Гензельское кольцо - Henselian ring

В математике Гензельское кольцо (или же Кольцо Hensel) это местное кольцо в котором Лемма Гензеля держит. Их представил Адзумая (1951), который назвал их в честь Курт Хенсель. Изначально Адзумая позволяла гензелевским кольцам быть некоммутативными, но теперь большинство авторов ограничивают их коммутативностью.

Некоторые стандартные ссылки для колец Гензеля: (Нагата 1962, Глава VII), (Рейно 1970 ), и (Гротендик 1967, Глава 18).

Определения

В этой статье предполагается, что кольца коммутативны, хотя существует также теория некоммутативных гензелевых колец.

Местное кольцо р с максимальный идеал м называется Хенселян если верна лемма Гензеля. Это означает, что если п это монический многочлен в р[Икс], то любая факторизация его изображения п в (р/м)[Икс] в произведение взаимно простых монических многочленов можно поднять до факторизации по р[Икс].

Локальное кольцо является гензелевым тогда и только тогда, когда каждое конечное расширение кольца является произведением локальных колец.

Гензелево локальное кольцо называется строго генсельский если это поле вычетов является раздельно закрытый.

Поле с оценка называется гензелевым, если его оценочное кольцо гензелево.

Кольцо называется гензелевым, если оно является прямым произведением конечного числа локальных гензелевых колец.

Гензелевы кольца в алгебраической геометрии

Гензелевы кольца - это локальные кольца «точек» относительно Топология Нисневича, поэтому спектры этих колец не допускают нетривиальных связных покрытий относительно топологии Нисневича. Точно так же строгие гензелевы кольца - это локальные кольца геометрических точек в этальная топология.

Хенселизация

Для любого местного кольца А есть универсальное гензелевское кольцо B создано А, называется Хенселизация из А, представлен Нагата (1953), такой, что любой локальный гомоморфизм из А на гензелево кольцо однозначно продолжается до B. Хенселизация А единственно с точностью до единственного изоморфизма. Хенселизация А является алгебраической заменой пополнения А. Хенселизация А имеет то же поле завершения и вычетов, что и А и является плоским модулем над А. Если А нетеровский, редуцированный, нормальный, обычный или отлично тогда такова его Хенселизация. Например, генселизация кольца многочленов k[Икс,у, ...], локализованное в точке (0,0, ...), является кольцо алгебраических формальных степенных рядов (формальных степенных рядов, удовлетворяющих алгебраическому уравнению). Это можно рассматривать как «алгебраическую» часть завершения.

Аналогично существует строго гензелево кольцо, порожденное А, называется строгая хенселизация из А. Строгая хенселизация не совсем универсальна: она уникальна, но только до неуникальный изоморфизм. Точнее, это зависит от выбора сепарабельного алгебраического замыкания поля вычетов А, а автоморфизмы этого сепарабельного алгебраического замыкания соответствуют автоморфизмам соответствующей строгой гензелизации. Например, строгая хенселизация поля п-адические числа задаются максимальным неразветвленным расширением, порожденным всеми корнями из единицы порядка, простого с п. Это не «универсальный», поскольку он имеет нетривиальные автоморфизмы.

Примеры

  • Каждое поле является гензелевым локальным кольцом.
  • Завершите местные кольца хаусдорфа, например, кольцо p-адические целые числа а кольца формальных степенных рядов над полем - гензелевы.
  • Кольца сходящихся степенных рядов по действительным или комплексным числам являются гензелевыми.
  • Кольца алгебраических степенных рядов над полем гензелевы.
  • Местное кольцо, которое интеграл над гензелевское кольцо является гензелевским.
  • Хензелизация локального кольца - это хензелево локальное кольцо.
  • Каждый частное гензелевского кольца является гензелевым.
  • Кольцо А является гензелевым тогда и только тогда, когда ассоциированный уменьшенное кольцо Акрасный гензелевский (это частное от А посредством идеал нильпотентных элементов ).
  • Если А имеет только один простой идеал, то он генселианский, поскольку Акрасный это поле.

Рекомендации