Геометрия - Geometry

Для использования в других целях см. Геометрия (значения).

Геометрия
Стереографическая проекция в 3D.svg
Геометры
Иллюстрация Теорема дезарга, в результате Евклидово и проективная геометрия

Геометрия (от Древнегреческий: γεωμετρία; гео- "земной шар", -метрон "измерение") есть, с арифметика, одна из старейших ветвей математика. Это касается свойств пространства, которые связаны с расстоянием, формой, размером и относительным положением фигур.[1] Математика, работающего в области геометрии, называют геометр.

До XIX века геометрия была посвящена почти исключительно Евклидова геометрия,[а] который включает в себя понятия точка, линия, самолет, расстояние, угол, поверхность, и изгиб, как фундаментальные понятия.[2]

В течение 19 века несколько открытий резко расширили рамки геометрии. Одно из старейших таких открытий - Гаусс ' Теорема Egregium (замечательная теорема), которая примерно утверждает, что Гауссова кривизна поверхности не зависит от каких-либо конкретных встраивание в Евклидово пространство. Это означает, что поверхности можно изучать по сути, то есть как отдельные пространства, и был расширен в теорию коллекторы и Риманова геометрия.

Позже в 19 веке выяснилось, что геометрии без параллельный постулат (неевклидовы геометрии ) можно развить, не вводя противоречия. Геометрия, лежащая в основе общая теория относительности - известное приложение неевклидовой геометрии.

С тех пор область применения геометрии была значительно расширена, и поле было разделено на множество подполей, которые зависят от основных методов -дифференциальная геометрия, алгебраическая геометрия, вычислительная геометрия, алгебраическая топология, дискретная геометрия (также известный как комбинаторная геометрия) и т. д. - или о свойствах евклидовых пространств, которые не принимаются во внимание -проективная геометрия которые учитывают только выравнивание точек, но не расстояние и параллельность, аффинная геометрия что опускает понятие угла и расстояния, конечная геометрия что упускает непрерывность, так далее.

Геометрия, которую часто разрабатывают с целью моделирования физического мира, применима практически ко всем науки, а также Изобразительное искусство, архитектура, и другие действия, связанные с графика.[3] У геометрии также есть приложения в областях математики, которые, по-видимому, не связаны между собой. Например, методы алгебраической геометрии являются фундаментальными для Доказательство Уайлса из Последняя теорема Ферма, проблема, которая была сформулирована в терминах элементарная арифметика, и оставался нерешенным в течение нескольких столетий.

История

Основная статья: История геометрии
А Европейский и Араб заниматься геометрией в 15 веке

Самые ранние зарегистрированные истоки геометрии можно проследить до древних времен. Месопотамия и Египет во 2 тысячелетии до н. э.[4][5] Ранняя геометрия представляла собой набор эмпирически открытых принципов, касающихся длины, углов, площадей и объемов, которые были разработаны для удовлетворения некоторых практических потребностей в геодезия, строительство, астрономия, и различные поделки. Самые ранние известные тексты по геометрии - это Египтянин Ринд Папирус (2000–1800 гг. До н.э.) и Московский Папирус (ок. 1890 г. до н.э.) Вавилонские глиняные таблички Такие как Плимптон 322 (1900 г. до н.э.). Например, в Московском папирусе приводится формула для расчета объема усеченной пирамиды, или усеченный.[6] Более поздние глиняные таблички (350–50 до н.э.) демонстрируют, что вавилонские астрономы использовали трапеция процедуры для вычисления положения Юпитера и движение в пространстве скорости времени. Эти геометрические процедуры предвосхитили Оксфордские калькуляторы, в том числе теорема о средней скорости, к 14 вв.[7] К югу от Египта древние нубийцы установил систему геометрии, включая ранние версии солнечных часов.[8][9]

В 7 веке до нашей эры Греческий математик Фалес Милетский Геометрия использовалась для решения таких задач, как расчет высоты пирамид и расстояния кораблей от берега. Ему приписывают первое применение дедуктивного мышления в геометрии, выведя четыре следствия из Теорема Фалеса.[10] Пифагор установил Пифагорейская школа, которому приписывают первое доказательство теорема Пифагора,[11] хотя утверждение теоремы имеет давнюю историю.[12][13] Евдокс (408 – ок. 355 до н. Э.) Разработали метод истощения, что позволило рассчитать площади и объемы криволинейных фигур,[14] а также теорию соотношений, которая избегала проблемы несоизмеримые величины, что позволило последующим геометрам добиться значительных успехов. Около 300 г. до н.э. в геометрии произошла революция благодаря Евклиду, чей Элементы, который считается самым успешным и влиятельным учебником всех времен,[15] представил математическая строгость сквозь аксиоматический метод и является самым ранним примером формата определения, аксиомы, теоремы и доказательства, который до сих пор используется в математике. Хотя большая часть содержимого Элементы были уже известны, Евклид собрал их в единую логическую структуру.[16] В Элементы был известен всем образованным людям на Западе до середины 20 века, и его содержание до сих пор преподается на уроках геометрии.[17] Архимед (ок. 287–212 до н. э.) Сиракузы использовал метод истощения рассчитать площадь под дугой парабола с суммирование бесконечного ряда, и дал удивительно точные приближения число Пи.[18] Он также изучил спираль нося его имя, и получил формулы для тома из поверхности вращения.

Женщина преподает геометрию. Иллюстрация в начале средневекового перевода Элементы Евклида, (ок. 1310).

Индийский математики также внесли важный вклад в геометрию. В Сатапатха Брахмана (3 век до н.э.) содержит правила ритуальных геометрических построений, похожие на Сульба Сутры.[19] В соответствии с (Хаяси 2005, п. 363), Ulba Sūtras содержат «самое раннее из дошедших до нас словесных выражений теоремы Пифагора в мире, хотя оно уже было известно древним вавилонянам. Они содержат списки Пифагорейские тройки,[20] которые являются частными случаями Диофантовы уравнения.[21]в Бахшалинская рукопись, существует несколько геометрических задач (включая задачи об объемах нерегулярных тел). В рукописи Бахшали также «используется десятичная система значений с точкой вместо нуля».[22] Арьябхата с Арьябхатия (499) включает вычисление площадей и объемов.Брахмагупта написал свою астрономическую работу Брахма Сфуна Сиддханта в 628. Глава 12, содержащая 66 санскрит стихов, был разделен на два раздела: «основные операции» (включая кубические корни, дроби, соотношение и пропорции, а также обмен) и «практическая математика» (в том числе смесь, математические ряды, плоские фигуры, укладка кирпичей, распиловка древесины и укладка свай). зерна).[23] В последнем разделе он сформулировал свою знаменитую теорему о диагоналях циклический четырехугольник. Глава 12 также включала формулу площади вписанного четырехугольника (обобщение Формула Герона ), а также полное описание рациональные треугольники (т.е. треугольники с рациональными сторонами и рациональными площадями).[23]

в Средний возраст, математика в средневековом исламе способствовал развитию геометрии, особенно алгебраическая геометрия.[24][25] Аль-Махани (р. 853) придумал идею сведения геометрических задач, таких как копирование куба, к задачам алгебры.[26] Табит ибн Курра (известный как Thebit в латинский ) (836–901) посвящены арифметика операции, применяемые к соотношения геометрических величин и способствовали развитию аналитическая геометрия.[27] Омар Хайям (1048–1131) нашли геометрические решения кубические уравнения.[28] Теоремы Ибн аль-Хайсам (Альхазен), Омар Хайям и Насир ад-Дин ат-Туси на четырехугольники, в том числе Четырехугольник Ламберта и Четырехугольник Саккери, были первые результаты в гиперболическая геометрия, а также их альтернативные постулаты, такие как Аксиома Playfair эти работы оказали значительное влияние на развитие неевклидовой геометрии среди более поздних европейских геометров, в том числе Witelo (ок. 1230 – ок. 1314), Герсонид (1288–1344), Альфонсо, Джон Уоллис, и Джованни Джироламо Саккери.[сомнительный – обсуждать][29]

В начале 17 века в геометрии произошли два важных развития. Первым было создание аналитической геометрии или геометрии с координаты и уравнения, к Рене Декарт (1596–1650) и Пьер де Ферма (1601–1665).[30] Это было необходимым предвестником развития исчисление и точная количественная наука о физика.[31] Вторым геометрическим развитием этого периода было систематическое изучение проективная геометрия к Жирар Дезарг (1591–1661).[32] Проективная геометрия изучает свойства форм, которые не меняются при прогнозы и разделы, особенно в том, что касается художественная перспектива.[33]

Два развития геометрии в XIX веке изменили способ ее изучения ранее.[34] Это было открытие неевклидовы геометрии Николая Ивановича Лобачевского, Яноша Бойяи и Карла Фридриха Гаусса и формулировки симметрия как центральное соображение в Программа Эрланген из Феликс Кляйн (который обобщил евклидову и неевклидову геометрии). Двое великих геометров того времени были Бернхард Риманн (1826–1866), работая в основном с инструментами из математический анализ, и представляя Риманова поверхность, и Анри Пуанкаре, основатель алгебраическая топология и геометрическая теория динамические системы. В результате этих серьезных изменений в концепции геометрии понятие «пространство» стало чем-то богатым и разнообразным, и естественным фоном для теорий столь же различных, как комплексный анализ и классическая механика.[35]

Важные понятия в геометрии

Ниже приведены некоторые из наиболее важных концепций геометрии.[2][36][37]

Аксиомы

Иллюстрация Евклида параллельный постулат
Смотрите также: Евклидова геометрия и Аксиома

Евклид использовал абстрактный подход к геометрии в его Элементы,[38] одна из самых влиятельных когда-либо написанных книг.[39] Евклид ввел некоторые аксиомы, или же постулаты, выражающие первичные или очевидные свойства точек, линий и плоскостей.[40] Он приступил к строгому выводу других свойств с помощью математических рассуждений. Характерной чертой подхода Евклида к геометрии была его строгость, и он стал известен как аксиоматический или же синтетический геометрия.[41] В начале 19 века открытие неевклидовы геометрии к Николай Иванович Лобачевский (1792–1856), Янош Бойяи (1802–1860), Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) и другие[42] привело к возрождению интереса к этой дисциплине, и в 20 веке Дэвид Гильберт (1862–1943) использовали аксиоматические рассуждения в попытке обеспечить современную основу геометрии.[43]

Точки

Основная статья: Точка (геометрия)

Точки считаются фундаментальными объектами в евклидовой геометрии. Они были определены по-разному, включая определение Евклида как «то, что не имеет части».[44] и за счет использования алгебры или вложенных множеств.[45] Во многих областях геометрии, таких как аналитическая геометрия, дифференциальная геометрия и топология, все объекты считаются построенными из точек. Однако были некоторые исследования геометрии без привязки к точкам.[46]

Линии

Основная статья: Линия (геометрия)

Евклид описал линию как «длину без ширины», которая «лежит одинаково по отношению к точкам на самой себе».[44] В современной математике, учитывая множество геометрий, понятие линии тесно связано со способом описания геометрии. Например, в аналитическая геометрия, прямая на плоскости часто определяется как набор точек, координаты которых удовлетворяют заданному линейное уравнение,[47] но в более абстрактной обстановке, например геометрия падения, линия может быть самостоятельным объектом, отличным от множества точек, лежащих на ней.[48] В дифференциальной геометрии a геодезический является обобщением понятия линии на искривленные пространства.[49]

Самолеты

Основная статья: Самолет (геометрия)

А самолет это плоская двумерная поверхность, которая простирается бесконечно далеко.[44] Плоскости используются во всех областях геометрии. Например, самолеты можно изучать как топологическая поверхность без привязки к расстояниям или углам;[50] его можно изучать как аффинное пространство, где можно изучать коллинеарность и отношения, но не расстояния;[51] его можно изучать как комплексная плоскость используя методы комплексный анализ;[52] и так далее.

Углы

Основная статья: Угол

Евклид определяет самолет угол как наклон друг к другу в плоскости двух линий, которые встречаются друг с другом и не лежат прямо по отношению друг к другу.[44] Говоря современным языком, угол - это фигура, образованная двумя лучи, называется стороны угла, разделяющего общую конечную точку, называемую вершина угла.[53]

Острый (а), тупой (б) и прямой (в) углы. Острый и тупой углы также известны как косые углы.

В Евклидова геометрия, углы используются для изучения полигоны и треугольники, а также формируют самостоятельный объект исследования.[44] Изучение углов треугольника или углов в единичный круг составляет основу тригонометрия.[54]

В дифференциальная геометрия и исчисление, углы между плоские кривые или же космические кривые или же поверхности можно рассчитать с помощью производная.[55][56]

Кривые

Основная статья: Кривая (геометрия)

А изгиб представляет собой одномерный объект, который может быть прямым (например, линия) или нет; кривые в 2-мерном пространстве называются плоские кривые а те, что находятся в трехмерном пространстве, называются космические кривые.[57]

В топологии кривая определяется функцией от интервала действительных чисел до другого пространства.[50] В дифференциальной геометрии используется то же определение, но определяющая функция должна быть дифференцируемой. [58] Изучение алгебраической геометрии алгебраические кривые, которые определяются как алгебраические многообразия из измерение один.[59]

Поверхности

Основная статья: Поверхность (математика)
Сфера - это поверхность, которая может быть определена параметрически ( Икс = р грех θ потому что φ, у = р грех θ грех φ, z = р потому что θ) или неявно ( Икс2 + у2 + z2 − р2 = 0.)

А поверхность представляет собой двухмерный объект, такой как сфера или параболоид.[60] В дифференциальная геометрия[58] и топология,[50] поверхности описываются двумерными «пятнами» (или окрестности ), которые собираются диффеоморфизмы или же гомеоморфизмы, соответственно. В алгебраической геометрии поверхности описываются полиномиальные уравнения.[59]

Коллекторы

Основная статья: Многообразие

А многообразие является обобщением понятий кривой и поверхности. В топология, многообразие - это топологическое пространство где каждая точка имеет район то есть гомеоморфный в евклидово пространство.[50] В дифференциальная геометрия, а дифференцируемое многообразие это пространство, где каждая окрестность диффеоморфный в евклидово пространство.[58]

Многообразия широко используются в физике, в том числе в общая теория относительности и теория струн.[61]

Длина, площадь и объем

Основные статьи: Длина, Площадь, и Объем
Смотрите также: Площадь § Список формул, и Объем § Формулы объема

Длина, площадь, и объем описывать размер или экстент объекта в одном измерении, двух измерениях и трех измерениях соответственно.[62]

В Евклидова геометрия и аналитическая геометрия, длину отрезка линии часто можно вычислить с помощью теорема Пифагора.[63]

Площадь и объем могут быть определены как фундаментальные величины, отдельно от длины, или они могут быть описаны и вычислены в терминах длин на плоскости или в трехмерном пространстве.[62] Математики нашли много явных формулы для площади и формулы для объема различных геометрических объектов. В исчисление, площадь и объем можно определить с помощью интегралы, такой как Интеграл Римана[64] или Интеграл Лебега.[65]

Метрики и меры

Основные статьи: Метрика (математика) и Мера (математика)
Визуальная проверка теорема Пифагора для (3, 4, 5) треугольник как в Чжуби Суаньцзин 500–200 до н. Э. Теорема Пифагора является следствием Евклидова метрика.

Понятие длины или расстояния можно обобщить, что приведет к идее метрики.[66] Например, Евклидова метрика измеряет расстояние между точками в Евклидова плоскость, в то время как гиперболическая метрика измеряет расстояние в гиперболическая плоскость. Другие важные примеры показателей включают Метрика Лоренца из специальная теория относительности и полу-Римановы метрики из общая теория относительности.[67]

В другом направлении понятия длины, площади и объема расширяются за счет теория меры, который изучает методы присвоения размера или мера к наборы, где меры соответствуют правилам, аналогичным классическим по площади и объему.[68]

Соответствие и сходство

Основные статьи: Конгруэнтность (геометрия) и Сходство (геометрия)

Конгруэнтность и сходство - это концепции, которые описывают, когда две фигуры имеют схожие характеристики.[69] В евклидовой геометрии подобие используется для описания объектов, имеющих одинаковую форму, в то время как конгруэнтность используется для описания объектов, одинаковых по размеру и форме.[70] Гильберта в своей работе по созданию более строгого фундамента геометрии рассматривал конгруэнтность как неопределенный термин, свойства которого определяются аксиомы.

Соответствие и сходство обобщаются в геометрия трансформации, изучающая свойства геометрических объектов, сохраняемые при различного рода преобразованиях.[71]

Конструкции компаса и линейки

Основная статья: Конструкции компаса и линейки

Классические геометры уделяли особое внимание построению геометрических объектов, которые описывались иным образом. Классически единственными инструментами, разрешенными в геометрических конструкциях, являются компас и прямая грань. Кроме того, каждая конструкция должна была быть завершена за конечное число шагов. Однако некоторые проблемы оказалось трудно или невозможно решить только этими средствами, и были найдены гениальные конструкции с использованием парабол и других кривых, а также механические устройства.

Измерение

Основная статья: Измерение
В Коха снежинка, с фрактальная размерность = log4 / log3 и топологическая размерность =1

Там, где традиционная геометрия допускала размеры 1 (a линия ), 2 (а самолет ) и 3 (наш окружающий мир задуман как трехмерное пространство ) математики и физики использовали высшие измерения почти два столетия.[72] Одним из примеров математического использования более высоких измерений является конфигурационное пространство физической системы, размерность которой равна степени свободы. Например, конфигурацию винта можно описать пятью координатами.[73]

В общая топология, концепция измерения была расширена от натуральные числа, в бесконечное измерение (Гильбертовы пространства, например) и положительные действительные числа (в фрактальная геометрия ).[74] В алгебраическая геометрия, то размерность алгебраического многообразия получил ряд явно разных определений, которые в большинстве случаев эквивалентны.[75]

Симметрия

Основная статья: Симметрия
А черепица из гиперболическая плоскость

Тема симметрия в геометрии почти так же стара, как и сама геометрия.[76] Симметричные формы, такие как круг, правильные многоугольники и платоновые тела имел большое значение для многих древних философов[77] и были подробно исследованы до времен Евклида.[40] Симметричные узоры встречаются в природе и были художественно воспроизведены во множестве форм, включая графику Леонардо да Винчи, М. К. Эшер, и другие.[78] Во второй половине XIX века отношения между симметрией и геометрией стали предметом пристального внимания. Феликс Кляйн с Программа Эрланген провозгласил, что в очень точном смысле симметрия, выраженная через понятие преобразования группа, определяет, какая геометрия является.[79] Симметрия в классической Евклидова геометрия представлен совпадения и жесткие движения, тогда как в проективная геометрия аналогичную роль играет коллинеации, геометрические преобразования которые превращают прямые в прямые.[80] Однако это было в новой геометрии Бояи и Лобачевского, Римана, Клиффорд и Кляйн, и Софус Ли что идея Кляйна «определить геометрию через ее группа симметрии 'нашел свое вдохновение.[81] Как дискретные, так и непрерывные симметрии играют важную роль в геометрии, первая - в геометрии. топология и геометрическая теория групп,[82][83] последний в Теория лжи и Риманова геометрия.[84][85]

Другой тип симметрии - это принцип двойственность в проективная геометрия, среди других областей. Примерно этот мета-феномен можно описать так: в любом теорема, обмен точка с самолет, присоединиться с встретить, лежит в с содержит, и результат является столь же верной теоремой.[86] Подобная и тесно связанная форма дуальности существует между векторное пространство и это двойное пространство.[87]

Современная геометрия

Евклидова геометрия

Основная статья: Евклидова геометрия

Евклидова геометрия является геометрией в ее классическом смысле.[88] Поскольку он моделирует пространство физического мира, он используется во многих научных областях, таких как механика, астрономия, кристаллография,[89] и многие технические области, такие как инженерное дело,[90] архитектура,[91] геодезия,[92] аэродинамика,[93] и навигация.[94] Обязательная образовательная программа большинства стран включает изучение евклидовых концепций, таких как точки, линии, самолеты, углы, треугольники, соответствие, сходство, твердые фигуры, круги, и аналитическая геометрия.[36]

Дифференциальная геометрия

Дифференциальная геометрия использует инструменты из исчисление изучать проблемы, связанные с кривизной.
Основная статья: Дифференциальная геометрия

Дифференциальная геометрия использует методы исчисление и линейная алгебра изучать задачи по геометрии.[95] Он имеет приложения в физика,[96] эконометрика,[97] и биоинформатика,[98] среди прочего.

В частности, дифференциальная геометрия важна для математическая физика из-за Альберт Эйнштейн с общая теория относительности постулат, что вселенная является изогнутый.[99] Дифференциальная геометрия может быть внутренний (это означает, что рассматриваемые пространства гладкие многообразия чья геометрическая структура определяется Риманова метрика, который определяет, как измеряются расстояния около каждой точки) или внешний (где исследуемый объект является частью некоторого объемлющего плоского евклидова пространства).[100]

Неевклидова геометрия

Основная статья: Неевклидова геометрия

Евклидова геометрия была не единственной изучаемой исторической формой геометрии. Сферическая геометрия давно используется астрономами, астрологами и мореплавателями.[101]

Иммануил Кант утверждал, что есть только один, абсолютный, геометрия, которая, как известно, верна априори внутренней способностью разума: евклидова геометрия была синтетический априори.[102] Эта точка зрения была сначала несколько оспорена такими мыслителями, как Саккери, а затем окончательно опровергнуты революционным открытием неевклидова геометрия в работах Бояи, Лобачевского и Гаусса (не опубликовавших свою теорию).[103] Они продемонстрировали, что обычные Евклидово пространство это только одна возможность для развития геометрии. Широкое видение предмета геометрии было тогда выражено Риман в своей инаугурационной лекции 1867 г. Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (О гипотезах, на которых основана геометрия),[104] опубликовано только после его смерти. Новая идея Римана о пространстве оказалась решающей в Альберт Эйнштейн с общая теория относительности. Риманова геометрия, который рассматривает очень общие пространства, в которых определено понятие длины, является опорой современной геометрии.[81]

Топология

Основная статья: Топология
Утолщение трилистник

Топология это поле, связанное со свойствами непрерывные отображения,[105] и может считаться обобщением евклидовой геометрии.[106] На практике топология часто означает работу с крупномасштабными свойствами пространств, такими как связность и компактность.[50]

Топология, получившая массовое развитие в ХХ веке, в техническом смысле является разновидностью геометрия трансформации, в котором преобразования гомеоморфизмы.[107] Это часто выражалось в форме поговорки «топология - это геометрия резинового листа». Подполя топологии включают геометрическая топология, дифференциальная топология, алгебраическая топология и общая топология.[108]

Алгебраическая геометрия

Основная статья: Алгебраическая геометрия
Quintic Тройное число Калаби – Яу

Поле алгебраическая геометрия разработан на основе Декартова геометрия из координаты.[109] Он претерпевал периодические периоды роста, сопровождавшиеся созданием и изучением проективная геометрия, бирациональная геометрия, алгебраические многообразия, и коммутативная алгебра, среди других тем.[110] С конца 1950-х до середины 1970-х годов он претерпел серьезное фундаментальное развитие, во многом благодаря работе Жан-Пьер Серр и Александр Гротендик.[110] Это привело к появлению схемы и больший упор на топологический методы, в том числе различные теории когомологий. Один из семи Задачи Премии тысячелетия, то Гипотеза Ходжа, является вопросом алгебраической геометрии.[111] Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма использует передовые методы алгебраической геометрии для решения давней проблемы теория чисел.

В общем, алгебраическая геометрия изучает геометрию через использование понятий в коммутативная алгебра Такие как многомерные полиномы.[112] Он имеет приложения во многих областях, в том числе криптография[113] и теория струн.[114]

Сложная геометрия

Основная статья: Сложная геометрия

Сложная геометрия изучает природу геометрических структур, смоделированных или возникающих из комплексная плоскость.[115][116][117] Сложная геометрия находится на пересечении дифференциальной геометрии, алгебраической геометрии и анализа несколько сложных переменных, и нашла применение в теория струн и зеркальная симметрия.[118]

Сложная геометрия впервые появилась как отдельная область исследования в работах Бернхард Риманн в своем исследовании Римановы поверхности.[119][120][121] Работу в духе Римана выполнял Итальянская школа алгебраической геометрии в начале 1900-х гг. Современная трактовка сложной геометрии началась с работ Жан-Пьер Серр, который ввел понятие снопы к предмету, и осветил отношения между сложной геометрией и алгебраической геометрией.[122][123]Основными объектами изучения сложной геометрии являются: комплексные многообразия, комплексные алгебраические многообразия, и комплексные аналитические многообразия, и голоморфные векторные расслоения и когерентные пучки над этими пространствами. Специальные примеры пространств, изучаемых в сложной геометрии, включают римановы поверхности и Многообразия Калаби-Яу, и эти пространства находят применение в теории струн. Особенно, мировые таблицы струн моделируются римановыми поверхностями, а теория суперструн предсказывает, что дополнительные 6 измерений 10-мерного пространство-время можно моделировать многообразиями Калаби-Яу.

Дискретная геометрия

Основная статья: Дискретная геометрия
Дискретная геометрия включает изучение различных сферические упаковки.

Дискретная геометрия это предмет, тесно связанный с выпуклая геометрия.[124][125][126] В основном это касается вопросов взаимного расположения простых геометрических объектов, таких как точки, линии и окружности. Примеры включают изучение сферические упаковки, триангуляции, гипотеза Кнезера-Поульсена и др.[127][128] Он разделяет многие методы и принципы с комбинаторика.

Вычислительная геометрия

Основная статья: Вычислительная геометрия

Вычислительная геометрия имеет дело с алгоритмы и их реализации для манипулирования геометрическими объектами. Исторически важные проблемы включали задача коммивояжера, минимальные остовные деревья, удаление скрытой линии, и линейное программирование.[129]

Несмотря на то, что это молодая область геометрии, она имеет множество приложений в компьютерное зрение, обработка изображений, системы автоматизированного проектирования, медицинская визуализация, так далее.[130]

Геометрическая теория групп

Основная статья: Геометрическая теория групп
График Кэли свободная группа на двух генераторах а и б

Геометрическая теория групп использует крупномасштабные геометрические техники для изучения конечно порожденные группы.[131] Это тесно связано с низкоразмерная топология, например, в Григорий Перельман доказательство Гипотеза геометризации, который включал доказательство Гипотеза Пуанкаре, а Проблема Премии тысячелетия.[132]

Теория геометрических групп часто вращается вокруг Граф Кэли, которое является геометрическим представлением группы. Другие важные темы включают квазиизометрии, Громовско-гиперболические группы, и прямоугольные группы Артина.[131][133]

Выпуклая геометрия

Основная статья: Выпуклая геометрия

Выпуклая геометрия исследует выпуклый формы в евклидовом пространстве и его более абстрактных аналогах, часто с использованием техники реальный анализ и дискретная математика.[134] Он имеет тесные связи с выпуклый анализ, оптимизация и функциональный анализ и важные приложения в теория чисел.

Выпуклая геометрия восходит к древности.[134] Архимед дал первое известное точное определение выпуклости. В изопериметрическая проблема, повторяющееся понятие в выпуклой геометрии, изучали и греки, в том числе Зенодор. Архимед, Платон, Евклид, и позже Кеплер и Coxeter все учились выпуклые многогранники и их свойства. Начиная с XIX века математики изучали другие области выпуклой математики, в том числе многомерные многогранники, объем и площадь поверхности выпуклых тел, Гауссова кривизна, алгоритмы, мозаики и решетки.

Приложения

Геометрия нашла применение во многих областях, некоторые из которых описаны ниже.

Изобразительное искусство

Основная статья: Математика и искусство
Медресе Бу Инания, Фес, Марокко, мозаичная плитка зеллидж, образующая сложные геометрические мозаики

Математика и искусство связаны разными способами. Например, теория перспектива показали, что геометрия - это нечто большее, чем просто метрические свойства фигур: перспектива является источником проективная геометрия.[135]

Художники издавна использовали концепции пропорция в дизайне. Витрувий разработал сложную теорию идеальные пропорции для фигуры человека.[136] Эти концепции были использованы и адаптированы художниками из Микеланджело современным художникам комиксов.[137]

В Золотое сечение особая доля, сыгравшая неоднозначную роль в искусстве. Часто утверждается, что это наиболее эстетически приятное соотношение длин, часто утверждается, что оно включено в известные произведения искусства, хотя самые надежные и недвусмысленные примеры были созданы художниками, знающими об этой легенде.[138]

Плитки, или мозаики, использовались в искусстве на протяжении всей истории. Исламское искусство часто использует мозаику, как и искусство М. К. Эшер.[139] В работе Эшера также использовались гиперболическая геометрия.

Сезанн выдвинул теорию о том, что все изображения могут быть построены из сфера, то конус, а цилиндр. Это до сих пор используется в теории искусства, хотя точный список форм варьируется от автора к автору.[140][141]

Архитектура

Основные статьи: Математика и архитектура и Архитектурная геометрия

Геометрия имеет множество приложений в архитектуре. Фактически, было сказано, что геометрия лежит в основе архитектурного дизайна.[142][143] Приложения геометрии к архитектуре включают использование проективная геометрия создавать вынужденная перспектива,[144] использование конические секции при строительстве куполов и подобных объектов,[91] использование мозаика,[91] и использование симметрии.[91]

Физика

Основная статья: Математическая физика

Поле астрономия, особенно в том, что касается отображения позиций звезды и планеты на небесная сфера и описание взаимосвязи между движениями небесных тел, служили важным источником геометрических проблем на протяжении всей истории.[145]

Риманова геометрия и псевдориманов геометрия используются в общая теория относительности.[146] Теория струн использует несколько вариантов геометрии,[147] так же как и квантовая теория информации.[148]

Другие области математики

Пифагорейцы обнаружили, что стороны треугольника могут иметь несоизмеримый длины.

Исчисление находился под сильным влиянием геометрии.[30] Например, введение координаты к Рене Декарт и одновременное развитие алгебра ознаменовали новый этап в геометрии, поскольку геометрические фигуры, такие как плоские кривые теперь может быть представлен аналитически в виде функций и уравнений. Это сыграло ключевую роль в появлении исчисление бесконечно малых в 17 веке. Аналитическая геометрия продолжает оставаться основой учебных программ по предварительному исчислению и математическому анализу.[149][150]

Еще одна важная область применения - это теория чисел.[151] В древняя Греция то Пифагорейцы рассмотрел роль чисел в геометрии. Однако открытие несоизмеримых длин противоречило их философским взглядам.[152] С XIX века геометрия использовалась для решения задач теории чисел, например, с помощью геометрия чисел или, совсем недавно, теория схем, который используется в Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма.[153]

Смотрите также

Списки

похожие темы

Другие поля

Примечания

  1. ^ До 19 века в геометрии доминировало предположение, что все геометрические конструкции были евклидовыми. В 19 веке и позже этому препятствовало развитие гиперболическая геометрия к Лобачевский и другие неевклидовы геометрии к Гаусс и другие. Затем стало ясно, что неевклидова геометрия неявно появлялась на протяжении всей истории, включая работы Desargues в 17 веке, вплоть до неявного использования сферическая геометрия понять Геодезия Земли и ориентироваться в океанах с древних времен.
  1. ^ Винченцо де Ризи (31 января 2015 г.). Математизация пространства: объекты геометрии от античности до раннего Нового времени. Birkhäuser. стр. 1–. ISBN  978-3-319-12102-4.
  2. ^ а б Табак, Джон (2014). Геометрия: язык пространства и формы. Публикация информационной базы. п. xiv. ISBN  978-0816049530.
  3. ^ Уолтер А. Мейер (21 февраля 2006 г.). Геометрия и ее приложения. Эльзевир. ISBN  978-0-08-047803-6.
  4. ^ Дж. Фриберг, "Методы и традиции вавилонской математики. Плимптон 322, пифагорейские тройки и уравнения параметров вавилонского треугольника", Historia Mathematica, 8, 1981, с. 277–318.
  5. ^ Нойгебауэр, Отто (1969) [1957]. "Глава IV Египетская математика и астрономия". Точные науки в древности (2-е изд.). Dover Publications. С. 71–96. ISBN  978-0-486-22332-2..
  6. ^ (Бойер 1991, «Египет» с. 19)
  7. ^ Оссендрейвер, Матьё (29 января 2016 г.). «Древние вавилонские астрономы вычислили положение Юпитера на основе графика времени-скорости». Наука. 351 (6272): 482–484. Bibcode:2016Научный ... 351..482O. Дои:10.1126 / science.aad8085. PMID  26823423.
  8. ^ Депюйдт, Лев (1 января 1998 г.). «Гномоны в Мероэ и ранняя тригонометрия». Журнал египетской археологии. 84: 171–180. Дои:10.2307/3822211. JSTOR  3822211.
  9. ^ Слейман, Эндрю (27 мая 1998 г.). "Наблюдатели эпохи неолита". Архив журнала археологии. В архиве из оригинала 5 июня 2011 г.. Получено 17 апреля 2011.
  10. ^ (Бойер 1991, «Иония и пифагорейцы» с. 43)
  11. ^ Ивс, Ховард, Введение в историю математики, Сондерс, 1990 г., ISBN  0-03-029558-0.
  12. ^ Курт фон Фриц (1945). «Открытие несоизмеримости Гиппасом из Метапонта». Анналы математики.
  13. ^ Джеймс Р. Чойк (1980). «Пентаграмма и открытие иррационального числа». Двухлетний математический журнал колледжа.
  14. ^ (Бойер 1991, «Эпоха Платона и Аристотеля» с. 92)
  15. ^ (Бойер 1991, «Евклид Александрийский» с. 119)
  16. ^ (Бойер 1991, «Евклид Александрийский» с. 104)
  17. ^ Говард Ивс, Введение в историю математики, Сондерс, 1990, ISBN  0-03-029558-0 п. 141: "Никакой работы, кроме Библия, получил более широкое распространение .... "
  18. ^ О'Коннор, Дж. Дж .; Робертсон, Э. Ф. (февраль 1996 г.). «История математического анализа». Сент-Эндрюсский университет. В архиве из оригинала 15 июля 2007 г.. Получено 7 августа 2007.
  19. ^ Стаал, Фриц (1999). «Греческая и ведическая геометрия». Журнал индийской философии. 27 (1–2): 105–127. Дои:10.1023 / А: 1004364417713.
  20. ^ Пифагоровы тройки - это тройки целых чисел с недвижимостью: . Таким образом, , , и Т. Д.
  21. ^ (Кук 2005, п. 198): «Арифметическое содержание Ulva Sūtras состоит из правил для поиска троек Пифагора, таких как (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) и (12, 35, 37). Неизвестно, какое практическое применение имели эти арифметические правила. Лучшее предположение состоит в том, что они были частью религиозного ритуала. В индуистском доме требовалось гореть три огня на трех разных алтарях. Три алтаря должны были иметь разную форму, но все три должны были иметь одинаковую площадь. Эти условия привели к определенным «диофантовым» проблемам, частным случаем которых является создание пифагоровых троек, чтобы сделать одно квадратное целое равным сумме двух других ».
  22. ^ (Хаяси 2005, п. 371)
  23. ^ а б (Хаяси 2003, стр. 121–122).
  24. ^ Р. Рашед (1994), Развитие арабской математики: между арифметикой и алгеброй, п. 35 год Лондон
  25. ^ (Бойер 1991, «Арабская гегемония», стр. 241–242) «Омар Хайям (ок. 1050–1123),« изготовитель палаток », написал Алгебра это вышло за рамки того, что было у аль-Хорезми, и включило уравнения третьей степени. Как и его арабские предшественники, Омар Хайям предложил квадратные уравнения как арифметические, так и геометрические решения; для общих кубических уравнений, как он полагал (ошибочно, как позже показал XVI век), арифметические решения невозможны; поэтому он дал только геометрические решения. Схема использования пересекающихся коник для решения кубиков ранее использовалась Менахмом, Архимедом и Альхазаном, но Омар Хайям предпринял похвальный шаг, обобщив метод на все уравнения третьей степени (имеющие положительные корни). .. Для уравнений более высокой степени, чем три, Омар Хайям, очевидно, не предполагал подобных геометрических методов, поскольку пространство не содержит более трех измерений, ... Одним из наиболее плодотворных вкладов арабского эклектизма была тенденция к сокращению разрыва между числовая и геометрическая алгебра. Решительный шаг в этом направлении был сделан намного позже Декартом, но Омар Хайям двигался в этом направлении, когда писал: «Тот, кто думает, что алгебра - это трюк для получения неизвестных, думал об этом напрасно. Не следует обращать внимания на то, что алгебра и геометрия различны по внешнему виду. Алгебры - это геометрические факты, которые доказываются ».
  26. ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. «Аль-Махани». Архив истории математики MacTutor. Сент-Эндрюсский университет..
  27. ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. "Ас-Саби Сабит ибн Курра аль-Харрани". Архив истории математики MacTutor. Сент-Эндрюсский университет..
  28. ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. «Омар Хайям». Архив истории математики MacTutor. Сент-Эндрюсский университет..
  29. ^ Борис А. Розенфельд и Адольф П. Юшкевич (1996), «Геометрия», в Рошди Рашед, ред. Энциклопедия истории арабской науки, Vol. 2. С. 447–494 [470], Рутледж, Лондон и Нью-Йорк:

    "Трое ученых, Ибн аль-Хайтам, Хайям и ат-Туси, внесли наиболее значительный вклад в эту область геометрии, важность которой стала полностью признана только в XIX веке. По сути, их положения относительно свойств четырехугольников которые они считали, предполагая, что некоторые углы этих фигур были острыми или тупыми, воплощали первые несколько теорем о гиперболической и эллиптической геометриях. Их другие предложения показали, что различные геометрические утверждения эквивалентны постулату Евклида V. Это чрезвычайно Важно то, что эти ученые установили взаимную связь между этим постулатом и суммой углов треугольника и четырехугольника. Своими работами по теории параллельных прямых арабские математики оказали непосредственное влияние на соответствующие исследования своих европейских коллег. Первая европейская попытка доказать постулат на параллельных линиях - сделано Витело, польскими учеными 13 века, в то время как е пересмотр Ибн аль-Хайсама Книга оптики (Китаб аль-Маназир) - несомненно, подсказано арабскими источниками. Доказательства, выдвинутые в XIV веке еврейским ученым Леви бен Герсоном, жившим на юге Франции, и вышеупомянутым Альфонсо из Испании напрямую граничат с демонстрацией Ибн аль-Хайсона. Выше мы показали, что Экспозиция Евклида псевдо-Туси стимулировали исследования Дж. Уоллиса и Дж. Саккери теории параллельных прямых ».

  30. ^ а б Карл Б. Бойер (2012). История аналитической геометрии. Курьерская корпорация. ISBN  978-0-486-15451-0.
  31. ^ C.H. Эдвардс-младший (2012). Историческое развитие математического анализа. Springer Science & Business Media. п. 95. ISBN  978-1-4612-6230-5.
  32. ^ Джудит В. Филд; Джереми Грей (2012). Геометрические работы Жирара Дезарга. Springer Science & Business Media. п. 43. ISBN  978-1-4613-8692-6.
  33. ^ К. Р. Уайли (2011). Введение в проективную геометрию. Курьерская корпорация. ISBN  978-0-486-14170-1.
  34. ^ Джереми Грей (2011). Миры из ничего: курс истории геометрии в XIX веке. Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-85729-060-1.
  35. ^ Эдуардо Байро-Коррочано (2018). Приложения геометрической алгебры Vol. I: Компьютерное зрение, графика и нейрокомпьютеры. Springer. п. 4. ISBN  978-3-319-74830-6.
  36. ^ а б Шмидт В., Хоуанг Р. и Коган Л. (2002). «Последовательный учебный план». Американский педагог, 26(2), 1–18.
  37. ^ Моррис Клайн (март 1990 г.). Математическая мысль от древних до наших дней: Том 3. Oxford University Press, США. С. 1010–. ISBN  978-0-19-506137-6.
  38. ^ Виктор Дж. Кац (21 сентября 2000 г.). Использование истории для преподавания математики: международная перспектива. Издательство Кембриджского университета. С. 45–. ISBN  978-0-88385-163-0.
  39. ^ Дэвид Берлински (8 апреля 2014 г.). Король бесконечного пространства: Евклид и его элементы. Основные книги. ISBN  978-0-465-03863-3.
  40. ^ а б Робин Хартшорн (11 ноября 2013 г.). Геометрия: Евклид и не только. Springer Science & Business Media. С. 29–. ISBN  978-0-387-22676-7.
  41. ^ Пэт Хербст; Таро Фуджита; Стефан Халвершайд; Майкл Вайс (16 марта 2017 г.). Изучение и преподавание геометрии в средних школах: перспективы моделирования. Тейлор и Фрэнсис. С. 20–. ISBN  978-1-351-97353-3.
  42. ^ Яглом И.М. (6 декабря 2012 г.). Простая неевклидова геометрия и ее физическая основа: элементарное изложение геометрии Галилея и принцип относительности Галилея. Springer Science & Business Media. С. 6–. ISBN  978-1-4612-6135-3.
  43. ^ Аудун Холм (23 сентября 2010 г.). Геометрия: наше культурное наследие. Springer Science & Business Media. С. 254–. ISBN  978-3-642-14441-7.
  44. ^ а б c d е Элементы Евклида - Все тринадцать книг в одном томе, На основе перевода Хита, Green Lion Press ISBN  1-888009-18-7.
  45. ^ Кларк, Боуман Л. (январь 1985 г.). «Физические лица и очки». Журнал формальной логики Нотр-Дам. 26 (1): 61–75. Дои:10.1305 / ndjfl / 1093870761.
  46. ^ Герла, Г. (1995). "Бессмысленная геометрия" (PDF). In Buekenhout, F .; Кантор, У. (ред.). Справочник по геометрии падения: здания и фундаменты. Северная Голландия. С. 1015–1031. Архивировано из оригинал (PDF) 17 июля 2011 г.
  47. ^ Джон Кейси (1885). Аналитическая геометрия сечений точки, линии, окружности и конуса.
  48. ^ Бюкенхаут, Фрэнсис (1995), Справочник по геометрии падения: здания и фундаменты, Elsevier B.V.
  49. ^ "geodesic - определение слова geodesic на английском языке из Оксфордского словаря". OxfordDictionaries.com. В архиве из оригинала 15 июля 2016 г.. Получено 20 января 2016.
  50. ^ а б c d е Мункрес, Джеймс Р. Топология. Vol. 2. Верхняя Сэдл Ривер: Прентис Холл, 2000.
  51. ^ Шмелев, Ванда. «От аффинной геометрии к евклидовой: аксиоматический подход». Спрингер, 1983.
  52. ^ Альфорс, Ларс В. Комплексный анализ: введение в теорию аналитических функций одного комплексного переменного. Нью-Йорк, Лондон (1953).
  53. ^ Сидоров, Л.А. (2001) [1994]. "Угол". Энциклопедия математики. EMS Press.
  54. ^ Гелуфанд, Израиль Моисеевич и Марк Саул. «Тригонометрия». «Тригонометрия». Birkhäuser Boston, 2001. 1–20.
  55. ^ Стюарт, Джеймс (2012). Исчисление: ранние трансцендентальные теории, 7-е изд., Обучение Брукса Коула Сениджэджа. ISBN  978-0-538-49790-9
  56. ^ Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-42627-1..
  57. ^ Бейкер, Генри Фредерик. Принципы геометрии. Vol. 2. Архив CUP, 1954.
  58. ^ а б c Ду Карму, Манфредо Пердигао и Манфредо Пердигау ду Карму. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Vol. 2. Энглвудские скалы: Прентис-холл, 1976.
  59. ^ а б Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга разновидностей и схем включает в себя Мичиганские лекции по кривым и их якобианам (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-63293-1. Zbl  0945.14001.
  60. ^ Бриггс, Уильям Л. и Исчисление Лайла Кокрана. «Ранние трансцендентальные». ISBN  978-0321570567.
  61. ^ Яу, Шинг-Тунг; Надис, Стив (2010). Форма внутреннего пространства: теория струн и геометрия скрытых измерений Вселенной. Основные книги. ISBN  978-0-465-02023-2.
  62. ^ а б Стивен А. Триз (17 мая 2018 г.). История и измерение базовых и производных единиц. Издательство Springer International. С. 101–. ISBN  978-3-319-77577-7.
  63. ^ Джеймс В. Кэннон (16 ноября 2017 г.). Геометрия длин, площадей и объемов. American Mathematical Soc. п. 11. ISBN  978-1-4704-3714-5.
  64. ^ Гилберт Стрэнг (1 января 1991 г.). Исчисление. СИАМ. ISBN  978-0-9614088-2-4.
  65. ^ Х. С. Медведь (2002). Учебник по интеграции Лебега. Академическая пресса. ISBN  978-0-12-083971-1.
  66. ^ Дмитрий Бураго, Ю Д Бураго, Сергей Иванов, Курс метрической геометрии, Американское математическое общество, 2001 г., ISBN  0-8218-2129-6.
  67. ^ Вальд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности. Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-87033-5.
  68. ^ Теренс Тао (14 сентября 2011 г.). Введение в теорию меры. American Mathematical Soc. ISBN  978-0-8218-6919-2.
  69. ^ Шломо Либескинд (12 февраля 2008 г.). Евклидова и трансформационная геометрия: дедуктивное исследование. Джонс и Бартлетт Обучение. п. 255. ISBN  978-0-7637-4366-6.
  70. ^ Марк А. Фрайтаг (1 января 2013 г.). Математика для учителей начальной школы: процессный подход. Cengage Learning. п. 614. ISBN  978-0-618-61008-2.
  71. ^ Джордж Э. Мартин (6 декабря 2012 г.). Преобразовательная геометрия: введение в симметрию. Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-4612-5680-9.
  72. ^ Марк Блэклок (2018). Возникновение четвертого измерения: высшее пространственное мышление в Fin de Siècle. Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-875548-7.
  73. ^ Чарльз Джаспер Джоли (1895). Статьи. Академия. С. 62–.
  74. ^ Роджер Темам (11 декабря 2013 г.). Бесконечномерные динамические системы в механике и физике. Springer Science & Business Media. п. 367. ISBN  978-1-4612-0645-3.
  75. ^ Билл Джейкоб; Цит-Юэн Лам (1994). Последние достижения в реальной алгебраической геометрии и квадратичных формах: Труды года RAGSQUAD, Беркли, 1990-1991 гг.. American Mathematical Soc. п. 111. ISBN  978-0-8218-5154-8.
  76. ^ Ян Стюарт (29 апреля 2008 г.). Почему красота - это правда: история симметрии. Основные книги. п. 14. ISBN  978-0-465-08237-7.
  77. ^ Стахов Алексей (11 сентября 2009 г.). Математика гармонии: от Евклида до современной математики и информатики. World Scientific. п. 144. ISBN  978-981-4472-57-9.
  78. ^ Вернер Хан (1998). Симметрия как принцип развития в природе и искусстве. World Scientific. ISBN  978-981-02-2363-2.
  79. ^ Брайан Дж. Кэнтуэлл (23 сентября 2002 г.). Введение в анализ симметрии. Издательство Кембриджского университета. п. 34. ISBN  978-1-139-43171-2.
  80. ^ Б. Розенфельд; Билл Вибе (9 марта 2013 г.). Геометрия групп Ли. Springer Science & Business Media. стр. 158ff. ISBN  978-1-4757-5325-7.
  81. ^ а б Питер Пешич (1 января 2007 г.). За гранью геометрии: классические работы от Римана до Эйнштейна. Курьерская корпорация. ISBN  978-0-486-45350-7.
  82. ^ Мичио Каку (6 декабря 2012 г.). Строки, конформные поля и топология: введение. Springer Science & Business Media. п. 151. ISBN  978-1-4684-0397-8.
  83. ^ Младен Бествина; Михах Сагеев; Карен Фогтманн (24 декабря 2014 г.). Геометрическая теория групп. American Mathematical Soc. п. 132. ISBN  978-1-4704-1227-2.
  84. ^ Ш-В. Стиб (30 сентября 1996 г.). Непрерывные симметрии, алгебры Ли, дифференциальные уравнения и компьютерная алгебра. Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-981-310-503-4.
  85. ^ Чарльз В. Миснер (20 октября 2005 г.). Направления в общей теории относительности: Том 1: Труды Международного симпозиума 1993 года, Мэриленд: статьи в честь Чарльза Миснера. Издательство Кембриджского университета. п. 272. ISBN  978-0-521-02139-5.
  86. ^ Линней Вейланд Даулинг (1917). Проективная геометрия. Книжная компания Макгроу-Хилл, инкорпорейтед. п.10.
  87. ^ Г. Гирц (15 ноября 2006 г.). Связки топологических векторных пространств и их двойственность. Springer. п. 252. ISBN  978-3-540-39437-2.
  88. ^ Роберт Э. Баттс; Дж. Р. Браун (6 декабря 2012 г.). Конструктивизм и наука: очерки современной немецкой философии. Springer Science & Business Media. С. 127–. ISBN  978-94-009-0959-5.
  89. ^ Наука. Царь Моисей. 1886. С. 181–.
  90. ^ В. Эббот (11 ноября 2013 г.). Практическая геометрия и инженерная графика: Учебник для инженеров и других студентов. Springer Science & Business Media. С. 6–. ISBN  978-94-017-2742-6.
  91. ^ а б c d Джордж Л. Херси (март 2001 г.). Архитектура и геометрия в эпоху барокко. Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-32783-9.
  92. ^ П. Ваничек; E.J. Краковский (3 июня 2015 г.). Геодезия: концепции. Эльзевир. п. 23. ISBN  978-1-4832-9079-9.
  93. ^ Рассел М. Каммингс; Скотт А. Мортон; Уильям Х. Мейсон; Дэвид Р. Макдэниел (27 апреля 2015 г.). Прикладная вычислительная аэродинамика. Издательство Кембриджского университета. п. 449. ISBN  978-1-107-05374-8.
  94. ^ Рой Уильямс (1998). Геометрия навигации. Хорвуд Паб. ISBN  978-1-898563-46-4.
  95. ^ Жерар Уолшап (1 июля 2015 г.). Многовариантное исчисление и дифференциальная геометрия. Де Грюйтер. ISBN  978-3-11-036954-0.
  96. ^ Harley Flanders (26 апреля 2012 г.). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам. Курьерская корпорация. ISBN  978-0-486-13961-6.
  97. ^ Пол Марриотт; Марк Сэлмон (31 августа 2000 г.). Приложения дифференциальной геометрии к эконометрике. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-65116-5.
  98. ^ Мэтью Хе; Сергей Петухов (16 марта 2011 г.). Математика биоинформатики: теория, методы и приложения. Джон Вили и сыновья. п. 106. ISBN  978-1-118-09952-0.
  99. ^ P.A.M. Дирак (10 августа 2016 г.). Общая теория относительности. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-1-4008-8419-3.
  100. ^ Нихат Ай; Юрген Йост; Хонг Ван Ле; Лоренц Шваххёфер (25 августа 2017 г.). Информационная геометрия. Springer. п. 185. ISBN  978-3-319-56478-4.
  101. ^ Борис А. Розенфельд (8 сентября 2012 г.). История неевклидовой геометрии: эволюция концепции геометрического пространства. Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-4419-8680-1.
  102. ^ Клайн (1972) "Математическая мысль от древних времен до наших дней", Oxford University Press, стр. 1032. Кант не отвергал логическое (априорное аналитическое) возможность неевклидовой геометрии, см. Джереми Грей, "Идеи космического евклидова, неевклидова и релятивистского", Оксфорд, 1989; п. 85. Некоторые предполагали, что в свете этого Кант на самом деле предсказанный развитие неевклидовой геометрии, ср. Леонард Нельсон, «Философия и аксиоматика», метод Сократа и критическая философия, Довер, 1965, с. 164.
  103. ^ Дункан Макларен Янг Соммервилль (1919). Элементы неевклидовой геометрии ... Открытый суд. стр. 15 и далее.
  104. ^ "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen". Архивировано из оригинал 18 марта 2016 г.
  105. ^ Мартин Д. Кроссли (11 февраля 2011 г.). Существенная топология. Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-85233-782-7.
  106. ^ Чарльз Нэш; Сиддхартха Сен (4 января 1988 г.). Топология и геометрия для физиков. Эльзевир. п. 1. ISBN  978-0-08-057085-3.
  107. ^ Джордж Э. Мартин (20 декабря 1996 г.). Преобразовательная геометрия: введение в симметрию. Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-90636-2.
  108. ^ Дж. П. Мэй (сентябрь 1999 г.). Краткий курс алгебраической топологии. Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-51183-2.
  109. ^ Американская энциклопедия: универсальная справочная библиотека, включающая в себя искусство и науку, литературу, историю, биографию, географию, торговлю и т. Д. Со всего мира. Компиляционный отдел Scientific American. 1905. С. 489–.
  110. ^ а б Сюзанна К. Дьедонн (30 мая 1985 г.). История алгебраической геометрии. CRC Press. ISBN  978-0-412-99371-8.
  111. ^ Джеймс Карлсон; Джеймс А. Карлсон; Артур Джаффе; Эндрю Уайлс (2006). Проблемы Премии тысячелетия. American Mathematical Soc. ISBN  978-0-8218-3679-8.
  112. ^ Робин Хартшорн (29 июня 2013 г.). Алгебраическая геометрия. Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-4757-3849-0.
  113. ^ Эверетт У. Хау; Кристин Э. Лаутер; Джуди Л. Уокер (15 ноября 2017 г.). Алгебраическая геометрия для теории кодирования и криптографии: IPAM, Лос-Анджелес, Калифорния, февраль 2016 г.. Springer. ISBN  978-3-319-63931-4.
  114. ^ Маркос Марино; Майкл Фаддеус; Рави Вакил (15 августа 2008 г.). Перечислительные инварианты в алгебраической геометрии и теории струн: лекции, прочитанные в C.I.M.E. Летняя школа в Четраро, Италия, 6-11 июня 2005 г.. Springer. ISBN  978-3-540-79814-9.
  115. ^ Хайбрехтс, Д. (2006). Сложная геометрия: введение. Springer Science & Business Media.
  116. ^ Гриффитс, П., и Харрис, Дж. (2014). Принципы алгебраической геометрии. Джон Вили и сыновья.
  117. ^ Уэллс, Р. О., и Гарсия-Прада, О. (1980). Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях (том 21980). Нью-Йорк: Спрингер.
  118. ^ Хори, К., Томас, Р., Кац, С., Вафа, К., Пандхарипанде, Р., Клемм, А., ... и Заслоу, Э. (2003). Зеркальная симметрия (Том 1). American Mathematical Soc.
  119. ^ Форстер, О. (2012). Лекции о римановых поверхностях (т. 81). Springer Science & Business Media.
  120. ^ Миранда, Р. (1995). Алгебраические кривые и римановы поверхности (т. 5). American Mathematical Soc.
  121. ^ Дональдсон, С. (2011). Римановы поверхности. Издательство Оксфордского университета.
  122. ^ Серр, Дж. П. (1955). Faisceaux algébriques cohérents. Анналы математики, 197-278.
  123. ^ Серр, Дж. П. (1956). Géométrie algébrique et géométrie analytique. In Annales de l'Institut Fourier (Vol. 6, pp. 1-42).
  124. ^ Иржи Матушек (1 декабря 2013 г.). Лекции по дискретной геометрии. Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-4613-0039-7.
  125. ^ Чуаньмин Цзун (2 февраля 2006 г.). Окно куба-A для выпуклой и дискретной геометрии. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-85535-8.
  126. ^ Питер М. Грубер (17 мая 2007 г.). Выпуклая и дискретная геометрия. Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-71133-9.
  127. ^ Сатьян Л. Девадосс; Джозеф О'Рурк (11 апреля 2011 г.). Дискретная и вычислительная геометрия. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-1-4008-3898-1.
  128. ^ Кароли Бездек (23 июня 2010 г.). Классические темы по дискретной геометрии. Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-4419-0600-7.
  129. ^ Франко П. Препарата; Майкл И. Шамос (6 декабря 2012 г.). Вычислительная геометрия: введение. Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-4612-1098-6.
  130. ^ Сяньфэн Давид Гу; Шинг-Тунг Яу (2008). Вычислительная конформная геометрия. Международная пресса. ISBN  978-1-57146-171-1.
  131. ^ а б Клара Лё (19 декабря 2017 г.). Геометрическая теория групп: введение. Springer. ISBN  978-3-319-72254-2.
  132. ^ Джон Морган; Ганг Тянь (21 мая 2014 г.). Гипотеза о геометризации. American Mathematical Soc. ISBN  978-0-8218-5201-9.
  133. ^ Дэниел Т. Уайз (2012). От богатства к Раагсу: 3-многообразия, прямоугольные группы Артина и кубическая геометрия: 3-многообразия, прямоугольные группы Артина и кубическая геометрия. American Mathematical Soc. ISBN  978-0-8218-8800-1.
  134. ^ а б Жерар Мёрант (28 июня 2014 г.). Справочник по выпуклой геометрии. Elsevier Science. ISBN  978-0-08-093439-6.
  135. ^ Юрген Рихтер-Геберт (4 февраля 2011 г.). Перспективы проективной геометрии: экскурсия по реальной и сложной геометрии. Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-17286-1.
  136. ^ Кимберли Элам (2001). Геометрия дизайна: исследования пропорций и композиции. Princeton Architectural Press. ISBN  978-1-56898-249-6.
  137. ^ Брэд Дж. Гигар (4 ноября 2004 г.). Книга-мультипликация: создавайте уникальные и вдохновляющие мультфильмы для развлечения и получения прибыли. Адамс Медиа. С. 82–. ISBN  978-1-4405-2305-2.
  138. ^ Марио Ливио (12 ноября 2008 г.). Золотое сечение: история PHI, самого удивительного числа в мире. Корона / Архетип. п. 166. ISBN  978-0-307-48552-6.
  139. ^ Мишель Эммер; Дорис Шатчнайдер (8 мая 2007 г.). Наследие М. К. Эшера: празднование столетия. Springer. п. 107. ISBN  978-3-540-28849-7.
  140. ^ Роберт Капитоло; Кен Шваб (2004). Курс рисования 101. Sterling Publishing Company, Inc. стр.22. ISBN  978-1-4027-0383-6.
  141. ^ Филлис Гелино (1 января 2011 г.). Интеграция искусств в учебную программу начальной школы. Cengage Learning. п. 55. ISBN  978-1-111-30126-2.
  142. ^ Криштиану Чеккато; Ларс Хессельгрен; Марк Поли; Хельмут Поттманн, Йоханнес Валлнер (5 декабря 2016 г.). Достижения в архитектурной геометрии 2010. Birkhäuser. п. 6. ISBN  978-3-99043-371-3.
  143. ^ Гельмут Поттманн (2007). Архитектурная геометрия. Издательство Института Бентли.
  144. ^ Мариан Моффетт; Майкл В. Фацио; Лоуренс Вудхаус (2003). Всемирная история архитектуры. Издательство Лоуренс Кинг. п. 371. ISBN  978-1-85669-371-4.
  145. ^ Робин М. Грин; Робин Майкл Грин (31 октября 1985 г.). Сферическая астрономия. Издательство Кембриджского университета. п. 1. ISBN  978-0-521-31779-5.
  146. ^ Дмитрий Владимирович Алексеевский (2008). Последние достижения в псевдоримановой геометрии. Европейское математическое общество. ISBN  978-3-03719-051-7.
  147. ^ Шинг-Тунг Яу; Стив Надис (7 сентября 2010 г.). Форма внутреннего пространства: теория струн и геометрия скрытых измерений Вселенной. Основные книги. ISBN  978-0-465-02266-3.
  148. ^ Бенгтссон, Ингемар; Cyczkowski, Karol (2017). Геометрия квантовых состояний: введение в квантовую запутанность (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  9781107026254. OCLC  1004572791.
  149. ^ Харлей Фландерс; Джастин Дж. Прайс (10 мая 2014 г.). Исчисление с аналитической геометрией. Elsevier Science. ISBN  978-1-4832-6240-6.
  150. ^ Джон Рогавски; Колин Адамс (30 января 2015 г.). Исчисление. В. Х. Фриман. ISBN  978-1-4641-7499-5.
  151. ^ Альваро Лосано-Робледо (21 марта 2019 г.). Теория чисел и геометрия: введение в арифметическую геометрию. American Mathematical Soc. ISBN  978-1-4704-5016-8.
  152. ^ Артуро Сангалли (10 мая 2009 г.). Месть Пифагора: математическая тайна. Издательство Принстонского университета. п.57. ISBN  978-0-691-04955-7.
  153. ^ Гэри Корнелл; Джозеф Х. Сильверман; Гленн Стивенс (1 декабря 2013 г.). Модульные формы и Последняя теорема Ферма. Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-4612-1974-3.

Источники

  • Бойер, К. (1991) [1989]. История математики (Издание второе, отредактированное Ута К. Мерцбах ред.). Нью-Йорк: Вили. ISBN  978-0-471-54397-8.
  • Кук, Роджер (2005). История математики. Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN  978-0-471-44459-6.
  • Хаяси, Такао (2003). «Индийская математика». В Граттан-Гиннесс, Айвор (ред.). Сопутствующая энциклопедия истории и философии математических наук. 1. Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джона Хопкинса. С. 118–130. ISBN  978-0-8018-7396-6.
  • Хаяси, Такао (2005). «Индийская математика». В «Потопе», Гэвин (ред.). Товарищ Блэквелла в индуизме. Оксфорд: Бэзил Блэквелл. С. 360–375. ISBN  978-1-4051-3251-0.
  • Николай Иванович Лобачевский (2010). Пангеометрия. Серия «Наследие европейской математики». 4. переводчик и редактор: А. Пападопулос. Европейское математическое общество.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка

Библиотечные ресурсы о
Геометрия

"Геометрия". Британская энциклопедия. 11 (11-е изд.). 1911. С. 675–736.