}$ быть многочлен с коэффициентами в ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$. Если сокращение ${\displaystyle {\overline {f}}(X)\in k[X]}$ имеет простой корень (т.е. существует ${\displaystyle k_{0}\in k}$ такой, что ${\displaystyle {\overline {f}}(k_{0})=0}$ и ${\displaystyle {\overline {f'}}(k_{0})\neq 0}$), то существует единственное ${\displaystyle a\in {\mathcal {O}}_{K}}$ такой, что ${\displaystyle f(a)=0}$ и сокращение ${\displaystyle {\overline {a}}=k_{0}}$ в ${\displaystyle k}$.^[1]

Альтернативное заявление

Другой способ сформулировать это (в меньшей степени): пусть ${\displaystyle f(x)}$ быть многочлен с целое число (или же п-адические целые) коэффициенты, и пусть м,k натуральные числа такие, что м ≤ k. Если р такое целое число, что

${\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}\quad {\text{and}}\quad f'(r)\not \equiv 0{\bmod {p}}}$

тогда существует целое число s такой, что

${\displaystyle f(s)\equiv 0{\bmod {p}}^{k+m}\quad {\text{and}}\quad r\equiv s{\bmod {p}}^{k}.}$

Кроме того, это s уникален по модулю п^k+м, и может быть вычислено явно как целое число, такое что

${\displaystyle s=r-f(r)\cdot a,}$

куда ${\displaystyle a}$ целое число, удовлетворяющее

${\displaystyle a\equiv [f'(r)]^{-1}{\bmod {p}}^{m}.}$

Обратите внимание, что ${\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}}$ так что условие ${\displaystyle s\equiv r{\bmod {p}}^{k}}$ встречается. Кроме того, если ${\displaystyle f'(r)\equiv 0{\bmod {p}}}$, затем 0, 1 или несколько s могут существовать (см. Hensel Lifting ниже).

Вывод

Мы используем разложение Тейлора ж вокруг р написать:

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=0}^{N}c_{n}(s-r)^{n},\qquad c_{n}=f^{(n)}(r)/n!.}$

Из ${\displaystyle r\equiv s{\bmod {p}}^{k},}$ Мы видим, что s − р = tp^k для некоторого целого числа т. Позволять

${\displaystyle {\begin{aligned}f(s)&=\sum _{n=0}^{N}c_{n}\left(tp^{k}\right)^{n}\\&=f(r)+tp^{k}f'(r)+\sum _{n=2}^{N}c_{n}t^{n}p^{kn}\\&=f(r)+tp^{k}f'(r)+p^{2k}t^{2}g(t)&&g(t)\in \mathbb {Z} [t]\\&=zp^{k}+tp^{k}f'(r)+p^{2k}t^{2}g(t)&&f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}\\&=(z+tf'(r))p^{k}+p^{2k}t^{2}g(t)\end{aligned}}}$

За ${\displaystyle m\leqslant k,}$ у нас есть:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(s)\equiv 0{\bmod {p}}^{k+m}&\Longleftrightarrow (z+tf'(r))p^{k}\equiv 0{\bmod {p}}^{k+m}\\&\Longleftrightarrow z+tf'(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{m}\\&\Longleftrightarrow tf'(r)\equiv -z{\bmod {p}}^{m}\\&\Longleftrightarrow t\equiv -z[f'(r)]^{-1}{\bmod {p}}^{m}&&p\nmid f'(r)\end{aligned}}}$

Предположение, что ${\displaystyle f'(r)}$ не делится на п гарантирует, что ${\displaystyle f'(r)}$ имеет обратный мод ${\displaystyle p^{m}}$ который обязательно уникален. Следовательно, решение для т существует однозначно по модулю ${\displaystyle p^{m},}$ и s существует однозначно по модулю ${\displaystyle p^{k+m}.}$

Простое заявление

За ${\displaystyle f\in \mathbb {Z} _{p}[x]}$, если есть решение ${\displaystyle a_{0}}$ из ${\displaystyle f(a_{0})\equiv 0{\bmod {p}}}$ и ${\displaystyle f'(x)\equiv 0{\bmod {p}}}$ не имеет решений, то существует единственный лифт ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} _{p}}$ такой, что ${\displaystyle f(\alpha )=0}$. Обратите внимание, что с учетом решения ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} _{p}}$ куда ${\displaystyle f(\alpha )=0}$, его проекция на ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ дает решение ${\displaystyle f(\alpha )\equiv 0{\bmod {p}}}$, поэтому лемма Гензеля дает возможность принимать решения ${\displaystyle {\bmod {p}}}$ и дать решение в ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.

Наблюдения

Фробениус

Обратите внимание, что с учетом ${\displaystyle a\in \mathbb {F} _{p}}$ то Эндоморфизм Фробениуса ${\displaystyle (-)\mapsto (-)^{p}}$ дает многочлен ${\displaystyle x^{p}-a}$ который всегда имеет нулевую производную

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}x^{p}-a&=p\cdot x^{p-1}\\&\equiv 0\cdot x^{p-1}{\bmod {p}}\\&\equiv 0{\bmod {p}}\end{aligned}}}$

следовательно п-ые корни ${\displaystyle a}$ не существуют в ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$. За ${\displaystyle a=1}$, Из этого следует ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ не может содержать корень единства ${\displaystyle \mu _{p}}$.

Корни единства

Хотя ${\displaystyle p}$-корни из единства не содержатся в ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$, есть решения ${\displaystyle x^{p}-x=x(x^{p-1}-1)}$. Примечание

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}x^{p}-x&=px^{p-1}-1\\&\equiv -1{\bmod {p}}\end{aligned}}}$

никогда не равен нулю, поэтому, если существует решение, оно обязательно поднимается до ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$. Потому что Фробениус дает ${\displaystyle a^{p}=a}$, все ненулевые элементы ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$ решения. Фактически, это единственные корни единства, содержащиеся в ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$.^[2]

Хензель лифтинг

Используя лемму, можно «поднять» корень р полинома ж по модулю п^k к новому корню s по модулю п^k+1 такой, что р ≡ s мод п^k (принимая м= 1; принимая больше м следует по индукции). Фактически, корень по модулю п^k+1 также является корнем по модулю п^k, поэтому корни по модулю п^k+1 являются в точности поднятием корней по модулю п^k. Новый корень s конгруэнтно р по модулю п, поэтому новый корень также удовлетворяет ${\displaystyle f'(s)\equiv f'(r)\not \equiv 0{\bmod {p}}.}$ Так что подъем можно повторить, и начиная с решения р_k из ${\displaystyle f(x)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}}$ мы можем получить последовательность решений р_k+1, р_k+2, ... того же соответствия для последовательно более высоких степеней п, при условии ${\displaystyle f'(r_{k})\not \equiv 0{\bmod {p}}}$ для начального корня р_k. Это также показывает, что ж имеет такое же количество корней мод п^k как мод п^k+1, мод п ^k+2, или любой другой высшей степени п, при условии, что корни ж мод п^k все просто.

Что произойдет с этим процессом, если р это не простой корневой мод п? Предполагать

${\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}\quad {\text{and}}\quad f'(r)\equiv 0{\bmod {p}}.}$

потом ${\displaystyle s\equiv r{\bmod {p}}^{k}}$ подразумевает ${\displaystyle f(s)\equiv f(r){\bmod {p}}^{k+1}.}$ То есть, ${\displaystyle f(r+tp^{k})\equiv f(r){\bmod {p}}^{k+1}}$ для всех целых чисел т. Следовательно, у нас есть два случая:

• Если ${\displaystyle f(r)\not \equiv 0{\bmod {p}}^{k+1}}$ тогда нет отмены р к корню ж(Икс) по модулю п^k+1.
• Если ${\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k+1}}$ затем каждый подъем р по модулю п^k+1 это корень ж(Икс) по модулю п^k+1.

Пример. Чтобы увидеть оба случая, мы исследуем два разных многочлена с п = 2:

${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$ и р = 1. Тогда ${\displaystyle f(1)\equiv 0{\bmod {2}}}$ и ${\displaystyle f'(1)\equiv 0{\bmod {2}}.}$ У нас есть ${\displaystyle f(1)\not \equiv 0{\bmod {4}}}$ что означает, что никакое поднятие 1 до модуля 4 не является корнем ж(Икс) по модулю 4.

${\displaystyle g(x)=x^{2}-17}$ и р = 1. Тогда ${\displaystyle g(1)\equiv 0{\bmod {2}}}$ и ${\displaystyle g'(1)\equiv 0{\bmod {2}}.}$ Однако, поскольку ${\displaystyle g(1)\equiv 0{\bmod {4}},}$ мы можем поднять наше решение до модуля 4, и оба подъема (т.е. 1, 3) являются решениями. Производная по-прежнему равна 0 по модулю 2, поэтому априори мы не знаем, можем ли мы поднять их по модулю 8, но на самом деле можем, поскольку грамм(1) равно 0 по модулю 8 и грамм(3) равно 0 по модулю 8, что дает решения при 1, 3, 5 и 7 по модулю 8. Поскольку только из них грамм(1) и грамм(7) равны 0 по модулю 16, мы можем поднять только 1 и 7 по модулю 16, что дает 1, 7, 9 и 15 по модулю 16. Из них только 7 и 9 дают грамм(Икс) = 0 по модулю 32, поэтому их можно поднять, получив 7, 9, 23 и 25 по модулю 32. Оказывается, для любого целого числа k ≥ 3, имеется четыре подъема 1 по модулю 2 до корня грамм(Икс) мод 2^k.

Лемма Гензеля для п-адические числа

в п-адические числа, где мы можем понять рациональные числа по модулю степеней п при условии, что знаменатель не кратен п, рекурсия из р_k (мод на корни п^k) к р_k+1 (мод на корни п^k+1) можно выразить гораздо более интуитивно. Вместо того, чтобы выбирать т быть (y) целым числом, которое решает сравнение

${\displaystyle tf'(r_{k})\equiv -(f(r_{k})/p^{k}){\bmod {p}}^{m},}$

позволять т - рациональное число ( п^k здесь нет знаменателя, так как ж(р_k) делится на п^k):

${\displaystyle -(f(r_{k})/p^{k})/f'(r_{k}).}$

Затем установите

${\displaystyle r_{k+1}=r_{k}+tp^{k}=r_{k}-{\frac {f(r_{k})}{f'(r_{k})}}.}$

Эта дробь может быть не целым числом, но это п-адическое целое число и последовательность чисел р_k сходится в п-адические целые числа до корня ж(Икс) = 0. Кроме того, отображаемая рекурсивная формула для (нового) числа р_k+1 с точки зрения р_k точно Метод Ньютона для нахождения корней уравнений в действительных числах.

Работая непосредственно в п-adics и используя п-адическое абсолютное значение, существует версия леммы Гензеля, которую можно применить, даже если мы начнем с решения ж(а) ≡ 0 мод п такой, что ${\displaystyle f'(a)\equiv 0{\bmod {p}}.}$ Нам просто нужно убедиться, что номер ${\displaystyle f'(a)}$ не совсем 0. Эта более общая версия выглядит следующим образом: если есть целое число а который удовлетворяет:

${\displaystyle |f(a)|_{p}<|f'(a)|_{p}^{2},}$

то есть уникальный п-адическое целое число б такой ж(б) = 0 и ${\displaystyle |b-a|_{p}<|f'(a)|_{p}.}$ Построение б сводится к тому, чтобы показать, что рекурсия из метода Ньютона с начальным значением а сходится в п-adics и мы позволяем б быть пределом. Уникальность б как корень, соответствующий условию ${\displaystyle |b-a|_{p}<|f'(a)|_{p}}$ требуется дополнительная работа.

Приведенная выше формулировка леммы Гензеля (взяв ${\displaystyle m=1}$) является частным случаем этой более общей версии, поскольку условия, ж(а) ≡ 0 мод п и ${\displaystyle f'(a)\not \equiv 0{\bmod {p}}}$ скажи это ${\displaystyle |f(a)|_{p}<1}$ и ${\displaystyle |f'(a)|_{p}=1.}$

Примеры

Предположим, что п нечетное простое число и а ненулевой квадратичный вычет по модулю п. Тогда из леммы Гензеля следует, что а имеет квадратный корень в кольце п-адические целые числа ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$ Действительно, пусть ${\displaystyle f(x)=x^{2}-a.}$ Если р квадратный корень из а по модулю п тогда:

${\displaystyle f(r)=r^{2}-a\equiv 0{\bmod {p}}\quad {\text{and}}\quad f'(r)=2r\not \equiv 0{\bmod {p}},}$

где второе условие зависит от того, что п странно. Базовая версия леммы Гензеля говорит нам, что начиная с р₁ = р мы можем рекурсивно построить последовательность целых чисел ${\displaystyle \{r_{k}\}}$ такой, что:

${\displaystyle r_{k+1}\equiv r_{k}{\bmod {p}}^{k},\quad r_{k}^{2}\equiv a{\bmod {p}}^{k}.}$

Эта последовательность сходится к некоторому п-адическое целое число б что удовлетворяет б² = а. Фактически, б уникальный квадратный корень из а в ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ соответствует р₁ по модулю п. Наоборот, если а идеальный квадрат в ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ и не делится на п то это ненулевой квадратичный вычет по модулю п. Обратите внимание, что квадратичный закон взаимности позволяет легко проверить, а - ненулевой квадратичный вычет по модулю п, таким образом, мы получаем практический способ определить, какие п-адические числа (для п странно) иметь п-адический квадратный корень, и его можно расширить, чтобы охватить случай п = 2 с использованием более общей версии леммы Гензеля (ниже приводится пример с 2-адическими квадратными корнями из 17).

Чтобы сделать обсуждение выше более ясным, давайте найдем «квадратный корень из 2» (решение ${\displaystyle x^{2}-2=0}$) в 7-адических числах. По модулю 7 одно решение - 3 (мы также можем взять 4), поэтому мы полагаем ${\displaystyle r_{1}=3}$. Тогда лемма Гензеля позволяет нам найти ${\displaystyle r_{2}}$ следующее:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(r_{1})&=3^{2}-2=7\\f(r_{1})/p^{1}&=7/7=1\\f'(r_{1})&=2r_{1}=6\end{aligned}}}$

На основании чего выражение

${\displaystyle tf'(r_{1})\equiv -(f(r_{1})/p^{k}){\bmod {p}},}$

превращается в:

${\displaystyle t\cdot 6\equiv -1{\bmod {7}}}$

что подразумевает ${\displaystyle t=1.}$ Сейчас же:

${\displaystyle r_{2}=r_{1}+tp^{1}=3+1\cdot 7=10=13_{7}.}$

И конечно же, ${\displaystyle 10^{2}\equiv 2{\bmod {7}}^{2}.}$ (Если бы мы использовали рекурсию метода Ньютона непосредственно в 7-адиках, то ${\displaystyle r_{2}=r_{1}-f(r_{1})/f'(r_{1})=3-7/6=11/6,}$ и ${\displaystyle 11/6\equiv 10{\bmod {7}}^{2}.}$)

Мы можем продолжить и найти ${\displaystyle r_{3}=108=3+7+2\cdot 7^{2}=213_{7}}$. Каждый раз, когда мы проводим расчет (то есть для каждого последующего значения k), добавляется еще одна цифра с основанием 7 для следующей более высокой степени 7. В 7-адических целых числах эта последовательность сходится, и пределом является квадратный корень из 2 в ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$ который имеет начальное 7-адическое разложение

${\displaystyle 3+7+2\cdot 7^{2}+6\cdot 7^{3}+7^{4}+2\cdot 7^{5}+7^{6}+2\cdot 7^{7}+4\cdot 7^{8}+\cdots .}$

Если бы мы начали с первоначального выбора ${\displaystyle r_{1}=4}$ то лемма Гензеля даст квадратный корень из 2 в ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$ который соответствует 4 (mod 7) вместо 3 (mod 7), и на самом деле этот второй квадратный корень будет отрицательным из первого квадратного корня (что согласуется с 4 = −3 mod 7).

В качестве примера, когда исходная версия леммы Гензеля неверна, но более общая, пусть ${\displaystyle f(x)=x^{2}-17}$ и ${\displaystyle a=1.}$ потом ${\displaystyle f(a)=-16}$ и ${\displaystyle f'(a)=2,}$ так

${\displaystyle |f(a)|_{2}<|f'(a)|_{2}^{2},}$

откуда следует, что существует единственное 2-адическое целое число б удовлетворение

${\displaystyle b^{2}=17\quad {\text{and}}\quad |b-a|_{2}<|f'(a)|_{2}={\frac {1}{2}},}$

т.е. б ≡ 1 mod 4. В 2-адических целых числах есть два квадратных корня из 17, различающиеся знаком, и хотя они конгруэнтны по модулю 2, они не конгруэнтны по модулю 4. Это согласуется с общей версией леммы Гензеля, которая дает только уникальный 2-адический квадратный корень из 17, который конгруэнтен 1 по модулю 4, а не по модулю 2. Если бы мы начали с начального приближенного корня а = 3, то мы могли бы снова применить более общую лемму Гензеля, чтобы найти единственный 2-адический квадратный корень из 17, который конгруэнтен 3 по модулю 4. Это другой 2-адический квадратный корень из 17.

С точки зрения подъема корней ${\displaystyle x^{2}-17}$ от модуля 2^k до 2^k+1, подъемы, начиная с корня 1 по модулю 2, следующие:

1 мод 2 -> 1, 3 мод 4

1 мод 4 -> 1, 5 мод 8 и 3 мод 4 ---> 3, 7 мод 8

1 mod 8 -> 1, 9 mod 16 и 7 mod 8 ---> 7, 15 mod 16, а 3 mod 8 и 5 mod 8 не поднимаются до корней mod 16

9 mod 16 -> 9, 25 mod 32 и 7 mod 16 -> 7, 23 mod 16, а 1 mod 16 и 15 mod 16 не поднимают до корней mod 32.

Для каждого k минимум 3, есть четыре корни Икс² - 17 мод 2^k, но если мы посмотрим на их 2-адические разложения, то увидим, что попарно они сходятся к два 2-адические пределы. Например, четыре корня по модулю 32 разбиваются на две пары корней, каждая из которых выглядит одинаково по модулю 16:

9 = 1 + 2³ и 25 = 1 + 2³ + 2⁴.

7 = 1 + 2 + 2² и 23 = 1 + 2 + 2² + 2⁴.

2-адические квадратные корни из 17 имеют разложения

${\displaystyle 1+2^{3}+2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{9}+2^{10}+\cdots }$

${\displaystyle 1+2+2^{2}+2^{4}+2^{8}+2^{11}+\cdots }$

Другой пример, в котором мы можем использовать более общую версию леммы Гензеля, но не базовую, - это доказательство того, что любое 3-адическое целое число c ≡ 1 mod 9 - это куб в ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}.}$ Позволять ${\displaystyle f(x)=x^{3}-c}$ и возьмем начальное приближение а = 1. Основная лемма Гензеля не может быть использована для поиска корней ж(Икс) поскольку ${\displaystyle f'(r)\equiv 0{\bmod {3}}}$ для каждого р. Чтобы применить общую версию леммы Гензеля, мы хотим ${\displaystyle |f(1)|_{3}<|f'(1)|_{3}^{2},}$ что значит ${\displaystyle c\equiv 1{\bmod {2}}7.}$ То есть, если c ≡ 1 mod 27, то общая лемма Гензеля говорит нам ж(Икс) имеет 3-адический корень, поэтому c является 3-адическим кубом. Однако мы хотели получить этот результат при более слабом условии, что c ≡ 1 мод 9. Если c ≡ 1 мод 9, затем c ≡ 1, 10 или 19 mod 27. Мы можем применить общую лемму Гензеля трижды в зависимости от значения c мод 27: если c ≡ 1 мод 27, затем используйте а = 1, если c ≡ 10 mod 27, затем используйте а = 4 (так как 4 является корнем ж(Икс) mod 27), а если c ≡ 19 мод 27, затем используйте а = 7. (Неверно, что каждый c ≡ 1 mod 3 - это 3-адический куб, например, 4 не является 3-адическим кубом, так как это не куб mod 9.)

Аналогичным образом, после некоторой предварительной работы, лемма Гензеля может быть использована, чтобы показать, что для любого странный простое число п, любой п-адическое целое число c конгруэнтно 1 по модулю п² это п-я степень в ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$ (Это неверно для п = 2.)

Обобщения

Предполагать А это коммутативное кольцо, полный в отношении идеальный ${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$ и разреши ${\displaystyle f(x)\in A[x].}$ а ∈ А называется «приблизительным корнем» ж, если

${\displaystyle f(a)\equiv 0{\bmod {f}}'(a)^{2}{\mathfrak {m}}.}$

Если ж имеет приблизительный корень, тогда он имеет точный корень б ∈ А "рядом с" а; то есть,

${\displaystyle f(b)=0\quad {\text{and}}\quad b\equiv a{\bmod {\mathfrak {m}}}.}$

Кроме того, если ${\displaystyle f'(a)}$ не является делителем нуля, то б уникален.

Этот результат можно обобщить на несколько переменных следующим образом:

Теорема. Предполагать А - коммутативное кольцо, полное относительно идеала ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subset A.}$ Позволять ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}\in A[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ быть системой п многочлены от п переменные над А. Вид ${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{1},\ldots ,f_{n}),}$ как отображение из А^п себе, и пусть ${\displaystyle J_{\mathbf {f} }(\mathbf {x} )}$ обозначить его Матрица якобиана. Предполагать а = (а₁, ..., а_п) ∈ А^п приближенное решение ж = 0 в том смысле, что

${\displaystyle f_{i}(\mathbf {a} )\equiv 0{\bmod {(}}\det J_{\mathbf {f} }(a))^{2}{\mathfrak {m}},\qquad 1\leqslant i\leqslant n.}$

Тогда есть некоторые б = (б₁, ..., б_п) ∈ А^п удовлетворение ж(б) = 0, т.е.

${\displaystyle f_{i}(\mathbf {b} )=0,\qquad 1\leqslant i\leqslant n.}$

Кроме того, это решение «близко» к а в том смысле, что

${\displaystyle b_{i}\equiv a_{i}{\bmod {\det }}J_{\mathbf {f} }(a){\mathfrak {m}},\qquad 1\leqslant i\leqslant n.}$

В частном случае, если ${\displaystyle f_{i}(\mathbf {a} )\equiv 0{\bmod {\mathfrak {m}}}}$ для всех я и ${\displaystyle \det J_{\mathbf {f} }(\mathbf {a} )}$ единица в А тогда есть решение ж(б) = 0 с ${\displaystyle b_{i}\equiv a_{i}{\bmod {\mathfrak {m}}}}$ для всех я.

Когда п = 1, а = а является элементом А и ${\displaystyle J_{\mathbf {f} }(\mathbf {a} )=J_{f}(a)=f'(a).}$ Условия этой леммы Гензеля о многих переменных сводятся к условиям, сформулированным в лемме Гензеля об одной переменной.

Связанные понятия

Полнота кольца не является необходимым условием для того, чтобы кольцо обладало гензелевым свойством: Горо Адзумая в 1950 г. определил коммутативный местное кольцо удовлетворяющие гензелевости для максимальный идеал м быть Гензельское кольцо.

Масаёши Нагата в 1950-х годах доказал, что для любого коммутативного локального кольца А с максимальным идеалом м всегда существует самое маленькое кольцо А^час содержащий А такой, что А^час гензелев по отношению к мА^час. Этот А^час называется Хенселизация из А. Если А является нётерский, А^час также будет нётерским, и А^час явно алгебраический, поскольку он построен как предел этальные кварталы. Это означает, что А^час обычно намного меньше, чем завершение Â сохраняя при этом гензелевскую собственность и оставаясь в том же категория^{[требуется разъяснение ]}.

Смотрите также

• Теорема Хассе – Минковского
• Многоугольник Ньютона
• Локально компактное поле
• Лемма о поднятии экспоненты

Рекомендации

1. Серж Ланг, Алгебраическая теория чисел, Addison-Wesley Publishing Company, 1970, стр. 43
2. Конрад, Кит. "Лемма Гензеля" (PDF). п. 4.

• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра, Тексты для выпускников по математике, 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN  978-0-387-94269-8, МИСТЕР  1322960
• Милн, Дж. Г. (1980), Этальные когомологии, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08238-7