Бесконечная диэдральная группа - Infinite dihedral group - Wikipedia

p1m1, (*∞∞ )	р2, (22∞)	p2mg, (2 * ∞)
В 2-х мерном трех фризовые группы p1m1, p2 и p2mg изоморфны Dih∞ группа. У всех есть 2 генератора. Первая имеет две параллельные линии отражения, вторая - два двукратных вращения, а последняя - одно зеркало и одно двукратное вращение.

В одном измерении бесконечная диэдральная группа проявляется в симметрии апейрогон чередование двух длин кромок, содержащих точки отражения в центре каждой кромки.

В математика, то бесконечная диэдральная группа Dih_∞ является бесконечная группа со свойствами, аналогичными свойствам конечного диэдральные группы.

В двумерная геометрия, то бесконечная диэдральная группа представляет группа фризов симметрия p1m1, рассматриваемый как бесконечный набор параллельных отражений вдоль оси.

Определение

Каждая группа диэдра порождается вращением р и отражение; если вращение является рациональным кратным полного вращения, то существует некоторое целое число п такой, что р^п - единица, и мы имеем конечную группу диэдра порядка 2п. Если вращение нет рациональное кратное полному обороту, то такого п и получившаяся группа бесконечно много элементов и называется Dih_∞. Она имеет презентации

${\displaystyle \langle r,s\mid s^{2}=1,srs=r^{-1}\rangle \,\!}$

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2}=y^{2}=1\rangle \,\!}$^[1]

и изоморфен полупрямой продукт из Z и Z/ 2, и бесплатный продукт Z/2 * Z/ 2. Это группа автоморфизмов графа, состоящего из пути, бесконечного в обе стороны. Соответственно, это группа изометрии из Z (смотрите также группы симметрии в одном измерении ) группа перестановок α: Z → Z удовлетворение |я - j| = | α (я) - α (j) |, для всех я, j в Z.^[2]

Бесконечную группу диэдра также можно определить как голоморф из бесконечная циклическая группа.

Сглаживание

При периодической выборке синусоидальной функции со скоростью ж_s, абсцисса выше представляет его частоту, а ордината представляет другую синусоиду, которая может дать тот же набор выборок. Бесконечное число абсцисс имеет одну и ту же ординату (класс эквивалентности с фундаментальная область [0, ж_s/2]), и они обладают двугранной симметрией. Феномен "многие к одному" известен как сглаживание.

Дальнейшая информация: Сглаживание

Пример бесконечной двугранной симметрии в сглаживание сигналов с действительным знаком.

При выборке функции на частоте ж_s (интервалы 1/ж_s) следующие функции дают идентичные наборы выборок: {sin (2π ( f + Nf_s) т + φ), N = 0, ±1, ±2, ±3,...}. Таким образом, обнаруженное значение частоты ж является периодический, что дает элемент перевода р = ж_s. Функции и их частоты называются псевдонимы друг друга. Отмечая тригонометрическую идентичность:

${\displaystyle \sin(2\pi (f+Nf_{s})t+\phi )=\left\{{\begin{array}{ll}+\sin(2\pi (f+Nf_{s})t+\phi ),&f+Nf_{s}\geq 0\\-\sin(2\pi |f+Nf_{s}|t-\phi ),&f+Nf_{s}<0\\\end{array}}\right.}$

мы можем записать все частоты псевдонимов как положительные значения:| ж+N f_s|. Это дает отражение (ж) элемент, а именно ж ↦ −ж. Например, с ж = 0.6ж_s иN = −1,  f + Nf_s = −0.4ж_s  отражает к0.4ж_s, что дает две крайние левые черные точки на рисунке.^{[примечание 1]} Две другие точки соответствуют N = −2 иN = 1. Как показано на рисунке, имеются симметрии отражения на 0,5ж_s,  ж_s,  1.5ж_sи т. д. Формально частное при наложении имен орбифолд [0, 0.5ж_s], с Z/ 2 действие в конечных точках (точках орбифолда), соответствующее отражению.

Смотрите также

• В ортогональная группа O (2), еще одно бесконечное обобщение конечных групп диэдра

Примечания

1. В обработка сигналов симметрия относительно оси ж_s/2 известен как складывание, и ось известна как частота складывания.

Рекомендации

1. Коннолли, Фрэнсис; Дэвис, Джеймс (август 2004 г.). «Группы препятствий к перестройкам бесконечной диэдральной группы». Геометрия и топология. 8 (3): 1043–1078. arXiv:математика / 0306054. Дои:10.2140 / gt.2004.8.1043.
2. Минакси Бхаттачарджи, Дугальд Макферсон, Рёгнвальдур Г. Мёллер, Питер М. Нойман. Заметки о бесконечных группах перестановок, выпуск 1689. Springer, 1998. п. 38. ISBN  978-3-540-64965-6