Поле остатков - Residue field

В математика, то поле вычетов это базовая конструкция в коммутативная алгебра. Если р это коммутативное кольцо и м это максимальный идеал, то поле вычетов - это кольцо частного k = р/м, который является поле.^[1] Часто, р это местное кольцо и м тогда является его единственным максимальным идеалом.

Эта конструкция применяется в алгебраическая геометрия, где в каждую точку Икс из схема Икс один связывает его поле вычетов k(Икс).^[2] Немного свободно можно сказать, что поле вычетов точки абстрактного алгебраическое многообразие - «естественная область» для координат точки.^{[требуется разъяснение ]}

Определение

Предположим, что р коммутативный местное кольцо, с максимальным идеалом м. Тогда поле вычетов фактор-кольцо р/м.

Теперь предположим, что Икс это схема и Икс это точка Икс. По определению схемы мы можем найти аффинную окрестность U = Спецификация (А), с участием А немного коммутативное кольцо. Считается по соседству U, смысл Икс соответствует главный идеал п ⊂ А (увидеть Топология Зарисского ). В местное кольцо из Икс в Икс по определению локализация р = А_п, с максимальным идеалом м = p · A_п. Применяя приведенную выше конструкцию, получаем поле вычетов точки Икс:

k(Икс) := А_п / п·А_п.

Можно доказать, что это определение не зависит от выбора аффинной окрестности U.^[3]

Точка называется K-рациональный для определенного поля K, если k(Икс) = K.^[4]

пример

Рассмотрим аффинная линия А¹(k) = Спец (k[т]) через поле k. Если k является алгебраически замкнутый, существует ровно два типа простых идеалов, а именно

(т − а), а ∈ k
(0), нулевой идеал.

Поля вычетов

${Displaystyle к [т] _ {(т-а)} / (т-а) к [т] _ {(т-а)} конг к}$
${displaystyle k [t] _ {(0)} cong k (t)}$ , поле функции над k в одной переменной.

Если k не является алгебраически замкнутым, то возникает больше типов, например, если k = р, то простой идеал (Икс² + 1) имеет поле вычетов, изоморфное C.

Свойства

Для схемы локально конечный тип над полем k, точка Икс закрыто тогда и только тогда, когда k(Икс) является конечным расширением базового поля k. Это геометрическая формулировка Nullstellensatz Гильберта. В приведенном выше примере точки первого рода замкнуты, имея поле вычетов k, а вторая точка - это общая точка, имея степень трансцендентности 1 больше k.
Морфизм Spec (K) → Икс, K какое-то поле эквивалентно заданию точки Икс ∈ Икс и расширение K/k(Икс).
В измерение схемы конечного типа над полем равна степени трансцендентности поля вычетов общей точки.

использованная литература

^ Dummit, D. S .; Фут, Р. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Вайли. ISBN 9780471433347.
^ Дэвид Мамфорд (1999). Красная книга разновидностей и схем: включает лекции в Мичигане (1974 г.) о кривых и их якобианах (2-е изд.). Springer-Verlag. Дои:10.1007 / b62130. ISBN 3-540-63293-X.
^ Интуитивно поле вычетов точки является локальным инвариантом. Аксиомы схем устанавливаются таким образом, чтобы гарантировать совместимость между различными аффинными открытыми окрестностями точки, что подразумевает утверждение.
^ Гёрц, Ульрих и Ведхорн, Торстен. Алгебраическая геометрия: Часть 1: Схемы (2010) Vieweg + Teubner Verlag.

дальнейшее чтение

Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Г-Н 0463157, раздел II.2

[1] Dummit, D. S .; Фут, Р. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Вайли. ISBN 9780471433347.

[2] Дэвид Мамфорд (1999). Красная книга разновидностей и схем: включает лекции в Мичигане (1974 г.) о кривых и их якобианах (2-е изд.). Springer-Verlag. Дои:10.1007 / b62130. ISBN 3-540-63293-X.

[3] Интуитивно поле вычетов точки является локальным инвариантом. Аксиомы схем устанавливаются таким образом, чтобы гарантировать совместимость между различными аффинными открытыми окрестностями точки, что подразумевает утверждение.

[4] Гёрц, Ульрих и Ведхорн, Торстен. Алгебраическая геометрия: Часть 1: Схемы (2010) Vieweg + Teubner Verlag.

[1]

[2]

[3]

[4]