Герб - Gerbe - Wikipedia

Для использования в других целях см. Герб (значения).

В математика, а герб (/dʒɜːrб/; Французский:[ʒɛʁb]) является конструкцией в гомологическая алгебра и топология. Гербы были представлены Жан Жиро (Жиро 1971 ) следующие идеи Александр Гротендик как инструмент для некоммутативных когомология степени 2. Их можно рассматривать как аналог пучки волокон где волокно классифицирующий стек группы. Гербы предоставляют удобный, хотя и весьма абстрактный, язык для работы со многими типами деформация вопросы особенно в современных алгебраическая геометрия. Кроме того, в последнее время в особых случаях герберы использовались в дифференциальная топология и дифференциальная геометрия дать альтернативные описания некоторым классы когомологий и дополнительные конструкции, прикрепленные к ним.

«Герб» - французское (и устаревшее английское) слово, буквально означающее пшеница пучок.

Определения

Гербы на топологическом пространстве

Герб на топологическое пространство ${\displaystyle S}$^{[1]стр. 318} это куча ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ из группоиды над ${\displaystyle S}$ который локально непустой (каждая точка ${\displaystyle p\in S}$ имеет открытый район ${\displaystyle U_{p}}$ над которым категория раздела ${\displaystyle {\mathcal {X}}(U_{p})}$ герба не пуста) и переходный (для любых двух объектов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ из ${\displaystyle {\mathcal {X}}(U)}$ для любого открытого набора ${\displaystyle U}$, есть открытое покрытие ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$ из ${\displaystyle U}$ так что ограничения ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ для каждого ${\displaystyle U_{i}}$ связаны хотя бы одним морфизмом).

Канонический пример - герб ${\displaystyle BG}$ из основные связки с фиксированной структурная группа ${\displaystyle H}$: категория раздела над открытым набором ${\displaystyle U}$ это категория главного ${\displaystyle H}$-бандлы на ${\displaystyle U}$ с изоморфизмом как морфизмом (таким образом, категория является группоидом). По мере того, как основные связки склеиваются (удовлетворяют условию спуска), эти группоиды образуют стопку. Тривиальный пучок ${\displaystyle X\times H\to X}$ показывает, что условие локальной непустоты выполняется, и, наконец, поскольку главные расслоения локально тривиальны, они становятся изоморфными при ограничении на достаточно малые открытые множества; таким образом, условие транзитивности также выполняется.

Гербы на сайте

Наиболее общее определение гербов определяется на сайте. Учитывая сайт ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ а ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-герб ${\displaystyle G}$^{[2][3]стр.129} категория, расслоенная на группоиды ${\displaystyle G\to {\mathcal {C}}}$ такой, что

1. Есть уточнение^[4] ${\displaystyle {\mathcal {C}}'}$ из ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ так что для каждого объекта ${\displaystyle S\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}}')}$ связанная расслоенная категория ${\displaystyle G_{S}}$ не пусто
2. Для каждого ${\displaystyle S\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})}$ любые два объекта в расслоенной категории ${\displaystyle G_{S}}$ локально изоморфны

Обратите внимание, что для сайта ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ с последним объектом ${\displaystyle e}$, категория, расслоенная на группоиды ${\displaystyle G\to {\mathcal {C}}}$ это ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$-gerbe допускает локальную секцию, то есть удовлетворяет первой аксиоме, если ${\displaystyle {\text{Ob}}(G_{e})\neq \varnothing }$.

Мотивация для гербов на сайте

Одним из основных мотивов рассмотрения гербов на сайте является рассмотрение следующего наивного вопроса: если группа когомологий Чеха ${\displaystyle H^{1}({\mathcal {U}},G)}$ для подходящего покрытия ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$ пространства ${\displaystyle X}$ дает классы изоморфизма главных ${\displaystyle G}$-бутует ${\displaystyle X}$, что делает функтор повторных когомологий ${\displaystyle H^{1}(-,H^{1}(-,G))}$ представлять? То есть мы склеиваем группы${\displaystyle H^{1}(U_{i},G)}$ через какой-то один коцикл. Гербы - технический ответ на этот вопрос: они дают геометрические представления элементов в высшей группе когомологий. ${\displaystyle H^{2}({\mathcal {U}},G)}$. Ожидается, что эта интуиция сохранится в течение высшие зародыши.

Когомологическая классификация

Одной из основных теорем, касающихся гербов, является их когомологическая классификация, если они имеют группы автоморфизмов, заданные фиксированным пучком абелевых групп. ${\displaystyle {\underline {L}}}$,^[5][2] назвал группу. Для гербера ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ на сайте ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, объект ${\displaystyle U\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})}$, и объект ${\displaystyle x\in {\text{Ob}}({\mathcal {X}}(U))}$, группа автоморфизмов герба определяется как группа автоморфизмов ${\displaystyle L={\underline {\text{Aut}}}_{{\mathcal {X}}(U)}(x)}$. Обратите внимание, что это правильно, если группа автоморфизмов всегда одна и та же. Учитывая покрытие ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\to X\}_{i\in I}}$, есть связанный класс

${\displaystyle c({\underline {L}})\in H^{3}(X,{\underline {L}})}$

представляющий класс изоморфизма герба ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ окруженный ${\displaystyle L}$Например, в топологии многие примеры ростков можно построить, рассматривая ростки, окаймленные группой ${\displaystyle U(1)}$. Как классифицирующее пространство ${\displaystyle B(U(1))=K(\mathbb {Z} ,2)}$ это второй Эйленберг-Маклейн пространство для целых чисел, расслоение герб, окаймленное ${\displaystyle U(1)}$ на топологическом пространстве ${\displaystyle X}$ строится из гомотопического класса отображений в

${\displaystyle [X,B^{2}(U(1))]=[X,K(\mathbb {Z} ,3)]}$

что в точности является третьей группой особых гомологий ${\displaystyle H^{3}(X,\mathbb {Z} )}$. Было найдено^[6] что все гербы, представляющие классы когомологий кручения в ${\displaystyle H^{3}(X,\mathbb {Z} )}$ представлены пучком конечномерных алгебр ${\displaystyle {\text{End}}(V)}$ для фиксированного комплексного векторного пространства ${\displaystyle V}$. Кроме того, классы без кручения представлены в виде бесконечномерных главных расслоений ${\displaystyle PU({\mathcal {H}})}$ проективной группы унитарных операторов на фиксированной бесконечномерной отделяемый Гильбертово пространство ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. Обратите внимание, что это хорошо определено, потому что все сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны пространству суммируемых с квадратом последовательностей ${\displaystyle \ell ^{2}}$Теоретико-гомотопическая интерпретация гербов происходит из рассмотрения квадрат гомотопического волокна

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {X}}&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\S&\xrightarrow {f} &B^{2}U(1)\end{matrix}}}$

аналогично тому, как линейный пучок получается из квадрата гомотопического волокна

${\displaystyle {\begin{matrix}L&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\S&\xrightarrow {f} &BU(1)\end{matrix}}}$

куда ${\displaystyle BU(1)\simeq K(\mathbb {Z} ,2)}$, давая ${\displaystyle H^{2}(S,\mathbb {Z} )}$ как группу классов изоморфизма линейных расслоений на ${\displaystyle S}$.

Примеры

Алгебраическая геометрия

Позволять ${\displaystyle M}$ быть разнообразие над алгебраически замкнутое поле ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle G}$ ан алгебраическая группа, Например ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$. Напомним, что грамм-торсор над ${\displaystyle M}$ является алгебраическое пространство ${\displaystyle P}$ с действием ${\displaystyle G}$ и карта ${\displaystyle \pi :P\to M}$, так что локально на ${\displaystyle M}$ (в этальная топология или же топология fppf ) ${\displaystyle \pi }$ это прямой продукт ${\displaystyle \pi |_{U}:G\times U\to U}$. А грамм-герб M можно определить аналогичным образом. Это Стек Артина ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ с картой ${\displaystyle \pi \colon {\mathcal {M}}\to M}$, так что локально на M (в этальной топологии или топологии fppf) ${\displaystyle \pi }$ это прямой продукт ${\displaystyle \pi |_{U}\colon \mathrm {B} G\times U\to U}$.^[7] Здесь ${\displaystyle BG}$ обозначает классифицирующий стек из ${\displaystyle G}$, т.е. частное ${\displaystyle [*/G]}$ точки тривиальным ${\displaystyle G}$-действие. В этом случае нет необходимости навязывать совместимость со структурой группы, поскольку она покрывается определением стека. Лежащий в основе топологические пространства из ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ и ${\displaystyle M}$ такие же, но в ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ каждая точка снабжена группой стабилизаторов, изоморфной ${\displaystyle G}$.

Из двухчленных комплексов когерентных пучков

Каждый двухчленный комплекс когерентных пучков

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\bullet }=[{\mathcal {E}}^{-1}\xrightarrow {d} {\mathcal {E}}^{0}]}$

по схеме ${\displaystyle X\in {\text{Sch}}}$ имеет связанный с ним канонический пучок группоидов, где на открытом подмножестве ${\displaystyle U\subseteq X}$ есть двухчленный комплекс ${\displaystyle X(U)}$-модули

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{-1}(U)\xrightarrow {d} {\mathcal {E}}^{0}(U)}$

давая группоид. Он имеет объекты, заданные элементами ${\displaystyle x\in {\mathcal {E}}^{0}(U)}$ и морфизм ${\displaystyle x\to x'}$ дается элементом ${\displaystyle y\in {\mathcal {E}}^{-1}(U)}$ такой, что

${\displaystyle dy+x=x'}$

Чтобы эта стопка была гербом, мы должны иметь пучок когомологий ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{0}({\mathcal {E}})}$ чтобы всегда был раздел. Эта гипотеза подразумевает, что в построенной выше категории всегда есть объекты.

Стек модулей стабильных расслоений на кривой

Рассмотрим гладкую проективный изгиб ${\displaystyle C}$ над ${\displaystyle k}$ рода ${\displaystyle g>1}$. Позволять ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{r,d}^{s}}$ быть стек модулей из стабильные векторные расслоения на ${\displaystyle C}$ ранга ${\displaystyle r}$ и степень ${\displaystyle d}$. Оно имеет грубое пространство модулей ${\displaystyle M_{r,d}^{s}}$, который является квазипроективное многообразие. Эти две задачи с модулями параметризуют одни и те же объекты, но стековая версия запоминает автоморфизмы векторных расслоений. Для любого стабильного векторного расслоения ${\displaystyle E}$ группа автоморфизмов ${\displaystyle Aut(E)}$ состоит только из скалярных умножений, поэтому каждая точка в стеке модулей имеет стабилизатор, изоморфный ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$. Оказывается, карта ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{r,d}^{s}\to M_{r,d}^{s}}$ действительно ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$-герб в указанном выше смысле.^[8] Это тривиальный герб тогда и только тогда, когда ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle d}$ находятся совмещать.

Корневые стеки

Другой класс зародышей можно найти, построив корневые стеки. Неофициально ${\displaystyle r}$-й корневой стек линейного пакета ${\displaystyle L\to S}$ через схема это пространство, представляющее ${\displaystyle r}$-й корень из ${\displaystyle L}$ и обозначается

${\displaystyle {\sqrt[{r}]{L/S}}}$^[9]стр.52.

В ${\displaystyle r}$-й корневой стек ${\displaystyle L}$ имеет собственность

${\displaystyle \bigotimes ^{r}{\sqrt[{r}]{L/S}}\cong L}$

как герберы. Он построен как стек

${\displaystyle {\sqrt[{r}]{L/S}}:(Sch/S)^{op}\to Grpd}$

отправка ${\displaystyle S}$-схема ${\displaystyle T\to S}$ в категорию, объекты которой объединяют в себя

${\displaystyle \left\{(M\to T,\alpha _{M}):\alpha _{M}:M^{\otimes r}\xrightarrow {\sim } L\times _{S}T\right\}}$

а морфизмы - коммутативные диаграммы, согласованные с изоморфизмами ${\displaystyle \alpha _{M}}$. Герб окаймлен алгебраическая группа корней единства ${\displaystyle \mu _{r}}$, где на обложке ${\displaystyle T\to S}$ он действует на точку ${\displaystyle (M\to T,\alpha _{M})}$ путем циклической перестановки факторов ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle M^{\otimes r}}$. Геометрически эти стопки формируются как волокнистый продукт стопок.

${\displaystyle {\begin{matrix}X\times _{B\mathbb {G} _{m}}B\mathbb {G} _{m}&\to &B\mathbb {G} _{m}\\\downarrow &&\downarrow \\X&\to &B\mathbb {G} _{m}\end{matrix}}}$

где вертикальная карта ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}\to B\mathbb {G} _{m}}$ исходит из Последовательность Куммера

${\displaystyle 1\xrightarrow {} \mu _{r}\xrightarrow {} \mathbb {G} _{m}\xrightarrow {(\cdot )^{r}} \mathbb {G} _{m}\xrightarrow {} 1}$

Это потому что ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$ - пространство модулей линейных расслоений, поэтому линейное расслоение ${\displaystyle L\to S}$ соответствует объекту категории ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}(S)}$ (рассматривается как точка пространства модулей).

Корневые стеки с секциями

Есть еще одна связанная конструкция корневых стеков с секциями. Учитывая приведенные выше данные, пусть ${\displaystyle s:S\to L}$ быть разделом. Тогда ${\displaystyle r}$-й корневой стек пары ${\displaystyle (L\to S,s)}$ определяется как слабый 2-функтор^[9][10]

${\displaystyle {\sqrt[{r}]{(L,s)/S}}:(Sch/S)^{op}\to Grpd}$

отправка ${\displaystyle S}$-схема ${\displaystyle T\to S}$ в категорию, объекты которой объединяют в себя

${\displaystyle \left\{(M\to T,\alpha _{M},t):{\begin{aligned}&\alpha _{M}:M^{\otimes r}\xrightarrow {\sim } L\times _{S}T\\&t\in \Gamma (T,M)\\&\alpha _{M}(t^{\otimes r})=s\end{aligned}}\right\}}$

и морфизмы задаются аналогично. Эти стеки могут быть построены очень явно и хорошо понятны для аффинных схем. Фактически они образуют аффинные модели для корневых стеков с секциями^{[10]стр. 4}. Учитывая аффинную схему ${\displaystyle S={\text{Spec}}(A)}$, все линейные расслоения тривиальны, поэтому ${\displaystyle L\cong {\mathcal {O}}_{S}}$ и любой раздел ${\displaystyle s}$ эквивалентно взятию элемента ${\displaystyle s\in A}$. Тогда стек дается частным стека

${\displaystyle {\sqrt[{r}]{(L,s)/S}}=[{\text{Spec}}(B)/\mu _{r}]}$^[10]стр.9

с

${\displaystyle B={\frac {A[x]}{x^{r}-s}}}$

Если ${\displaystyle s=0}$ то это дает бесконечно малое расширение ${\displaystyle [{\text{Spec}}(A)/\mu _{r}]}$.

Примеры в алгебраической геометрии

Эти и более общие виды гербов возникают в нескольких контекстах как геометрические пространства и как формальные бухгалтерские инструменты:

• Адзумая алгебры
• Деформации бесконечно малых утолщений
• Скрученные формы проективных многообразий
• Функторы волокна за мотивы

Дифференциальная геометрия

• ${\displaystyle H^{3}(X,\mathbb {Z} )}$ и ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{*}}$-гербы: Жан-Люк Брылински подход

История

Гербы впервые появились в контексте алгебраическая геометрия. Впоследствии они были развиты в более традиционных геометрических рамках Брылинским (Брылинский 1993 ). Можно думать о гербах как о естественной ступеньке в иерархии математических объектов, обеспечивающих геометрические реализации интегральных когомология классы.

Более специализированное понятие герб было введено Мюррей и позвонил пучок гербер. По сути, они гладкий версия абелевых гербов, принадлежащих больше к иерархии, начиная с основные связки чем связки. Пучковые герберы использовались в калибровочная теория а также теория струн. Текущая работа других разрабатывает теорию неабелевы пучки гербер.

Смотрите также

• скрученная связка
• Адзумая алгебра
• Витая K-теория
• Алгебраический стек
• Связка гербе
• Группа строк

Рекомендации

1. Основная теория расслоений и инварианты K-когомологий. Хусемёллер, Дейл. Берлин: Springer. 2008 г. ISBN  978-3-540-74956-1. OCLC  233973513.
2. «Раздел 8.11 (06NY): Gerbes - проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2020-10-27.
3. Жиро, Ж. (Жан) (1971). Cohomologie non abélienne. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-05307-7. OCLC  186709.
4. «Раздел 7.8 (00VS): Семейства морфизмов с фиксированной целью - проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2020-10-27.
5. «Раздел 21.11 (0CJZ): Вторая когомология и герберы - проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2020-10-27.
6. Каруби, Макс (12 декабря 2010 г.). «Скрученные пучки и скрученная K-теория». arXiv:1012.2512 [math.KT ].
7. Эдидин, Дан; Хассет, Брендан; Крещ, Андрей; Вистоли, Анджело (2001). «Группы Брауэра и фактор-стеки». Американский журнал математики. 123 (4): 761–777. arXiv:математика / 9905049. Дои:10.1353 / айм.2001.0024. S2CID  16541492.
8. Хоффман, Норберт (2010). «Стеки модулей векторных расслоений на кривых и доказательство рациональности Кинга – Шофилда». Когомологический и геометрический подходы к проблемам рациональности: 133–148. arXiv:математика / 0511660. Дои:10.1007/978-0-8176-4934-0_5. ISBN  978-0-8176-4933-3. S2CID  5467668.
9. Абрамович, Дан; Грабер, Том; Вистоли, Анджело (13 апреля 2008 г.). "Теория Громова-Виттена стеков Делиня-Мамфорда". arXiv:математика / 0603151.
10. Кэдман, Чарльз (2007). «Использование стеков для наложения условий касания на кривые» (PDF). Амер. J. Math. 129 (2): 405–427. arXiv:математика / 0312349. Дои:10.1353 / айм.2007.0007. S2CID  10323243.

• Жиро, Жан (1971), Cohomologie non abélienne, Springer, ISBN  3-540-05307-7.
• Брылински, Жан-Люк (1993), Пространство петель, характеристические классы и геометрическое квантование, Birkhäuser Verlag, ISBN  0-8176-3644-7.

внешняя ссылка

Вводные статьи

• Конструкции со связками гербов - Стюарт Джонсон
• Знакомство с гербами на орбифолдах, Эрнесто Луперсио, Бернадо Урибе.
• Что такое гербера?, к Найджел Хитчин в Уведомлениях AMS
• Связать герберы, Майкл Мюррей.
• Мурдейк, Ике. «Введение в язык стопок и гербов». Получено 2007-05-20.

Гербы в топологии

• Гомотопическая теория предпучков симплициальных группоидов, Чжи-Мин Ло

Витая K-теория

• Скрученная K-теория и K-теория ростков расслоений
• Скрученные связки и скрученная K-теория - Каруби

Приложения в теории струн

• Устойчивые особенности в теории струн - в приложении содержатся примеры гербер с использованием группы Брауэра
• Брана о групповых многообразиях, глюонных конденсатах и ​​скрученной K-теории
• Лекции о специальных лагранжевых подмногообразиях - Очень практичное введение с приложениями к зеркальной симметрии
• Базовый герб над компактной простой группой Ли - Дает методы описания групп, таких как Группа строк как герб