Индекс подгруппы - Index of a subgroup

В математика, конкретно теория групп, то индекс из подгруппа ЧАС в группе грамм количество оставшихся смежные классы из ЧАС в грамм, или, что то же самое, количество правых смежных классов ЧАС в грамм.Индекс обозначен ${\displaystyle |G:H|}$ или же ${\displaystyle [G:H]}$ или же ${\displaystyle (G:H)}$.Потому что грамм является несвязным объединением левых классов смежности, и поскольку каждый левый класс смежности имеет одинаковый размер в качестве ЧАС, индекс связан с заказы двух групп по формуле

${\displaystyle |G|=|G:H||H|}$

(интерпретируйте величины как Количественные числительные если некоторые из них бесконечны) .Таким образом, индекс ${\displaystyle |G:H|}$ измеряет "относительные размеры" грамм и ЧАС.

Например, пусть ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ группа целых чисел под добавление, и разреши ${\displaystyle H=2\mathbb {Z} }$ - подгруппа, состоящая из даже целые числа. потом ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ имеет два смежных класса в ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, а именно набор четных целых чисел и набор нечетных целых чисел, поэтому индекс ${\displaystyle |\mathbb {Z} :2\mathbb {Z} |}$ равно 2. В общем, ${\displaystyle |\mathbb {Z} :n\mathbb {Z} |=n}$ для любого положительного целого числа п.

Когда грамм является конечный, формулу можно записать как ${\displaystyle |G:H|=|G|/|H|}$, а это подразумеваетТеорема Лагранжа который ${\displaystyle |H|}$ разделяет ${\displaystyle |G|}$.

Когда грамм бесконечно, ${\displaystyle |G:H|}$ ненулевой количественное числительное которое может быть конечным или бесконечным. Например, ${\displaystyle |\mathbb {Z} :2\mathbb {Z} |=2}$, но ${\displaystyle |\mathbb {R} :\mathbb {Z} |}$ бесконечно.

Если N это нормальная подгруппа из грамм, тогда ${\displaystyle |G:N|}$ равен порядку факторгруппа ${\displaystyle G/N}$, поскольку базовый набор ${\displaystyle G/N}$ набор смежных классов N в грамм.

Характеристики

• Если ЧАС является подгруппой грамм и K является подгруппой ЧАС, тогда

${\displaystyle |G:K|=|G:H|\,|H:K|.}$

• Если ЧАС и K являются подгруппами грамм, тогда

${\displaystyle |G:H\cap K|\leq |G:H|\,|G:K|,}$

с равенством, если ${\displaystyle HK=G}$. (Если ${\displaystyle |G:H\cap K|}$ конечно, то равенство выполняется тогда и только тогда, когда ${\displaystyle HK=G}$.)

• Эквивалентно, если ЧАС и K являются подгруппами грамм, тогда

${\displaystyle |H:H\cap K|\leq |G:K|,}$

с равенством, если ${\displaystyle HK=G}$. (Если ${\displaystyle |H:H\cap K|}$ конечно, то равенство выполняется тогда и только тогда, когда ${\displaystyle HK=G}$.)

• Если грамм и ЧАС группы и ${\displaystyle \varphi \colon G\to H}$ это гомоморфизм, то индекс ядро из ${\displaystyle \varphi }$ в грамм соответствует порядку изображения:

${\displaystyle |G:\operatorname {ker} \;\varphi |=|\operatorname {im} \;\varphi |.}$

• Позволять грамм быть группой игра актеров на набор Икс, и разреши Икс ∈ Икс. Тогда мощность из орбита из Икс под грамм равен индексу стабилизатор из Икс:

${\displaystyle |Gx|=|G:G_{x}|.\!}$

Это известно как теорема о стабилизаторе орбиты.

• Как частный случай теоремы о стабилизаторе орбиты, количество конъюгирует ${\displaystyle gxg^{-1}}$ элемента ${\displaystyle x\in G}$ равен индексу централизатор из Икс в грамм.
• Аналогично количество конъюгатов ${\displaystyle gHg^{-1}}$ подгруппы ЧАС в грамм равен индексу нормализатор из ЧАС в грамм.
• Если ЧАС является подгруппой грамм, индекс нормальное ядро из ЧАС удовлетворяет следующему неравенству:

${\displaystyle |G:\operatorname {Core} (H)|\leq |G:H|!}$

куда ! обозначает факториал функция; это обсуждается далее ниже.

• Как следствие, если индекс ЧАС в грамм равно 2, или для конечной группы младшее простое число п что делит порядок ГРАММ, тогда ЧАС нормально, так как индекс его ядра также должен быть п, и поэтому ЧАС равняется его ядру, т. е. нормально.
• Обратите внимание, что подгруппа с наименьшим индексом простого числа может не существовать, например, в любом простая группа непервичного порядка или, в более общем смысле, любого идеальная группа.

Примеры

• В переменная группа ${\displaystyle A_{n}}$ имеет индекс 2 в симметричная группа ${\displaystyle S_{n},}$ а значит нормально.
• В специальная ортогональная группа ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ имеет индекс 2 в ортогональная группа ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$, а значит, нормально.
• В свободная абелева группа ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ имеет три подгруппы индекса 2, а именно

${\displaystyle \{(x,y)\mid x{\text{ is even}}\},\quad \{(x,y)\mid y{\text{ is even}}\},\quad {\text{and}}\quad \{(x,y)\mid x+y{\text{ is even}}\}}$.

• В более общем смысле, если п является основной тогда ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ имеет ${\displaystyle (p^{n}-1)/(p-1)}$ подгруппы индекса п, соответствующий ${\displaystyle (p^{n}-1)}$ нетривиальный гомоморфизмы ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$.^{[нужна цитата ]}
• Точно так же свободная группа ${\displaystyle F_{n}}$ имеет ${\displaystyle (p^{n}-1)}$ подгруппы индекса п.
• В бесконечная диэдральная группа имеет циклическая подгруппа индекса 2, что обязательно нормально.

Бесконечный индекс

Если ЧАС имеет бесконечное количество смежных классов в грамм, то индекс ЧАС в грамм называется бесконечным. В этом случае индекс ${\displaystyle |G:H|}$ на самом деле количественное числительное. Например, индекс ЧАС в грамм может быть счетный или же бесчисленный, в зависимости от того, ЧАС имеет счетное количество смежных классов в грамм. Обратите внимание, что индекс ЧАС самое большее порядка ГРАММ, которое реализуется для тривиальной подгруппы, или фактически любой подгруппы ЧАС бесконечной мощности меньше, чем у ГРАММ.

Конечный индекс

Бесконечная группа грамм может иметь подгруппы ЧАС конечного индекса (например, четные числа внутри группы целых чисел). Такая подгруппа всегда содержит нормальная подгруппа N (из грамм), также конечного индекса. Фактически, если ЧАС имеет индекс п, то индекс N можно рассматривать как некоторый фактор п!; в самом деле, N можно принять за ядро ​​естественного гомоморфизма из грамм группе перестановок левых (или правых) классов смежности ЧАС.

Особый случай, п = 2, дает общий результат, что подгруппа индекса 2 является нормальной подгруппой, поскольку нормальная подгруппа (N выше) должен иметь индекс 2 и, следовательно, быть идентичным исходной подгруппе. В более общем смысле, подгруппа индекса п куда п - наименьший простой делитель порядка грамм (если грамм конечно) обязательно нормален, так как индекс N разделяет п! и поэтому должен п, не имея других основных факторов.

Альтернативное доказательство того, что подгруппа младшего простого числа индекса п является нормальным, а другие свойства подгрупп простого индекса приведены в (Лам 2004 ).

Примеры

Приведенные выше соображения верны и для конечных групп. Например, группа О хирального октаэдрическая симметрия имеет 24 элемента. Оно имеет двугранный D₄ подгруппы (на самом деле их три) порядка 8 и, следовательно, индекса 3 в О, который мы будем называть ЧАС. В этой диэдральной группе имеется 4-членный D₂ подгруппа, которую мы можем назвать А. Умножая справа любой элемент правого смежного класса ЧАС элементом А дает член того же класса ЧАС (Hca = Hc). А нормально в О. Есть шесть смежных классов А, соответствующие шести элементам симметричная группа S₃. Все элементы из любого конкретного класса А выполнить такую ​​же перестановку смежных классов ЧАС.

С другой стороны, группа T_час из пиритоэдрическая симметрия также имеет 24 члена и подгруппу индекса 3 (на этот раз это D_2ч призматическая симметрия группа, см. группы точек в трех измерениях ), но в этом случае вся подгруппа является нормальной подгруппой. Все члены определенного смежного класса выполняют одну и ту же перестановку этих смежных классов, но в этом случае они представляют только 3-элементный переменная группа в 6-членной S₃ симметрическая группа.

Нормальные подгруппы индекса простой степени

Нормальные подгруппы основная сила index - это ядра сюръективных отображений в п-группы и имеют интересную структуру, как описано на Теорема о фокальной подгруппе: подгруппы и разработан в теорема о фокальной подгруппе.

Есть три важных нормальных подгруппы с простым индексом мощности, каждая из которых является наименьшей нормальной подгруппой в определенном классе:

• E^п(грамм) является пересечением всех индексов п нормальные подгруппы; грамм/E^п(грамм) является элементарная абелева группа, и является наибольшим элементарным абелевым п-группа, на которую грамм сюрпризы.
• А^п(грамм) является пересечением всех нормальных подгрупп K такой, что грамм/K абелева п-группа (т.е. K это индекс ${\displaystyle p^{k}}$ нормальная подгруппа, содержащая производную группу ${\displaystyle [G,G]}$): грамм/А^п(грамм) - наибольший абелев п-группа (не обязательно элементарная), на которую грамм сюрпризы.
• О^п(грамм) является пересечением всех нормальных подгрупп K из грамм такой, что грамм/K является (возможно, неабелевым) п-группа (т.е. K это индекс ${\displaystyle p^{k}}$ нормальная подгруппа): грамм/О^п(грамм) самый большой п-группа (не обязательно абелева), на которую грамм сюрпризы. О^п(грамм) также известен как п-остаточная подгруппа.

Поскольку это более слабые условия на группы K, получить сдерживания

${\displaystyle \mathbf {E} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {A} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {O} ^{p}(G).}$

Эти группы имеют важные связи с Силовские подгруппы и гомоморфизм переноса, как там обсуждается.

Геометрическая структура

Элементарное наблюдение состоит в том, что нельзя иметь ровно 2 подгруппы индекса 2, поскольку дополнять от их симметричная разница дает треть. Это простое следствие приведенного выше обсуждения (а именно проективизация структуры векторного пространства элементарной абелевой группы

${\displaystyle G/\mathbf {E} ^{p}(G)\cong (\mathbf {Z} /p)^{k}}$,

и далее, грамм не действует на эту геометрию и не отражает никакой неабелевой структуры (в обоих случаях, потому что фактор абелева).

Однако это элементарный результат, который конкретно можно увидеть следующим образом: множество нормальных подгрупп данного индекса п сформировать проективное пространство, а именно проективное пространство

${\displaystyle \mathbf {P} (\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p)).}$

Более подробно, пространство гомоморфизмов из грамм в (циклическую) группу порядка п, ${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p),}$ векторное пространство над конечное поле ${\displaystyle \mathbf {F} _{p}=\mathbf {Z} /p.}$ Нетривиальное такое отображение имеет в качестве ядра нормальную подгруппу индекса п, и умножая карту на элемент ${\displaystyle (\mathbf {Z} /p)^{\times }}$ (мод с ненулевым числом п) не меняет ядро; таким образом, можно получить карту из

${\displaystyle \mathbf {P} (\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p)):=(\operatorname {Hom} (G,\mathbf {Z} /p))\setminus \{0\})/(\mathbf {Z} /p)^{\times }}$

к нормальному индексу п подгруппы. Наоборот, нормальная подгруппа индекса п определяет нетривиальное отображение в ${\displaystyle \mathbf {Z} /p}$ до выбора «какой смежный класс сопоставляется с ${\displaystyle 1\in \mathbf {Z} /p,}$ что показывает, что это отображение является биекцией.

Как следствие, количество нормальных подгрупп индекса п является

${\displaystyle (p^{k+1}-1)/(p-1)=1+p+\cdots +p^{k}}$

для некоторых k; ${\displaystyle k=-1}$ не соответствует нормальным подгруппам индекса п. Далее, учитывая две различные нормальные подгруппы индекса п, получить проективная линия состоящий из ${\displaystyle p+1}$ такие подгруппы.

За ${\displaystyle p=2,}$ в симметричная разница из двух различных подгрупп индекса 2 (которые обязательно являются нормальными) дает третью точку на проективной прямой, содержащей эти подгруппы, и группа должна содержать ${\displaystyle 0,1,3,7,15,\ldots }$ подгруппы индекса 2 - например, он не может содержать ровно 2 или 4 подгруппы индекса 2.

Смотрите также

• Практически
• Коразмерность

Рекомендации

• Лам, Т. Ю. (март 2004 г.), "О подгруппах простого индекса", Американский математический ежемесячник, 111 (3): 256–258, JSTOR  4145135, альтернативная загрузка

внешняя ссылка

• Нормальность подгрупп простого индекса в PlanetMath.
• "Подгруппа наименьшего простого индекса нормальна " в Groupprops, вики по свойствам группы