Орбифолд - Orbifold

Не стоит винить меня за эту терминологию. Он был получен путем демократического процесса в моем курсе 1976–1977 годов. Орбифолд - это нечто со множеством складок; К сожалению, слово «многообразие» уже имеет другое определение. Я попробовал «фолдамани», который был быстро вытеснен предложением «разветвленного». После двух месяцев терпеливых слов «нет, не коллектор, коллектор»мертвых, "мы провели голосование, и" орбифолд "победил.

Терстон (1980, раздел 13.2) объясняя происхождение слова "орбифолд"

В математических дисциплинах топология и геометрия, орбифолд (для "орбитального многообразия") является обобщением многообразие. Грубо говоря, орбифолд - это топологическое пространство который является локально конечным групповым фактором евклидова пространства.

Определения орбифолда давались несколько раз: Ичиро Сатаке в контексте автоморфные формы в 1950-х под названием V-образный коллектор;^[1] к Уильям Терстон в контексте геометрии 3-х коллекторы в 1970-х^[2] когда он придумал название орбифолдпосле голосования его учеников; и по Андре Хефлигер в 80-е годы в контексте Михаил Громов программа на CAT (k) пробелы под именем орбигедр.^[3]

Исторически орбифолды возникли первыми как поверхности с особые точки задолго до того, как они были официально определены.^[4] Один из первых классических примеров возник в теории модульные формы^[5] с действием модульная группа ${ Displaystyle mathrm {SL} (2, mathbb {Z})}$ на верхняя полуплоскость: версия Теорема Римана – Роха выполняется после того, как фактор компактифицирован добавлением двух орбифолдных точек возврата. В 3-х коллекторный теория, теория Расслоения Зейферта, по инициативе Герберт Зайферт, можно выразить в терминах двумерных орбифолдов.^[6] В геометрическая теория групп После Громова дискретные группы изучаются в терминах свойств локальной кривизны орбигедров и их покрывающих пространств.^[7]

В теория струн, слово "орбифолд" имеет немного другое значение,^[8] подробно обсуждается ниже. В двумерная конформная теория поля, это относится к теории, связанной с подалгеброй неподвижных точек вершинная алгебра под действием конечной группы автоморфизмы.

Основной пример основного пространства - фактор-пространство многообразия под правильно прерывистый действие возможно бесконечного группа из диффеоморфизмы с конечным подгруппы изотропии.^[9] В частности, это относится к любому действию конечная группа; таким образом многообразие с краем обладает естественной орбифолдной структурой, поскольку является частным своего двойной действием ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$ .

Одно топологическое пространство может нести разные орбифолдные структуры. Например, рассмотрим орбифолд О связан с факторпространством 2-сферы вдоль вращения ${ displaystyle pi}$ ; это гомеоморфный к 2-сфере, но естественная структура орбифолда иная. Можно адаптировать большинство характеристик многообразий к орбифолдам, и эти характеристики обычно отличаются от соответствующих характеристик основного пространства. В приведенном выше примере орбифолд фундаментальная группа из О является ${ Displaystyle mathbb {Z} _ {2}}$ и это орбифолд Эйлерова характеристика равно 1.

Формальные определения

Как и коллектор, орбифолд определяется местными условиями; однако вместо того, чтобы моделироваться на местном уровне открытые подмножества из ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ , орбифолд локально моделируется на частных открытых подмножеств ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ действиями конечной группы. Структура орбифолда кодирует не только структуру базового фактор-пространства, которое не обязательно должно быть многообразием, но также структуру подгруппы изотропии.

An п-размерный орбифолд это Хаусдорфово топологическое пространство Икс, называется нижележащее пространство, с покрытием набором открытых множеств ${ displaystyle U_ {i}}$ , замкнутая относительно конечного пересечения. Для каждого ${ displaystyle U_ {i}}$ , есть

открытое подмножество ${ displaystyle V_ {i}}$ из ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ , инвариантный относительно верный линейное действие конечной группы ${ displaystyle Gamma _ {i}}$ ;
непрерывная карта ${ displaystyle varphi _ {я}}$ из ${ displaystyle V_ {i}}$ на ${ displaystyle U_ {i}}$ инвариантен относительно ${ displaystyle Gamma _ {i}}$ , называется орбифолд диаграмма, который определяет гомеоморфизм между ${ displaystyle V_ {i} / Gamma _ {i}}$ и ${ displaystyle U_ {i}}$ .

Набор орбифолдных карт называется орбифолд атлас если выполняются следующие свойства:

для каждого включения U_я ${ displaystyle subset}$ U_j существует инъективный групповой гомоморфизм ж_ij : Γ_я ${ displaystyle rightarrow}$ Γ_j
для каждого включения U_я ${ displaystyle subset}$ U_j существует Γ_я -эквивариантный гомеоморфизм ψ_ij, называется склейка карты, из V_я на открытое подмножество V_j
карты склейки совместимы с картами, т.е. φ_j·ψ_ij = φ_я
карты склейки уникальны с точностью до композиции с элементами группы, т.е. любые другие возможные карты склейки из V_я к V_j имеет форму грамм·ψ_ij для уникального грамм в Γ_j

Атлас орбифолда определяет орбифолд структура полностью: два орбифолдных атласа Икс дают ту же орбифолдную структуру, если их можно последовательно комбинировать для получения более крупного орбифолдного атласа. Обратите внимание, что структура орбифолда определяет подгруппу изотропии любой точки орбифолда с точностью до изоморфизма: ее можно вычислить как стабилизатор точки в любой карте орбифолда. Если U_я ${ displaystyle subset}$ U_j ${ displaystyle subset}$ U_k, то существует единственный переходный элемент грамм_ijk в Γ_k такой, что

грамм_ijk·ψ_ik = ψ_jk·ψ_ij

Эти переходные элементы удовлетворяют

(Объявление грамм_ijk)·ж_ik = ж_jk·ж_ij

так же хорошо как коциклическое отношение (гарантируя ассоциативность)

ж_км(грамм_ijk)·грамм_ikm = грамм_ijm·грамм_jkm.

В более общем смысле, к открытому покрытию орбифолда диаграммами орбифолда прилагаются комбинаторные данные так называемого комплекс групп (Смотри ниже).

Точно так же, как и в случае многообразий, можно наложить условия дифференцируемости на склейки отображений, чтобы дать определение дифференцируемый орбифолд. Это будет Риманов орбифолд если дополнительно есть инвариант Римановы метрики на орбифолдных картах и картах склейки изометрии.

Определение с использованием группоидов

А группоид состоит из набора предметов ${ displaystyle G_ {0}}$ , набор стрелок ${ displaystyle G_ {1}}$ , и структурные карты, включая исходную и целевую карты ${ displaystyle s, t: G_ {1} to G_ {0}}$ и другие карты, позволяющие составлять и инвертировать стрелки. Это называется Ложь группоид если оба ${ displaystyle G_ {0}}$ и ${ displaystyle G_ {1}}$ являются гладкими многообразиями, все структурные карты гладкие, а исходная и целевая карты являются субмерсиями. Это называется правильный если карта ${ displaystyle (s, t): от G_ {1} до G_ {0} times G_ {0}}$ это правильная карта. Это называется эталь если и исходная, и целевая карты являются локальными диффеоморфизмами. An орбифолдный группоид является собственным этальным группоидом Ли.

Ассоциирован с орбифолдным группоидом ${ displaystyle G}$ есть нижележащее пространство орбиты ${ displaystyle | G |}$ . Орбифолдная структура на топологическом пространстве ${ displaystyle X}$ состоит из орбифолдного группоида ${ displaystyle G}$ и гомеоморфизм ${ displaystyle | G | simeq X}$ . С другой стороны, для орбифолда с атласом можно построить группоид орбифолда, который не зависит от выбора атласа с точностью до Эквивалентность Морита.

Понятие орбифолдных группоидов особенно эффективно при обсуждении неэффективных орбифолдов и отображений между орбифолдами. Например, карта между орбифолдами может быть описана гомоморфизмом между группоидами, который несет больше информации, чем лежащая в основе непрерывная карта между лежащими в основе топологическими пространствами.

Примеры

Любое многообразие без края тривиально является орбифолдом. Каждая из групп Γ_я это тривиальная группа.
Если N компактное многообразие с краем, его двойной M можно сформировать, склеив копию N и его зеркальное отображение вдоль их общей границы. Есть естественный отражение действие Z₂ на коллекторе M фиксация общей границы; факторпространство можно отождествить с N, так что N имеет естественную орбифолдную структуру.
Если M риманов п-многообразие с компактный правильный изометрическое действие дискретной группы Γ, то пространство орбит Икс = M/ Γ имеет естественную орбифолдную структуру: для каждого Икс в Икс взять представителя м в M и открытый район V_м из м инвариантный относительно стабилизатора Γ_м, отождествляемым эквивариантно с Γ_м-подмножество Т_мM под экспоненциальным отображением в м; конечное число районов покрывают Икс и каждое их конечное пересечение, если оно не пусто, покрывается пересечением Γ-трансляций грамм_м·V_м с соответствующей группой грамм_м Γ грамм_м⁻¹. Возникающие таким образом орбифолды называются развивающийся или же хороший.
Классическая теорема Анри Пуанкаре конструкции Фуксовы группы как гиперболический группы отражения порожденные отражениями в ребрах геодезического треугольника в гиперболическая плоскость для Метрика Пуанкаре. Если у треугольника есть углы $π$ /п_я для положительных целых чисел п_я, треугольник фундаментальная область и, естественно, двумерное орбифолд. Соответствующая группа является примером гиперболического группа треугольников. Пуанкаре также дал трехмерную версию этого результата для Клейнианские группы: в этом случае клейнова группа Γ порождается гиперболическими отражениями, а орбифолд является ЧАС³ / Γ.
Если M является замкнутым двумерным многообразием, новые орбифолды могут быть определены на Mi путем удаления конечного числа непересекающихся замкнутых дисков из M и приклеивание копий дисков D/ Γ_я куда D закрытый единичный диск и Γ_я конечная циклическая группа вращений. Это обобщает конструкцию Пуанкаре.

Орбифолд фундаментальная группа

Есть несколько способов определить орбифолдная фундаментальная группа. Более сложные подходы используют орбифолд покрытия пространства или же классификация пространств из группоиды. Простейший подход (принятый Хефлигером и известный также Терстону) расширяет обычное понятие петля используется в стандартном определении фундаментальная группа.

An орбифолдный путь - это путь в нижележащем пространстве, снабженный явным кусочным подъемом сегментов пути до орбифолдных диаграмм и явными групповыми элементами, идентифицирующими пути в перекрывающихся диаграммах; если основной путь представляет собой цикл, он называется орбифолд петля. Два орбифолдных пути идентифицируются, если они связаны посредством умножения на элементы группы в орбифолдных диаграммах. Фундаментальная группа орбифолда - это группа, образованная гомотопические классы петель орбифолда.

Если орбифолд возникает как частное от односвязный многообразие M собственным жестким действием дискретной группы Γ фундаментальная группа орбифолда может быть отождествлена с Γ. В общем, это расширение Γ по $π$ ₁ M.

Орбифолд называется развивающийся или же хороший если он возникает как частное по групповому действию; иначе это называется Плохо. А универсальное покрытие орбифолд можно построить для орбифолда по прямой аналогии с построением универсальное перекрытие топологического пространства, а именно как пространство пар, состоящих из точек орбифолда и гомотопических классов орбифолдных путей, соединяющих их с базовой точкой. Это пространство естественно орбифолд.

Обратите внимание, что если диаграмма орбифолда на стягиваемый открытое подмножество соответствует группе Γ, то существует естественное локальный гомоморфизм группы Γ в фундаментальную группу орбифолда.

Фактически следующие условия эквивалентны:

Орбифолд может развиваться.
Структура орбифолда на универсальном накрывающем орбифолде тривиальна.
Все локальные гомоморфизмы инъективны для покрытия стягиваемыми открытыми множествами.

Orbispaces

Для приложений в геометрическая теория групп, благодаря Хефлигеру часто бывает удобно иметь несколько более общее понятие орбифолда. An orbispace для топологических пространств то же самое, что орбифолд для многообразий. Орбипространство - это топологическое обобщение концепции орбифолда. Он определяется заменой модели для диаграмм орбифолда на локально компактный пространство с жесткий действие конечной группы, т. е. такой, для которой точки с тривиальной изотропией плотны. (Это условие автоматически выполняется точными линейными действиями, потому что точки, фиксированные любым нетривиальным элементом группы, образуют собственное линейное подпространство.) Также полезно учесть метрическое пространство структуры на орбитальном пространстве, заданные инвариантом метрики на диаграммах орбитального пространства, для которых карты склейки сохраняют расстояние. В этом случае обычно требуется, чтобы каждая диаграмма орбитального пространства была длина пространства с уникальным геодезические соединяя любые две точки.

Позволять Икс быть орбитальным пространством, наделенным структурой метрического пространства, для которого карты являются пространствами геодезической длины. Предыдущие определения и результаты для орбифолдов можно обобщить, чтобы дать определения фундаментальная группа орбитального пространства и универсальное покрытие orbispace, с аналогичными критериями развиваемости. Функции расстояния на диаграммах orbispace могут использоваться для определения длины пути orbispace в универсальном покрывающем orbispace. Если функция расстояния на каждой диаграмме неположительно изогнутый, то Аргумент сокращения кривой Биркгофа может использоваться для доказательства того, что любой орбитальный путь с фиксированными конечными точками гомотопен уникальной геодезической. Применяя это к постоянным путям в карте орбитального пространства, следует, что каждый локальный гомоморфизм инъективен и, следовательно,:

любое неположительно искривленное орбипространство может развиваться (т.е. хороший).

Комплексы групп

С каждым орбифолдом связана дополнительная комбинаторная структура, заданная комплекс групп.

Определение

А комплекс групп (Y,ж,грамм) на абстрактный симплициальный комплекс Y дан кем-то

конечная группа Γ_σ для каждого симплекса σ Y
инъективный гомоморфизм ж_στ : Γ_τ ${ displaystyle rightarrow}$ Γ_σ всякий раз, когда σ ${ displaystyle subset}$ τ
для каждого включения ρ ${ displaystyle subset}$ σ ${ displaystyle subset}$ τ, групповой элемент грамм_ρστ в Γ_ρ такое, что (Ad грамм_ρστ)·ж_ρτ = ж_ρσ·ж_στ (здесь Ad обозначает сопряженное действие по спряжению)

Кроме того, элементы группы должны удовлетворять условию коцикла

ж_{$π$ ρ}(грамм_ρστ) грамм_πρτ = грамм_{$π$ στ} грамм_{$π$ ρσ}

для каждой цепочки симплексов ${ displaystyle pi subset rho subset sigma subset tau.}$ (Это условие бессмысленно, если Y имеет размерность 2 или меньше.)

Любой выбор элементов час_στ в Γ_σ дает эквивалент комплекс групп путем определения

f '_στ = (Ad час_στ)·ж_στ
грамм'_ρστ = час_ρσ·ж_ρσ(час_στ)·грамм_ρστ·час_ρτ⁻¹

Комплекс групп называется просто в любое время грамм_ρστ = 1 везде.

Несложное индуктивное рассуждение показывает, что любой комплекс групп на симплекс эквивалентен комплексу групп с грамм_ρστ = 1 везде.

Часто удобнее и концептуально привлекательнее перейти к барицентрическое подразделение из Y. Вершины этого подразделения соответствуют симплексам Y, так что к каждой вершине прикреплена группа. Ребра барицентрического подразделения естественно ориентированы (соответствуют включениям симплексов), и каждое направленное ребро дает включение групп. К каждому треугольнику прикреплен переходный элемент, принадлежащий группе ровно одной вершины; а тетраэдры, если они есть, задают коциклические соотношения для переходных элементов. Таким образом, комплекс групп включает только 3-скелет барицентрического подразделения; и только 2-скелетный, если он простой.

Пример

Если Икс является орбифолдом (или орбифолдом), выберите покрытие открытыми подмножествами среди карт орбифолда ж_я: V_я ${ displaystyle rightarrow}$ U_я. Позволять Y - абстрактный симплициальный комплекс, задаваемый нерв покрытия: его вершины - это множества покрытия и его п-симплексы соответствуют непустой перекрестки U_α = U_я₁ ${ displaystyle cap}$ ··· ${ displaystyle cap}$ U_{я_п}. Каждому такому симплексу соответствует группа Γ_α и гомоморфизмы ж_ij становятся гомоморфизмами ж_στ. Для каждой тройки ρ ${ displaystyle subset}$ σ ${ displaystyle subset}$ τ, соответствующие пересечениям

{ displaystyle U_ {i} supset U_ {i} cap U_ {j} supset U_ {i} cap U_ {j} cap U_ {k}}

есть графики φ_я : V_я ${ displaystyle rightarrow}$ U_я, φ_ij : V_ij ${ displaystyle rightarrow}$ U_я ${ displaystyle cap}$ U_j и φ_ijk : V_ijk ${ displaystyle rightarrow}$ U_я ${ displaystyle cap}$ U_j ${ displaystyle cap}$ U_k и склейка отображений ψ: V_ij ${ displaystyle rightarrow}$ V_я, ψ ': V_ijk ${ displaystyle rightarrow}$ V_ij и ψ ": V_ijk ${ displaystyle rightarrow}$ V_я.

Есть уникальный переходной элемент грамм_ρστ в Γ_я такой, что грамм_ρστ·ψ" = ψ·ψ′. Соотношения, которым удовлетворяют переходные элементы орбифолда, подразумевают те, которые требуются для комплекса групп. Таким образом, комплекс групп может быть канонически связан с нервом открытого покрытия с помощью орбифолдных (или орбипространственных) диаграмм. На языке некоммутативных теория связок и герберы, комплекс групп в этом случае возникает как связка групп связано с покрытием U_я; данные грамм_ρστ является 2-коциклом в некоммутативном когомологии пучков и данные час_στ дает 2-кограничное возмущение.

Группа кромочного пути

В группа ребер пути комплекса групп можно определить как естественное обобщение группа краевых путей симплициального комплекса. В барицентрическом подразделении Yвозьми генераторы е_ij соответствующие ребрам из я к j куда я ${ displaystyle rightarrow}$ j, так что имеется инъекция ψ_ij : Γ_я ${ displaystyle rightarrow}$ Γ_j. Пусть Γ - группа, порожденная е_ij и Γ_k с отношениями

е_ij ⁻¹ · грамм · е_ij = ψ_ij(грамм)

за грамм в Γ_я и

е_ik = е_jk·е_ij·грамм_ijk

если я ${ displaystyle rightarrow}$ j ${ displaystyle rightarrow}$ k.

Для фиксированной вершины я₀группа ребер-путей Γ (я₀) определяется как подгруппа группы Γ, порожденная всеми произведениями

грамм₀ · E_{я₀ я₁} · грамм₁ · E_{я₁ я₂} · ··· · грамм_п · E_{я_пя₀}

куда я₀, я₁, ..., я_п, я₀это ребро-путь, грамм_k лежит в Γ_{я_k} и е_джи=е_ij⁻¹ если я ${ displaystyle rightarrow}$ j.

Развиваемые комплексы

Симплициальный правильное действие дискретной группы Γ на симплициальный комплекс Икс с конечным фактором называется обычный если он удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий (см. Bredon 1972):

Икс допускает конечный подкомплекс как фундаментальная область;
частное Y = Икс/ Г имеет естественную симплициальную структуру;
фактор-симплициальная структура на орбитах-представителях вершин согласована;
если (v₀, ..., v_k) и (грамм₀·v₀, ..., грамм_k·v_k) - симплексы, то грамм·v_я = грамм_я·v_я для некоторых грамм в Γ.

Фундаментальная область и фактор Y = Икс / Γ в этом случае естественно идентифицировать как симплициальные комплексы, задаваемые стабилизаторами симплексов в фундаментальной области. Комплекс групп Y как говорят развивающийся если это возникает таким образом.

Комплекс групп разворачивается тогда и только тогда, когда гомоморфизмы группы Γ_σ в группу ребер-путей инъективны.
Комплекс групп разворачивается тогда и только тогда, когда для каждого симплекса σ существует инъективный гомоморфизм θ_σ из Γ_σ в фиксированную дискретную группу Γ такую, что θ_τ·ж_στ = θ_σ. В этом случае симплициальный комплекс Икс канонически определен: он имеет k-симплексы (σ, xΓ_σ) где σ - k-симплекс Y и Икс пробегает Γ / Γ_σ. Непротиворечивость можно проверить, используя тот факт, что ограничение комплекса групп на симплекс эквивалентен коциклу с тривиальным коциклом грамм_ρστ.

Действие Γ на барицентрическое подразделение Икс ' из Икс всегда удовлетворяет следующему условию, более слабому, чем регулярность:

когда σ и грамм· Σ являются субсимплексами некоторого симплекса τ, они равны, т.е. σ = грамм· Σ

Действительно, симплексы в Икс 'соответствуют цепочкам симплексов в Икс, так что субсимплексы, заданные субцепями симплексов, однозначно определяются размеры симплексов в субцепи. Когда действие удовлетворяет этому условию, тогда грамм обязательно фиксирует все вершины σ. Прямой индуктивный аргумент показывает, что такое действие становится регулярным на барицентрическом подразделении; особенно

действие на втором барицентрическом подразделении Икс"регулярно;
Γ естественно изоморфна группе реберных путей, определенной с помощью реберных путей и стабилизаторов вершин для барицентрического подразделения фундаментальной области в Икс".

На самом деле нет необходимости переходить к в третьих барицентрическое подразделение: как отмечает Хефлигер, используя язык теория категорий, в этом случае 3-скелет фундаментальной области Икс"уже содержит все необходимые данные, включая переходные элементы для треугольников, чтобы определить группу ребер-путей, изоморфную Γ.

В двух измерениях это особенно просто описать. Основная область Икс"имеет ту же структуру, что и барицентрическое подразделение Y 'комплекса групп Y, а именно:

конечный 2-мерный симплициальный комплекс Z;
ориентация для всех краев я ${ displaystyle rightarrow}$ j;
если я ${ displaystyle rightarrow}$ j и j ${ displaystyle rightarrow}$ k ребра, то я ${ displaystyle rightarrow}$ k край и (я, j, k) - треугольник;
конечные группы, прикрепленные к вершинам, включения к ребрам и переходные элементы, описывающие совместимость, к треугольникам.

Затем можно определить группу ребер-траекторий. Похожая структура унаследована барицентрическим подразделением Z 'и его группа ребер-путей изоморфна группе Z.

Орбиэдра

Если счетная дискретная группа действует обычный симплициальный правильное действие на симплициальный комплекс, фактор может быть задан не только структурой комплекса групп, но и структурой орбитального пространства. Это приводит к более общему определению «орбиэдра», симплициального аналога орбифолда.

Определение

Позволять Икс - конечный симплициальный комплекс с барицентрическим подразделением Икс '. An орбигедр структура состоит из:

для каждой вершины я из Икс ', симплициальный комплекс L_я'наделенный жестким симплициальным действием конечной группы Γ_я.
симплициальное отображение φ_я из L_я' на связь L_я из я в Икс ', определяя частное L_я'/ Γ_я с L_я.

Это действие Γ_я на L_я'продолжается до симплициального действия на симплициальном конусе C_я над L_я'(симплициальное соединение я и L_я'), фиксируя центр я конуса. Отображение φ_я продолжается до симплициального отображенияC_я на звезда St (я) из я, перенося центр на я; таким образом, φ_я определяет C_я / Γ_я, частное от звезды я в C_я, с St (я) и дает диаграмма орбиэдра в я.

для каждого направленного края я ${ displaystyle rightarrow}$ j из Икс ', инъективный гомоморфизм ж_ij из Γ_я в Γ_j.
для каждого направленного края я ${ displaystyle rightarrow}$ j, a Γ_я эквивариантный симплициальный склейка карты ψ_ij из C_я в C_j.
карты склейки совместимы с картами, т. е. φ_j· Ψ_ij = φ_я.
карты склейки уникальны с точностью до композиции с элементами группы, т.е. любые другие возможные карты склейки из V_я к V_j имеет форму грамм· Ψ_ij для уникального грамм в Γ_j.

Если я ${ displaystyle rightarrow}$ j ${ displaystyle rightarrow}$ k, то существует единственный переходный элемент грамм_ijk в Γ_k такой, что

грамм_ijk· Ψ_ik = ψ_jk· Ψ_ij

Эти переходные элементы удовлетворяют

(Объявление грамм_ijk)·ж_ik = ж_jk·ж_ij

а также коциклическое отношение

ψ_км(грамм_ijk)·грамм_ikm = грамм_ijm·грамм_jkm.

Основные свойства

Теоретико-групповые данные орбиэдра дают комплекс групп на Икс, потому что вершины я барицентрического подразделения Икс 'соответствуют симплексам в Икс.
Каждый комплекс групп на Икс связана с существенно уникальной структурой орбиэдра на Икс. Этот ключевой факт следует из того, что звезда и звено вершины я из Икс ', соответствующий симплексу σ Икс, имеют естественные разложения: звезда изоморфна абстрактному симплициальному комплексу, заданному джойном σ и барицентрическим подразделением σ 'σ; и зацепление изоморфно соединению зацепления σ в Икс и зацепление барицентра σ в σ '. Ограничивая комплекс групп на зацепление σ в Икс, все группы Γ_τ приходят с инъективными гомоморфизмами в Γ_σ. Поскольку ссылка я в Икс 'канонически покрывается симплициальным комплексом, на котором Γ_σ действий, это определяет структуру орбиэдра на Икс.
Фундаментальная группа орбиэдра (тавтологически) просто группа ребер-путей ассоциированного комплекса групп.
Каждый орбиэдр также естественно является орбипространством: действительно, в геометрической реализации симплициального комплекса, орбипространственные карты могут быть определены с использованием внутренней части звезд.
Фундаментальную группу орбиэдра можно естественным образом отождествить с фундаментальной группой орбипространства ассоциированного орбипространства. Это следует, применяя симплициальная аппроксимационная теорема к сегментам орбитального пути, лежащим в орбитальной карте: это простой вариант классического доказательства того, что фундаментальная группа из многогранник можно отождествить с его группа ребер пути.
Орбипространство, связанное с орбиэдром, имеет каноническая метрическая структура, происходящие локально из метрики длины в стандартной геометрической реализации в евклидовом пространстве, с вершинами, отображенными в ортонормированный базис. Также используются другие метрические структуры, включая метрики длины, полученные в результате реализации симплексов в гиперболическое пространство, при этом симплексы идентифицируются изометрически по общим границам.
Орбипространство, связанное с орбиэдром, равно неположительно изогнутый тогда и только тогда, когда ссылка в каждой диаграмме орбиэдра имеет обхват больше или равно 6, т.е. любая замкнутая цепь в звене имеет длину не менее 6. Это условие, хорошо известное из теории Пространства Адамара, зависит только от основного комплекса групп.
Когда универсальный накрывающий орбиэдр неположительно искривлен, фундаментальная группа бесконечна и порождается изоморфными копиями групп изотропии. Это следует из соответствующего результата для орбитальных пространств.

Треугольники групп

Исторически одно из самых важных приложений орбифолдов в геометрическая теория групп был в треугольники групп. Это простейший двумерный пример, обобщающий одномерный «интервал групп», обсуждаемый в Серр лекции о деревьях, где объединенные бесплатные продукты изучаются с точки зрения действий на деревьях. Такие треугольники групп возникают всякий раз, когда дискретная группа действует просто транзитивно на треугольниках в аффинное здание Брюа-Титса за SL₃(Q_п); в 1979 г. Мамфорд открыл первый пример для п = 2 (см. Ниже) как шаг к созданию алгебраическая поверхность не изоморфен проективное пространство, но имея такой же Бетти числа. Треугольники групп были подробно разработаны Герстеном и Столлингсом, в то время как более общий случай комплексов групп, описанный выше, был независимо развит Хефлигером. Геометрический метод анализа конечно представленных групп в терминах метрических пространств неположительной кривизны принадлежит Громову. В этом контексте треугольники групп соответствуют неположительно искривленным 2-мерным симплициальным комплексам с регулярным действием группы, переходный на треугольниках.

А треугольник групп это просто комплекс групп, состоящий из треугольника с вершинами А, B, C. Есть группы

Γ_А, Γ_B, Γ_C в каждой вершине
Γ_{до н.э}, Γ_CA, Γ_AB для каждого края
Γ_ABC для самого треугольника.

Существует инъективный гомоморфизм группы Γ_ABC во все остальные группы и группу ребер Γ_XY в Γ_Икс и Γ_Y. Три способа отображения Γ_ABC в группу вершин все согласны. (Часто Γ_ABC является тривиальной группой.) Евклидова метрическая структура на соответствующем орбипространстве неположительно искривляется тогда и только тогда, когда связь каждой из вершин в карте орбиэдра имеет обхват не менее 6.

Этот обхват в каждой вершине всегда четный и, как заметил Столлингс, может быть описан в вершине. А, скажем, как длину наименьшего слова в ядре естественного гомоморфизма в Γ_А из объединенный бесплатный продукт над Γ_ABC групп ребер Γ_AB и Γ_AC:

{ displaystyle Gamma _ {AB} star _ {, Gamma _ {ABC}} Gamma _ {AC} rightarrow Gamma _ {A}.}

Результат с использованием структуры евклидовой метрики не является оптимальным. Углы α, β, γ в вершинах А, B и C были определены Столлингсом как 2π, разделенные на обхват. В евклидовом случае α, β, γ ≤ π / 3. Однако, если требуется только, чтобы α + β + γ ≤ π, можно отождествить треугольник с соответствующим геодезическим треугольником в гиперболическая плоскость с Метрика Пуанкаре (или евклидовой плоскости, если выполняется равенство). Это классический результат гиперболической геометрии, что гиперболические медианы пересекаются в гиперболическом барицентре,^[10] точно так же, как в знакомом евклидовом случае. Барицентрическое подразделение и метрика из этой модели дают неположительно искривленную метрическую структуру на соответствующем орбитальном пространстве. Таким образом, если α + β + γ≤π,

орбипространство треугольника групп разворачивается;
соответствующая группа реберных путей, которую также можно описать как копредел треугольника групп бесконечна;
гомоморфизмы групп вершин в группу ребер-путей являются инъекциями.

Пример Мамфорда

Самолет Фано

Позволять α = ${ displaystyle { sqrt {-7}}}$ быть предоставленным биномиальное разложение из (1-8)^1/2 в Q₂ и установить K = Q(α) ${ displaystyle subset}$ Q₂. Позволять

ζ = ехр 2

π

я/7

λ = (α − 1)/2 = ζ + ζ² + ζ⁴

μ = λ/λ*.

Позволять E = Q(ζ), трехмерное векторное пространство над K с основанием 1, ζ, и ζ². Определять K-линейные операторы на E следующее:

σ является генератором Группа Галуа из E над K, элемент порядка 3, задаваемый равенством σ (ζ) = ζ²
τ - оператор умножения на ζ на E, элемент порядка 7
ρ это оператор, задаваемый ρ(ζ) = 1, ρ(ζ²) = ζ и ρ(1) = μ·ζ², так что ρ³ скалярное умножение наμ.

Элементы ρ, σ, и τ порождают дискретную подгруппу GL₃(K) который действует правильно на аффинное здание Брюа – Титса соответствующий SL₃(Q₂). Эта группа действует переходно на всех вершинах, ребрах и треугольниках в здании. Позволять

σ₁ = σ, σ₂ = ρσρ⁻¹, σ₃ = ρ²σρ⁻².

потом

σ₁, σ₂ и σ₃ порождают подгруппу Γ группы SL₃(K).
Γ - наименьшая подгруппа, порожденная σ и τ, инвариантная относительно сопряжения ρ.
Γ действует просто транзитивно на треугольниках в здании.
Существует треугольник Δ такой, что стабилизаторами его ребер являются подгруппы порядка 3, порожденные σ_яс.
Стабилизатором вершины Δ является Группа Фробениуса порядка 21, порожденного двумя элементами порядка 3, стабилизирующими ребра, пересекающиеся в вершине.
Стабилизатор Δ тривиален.

Элементы σ и τ генерировать стабилизатор вершины. В связь этой вершины можно отождествить со сферическим зданием из SL₃(F₂) и стабилизатор можно отождествить с группа коллинеации из Самолет Фано порожденный 3-кратной симметрией σ, фиксирующей точку, и циклической перестановкой τ всех 7 точек, удовлетворяющих στ = τ²σ. Идентификация F₈* с плоскостью Фано σ можно рассматривать как ограничение Автоморфизм Фробениуса σ(Икс) = Икс²² из F₈ и τ - умножение на любой элемент, не входящий в основное поле F₂, т.е. генератор порядка 7 циклическая мультипликативная группа из F₈. Эта группа Фробениуса действует просто транзитивно на 21 флаге в плоскости Фано, то есть на прямых с отмеченными точками. Формулы для σ и τ на E таким образом "поднять" формулы на F₈.

Мамфорд также добивается иска просто переходный на вершинах здания, переходя к подгруппе Γ₁ = <ρ, σ, τ, −я>. Группа Γ₁ сохраняет Q(α) -значная эрмитова форма

ж(Икс,у) = ху* + σ(ху*) + σ²(ху*)

на Q(ζ) и может быть отождествлен с U₃(е) ${ displaystyle cap}$ GL₃(S) куда S = Z[α, ½]. С S/(α) = F₇, существует гомоморфизм группы Γ₁ в GL₃(F₇). Это действие оставляет неизменным двумерное подпространство в F₇³ и, следовательно, порождает гомоморфизм Ψ из Γ₁ в SL₂(F₇), группа порядка 16 · 3 · 7. С другой стороны, стабилизатор вершины - это подгруппа порядка 21 и Ψ инъективен на этой подгруппе. Таким образом, если подгруппа конгруэнции Γ₀ определяется как обратное изображение под Ψ из 2-Силовская подгруппа из SL₂(F₇) действие Γ₀ на вершинах должны быть просто транзитивными.

Обобщения

Другие примеры треугольников или двумерных комплексов групп могут быть построены вариациями приведенного выше примера.

Картрайт и др. рассмотреть действия в отношении зданий, которые просто транзитивен по вершинам. Каждое такое действие производит биекцию (или модифицированную двойственность) между точками Икс и линии Икс* в флаговый комплекс конечного проективная плоскость и набор ориентированных треугольников точек (Икс,у,z), инвариантный относительно циклической перестановки, такой, что Икс лежит на z*, у лежит на Икс* и z лежит на у* и любые две точки однозначно определяют третью. Производимые группы имеют генераторы Икс, помеченные точками, и отношения xyz = 1 для каждого треугольника. Обычно эта конструкция не соответствует действию на классическое аффинное здание.

В более общем смысле, как показано Баллманном и Брином, подобные алгебраические данные кодируют все действия, которые просто транзитивно действуют на вершинах неположительно искривленного 2-мерного симплициального комплекса, при условии, что связь каждой вершины имеет обхват не менее 6. Эти данные состоят из:

генераторная установка S содержащие инверсии, но не тождество;
набор отношений грамм час k = 1, инвариантный относительно циклической перестановки.

Элементы грамм в S обозначить вершины грамм·v в звене фиксированной вершины v; а отношения соответствуют ребрам (грамм⁻¹·v, час·v) в этой ссылке. Граф с вершинами S и края (грамм, час), за грамм⁻¹час в S, должен иметь обхват не менее 6. Исходный симплициальный комплекс может быть реконструирован с использованием комплексов групп и второго барицентрического подразделения.

В двудольный граф Хивуда

Дальнейшие примеры неположительно искривленных двумерных комплексов групп были построены Святковским на основе действий просто транзитивен на ориентированных ребрах и создание 3-кратной симметрии в каждом треугольнике; и в этом случае комплекс групп получается из регулярного действия на втором барицентрическом подразделении. Самый простой пример, обнаруженный ранее с Баллманном, начинается с конечной группы ЧАС с симметричным набором образующих S, не содержащие тождества, такие что соответствующие Граф Кэли имеет обхват не менее 6. Связанная группа создается ЧАС и инволюция τ при (τg)³ = 1 для каждого грамм в S.

Фактически, если Γ действует таким образом, фиксируя ребро (v, ш) существует инволюция τ, меняющая местами v и ш. Ссылка v состоит из вершин грамм·ш за грамм в симметричном подмножестве S из ЧАС = Γ_v, генерируя ЧАС если ссылка подключена. Из предположения о треугольниках следует, что

τ · (грамм·ш) = грамм⁻¹·ш

за грамм в S. Таким образом, если σ = τграмм и ты = грамм⁻¹·ш, тогда

σ (v) = ш, σ (ш) = ты, σ (ты) = ш.

По простой транзитивности на треугольнике (v, ш, ты) следует, что σ³ = 1.

Второе барицентрическое подразделение дает комплекс групп, состоящих из одиночных элементов или пар барицентрически подразделенных треугольников, соединенных вдоль их больших сторон: эти пары индексируются факторпространством S/ ~ полученный отождествлением обратных S. Одиночные или «спаренные» треугольники, в свою очередь, соединяются по одной общей «спине». Все стабилизаторы симплексов тривиальны, за исключением двух вершин на концах позвоночника со стабилизаторами ЧАС и <τ>, а остальные вершины больших треугольников со стабилизатором, порожденным подходящим σ. Три меньших треугольника в каждом большом треугольнике содержат переходные элементы.

Когда все элементы S являются инволюциями, ни один из треугольников не нужно удваивать. Если ЧАС считается группа диэдра D₇ порядка 14, порожденный инволюцией а и элемент б порядка 7 такой, что

ab= б⁻¹а,

тогда ЧАС порождается 3 инволюциями а, ab и ab⁵. Связь каждой вершины задается соответствующим графом Кэли, так что это просто двудольный граф Хивуда, т.е. точно так же, как в аффинном построении для SL₃(Q₂). Эта структура связи подразумевает, что соответствующий симплициальный комплекс обязательно является Евклидово здание. В настоящее время, однако, кажется неизвестным, может ли какой-либо из этих типов действий действительно быть реализован на классическом аффинном здании: группе Мамфорда Γ₁ (по модулю скаляров) транзитивен только на ребрах, а не на ориентированных ребрах.

Двумерные орбифолды

Двумерные орбифолды имеют следующие три типа особых точек:

Граничная точка
Эллиптическая точка или точка вращения порядка п, например, происхождение р² выделено циклической группой порядка п вращений.
Угловой отражатель на заказ п: происхождение р² выделено диэдральной группой порядка 2п.

Компактный двумерный орбифолд имеет Эйлерова характеристика ${ displaystyle chi}$ данный

{ displaystyle chi = chi (X_ {0}) - sum _ {i} (1-1 / n_ {i}) / 2- sum _ {i} (1-1 / m_ {i}) }

,

куда ${ displaystyle chi (X_ {0})}$ - эйлерова характеристика основного топологического многообразия ${ displaystyle X_ {0}}$ , и ${ displaystyle n_ {i}}$ порядки угловых отражателей, и ${ displaystyle m_ {i}}$ - порядки эллиптических точек.

Двумерный компактный связный орбифолд имеет гиперболическую структуру, если его эйлерова характеристика меньше 0, евклидова структура, если она равна 0, и если его эйлерова характеристика положительна, она либо Плохо или имеет эллиптическую структуру (орбифолд называется плохим, если он не имеет многообразия в качестве накрывающего пространства). Другими словами, его универсальное накрывающее пространство имеет гиперболическую, евклидову или сферическую структуру.

Компактные двумерные связные орбифолды, не являющиеся гиперболическими, перечислены в таблице ниже. 17 параболических орбифолдов являются частными плоскости на 17 группы обоев.

Тип	Эйлерова характеристика	Основное 2-многообразие	Порядки эллиптических точек	Заказы угловых отражателей
Плохо	1 + 1/п	Сфера	п > 1
Плохо	1/м + 1/п	Сфера	п > м > 1
Плохо	1/2 + 1/2п	Диск		п > 1
Плохо	1/2м + 1/2п	Диск		п > м > 1
Эллиптический	2	Сфера
Эллиптический	2/п	Сфера	п,п
Эллиптический	1/п	Сфера	2, 2, п
Эллиптический	1/6	Сфера	2, 3, 3
Эллиптический	1/12	Сфера	2, 3, 4
Эллиптический	1/30	Сфера	2, 3, 5
Эллиптический	1	Диск
Эллиптический	1/п	Диск		п, п
Эллиптический	1/2п	Диск		2, 2, п
Эллиптический	1/12	Диск		2, 3, 3
Эллиптический	1/24	Диск		2, 3, 4
Эллиптический	1/60	Диск		2, 3, 5
Эллиптический	1/п	Диск	п
Эллиптический	1/2п	Диск	2	п
Эллиптический	1/12	Диск	3	2
Эллиптический	1	Проективная плоскость
Эллиптический	1/п	Проективная плоскость	п
Параболический	0	Сфера	2, 3, 6
Параболический	0	Сфера	2, 4, 4
Параболический	0	Сфера	3, 3, 3
Параболический	0	Сфера	2, 2, 2, 2
Параболический	0	Диск		2, 3, 6
Параболический	0	Диск		2, 4, 4
Параболический	0	Диск		3, 3, 3
Параболический	0	Диск		2, 2, 2, 2
Параболический	0	Диск	2	2, 2
Параболический	0	Диск	3	3
Параболический	0	Диск	4	2
Параболический	0	Диск	2, 2
Параболический	0	Проективная плоскость	2, 2
Параболический	0	Тор
Параболический	0	Бутылка Клейна
Параболический	0	Кольцо
Параболический	0	Группа Мебиуса

3-мерные орбифолды

Трехмерное многообразие называется маленький если она замкнута, неприводима и не содержит несжимаемых поверхностей.

Теорема об орбифолде. Позволять M - небольшое 3-многообразие. Пусть φ - нетривиальный периодический сохраняющий ориентацию диффеоморфизм M. потом M допускает φ-инвариантную гиперболическую или расслоенную структуру Зейферта.

Эта теорема является частным случаем теории Терстона. теорема об орбифолде, объявленный без доказательств в 1981 году; он является частью его гипотеза геометризации трехмерных многообразий. В частности, это означает, что если Икс компактное связное ориентируемое неприводимое атороидальное 3-орбифолд с непустым сингулярным множеством, то M имеет геометрическую структуру (в смысле орбифолдов). Полное доказательство теоремы было опубликовано Boileau, Leeb & Porti в 2005 году.^[11]

Приложения

Орбифолды в теории струн

В теория струн слово «орбифолд» имеет несколько новое значение. Для математиков орбифолд - это обобщение понятия многообразие что допускает наличие точек, окрестность которых диффеоморфный к частному р^п конечной группой, т.е. р^п/Γ. В физике понятие орбифолда обычно описывает объект, который можно глобально записать как пространство орбиты. M/грамм куда M является многообразием (или теорией), а грамм представляет собой группу его изометрий (или симметрий) - не обязательно всех из них. В теории струн эти симметрии не обязательно должны иметь геометрическую интерпретацию.

А квантовая теория поля определенная на орбифолде, становится особой вблизи неподвижных точек грамм. Однако теория струн требует от нас добавления новых частей закрытая строка Гильбертово пространство - а именно скрученные секторы, в которых поля, определенные на замкнутых цепочках, периодичны до действия из грамм. Таким образом, орбифолдинг - это общая процедура теории струн для вывода новой теории струн из старой теории струн, в которой элементы грамм были отождествлены с личностью. Такая процедура уменьшает количество состояний, поскольку состояния должны быть инвариантными относительно грамм, но это также увеличивает количество состояний из-за дополнительных скрученных секторов. В результате обычно получается совершенно гладкая новая теория струн.

D-браны распространяющиеся на орбифолдах описываются при низких энергиях калибровочными теориями, определяемыми диаграммы колчана. Открытые струны прикреплены к этим D-браны не имеют скрученного сектора, поэтому количество состояний открытой строки уменьшается с помощью процедуры орбифолдинга.

Более конкретно, когда орбифолдная группа грамм является дискретной подгруппой изометрий пространства-времени, то, если она не имеет неподвижной точки, результатом обычно является компактное гладкое пространство; скрученный сектор состоит из замкнутых струн, намотанных вокруг компактного размера, которые называются состояния обмотки.

Когда группа орбифолдов G является дискретной подгруппой изометрий пространства-времени и имеет неподвижные точки, то они обычно имеют конические особенности, потому что р^п/Z_k имеет такую особенность в неподвижной точке Z_k. В теории струн гравитационные сингулярности обычно являются признаком дополнительных степени свободы которые расположены в одной точке пространства-времени. В случае орбифолда эти степени свободы - скрученные состояния, которые представляют собой «застрявшие» струны в фиксированных точках. Когда поля, связанные с этими закрученными состояниями, приобретают ненулевой ожидаемое значение вакуума, особенность деформируется, т. е. метрика изменяется и становится регулярной в этой точке и вокруг нее. Примером результирующей геометрии является Егучи-Хансон пространство-время.

С точки зрения D-бран в окрестности неподвижных точек, эффективная теория открытых струн, прикрепленных к этим D-бранам, представляет собой суперсимметричную теорию поля, пространство вакуума которой имеет особую точку, в которой имеются дополнительные безмассовые степени свобода существует. Поля, связанные с закрученным сектором замкнутой струны, соединяются с открытыми струнами таким образом, чтобы добавить член Файе-Илиопулоса к лагранжиану суперсимметричной теории поля, так что, когда такое поле приобретает ненулевой ожидаемое значение вакуума, член Файе-Илиопулоса отличен от нуля и тем самым деформирует теорию (т.е. меняет ее) так, что сингулярность больше не существует [1], [2].

Многообразия Калаби – Яу.

В теория суперструн,^[12]^[13]строительство реалистичных феноменологические модели требует уменьшение размеров потому что струны естественно распространяются в 10-мерном пространстве, в то время как наблюдаемое измерение пространство-время Вселенной равно 4. Формальные ограничения на теории, тем не менее, накладывают ограничения на уплотненное пространство в котором живут лишние "скрытые" переменные: при поиске реалистичных 4-хмерных моделей с суперсимметрия вспомогательное компактифицированное пространство должно быть 6-мерным Многообразие Калаби – Яу.^[14]

Существует большое количество возможных многообразий Калаби – Яу (десятки тысяч), отсюда и использование термина «ландшафт» в современной литературе по теоретической физике для описания сбивающего с толку выбора. Общее исследование многообразий Калаби – Яу является математически сложным, и долгое время было трудно построить явные примеры. Таким образом, орбифолды оказались очень полезными, поскольку они автоматически удовлетворяют ограничениям, налагаемым суперсимметрией. Они предоставляют вырожденные примеры многообразий Калаби – Яу из-за их особые точки,^[15] но это вполне приемлемо с точки зрения теоретической физики. Такие орбифолды называются суперсимметричными: их технически легче изучать, чем общие многообразия Калаби – Яу. Очень часто можно связать непрерывное семейство неособых многообразий Калаби – Яу с сингулярным суперсимметричным орбифолдом. В четырех измерениях это можно проиллюстрировать с помощью сложных K3 поверхности:

Каждая поверхность K3 допускает 16 циклов размерности 2, топологически эквивалентных обычным 2-сферам. Поскольку поверхность этих сфер стремится к нулю, на поверхности K3 появляются 16 особенностей. Этот предел представляет собой точку на границе пространство модулей K3 поверхностей и соответствует орбифолду ${ Displaystyle Т ^ {4} / mathbb {Z} _ {2} ,}$ полученное факторизацией тора по симметрии обращения.

Изучение многообразий Калаби – Яу в теории струн и двойственности между различными моделями теории струн (типа IIA и IIB) привело к идее зеркальная симметрия в 1988 году. Примерно в то же время на роль орбифолдов впервые указали Диксон, Харви, Вафа и Виттен.^[16]

Теория музыки

Помимо многообразия и различных приложений в математике и физике, орбифолды применялись к теория музыки по крайней мере, еще в 1985 г. в работе Герино Маццола^[17]^[18] а позже Дмитрий Тимочко и соавторы (Тимочко 2006 ) и (Каллендер и Тимочко 2008 ).^[19]^[20] Одна из статей Тимочко была первой статьей по теории музыки, опубликованной в журнале. Наука.^[21]^[22]^[23] Маццола и Тимочко участвовали в дебатах по поводу своих теорий, которые задокументированы в серии комментариев, доступных на их соответствующих веб-сайтах.^[24]^[25]

Анимированные срезы трехмерного орбифолда

{ Displaystyle Т ^ {3} / S_ {3}}

. Ломтики кубиков, стоящих дыбом (длинными диагоналями, перпендикулярными плоскости изображения), образуют цветные Вороной области (окрашенные типом аккорда), которые представляют собой трех нотные аккорды в их центрах, с дополненные триады в самом центре, в окружении больших и малых триады (салатовый и темно-синий). Белые области представляют собой вырожденные трихорды (одна нота повторяется три раза), с тремя линиями (представляющими два аккорда нот), соединяющими их центры, образующими стенки скрученной треугольной призмы, 2D плоскости, перпендикулярные плоскости изображения, действующие как зеркала.

Тимочко моделирует музыкальные аккорды, состоящие из п ноты, которые не обязательно различимы, как точки в орбифолде ${ displaystyle T ^ {n} / S_ {n}}$ - пространство п неупорядоченные точки (не обязательно разные) в круге, реализованные как частное от п-тор ${ Displaystyle Т ^ {п}}$ (пространство п упорядоченный точек на окружности) симметричной группой ${ displaystyle S_ {n}}$ (соответствует переходу от упорядоченного набора к неупорядоченному).

Музыкально это объясняется следующим образом:

Музыкальные тона зависят от частоты (высоты тона) своей основной гармоники и, таким образом, параметризуются положительными действительными числами, р⁺.
Музыкальные тона, различающиеся на октаву (удвоение частоты), считаются одним и тем же тоном - это соответствует принятию логарифм основание 2 частот (дает действительные числа, как ${ Displaystyle mathbf {R} = log _ {2} mathbf {R} ^ {+}}$ ), затем деление на целые числа (соответствующие различиям на некоторое количество октав), в результате чего получается круг (как ${ Displaystyle S ^ {1} = mathbf {R} / mathbf {Z}}$ ).
Аккорды соответствуют нескольким тонам без учета порядка - таким образом т примечания (с порядком) соответствуют т упорядоченные точки на окружности или, что то же самое, одна точка на т-тор ${ displaystyle T ^ {t}: = S ^ {1} times cdots times S ^ {1},}$ а порядок опускания соответствует частному по ${ displaystyle S_ {t},}$ давая орбифолд.

За диады (два тона), это дает закрытый Лента Мебиуса; за триады (три тона), это дает орбифолд, который можно описать как треугольную призму с верхней и нижней треугольными гранями, отождествленными с поворотом на 120 ° (поворот на -), что эквивалентно полному тору в трех измерениях с поперечным сечением. равносторонний треугольник и такой поворот.

Результирующий орбифолд естественным образом стратифицируется повторяющимися тонами (точнее, целочисленными разделами т) - открытый набор состоит из различных тонов (раздел ${ Displaystyle т = 1 + 1 + cdots +1}$ ), а имеется одномерное особое множество, состоящее из одинаковых тонов (разбиение ${ Displaystyle т = т}$ ), топологически представляющий собой круг, и различные промежуточные разбиения. Есть также заметный круг, который проходит через центр открытого множества, состоящего из равноотстоящих точек. В случае триад три боковые грани призмы соответствуют двум одинаковым тонам, а третьему - разному (разделение ${ Displaystyle 3 = 2 + 1}$ ), а три ребра призмы соответствуют одномерному сингулярному множеству. Верхняя и нижняя грани являются частью открытого набора и появляются только потому, что орбифолд был разрезан - если рассматривать как треугольный тор с изгибом, эти артефакты исчезают.

Тимочко утверждает, что аккорды, расположенные близко к центру (с одинаковыми или почти одинаковыми тонами), составляют основу большей части традиционной западной гармонии, и что их визуализация помогает в анализе. В центре 4 аккорда (на равном расстоянии под равный темперамент - интервал 4/4/4 между тонами), соответствующий дополненные триады (думал как музыкальные наборы ) C♯FA, DF♯A♯, D♯GB и EG♯C (затем они циклически повторяются: FAC♯ = C♯FA), с 12 мажорные аккорды и 12 минорные аккорды точки рядом, но не в центре - расположены почти равномерно, но не совсем. Основные аккорды соответствуют интервалу 4/3/5 (или, что эквивалентно, 5/4/3), а второстепенные аккорды соответствуют интервалу 3/4/5. Ключевые изменения тогда соответствуют перемещению между этими точками в орбифолде, с более плавными изменениями, вызванными перемещением между соседними точками.

Смотрите также

Примечания

^ Сатаке (1956).
^ Терстон (1978), Глава 13.
^ Хефлигер (1990).
^ Пуанкаре (1985).
^ Серр (1970).
^ Скотт (1983).
^ Бридсон и Хефлигер (1999).
^ Ди Франческо, Матьё и Сенешаль (1997)
^ Бредон (1972).
^ Теорема о гиперболических медианах
^ Общие введения к этому материалу можно найти в заметках Питера Скотта за 1983 г. и в экспозициях Boileau, Maillot & Porti и Cooper, Hodgson & Kerckhoff.
^ М. Грин, Дж. Шварц и Э. Виттен, Теория суперструн, Vol. 1 и 2, Cambridge University Press, 1987, ISBN0521357527
^ Я. Полчинский, Теория струн, Vol. 2, Cambridge University Press, 1999 г., ISBN 0-521-63304-4
^ П. Канделас, Лекции о комплексных многообразиях, в * Trieste 1987, Proceedings, Superstrings '87 * 1-88, 1987
^ Блюменхаген, Ральф; Люст, Дитер; Тайзен, Стефан (2012), Основные понятия теории струн, Теоретическая и математическая физика, Springer, p. 487, г. ISBN 9783642294969, Орбифолды можно рассматривать как особые пределы гладких многообразий Калаби – Яу..
^ Диксон, Харви, Вафа и Виттен, Nucl.Phys. 1985, B261, 678; 1986, В274, 286.
^ Герино Маццола (1985). Gruppen und Kategorien in der Musik: Entwurf einer Mathematischen Musiktheorie. Heldermann. ISBN 978-3-88538-210-2. Получено 26 февраля 2012.
^ Герино Маццола; Стефан Мюллер (2002). Топос музыки: геометрическая логика понятий, теория и исполнение. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-5731-3. Получено 26 февраля 2012.
^ Дмитрий Тимочко, Геометрия музыки - ссылки на статьи и программы для визуализации.
^ Пространство модулей аккордов: Дмитрий Тимочко на «Геометрии и музыке», пятница, 7 марта, 14:30., опубликовал 28 / фев / 08 - тезисы разговора и высокоуровневое математическое описание.
^ Майкл Д. Лемоник, Геометрия музыки, Время, 26 января 2007 г.
^ Элизабет Гудрайс, Отображение музыки, Harvard Magazine, январь / февраль 2007 г.
^ Тони Филлипс, Взгляд Тони Филлипса на математику в СМИ, Американское математическое общество, Октябрь 2006 г.
^ Агустин-Акино, Октавио Альберто; Маццола, Герино (14 июня 2011 г.). "О критике Д. Тимочко теории контрапункта Маццолы" (PDF).
^ Тимочко, Дмитрий. "Теория контрапункта Маццолы" (PDF).

Теория струн
Фон	Струны История теории струн Первая суперструнная революция Вторая суперструнная революция Пейзаж теории струн
Теория	Действие Намбу – Гото Поляков действие Теория бозонных струн Теория суперструн Строка типа I Струна типа II Строка типа IIA Строка типа IIB Гетеротическая строка N = 2 суперструны F-теория Теория струнного поля Матричная теория струн Некритическая теория струн Нелинейная сигма-модель Тахионная конденсация Формализм RNS Формализм GS
Струнная двойственность	Т-дуальность S-дуальность U-дуальность Двойственность Монтонена-Олива
Частицы и поля	Гравитон Дилатон Тахион Рамон-Рамонское месторождение Поле Калба – Рамона Магнитный монополь Двойной гравитон Двойной фотон
Бранес	D-брана NS5-брана М2-брана М5-брана S-брана Черная брана Черные дыры Черная строка Космология браны Схема колчана Переход Ханани – Виттена
Конформная теория поля	Алгебра Вирасоро Зеркальная симметрия Конформная аномалия Конформная алгебра Суперконформная алгебра Вершинная операторная алгебра Алгебра петель Алгебра Каца – Муди Модель Весса – Зумино – Виттена.
Калибровочная теория	Аномалии Instantons Форма Черна – Саймонса Граница Богомольного – Прасада – Соммерфилда Исключительные группы Ли (грамм₂, F₄, E₆, E₇, E₈ ) Классификация ADE Струна Дирака п-формная электродинамика
Геометрия	Теория Калуцы – Клейна Компактификация Почему 10 измерений ? Кэлерово многообразие Риччи-плоский коллектор Многообразие Калаби – Яу Гиперкэлерово многообразие K3 поверхность грамм₂ многообразие Спиновое (7) -многообразие Обобщенное комплексное многообразие Орбифолд Конифолд Ориентифолд Модульное пространство Доменная стена Горжава – Виттена К-теория (физика) Витая K-теория
Суперсимметрия	Супергравитация Суперпространство Супералгебра Ли Супергруппа Ли
Голография	Голографический принцип AdS / CFT корреспонденция
М-теория	Матричная теория Введение в М-теорию
Теоретики струн	Аганагич Аркани-Хамед Атья банки Беренштейн Буссо Тесак Curtright Dijkgraaf Дистлер Дуглас Дафф Феррара Фишлер Фридан Ворота Глиоцци Гопакумар Зеленый Грин Валовой Губсер Гуков Guth Hanson Харви Горжава Гиббонс Качру Каку Kallosh Калуца Капустин Клебанов Книжник Концевич Кляйн Linde Maldacena Мандельштам Марольф Мартинек Минвалла Мур Motl Мухи Майерс Нанопулос Нэстасе Некрасов Невеу Nielsen van Nieuwenhuizen Новиков Оливковое Ooguri Оврут Полчинский Поляков Раджараман Рамон Randall Ранджбар-Дэми Рочек Ром Scherk Шварц Зайберг Сен Шенкер Сигель Сильверштейн Сын Staudacher Steinhardt Strominger Сундрам Сасскинд 'т Хофт Townsend Триведи Турок Вафа Венециано Верлинде Верлинде Wess Виттен Яу Йонея Замолодчиков Замолодчиков Заслоу Зумино Zwiebach

Орбифолд - Orbifold

Содержание

Формальные определения

Определение с использованием группоидов

Примеры

Орбифолд фундаментальная группа

Orbispaces

Комплексы групп

Определение

Пример

Группа кромочного пути

Развиваемые комплексы

Орбиэдра

Определение

Основные свойства

Треугольники групп

Пример Мамфорда

Обобщения

Двумерные орбифолды

3-мерные орбифолды

Приложения

Орбифолды в теории струн

Многообразия Калаби – Яу.

Теория музыки

Смотрите также

Примечания

Рекомендации