Расширение поля - Field extension

В математика, особенно в алгебра, а расширение поля пара поля ${displaystyle Esubseteq F,}$ так что операции E те из F ограниченный к E. В этом случае, F является поле расширения из E и E это подполе из F.^[1]^[2]^[3] Например, согласно обычным понятиям добавление и умножение, то сложные числа являются расширенным полем действительные числа; действительные числа - это подполе комплексных чисел.

Расширения полей имеют фундаментальное значение в алгебраическая теория чисел, а при изучении полиномиальные корни через Теория Галуа, и широко используются в алгебраическая геометрия.

Подполе

А подполе из поле L это подмножество K из L это поле по отношению к полевым операциям, унаследованным от L. Эквивалентно подполе - это подмножество, содержащее 1, и закрыто при операциях сложения, вычитания, умножения и взятия обратный ненулевого элемента L.

В качестве $1 - 1 = 0$ , из последнего определения следует K и L имеют тот же нулевой элемент.

Например, поле рациональное число является подполем действительные числа, которое само является подполем комплексных чисел. В более общем смысле, поле рациональных чисел есть (или изоморфный к) подполе любого поля характеристика 0.

В характеристика подполя такая же, как и характеристика большего поля.

Поле расширения

Если K является подполем L, тогда L является поле расширения или просто расширение из K, и эта пара полей является расширение поля. Такое расширение поля обозначается L / K (читать как "L над K").

Если L является продолжением F, который, в свою очередь, является продолжением K, тогда F считается промежуточное поле (или же промежуточное расширение или же подрасширение) из L / K.

Учитывая расширение поля L / K, большее поле L это K-векторное пространство. В измерение этого векторного пространства называется степень расширения и обозначается [L : K].

Степень расширения равна 1 тогда и только тогда, когда два поля равны. В этом случае расширение - это тривиальное расширение. Расширения 2 и 3 степени называются квадратичные расширения и кубические расширения, соответственно. А конечное расширение является расширением конечной степени.

Учитывая два расширения L / K и M / L, расширение M / K конечно тогда и только тогда, когда оба L / K и M / L конечны. В этом случае

{displaystyle [M: K] = [M: L] cdot [L: K].}

Учитывая расширение поля L / K и подмножество S из L, есть наименьшее подполе L который содержит K и S. Это пересечение всех подполей поля L которые содержат K и S, и обозначается K(S). Один говорит, что K(S) - поле генерируется к S над K, и это S это генераторная установка из K(S) над K. Когда ${displaystyle S = {x_ {1}, ldots, x_ {n}}}$ конечно, пишут ${displaystyle K (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$ вместо ${displaystyle K ({x_ {1}, ldots, x_ {n}}),}$ и один говорит, что K(S) конечно порождена над K. Если S состоит из одного элемента s, расширение K(s) / K называется простое расширение^[4]^[5] и s называется примитивный элемент расширения.^[6]

Поле расширения формы K(S) часто говорят, что это результат примыкание из S к K.^[7]^[8]

В характеристика 0 каждое конечное расширение является простым расширением. Это теорема о примитивном элементе, что неверно для полей ненулевой характеристики.

Если простое расширение K(s) / K не конечно, поле K(s) изоморфно полю рациональные дроби в s над K.

Предостережения

Обозначение L / K носит чисто формальный характер и не предполагает образования кольцо частного или же факторгруппа или любое другое разделение. Вместо этого косая черта выражает слово «сверх». В некоторой литературе обозначения L:K используется.

Часто бывает желательно говорить о расширениях полей в ситуациях, когда маленькое поле фактически не содержится в большом, а естественно встроено. С этой целью можно абстрактно определить расширение поля как инъективный кольцевой гомоморфизм между двумя полями.Каждый ненулевой гомоморфизм колец между полями инъективен, потому что поля не обладают нетривиальными собственными идеалами, поэтому расширения полей - это в точности морфизмы в категория полей.

В дальнейшем мы будем подавлять инъективный гомоморфизм и предполагать, что имеем дело с актуальными подполями.

Примеры

Поле комплексных чисел ${displaystyle mathbb {C}}$ является расширенным полем поля действительные числа ${displaystyle mathbb {R},}$ и ${displaystyle mathbb {R}}$ в свою очередь является расширением поля рациональных чисел ${displaystyle mathbb {Q}.}$ Ясно тогда, ${displaystyle mathbb {C} / mathbb {Q}}$ также является расширением поля. У нас есть ${displaystyle [mathbb {C}: mathbb {R}] = 2}$ потому что ${displaystyle {1, i}}$ является основой, поэтому расширение ${displaystyle mathbb {C} / mathbb {R}}$ конечно. Это простое расширение, потому что ${displaystyle mathbb {C} = mathbb {R} (i).}$ ${displaystyle [mathbb {R}: mathbb {Q}] = {mathfrak {c}}}$ (в мощность континуума ), поэтому это расширение бесконечно.

Поле

{displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {2}}) = left.left {a + b {sqrt {2}} ight | a, bin mathbb {Q} ight},}

это поле расширения ${displaystyle mathbb {Q},}$ также явно простое расширение. Степень 2, потому что ${displaystyle {1, {sqrt {2}}}}$ может служить основой.

Поле

{displaystyle {egin {выравнивается} mathbb {Q} ({sqrt {2}}, {sqrt {3}}) & = mathbb {Q} ({sqrt {2}}) ({sqrt {3}}) & = left.left {a + b {sqrt {3}} ight | a, bin mathbb {Q} ({sqrt {2}}) ight} & = left.left {a + b {sqrt {2}} + c {sqrt {3}} + d {sqrt {6}} ight | a, b, c, din mathbb {Q} ight}, конец {выровнено}}}

является полем расширения обоих ${displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {2}})}$ и ${displaystyle mathbb {Q},}$ степени 2 и 4 соответственно. Это также простое расширение, поскольку можно показать, что

{displaystyle {egin {выровнено} mathbb {Q} ({sqrt {2}}, {sqrt {3}}) & = mathbb {Q} ({sqrt {2}} + {sqrt {3}}) & = left.left {a + b ({sqrt {2}} + {sqrt {3}}) + c ({sqrt {2}} + {sqrt {3}}) ^ {2} + d ({sqrt {2 }} + {sqrt {3}}) ^ {3} ight | a, b, c, din mathbb {Q} ight} .end {выровнено}}}

Конечные расширения ${displaystyle mathbb {Q}}$ также называются поля алгебраических чисел и важны в теория чисел. Еще одно поле расширения рациональных чисел, которое также важно в теории чисел, хотя и не является конечным расширением, - это поле p-адические числа ${displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ для простого числа п.

Обычно создается поле расширения данного поля K как кольцо частного из кольцо многочленов K[Икс], чтобы «создать» корень для данного полинома ж(Икс). Предположим, например, что K не содержит никаких элементов Икс с Икс² = -1. Тогда многочлен ${displaystyle X ^ {2} +1}$ является несводимый в K[Икс], следовательно, идеальный порожденный этим многочленом максимальный, и ${displaystyle L = K [X] / (X ^ {2} +1)}$ это поле расширения K который делает содержат элемент, квадрат которого равен −1 (а именно, класс вычетов Икс).

Повторяя приведенную выше конструкцию, можно построить поле расщепления любого полинома из K[Икс]. Это поле расширения L из K в котором данный многочлен разбивается на произведение линейных множителей.

Если п есть ли простое число и п положительное целое число, мы имеем конечное поле GF (п^п) с п^п элементы; это поле расширения конечного поля ${displaystyle operatorname {GF} (p) = mathbb {Z} / pmathbb {Z}}$ с п элементы.

Учитывая поле K, можно рассмотреть поле K(Икс) из всех рациональные функции в переменной Икс с коэффициентами в K; элементы K(Икс) являются долями двух многочлены над K, и действительно K(Икс) это поле дробей кольца многочленов K[Икс]. Это поле рациональных функций является расширенным полем K. Это расширение бесконечно.

Учитывая Риманова поверхность M, набор всех мероморфные функции определено на M поле, обозначаемое ${displaystyle mathbb {C} (M).}$ Это трансцендентное поле расширения ${displaystyle mathbb {C}}$ если мы отождествим каждое комплексное число с соответствующим постоянная функция определено на M. В более общем плане, учитывая алгебраическое многообразие V над каким-то полем K, то функциональное поле из V, состоящий из рациональных функций, определенных на V и обозначается K(V), является полем расширения K.

Алгебраическое расширение

Элемент Икс расширения поля L / K алгебраичен над K если это корень ненулевого многочлен с коэффициентами в K. Например, ${displaystyle {sqrt {2}}}$ является алгебраическим над рациональными числами, поскольку является корнем ${displaystyle x ^ {2} -2.}$ Если элемент Икс из L алгебраичен над K, то монический многочлен низшей степени, имеющей Икс как корень называется минимальный многочлен из Икс. Этот минимальный многочлен равен несводимый над K.

Элемент s из L алгебраичен над K тогда и только тогда, когда простое расширение K(s) /K является конечным расширением. В этом случае степень расширения равна степени минимального многочлена, а базис K-векторное пространство K(s) состоит из ${displaystyle 1, s, s ^ {2}, ldots, s ^ {d-1},}$ куда d - степень минимального многочлена.

Набор элементов L которые являются алгебраическими над K образуют подрасширение, которое называется алгебраическое замыкание из K в L. Это следует из предыдущей характеристики: если s и т алгебраичны, расширения K(s) /K и K(s)(т) /K(s) конечны. Таким образом K(s, т) /K также конечно, как и подрасширения K(s ± т) /K, K(ул) /K и K(1/s) /K (если s ≠ 0). Следует, что s ± т, ул и 1 /s все алгебраические.

An алгебраическое расширение L / K - расширение такое, что каждый элемент L алгебраичен над K. Эквивалентно, алгебраическое расширение - это расширение, которое порождается алгебраическими элементами. Например, ${displaystyle mathbb {Q} ({sqrt {2}}, {sqrt {3}})}$ является алгебраическим расширением ${displaystyle mathbb {Q}}$ , потому что ${displaystyle {sqrt {2}}}$ и ${displaystyle {sqrt {3}}}$ алгебраичны над ${displaystyle mathbb {Q}.}$

Простое расширение - алгебраическое. если и только если конечно. Отсюда следует, что расширение является алгебраическим тогда и только тогда, когда оно является объединением своих конечных подрасширений, и что каждое конечное расширение является алгебраическим.

Каждое поле K имеет алгебраическое замыкание, которое вплоть до изоморфизм наибольшего поля расширения K который является алгебраическим над K, а также наименьшее поле расширения такое, что каждый многочлен с коэффициентами в K в нем есть корень. Например, ${displaystyle mathbb {C}}$ является алгебраическим замыканием ${displaystyle mathbb {R},}$ но не алгебраическое замыкание ${displaystyle mathbb {Q},}$ поскольку это не алгебраически ${displaystyle mathbb {Q}}$ (Например $π$ не является алгебраическим над ${displaystyle mathbb {Q}}$ ).

Трансцендентальное расширение

Учитывая расширение поля L / K, подмножество S из L называется алгебраически независимый над K если нет нетривиального полиномиального соотношения с коэффициентами в K существует среди элементов S. Наибольшая мощность алгебраически независимого множества называется степень превосходства из L/K. Всегда можно найти набор S, алгебраически независимая над K, так что L/K(S) является алгебраическим. Такой набор S называется основа трансцендентности из L/K. Все базы трансцендентности имеют одинаковую мощность, равную степени трансцендентности расширения. Расширение L/K как говорят чисто трансцендентный тогда и только тогда, когда существует основание трансцендентности S из L/K такой, что L = K(S). Такое расширение обладает тем свойством, что все элементы L кроме тех из K трансцендентны над K, но, тем не менее, существуют расширения с этим свойством, которые не являются чисто трансцендентными - класс таких расширений имеет вид L/K где оба L и K алгебраически замкнуты. Кроме того, если L/K чисто трансцендентный и S является основой трансцендентности расширения, из этого не обязательно следует, что L = K(S). Например, рассмотрим расширение ${displaystyle mathbb {Q} (x, {sqrt {x}}) / mathbb {Q},}$ куда Икс трансцендентален ${displaystyle mathbb {Q}.}$ Набор ${displaystyle {x}}$ алгебраически независима, поскольку Икс трансцендентен. Очевидно, расширение ${displaystyle mathbb {Q} (x, {sqrt {x}}) / mathbb {Q} (x)}$ алгебраический, следовательно ${displaystyle {x}}$ это основа трансцендентности. Он не генерирует все расширение, потому что в нем нет полиномиального выражения ${displaystyle x}$ за ${displaystyle {sqrt {x}}}$ . Но легко увидеть, что ${displaystyle {{sqrt {x}}}}$ это основа трансцендентности, которая порождает ${displaystyle mathbb {Q} (x, {sqrt {x}}),}$ так что это расширение действительно чисто трансцендентно.)

Нормальные, разделимые и Галуа расширения

Алгебраическое расширение L/K называется нормальный если каждый неприводимый многочлен в K[Икс], имеющий корень в L полностью разложить на линейные множители L. Каждое алгебраическое расширение F/K допускает нормальное закрытие L, которое является полем расширения F такой, что L/K является нормальным и минимальным с этим свойством.

Алгебраическое расширение L/K называется отделяемый если минимальный многочлен каждого элемента L над K является отделяемый, т.е. не имеет повторяющихся корней в алгебраическом замыкании над K. А Расширение Галуа является расширением поля, которое является как нормальным, так и разделяемым.

Следствие теорема о примитивном элементе утверждает, что каждое конечное отделимое расширение имеет примитивный элемент (т.е. простое).

Учитывая любое расширение поля L/K, мы можем считать его группа автоморфизмов Aut (L/K), состоящий из всего поля автоморфизмы α: L → L с α(Икс) = Икс для всех Икс в K. Когда расширение Галуа, эта группа автоморфизмов называется Группа Галуа расширения. Расширения, группа Галуа которых абелевский называются абелевы расширения.

Для данного расширения поля L/K, часто интересуют промежуточные поля F (подполя L которые содержат K). Значение расширений Галуа и групп Галуа состоит в том, что они позволяют полностью описать промежуточные поля: существует биекция между промежуточными полями и подгруппы группы Галуа, описываемой основная теорема теории Галуа.

Обобщения

Расширения полей можно обобщить на удлинители кольца которые состоят из звенеть и один из его подколец. Более близким некоммутативным аналогом являются центральные простые алгебры (CSA) - расширения кольца над полем, которые простая алгебра (нет нетривиальных двусторонних идеалов, как для поля) и где центр кольца - это в точности поле. Например, единственным расширением конечного поля действительных чисел являются комплексные числа, тогда как кватернионы представляют собой центральную простую алгебру над действительными числами, а все CSA над действительными числами являются Эквивалент Брауэра к реалам или кватернионам. CSA можно далее обобщить на Адзумая алгебры, где базовое поле заменено коммутативным местное кольцо.

Расширение скаляров

Учитывая расширение поля, можно "расширить скаляры "на связанных алгебраических объектах. Например, учитывая реальное векторное пространство, можно создать комплексное векторное пространство с помощью комплексирование. Помимо векторных пространств, можно выполнить расширение скаляров для ассоциативные алгебры определены над полем, например многочлены или групповые алгебры и связанные групповые представления. Расширение скаляров многочленов часто используется неявно, просто рассматривая коэффициенты как элементы большего поля, но также может рассматриваться более формально. Расширение скаляров имеет множество приложений, как обсуждалось в расширение скаляров: приложения.

Смотрите также

Примечания

^ Фрали (1976), п. 293)
^ Герштейн (1964, п. 167)
^ Маккой (1968), п. 116)
^ Фрали (1976), п. 298)
^ Герштейн (1964, п. 193)
^ Фрали (1976), п. 363)
^ Фрали (1976), п. 319)
^ Герштейн (1964, п. 169)

внешняя ссылка

«Расширение поля», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Фрали (1976), п. 293)

[2] Герштейн (1964, п. 167)

[3] Маккой (1968), п. 116)

[4] Фрали (1976), п. 298)

[5] Герштейн (1964, п. 193)

[6] Фрали (1976), п. 363)

[7] Фрали (1976), п. 319)

[8] Герштейн (1964, п. 169)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]