Аффинная геометрия - Affine geometry

В аффинной геометрии используется Аксиома Playfair найти прямую, проходящую через C1 и параллельную B1B2, и найти прямую, проходящую через B2 и параллельную B1C1: их пересечение C2 является результатом указанного переноса.

В математика, аффинная геометрия это то, что осталось от Евклидова геометрия когда не используется (математики часто говорят «когда забываешь»^[1][2]) метрика понятия расстояния и угла.

Как понятие параллельные линии является одним из основных свойств, не зависящих от какой-либо метрики, аффинная геометрия часто рассматривается как исследование параллельных прямых. Следовательно, Аксиома Playfair (учитывая прямую L и точку P не на L, существует ровно одна прямая, параллельная L, которая проходит через P) является фундаментальным в аффинной геометрии. Сравнение фигур в аффинной геометрии проводится с помощью аффинные преобразования, которые являются отображениями, сохраняющими выравнивание точек и параллельность линий.

Аффинная геометрия может быть разработана двумя по существу эквивалентными способами.^[3]

В синтетическая геометрия, аффинное пространство это набор точки с которым связан набор линий, удовлетворяющих некоторым аксиомы (например, аксиома Playfair).

Аффинная геометрия также может быть разработана на основе линейная алгебра. В этом контексте аффинное пространство это набор точки оснащены набором трансформации (то есть биективные отображения ), переводы, образующие векторное пространство (по заданному поле, обычно действительные числа ), и такой, что для любой данной упорядоченной пары точек существует уникальный перевод, отправляющий первую точку во вторую; в сочинение двух переводов - это их сумма в векторном пространстве переводов.

Говоря более конкретно, это равносильно наличию операции, которая связывает любой упорядоченной паре точек с вектором, и другой операции, которая позволяет переводить точку на вектор, чтобы получить другую точку; эти операции требуются для удовлетворения ряда аксиом (особенно, что два последовательных перевода имеют эффект перевода на вектор суммы). Выбирая любую точку в качестве "начала", точки находятся в индивидуальная переписка с векторами, но нет предпочтительного выбора для начала координат; таким образом, аффинное пространство можно рассматривать как полученное из связанного с ним векторного пространства путем «забвения» начала координат (нулевого вектора).

Хотя в этой статье обсуждается только аффинные пространства понятие «забвение метрики» является гораздо более общим и может применяться к произвольным коллекторы, в целом. Это распространение понятия аффинных пространств на многообразия в целом развито в статье о аффинная связь.

История

В 1748 г. Леонард Эйлер ввел термин аффинный^[4][5] (Латинский affinis, "связанные") в своей книге Введение в анализин бесконечный (том 2, глава XVIII). В 1827 г. Август Мебиус писал об аффинной геометрии в своем Der barycentrische Calcul (Глава 3).

После Феликс Кляйн с Программа Эрланген, аффинная геометрия была признана обобщением Евклидова геометрия.^[6]

В 1912 г. Эдвин Б. Уилсон и Гилберт Н. Льюис разработал аффинную геометрию^[7][8] чтобы выразить специальная теория относительности.

В 1918 г. Герман Вейль упомянул аффинную геометрию для своего текста Пространство, время, материя. Он использовал аффинную геометрию, чтобы ввести векторное сложение и вычитание.^[9] на самых ранних этапах его развития математическая физика. Потом, Э. Т. Уиттакер написал:^[10]

Геометрия Вейля исторически интересна как первая из аффинных геометрий, детально проработанных: она основана на особом типе геометрии. параллельный транспорт [...с помощью] мировые линии световых сигналов в четырехмерном пространстве-времени. Короткий элемент одной из этих мировых линий можно назвать нулевой вектор; тогда рассматриваемый параллельный перенос таков, что он переносит любой нулевой вектор в одной точке в положение нулевого вектора в соседней точке.

В 1984 году "аффинная плоскость, связанная с лоренцевым векторным пространством L²"был описан Грасиелой Бирман и Кацуми Номидзу в статье «Тригонометрия в лоренцевой геометрии».^[11]

Системы аксиом

Было предложено несколько аксиоматических подходов к аффинной геометрии:

Закон Паппа

Закон Паппа: если красные линии параллельны, а синие линии параллельны, то пунктирные черные линии должны быть параллельны.

Поскольку аффинная геометрия имеет дело с параллельными линиями, одно из свойств параллелей, отмеченное Папп Александрийский было принято за предпосылку:^[12][13]

• Если ${\displaystyle A,B,C}$ находятся на одной линии и ${\displaystyle A',B',C'}$ по другому, то

${\displaystyle (AB'\parallel A'B\ \land \ BC'\parallel B'C)\Rightarrow CA'\parallel C'A.}$

Предлагаемая полная система аксиом имеет точка, линия, и линия, содержащая точку в качестве примитивные представления:

• Две точки содержатся всего в одной строке.
• Для любой линии л и любой момент п, не на л, есть только одна строка, содержащая п и не содержащие точки л. Эта строка называется параллельно к л.
• Каждая строка содержит не менее двух точек.
• Есть как минимум три точки, не принадлежащие одной линии.

В соответствии с Х. С. М. Коксетер:

Интерес к этим пяти аксиомам усиливается тем фактом, что они могут быть развиты в обширную совокупность утверждений, содержащихся не только в Евклидова геометрия но и в Геометрия Минковского времени и пространства (в простом случае измерения 1 + 1, тогда как специальной теории относительности требуется 1 + 3). Расширение до евклидовой или минковской геометрии достигается путем добавления различных дополнительных аксиом ортогональности и т. Д.^[14]

Различные типы аффинной геометрии соответствуют тому, что интерпретируется для вращение. Евклидова геометрия соответствует обычная идея вращения, а геометрия Минковского соответствует гиперболическое вращение. Что касается перпендикуляр линии, они остаются перпендикулярными при обычном вращении плоскости. В геометрии Минковского линии, которые гиперболо-ортогональный остаются в этом отношении, когда плоскость подвергается гиперболическому вращению.

Упорядоченная структура

Аксиоматическое рассмотрение плоской аффинной геометрии может быть построено на основе аксиомы упорядоченной геометрии добавлением двух дополнительных аксиом:^[15]

1. (Аффинная аксиома параллелизма ) Для точки A и прямой r, не проходящей через A, существует не более одной прямой, проходящей через A, которая не пересекает r.
2. (Desargues ) Даны семь различных точек A, A ', B, B', C, C ', O, такие, что AA', BB 'и CC' - различные прямые, проходящие через O, и AB параллельна A'B ', а BC - прямая. параллельно B'C ', то AC параллельно A'C'.

Аффинная концепция параллелизма образует отношение эквивалентности на линиях. Поскольку аксиомы упорядоченной геометрии, представленные здесь, включают свойства, которые подразумевают структуру действительных чисел, эти свойства переносятся здесь, так что это аксиоматизация аффинной геометрии над полем действительных чисел.

Тройные кольца

Основная статья: плоское тройное кольцо

Первый недезарговская плоскость был отмечен Дэвид Гильберт в его Основы геометрии.^[16] В Самолет Моултона это стандартная иллюстрация. Чтобы обеспечить контекст для такой геометрии, а также для тех, где Теорема дезарга Действительно, концепция троичного кольца была развита.

Рудиментарные аффинные плоскости строятся из упорядоченных пар, взятых из тройного кольца. Говорят, что плоскость обладает «второстепенным аффинным свойством Дезарга», когда два треугольника в параллельной перспективе, имеющие две параллельные стороны, также должны иметь параллельные третьи стороны. Если это свойство выполняется в рудиментарной аффинной плоскости, определяемой тернарным кольцом, то существует отношение эквивалентности между «векторами», определяемыми парами точек на плоскости.^[17] Кроме того, векторы образуют абелева группа при добавлении тернарное кольцо линейно и удовлетворяет правой дистрибутивности:

(а + б) c = ac + до н.э.

Аффинные преобразования

Основная статья: Аффинное преобразование

Геометрически аффинные преобразования (аффинности) сохраняют коллинеарность: поэтому они преобразуют параллельные прямые в параллельные и сохраняют соотношение расстояний вдоль параллельных линий.

Мы идентифицируем себя как аффинные теоремы любой геометрический результат, инвариантный относительно аффинная группа (в Феликс Кляйн с Программа Эрланген это его основа группа преобразований симметрии для аффинной геометрии). Рассмотрим в векторном пространстве V, то общая линейная группа GL (V). Это еще не все аффинная группа потому что мы должны также разрешить переводы по векторам v в V. (Такой перевод отображает любые ш в V к w + v.) Аффинная группа порождается общей линейной группой и переводами и фактически является их полупрямой продукт ${\displaystyle V\rtimes \mathrm {GL} (V)}$. (Здесь мы думаем о V как группу под действием операции сложения, и используйте определяющее представление GL (V) на V для определения полупрямого продукта.)

Например, теорема из плоской геометрии треугольников о совпадении прямых, соединяющих каждую вершину, с серединой противоположной стороны (в точке центроид или же барицентр ) зависит от представлений о середина и центроид как аффинные инварианты. Другие примеры включают теоремы Чева и Менелай.

Аффинные инварианты также могут помочь в вычислениях. Например, линии, разделяющие площадь треугольника на две равные половины, образуют конверт внутри треугольника. Отношение площади оболочки к площади треугольника является аффинно-инвариантным, поэтому его нужно вычислить только из простого случая, такого как единичный равнобедренный прямоугольный треугольник, чтобы получить ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\log _{e}(2)-{\tfrac {1}{2}},}$ т.е. 0,019860 ... или менее 2% для всех треугольников.

Знакомые формулы, такие как половина основания, умноженная на высоту для площади треугольника, или треть основания, умноженное на высоту для объема пирамиды, также являются аффинными инвариантами. Хотя последнее менее очевидно, чем первое для общего случая, это легко увидеть для одной шестой единичного куба, образованного гранью (область 1) и средней точкой куба (высота 1/2). Следовательно, это справедливо для всех пирамид, даже для наклонных, вершина которых не находится непосредственно над центром основания, и пирамид с основанием в виде параллелограмма вместо квадрата. Формула далее обобщается на пирамиды, основание которых можно разрезать на параллелограммы, включая конусы, допуская бесконечное количество параллелограммов (с должным вниманием к сходимости). Тот же подход показывает, что четырехмерная пирамида имеет четырехмерный объем, составляющий четверть трехмерного объема ее. параллелепипед основание, умноженное на высоту, и так далее для более высоких измерений.

Аффинное пространство

Основная статья: Аффинное пространство

Аффинную геометрию можно рассматривать как геометрию аффинное пространство данного измерения п, скоординированный по поле K. Существует также (в двух измерениях) комбинаторное обобщение координатного аффинного пространства, развитое в синтетический конечная геометрия. В проективной геометрии аффинное пространство означает дополнение гиперплоскость в бесконечности в проективное пространство. Аффинное пространство также можно рассматривать как векторное пространство, операции которого ограничены теми линейными комбинациями, коэффициенты которых суммируются в единицу, например 2Икс − у, Икс − у + z, (Икс + у + z)/3, яИкс + (1 − я)у, так далее.

Синтетически, аффинные плоскости являются двумерными аффинными геометриями, определенными в терминах отношений между точками и линиями (или иногда в более высоких измерениях, гиперплоскости ). Определение аффинных (и проективных) геометрий как конфигурации точек и линий (или гиперплоскостей) вместо использования координат получаются примеры без полей координат. Главное свойство состоит в том, что все такие примеры имеют размерность 2. Конечные примеры в размерности 2 (конечные аффинные плоскости ) оказались ценными при изучении конфигураций в бесконечных аффинных пространствах, в теория групп, И в комбинаторика.

Несмотря на то, что они менее общие, чем конфигурационный подход, другие обсуждаемые подходы оказались очень успешными в освещении частей геометрии, связанных с симметрия.

Проективный вид

В традиционных геометрия, аффинная геометрия считается исследованием между Евклидова геометрия и проективная геометрия. С одной стороны, аффинная геометрия - это евклидова геометрия с соответствие опущены; с другой стороны, аффинная геометрия может быть получена из проективной геометрии путем обозначения конкретной линии или плоскости для представления указывает на бесконечность.^[18] В аффинной геометрии нет метрика структура, но параллельный постулат действительно держится. Аффинная геометрия обеспечивает основу для евклидовой структуры, когда перпендикуляр линии определены, или основы геометрии Минковского через понятие гиперболическая ортогональность.^[19] С этой точки зрения аффинное преобразование это проективное преобразование который не переставляет конечные точки с точками на бесконечности, и аффинно геометрия трансформации является изучение геометрических свойств через действие из группа аффинных преобразований.

Смотрите также

• Неевклидова геометрия

Рекомендации

1. Бергер, Марсель (1987), Геометрия I, Берлин: Springer, ISBN  3-540-11658-3
2. Смотрите также забывчивый функтор.
3. Артин, Эмиль (1988), Геометрическая алгебра, Библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: John Wiley & Sons Inc., стр. X + 214, Дои:10.1002/9781118164518, ISBN  0-471-60839-4, МИСТЕР  1009557 (Перепечатка оригинала 1957 года; публикация Wiley-Interscience)
4. Миллер, Джефф. «Самые ранние известные варианты использования некоторых слов математики (A)».
5. Блашке, Вильгельм (1954). Аналитическая геометрия. Базель: Биркхаузер. п. 31.
6. Кокстер, Х. С. М. (1969). Введение в геометрию. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. стр.191. ISBN  0-471-50458-0.
7. Эдвин Б. Уилсон & Гилберт Н. Льюис (1912). "Пространственно-временное многообразие теории относительности. Неевклидова геометрия механики и электромагнетизма", Труды Американская академия искусств и наук 48:387–507
8. Синтетическое пространство-время, сборник использованных аксиом и доказанных теорем Уилсоном и Льюисом. Архивировано WebCite
9. Герман Вейль (1918)Raum, Zeit, Materie. 5 изд. к изд. 1922 г. с примечаниями Юргена Элерса, 1980. пер. 4-е изд. Генри Брозе, 1922 год Пространственно-временная материя, Метуэн, представ. 1952 г. Дувр. ISBN  0-486-60267-2 . См. Главу 1 §2 «Основы аффинной геометрии», стр. 16–27.
10. Э. Т. Уиттакер (1958). От Евклида до Эддингтона: исследование представлений о внешнем мире, Dover Publications, п. 130.
11. Грасиела С. Бирман и Кацуми Номидзу (1984). «Тригонометрия в лоренцевой геометрии», Американский математический ежемесячный журнал 91 (9): 543–9, лоренцева аффинная плоскость: с. 544
12. Веблен 1918: с. 103 (рисунок) и стр. 118 (упражнение 3).
13. Кокстер 1955, Аффинная плоскость, § 2: Аффинная геометрия как независимая система
14. Кокстер 1955, Аффинная плоскость, п. 8
15. Кокстер, Введение в геометрию, п. 192
16. Дэвид Гильберт, 1980 (1899). Основы геометрии, 2-е изд., Чикаго: Открытый суд, ссылка на сайт Проект Гутенберг, п. 74.
17. Рафаэль Арци (1965). Линейная геометрия, Эддисон-Уэсли, п. 213.
18. Х. С. М. Коксетер (1942). Неевклидова геометрия, University of Toronto Press С. 18, 19.
19. Coxeter 1942, стр. 178

дальнейшее чтение

• Эмиль Артин (1957) Геометрическая алгебра, глава 2: «Аффинная и проективная геометрия», Издатели Interscience.
• В.Г. Ашкинуза и Исаак Яглом (1962) Идеи и методы аффинной и проективной геометрии (в русский ), Министерство образования, Москва.
• М. К. Беннетт (1995) Аффинная и проективная геометрия, Джон Уайли и сыновья ISBN  0-471-11315-8 .
• Х. С. М. Коксетер (1955) "Аффинная плоскость", Scripta Mathematica 21: 5–14, лекция перед Форумом Общества друзей Scripta Mathematica в понедельник, 26 апреля 1954 г.
• Феликс Кляйн (1939) Элементарная математика с продвинутой точки зрения: геометрия, перевод Э. Р. Хедрика и К. А. Ноубла, стр. 70–86, Компания Macmillan.
• Брюс Э. Мезерв (1955) Основные понятия геометрии, Глава 5 Аффинная геометрия, стр. 150–84, Эддисон-Уэсли.
• Питер Шерк и Рольф Лингенберг (1975) Зачатки плоской аффинной геометрии, Математические экспозиции №20, University of Toronto Press.
• Ванда Шмелев (1984) От аффинной к евклидовой геометрии: аксиоматический подход, Д. Рейдел, ISBN  90-277-1243-3 .
• Освальд Веблен (1918) Проективная геометрия, том 2, глава 3: Аффинная группа в самолете, стр. 70–118, Ginn & Company.

внешняя ссылка

• Питер Кэмерон с Проективная и аффинная геометрии из Лондонский университет.
• Жан Х. Галлье (2001). Геометрические методы и приложения для компьютерных наук и инженерии, Глава 2: «Основы аффинной геометрии» (PDF), Springer Texts in Applied Mathematics # 38, онлайн-глава из Пенсильванский университет.