Степень расширения поля - Degree of a field extension

В математика, более конкретно теория поля, то степень расширения поля это грубая мера "размера" расширение поля. Эта концепция играет важную роль во многих разделах математики, включая алгебра и теория чисел - действительно в любом районе, где поля появляются на видном месте.

Определение и обозначения

Предположим, что E/F это расширение поля. потом E можно рассматривать как векторное пространство над F (поле скаляров). В измерение этого векторного пространства называется степень расширения поля, и обозначается [E: F].

Степень может быть конечной или бесконечной, поле называется конечное расширение или же бесконечное расширение соответственно. Расширение E/F также иногда говорят, что это просто конечный если это конечное расширение; это не следует путать с самими полями, конечные поля (поля с конечным числом элементов).

Степень не следует путать с степень превосходства поля; например, поле Q(Икс) из рациональные функции имеет бесконечную степень над Q, но степень трансцендентности равна только 1.

Формула мультипликативности для степеней

Учитывая три поля, расположенных в виде башня, сказать K подполе L что, в свою очередь, является подполем M, существует простая связь между степенями трех расширений L/K, M/L и M/K:

{ Displaystyle [M: K] = [M: L] cdot [L: K].}

Другими словами, градус, идущий от «нижнего» поля к «верхнему», - это просто произведение градусов, идущего от «низа» к «середине», а затем от «середины» к «верху». Это вполне аналогично Теорема Лагранжа в теория групп, который связывает порядок группы с порядком и индекс подгруппы - действительно Теория Галуа показывает, что эта аналогия - больше, чем просто совпадение.

Формула верна как для конечных, так и для бесконечных расширений степеней. В бесконечном случае продукт интерпретируется в смысле продуктов Количественные числительные. В частности, это означает, что если M/K конечно, то оба M/L и L/K конечны.

Если M/K конечно, то формула накладывает строгие ограничения на типы полей, которые могут встречаться между M и K, из простых арифметических соображений. Например, если степень [M:K] это простое число п, то для любого промежуточного поля L, может произойти одно из двух: либо [M:L] = п и [L:K] = 1, и в этом случае L равно K, или же [M:L] = 1 и [L:K] = п, в таком случае L равно M. Поэтому промежуточных полей нет (кроме M и K самих себя).

Доказательство формулы мультипликативности в конечном случае

Предположим, что K, L и M образуют башню из полей, как в приведенной выше формуле степени, и что оба d = [L:K] и е = [M:L] конечны. Это означает, что мы можем выбрать основа {ты₁, ..., ты_d} за L над K, а основа {ш₁, ..., ш_е} за M над L. Покажем, что элементы ты_мш_п, за м от 1, 2, ..., d и п от 1, 2, ..., е, составляют основу M/K; поскольку есть именно де из них это доказывает, что размер M/K является де, что и является желаемым результатом.

Сначала проверяем, что они охватывать M/K. Если Икс любой элемент M, то поскольку ш_п сформировать основу для M над L, мы можем найти элементы а_п в L такой, что

{ displaystyle x = sum _ {n = 1} ^ {e} a_ {n} w_ {n} = a_ {1} w_ {1} + cdots + a_ {e} w_ {e}.}

Тогда, поскольку ты_м сформировать основу для L над K, мы можем найти элементы б_м,п в K так что для каждого п,

{ displaystyle a_ {n} = sum _ {m = 1} ^ {d} b_ {m, n} u_ {m} = b_ {1, n} u_ {1} + cdots + b_ {d, n } u_ {d}.}

Затем с помощью распределительный закон и ассоциативность умножения в M у нас есть

{ displaystyle x = sum _ {n = 1} ^ {e} left ( sum _ {m = 1} ^ {d} b_ {m, n} u_ {m} right) w_ {n} = sum _ {n = 1} ^ {e} sum _ {m = 1} ^ {d} b_ {m, n} (u_ {m} w_ {n}),}

что показывает, что Икс является линейной комбинацией ты_мш_п с коэффициентами из K; другими словами они охватывают M над K.

Во-вторых, мы должны проверить, что они линейно независимый над K. Итак, предположим, что

{ displaystyle 0 = sum _ {n = 1} ^ {e} sum _ {m = 1} ^ {d} b_ {m, n} (u_ {m} w_ {n})}

для некоторых коэффициентов б_м,п в K. Используя снова дистрибутивность и ассоциативность, мы можем сгруппировать термины как

{ displaystyle 0 = sum _ {n = 1} ^ {e} left ( sum _ {m = 1} ^ {d} b_ {m, n} u_ {m} right) w_ {n}, }

и мы видим, что члены в круглых скобках должны быть нулевыми, потому что они являются элементами L, а ш_п линейно независимы над L. То есть,

{ displaystyle 0 = sum _ {m = 1} ^ {d} b_ {m, n} u_ {m}}

для каждого п. Тогда, поскольку б_м,п коэффициенты в K, а ты_м линейно независимы над K, мы должны иметь это б_м,п = 0 для всех м и все п. Это показывает, что элементы ты_мш_п линейно независимы над K. Это завершает доказательство.

Доказательство формулы в бесконечном случае

В этом случае мы начинаем с баз ты_α и ш_β из L/K и M/L соответственно, где α берется из набора индексации А, и β из набора индексации B. Используя аргумент, полностью аналогичный приведенному выше, мы находим, что товары ты_αш_β сформировать основу для M/K. Они индексируются декартово произведение А × B, который по определению имеет мощность равный произведению мощностей А и B.

Примеры

В сложные числа являются расширением поля над действительные числа со степенью [C:р] = 2, а значит нет нетривиальных поля между ними.
Расширение поля Q(√2, √3), полученный присоединением √2 и √3 в поле Q из рациональное число, имеет степень 4, то есть [Q(√2, √3):Q] = 4. Промежуточное поле Q(√2) имеет степень 2 выше Q; мы заключаем из формулы мультипликативности, что [Q(√2, √3):Q(√2)] = 4/2 = 2.
В конечное поле (Поле Галуа) GF(125) = GF(5³) имеет степень 3 над своим подполем GF(5). В более общем смысле, если п это простое и п, м положительные целые числа с п разделение м, тогда [GF(п^м):GF(п^п)] = м/п.
Расширение поля C(Т)/C, куда C(Т) - поле рациональные функции над C, имеет бесконечную степень (действительно, это чисто трансцендентный расширение). Это можно увидеть, заметив, что элементы 1, Т, Т²и т. д., линейно независимы над C.
Расширение поля C(Т²) также имеет бесконечную степень над C. Однако если мы рассмотрим C(Т²) как подполе C(Т), то на самом деле [C(Т):C(Т²)] = 2. В более общем случае, если Икс и Y находятся алгебраические кривые над полем K, и F : Икс → Y является сюръективным морфизмом между ними степени d, то функциональные поля K(Икс) и K(Y) имеют бесконечную степень над K, но степень [K(Икс):K(Y)] оказывается равным d.

Обобщение

Учитывая два делительные кольца E и F с F содержалась в E и умножение и сложение F является ограничением операций в E, мы можем рассмотреть E как векторное пространство над F двумя способами: скаляры действуют слева, давая размерность [E:F]_л, и заставляя их действовать справа, давая измерение [E:F]_р. Два измерения не обязательно должны совпадать. Однако оба измерения удовлетворяют формуле умножения для башен делительных колец; приведенное выше доказательство применяется к леводействующим скалярам без изменений.