Группа строк - String group

В топология, филиал математика, а группа строк является бесконечномерной группой ${ displaystyle { text {String}} (п)}$ представлен Штольц (1996) как ${ displaystyle 3}$ -подключенная крышка вращательная группа. А струнный коллектор это многообразие с снятием комплект кадров в связку группы строк. Это означает, что помимо возможности определять голономия вдоль путей можно также определить голономию для поверхностей, проходящих между струнами. Есть короткий точная последовательность из топологические группы

${ displaystyle 0 rightarrow { displaystyle K ( mathbb {Z}, 2)} rightarrow { text {String}} (n) rightarrow { text {Spin}} (n) rightarrow 0}$

куда ${ Displaystyle К ( mathbb {Z}, 2)}$ является Пространство Эйленберга – Маклейна и ${ displaystyle { text {Spin}} (п)}$ является спиновой группой. Группа строк - это запись в Башня Уайтхед (двойственное понятию Постникова башня ) для ортогональная группа:

${ displaystyle ldots rightarrow { text {Fivebrane}} (n) to { text {String}} (n) rightarrow { text {Spin}} (n) rightarrow { text {SO}} (n) rightarrow { text {O}} (n)}$

Его можно получить, убив ${ displaystyle pi _ {3}}$ гомотопическая группа за ${ displaystyle { text {Spin}} (п)}$ , так же, как ${ displaystyle { text {Spin}} (п)}$ получается из ${ Displaystyle { текст {SO}} (п)}$ убивая ${ displaystyle pi _ {1}}$ . Полученное многообразие не может быть конечномерным. Группа Ли, поскольку все конечномерные компактные группы Ли имеют отличную от нуля ${ displaystyle pi _ {3}}$ . Группа пятибранов следует, убивая ${ displaystyle pi _ {7}}$ .

В более общем плане построение башни Постникова с помощью коротких точных последовательностей, начиная с пространств Эйленберга – Маклейна, может быть применено к любым Группа Ли грамм, давая группу строк Нить(грамм).

Интуиция для струнной группы

Актуальность пространства Эйленберга-Маклейна ${ Displaystyle К ( mathbb {Z}, 2)}$ заключается в том, что существуют гомотопические эквивалентности

${ Displaystyle К ( mathbb {Z}, 1) simeq U (1) simeq B mathbb {Z}}$

для классификация пространства ${ displaystyle B mathbb {Z}}$ , и факт ${ Displaystyle К ( mathbb {Z}, 2) simeq BU (1)}$ . Обратите внимание: поскольку комплексная спиновая группа является расширением группы

${ displaystyle 0 к К ( mathbb {Z}, 1) к { text {Spin}} ^ { mathbb {C}} (n) to { text {Spin}} (n) to 0}$

группу String можно рассматривать как «высшее» расширение сложной спиновой группы в смысле теория высших групп поскольку пространство ${ Displaystyle К ( mathbb {Z}, 2)}$ является примером более высокой группы. Можно представить себе топологическую реализацию группоид ${ Displaystyle mathbf {B} U (1)}$ чей объект - единственная точка, а морфизмы - группа ${ Displaystyle U (1)}$ . Отметим, что гомотопическая степень ${ Displaystyle К ( mathbb {Z}, 2)}$ является ${ displaystyle 2}$ , что означает, что его гомотопия сосредоточена в степени ${ displaystyle 2}$ , потому что это происходит из гомотопическое волокно карты

${ displaystyle { text {String}} (n) to { text {Spin}} (n)}$

из башни Уайтхеда, гомотопическое коядро которой ${ Displaystyle К ( mathbb {Z}, 3)}$ . Это потому, что гомотопическое волокно понижает степень на ${ displaystyle 1}$ .

Понимание геометрии

Геометрия расслоений струн требует понимания множества конструкций в теории гомотопий,^[1] но по сути они сводятся к пониманию того, что ${ Displaystyle К ( mathbb {Z}, 2)}$ -bundles и как ведут себя эти более высокие групповые расширения. А именно, ${ Displaystyle К ( mathbb {Z}, 2)}$ -бандлы на пространство ${ displaystyle M}$ геометрически представлены как пучок гербер так как любой ${ Displaystyle К ( mathbb {Z}, 2)}$ -расслоение может быть реализовано как гомотопический слой отображения, задающего гомотопический квадрат

${ displaystyle { begin {matrix} P & to & * downarrow && downarrow M & xrightarrow {} & K ( mathbb {Z}, 3) end {matrix}}}$

куда ${ Displaystyle К ( mathbb {Z}, 3) = В (К ( mathbb {Z}, 2))}$ . Затем пучок строк ${ displaystyle S to M}$ должен отображаться в спин-связку ${ displaystyle mathbb {S} to M}$ который ${ Displaystyle К ( mathbb {Z}, 2)}$ -эквивариантно, аналогично тому, как спиновые расслоения эквивариантно отображаются в расслоение реперов.

Группа Fivebrane и выше группы

Аналогичным образом можно понять и группу пятибранов.^[2] убив ${ displaystyle pi _ {7} ({ text {Spin}} (n)) cong pi _ {7} ({ text {O}} (n))}$ группа струнной группы ${ displaystyle { text {String}} (п)}$ с помощью башни Уайтхеда. Затем его можно снова понять, используя точную последовательность высшие группы

${ Displaystyle 0 к К ( mathbb {Z}, 6) к { text {Fivebrane}} (п) к { тексту {String}} (п) к 0}$

представление ${ displaystyle { text {Fivebrane}} (п)}$ это термины повторяющегося расширения, т.е. расширения ${ Displaystyle К ( mathbb {Z}, 6)}$ к ${ displaystyle { text {String}} (п)}$ . Обратите внимание, что карта справа взята из башни Уайтхеда, а карта слева - это гомотопическое волокно.

Смотрите также

внешняя ссылка

Баэз, Дж. (2007), Теория высшего калибра и группа струн
От групп петель к 2-группам - характеризует String (n) как 2-группа
группа строк в nLab
Башня Уайтхед в nLab
Что такое эллиптический объект?

[1] Юрко, Бранислав (август 2011 г.). «Скрещенные модули пучка гербов; классификация, группа струн и дифференциальная геометрия». Международный журнал геометрических методов в современной физике. 08 (05): 1079–1095. Дои:10.1142 / S0219887811005555. ISSN 0219-8878.

[2] Сати, Хишам; Шрайбер, Урс; Сташефф, Джим (ноябрь 2009 г.). «Пятибрановые сооружения». Обзоры по математической физике. 21 (10): 1197–1240. Дои:10.1142 / S0129055X09003840. ISSN 0129-055X.

[1]

[2]