Фрактал - Fractal

Для использования в других целях см. Фрактал (значения).
Множество Мандельброта

Увеличить набор Мандельброта

В математика, а фрактал является самоподобным подмножеством Евклидово пространство чей фрактальная размерность строго превышает его топологическая размерность. Фракталы выглядят одинаково на разных уровнях, как показано в последовательном увеличении Набор Мандельброта.[1][2][3][4] Фракталы демонстрируют похожие модели во все более мелких масштабах, называемых самоподобие, также известный как расширяющаяся симметрия или развертывающаяся симметрия; если эта репликация точно такая же на всех уровнях, как в Губка менгера,[5] он называется аффинным самоподобным. Фрактальная геометрия относится к математической ветви теория меры.

Один из способов отличия фракталов от конечных геометрические фигуры это способ, которым они шкала. Удвоение длины кромки многоугольник умножает свою площадь на четыре, то есть два (отношение длины новой стороны к старой), возведенные в степень двойки (размер пространства, в котором находится многоугольник). Точно так же, если радиус сферы удвоен, ее объем масштабируется на восемь, что составляет два (отношение нового радиуса к старому) в степень трех (измерение, в котором находится сфера). Однако, если все одномерные длины фрактала удвоены, пространственное содержание фрактала масштабируется на степень, которая не обязательно целое число.[1] Эта сила называется фрактальная размерность фрактала, и обычно превышает фрактальную топологическая размерность.[6]

Аналитически фракталов обычно нет дифференцируемый.[1][4][7] Бесконечный фрактальная кривая можно представить себе как петляющую в пространстве иначе, чем обычную линию - хотя это все еще 1-мерный, его фрактальная размерность указывает на то, что он также похож на поверхность.[1][6]

Ковер Серпинского (до 6 уровня) фрактал с топологическая размерность из 1 и Хаусдорфово измерение из 1.893

Начиная с 17 века с представлениями о рекурсия фракталы прошли через все более строгую математическую трактовку концепции к изучению непрерывный но нет дифференцируемый функционирует в 19 веке благодаря плодотворной работе Бернар Больцано, Бернхард Риманн, и Карл Вейерштрасс,[8] и дальше к чеканке слова фрактал в 20 веке с последующим ростом интереса к фракталам и компьютерному моделированию в 20 веке.[9][10] Термин «фрактал» впервые использовал математик. Бенуа Мандельброт в 1975 году. Мандельброт основал его на латинском frāctus, что означает «сломанный» или «раздробленный», и использовал его для расширения концепции теоретического дробного размеры к геометрическому закономерности в природе.[1][11]

Среди математиков есть некоторые разногласия по поводу того, как следует формально определять концепцию фрактала. Сам Мандельброт охарактеризовал это как «красиво, чертовски сложно, все более полезно. Это фракталы».[12] Более формально, в 1982 году Мандельброт заявил, что «фрактал по определению - это множество, для которого Размерность Хаусдорфа – Безиковича строго превышает топологическая размерность."[13] Позже, посчитав это слишком ограничительным, он упростил и расширил определение до следующего: «Фрактал - это форма, состоящая из частей, в некотором роде похожих на целое».[14] Еще позже Мандельброт остановился на таком использовании языка: «... использовать фрактал без педантичного определения использовать фрактальная размерность как общий термин, применимый к все варианты ».[15]

Все согласны с тем, что теоретические фракталы бесконечно самоподобны, повторяется, и подробные математические конструкции, имеющие фрактальную размерность, многие из которых Примеры были сформулированы и глубоко изучены.[1][2][3] Фракталы не ограничиваются геометрическими узорами, но также могут описывать процессы во времени.[5][4][16][17][18][19] Фрактальные узоры с различной степенью самоподобия были визуализированы или изучены в изображениях, структурах и звуках.[20] и найдено в природа,[21][22][23][24][25] технологии,[26][27][28][29] Изобразительное искусство,[30][31] архитектура[32] и закон.[33] Особую актуальность фракталы имеют в области теория хаоса, поскольку графики большинства хаотических процессов являются фракталами.[34] Было обнаружено, что многие реальные и модельные сети обладают фрактальными характеристиками, такими как самоподобие.[35][36][37]


Вступление

Простое фрактальное дерево, созданное с помощью JavaScript

Слово «фрактал» часто имеет разные коннотации для непрофессионалов, в отличие от математиков, которые, скорее всего, знакомы с фрактальное искусство чем математическая концепция. Математическую концепцию сложно определить формально даже математикам, но ключевые особенности можно понять, имея небольшой математический опыт.

Например, свойство «самоподобия» легко понять по аналогии с увеличением с помощью объектива или другого устройства, которое увеличивает цифровые изображения, чтобы выявить более тонкую, ранее невидимую новую структуру. Однако если это делается на фракталах, никаких новых деталей не появляется; ничего не меняется, и один и тот же узор повторяется снова и снова, или для некоторых фракталов почти один и тот же узор повторяется снова и снова. Самоподобие само по себе не обязательно противоречит интуиции (например, люди неформально размышляли о самоподобии, например, в бесконечный регресс в параллельных зеркалах или гомункул, человечек внутри головы маленького человечка внутри головы ...). Отличие фракталов в том, что воспроизводимый узор должен быть детализированным.[1]:166; 18[2][11]

Идея детализации связана с другой особенностью, которую можно понять без особой математической подготовки: наличие фрактальная размерность больше, чем его топологическая размерность, например, относится к тому, как фрактал масштабируется по сравнению с тем, как геометрические формы обычно воспринимаются. Например, прямая линия обычно считается одномерной; если такая цифра реп-плиточный на части, каждая 1/3 длины оригинала, тогда всегда есть три равных части. Под сплошным квадратом понимается двумерное изображение; если такая фигура представляет собой повторяющиеся части, каждая из которых уменьшена в масштабе 1/3 в обоих измерениях, всего получается 32 = 9 шт. Мы видим, что для обычных самоподобных объектов n-мерность означает, что при повторном разбиении на части, каждая из которых уменьшается с масштабным коэффициентом 1 /р, всего рп шт. Теперь рассмотрим Кривая Коха. Его можно повторно разбить на четыре части, каждая из которых уменьшена в масштабе 1/3. Итак, строго по аналогии, мы можем рассматривать «размерность» кривой Коха как единственное действительное число D что удовлетворяет 3D = 4. Это число математики называют фрактальная размерность кривой Коха; это конечно нет то, что принято считать размером кривой (это даже не целое число!). Тот факт, что кривая Коха имеет фрактальную размерность, отличную от ее традиционно понимаемый измерение (то есть его топологическая размерность) - вот что делает его фракталом.

3D компьютерный фрактал

Это также приводит к пониманию третьей особенности: фракталы как математические уравнения «никуда не годятся». дифференцируемый ". В конкретном смысле это означает, что фракталы нельзя измерить традиционными способами.[1][4][7] Чтобы уточнить, при попытке найти длину волнистой нефрактальной кривой можно найти прямые сегменты некоего измерительного инструмента, достаточно маленькие, чтобы их можно было проложить из конца в конец по волнам, где части могли стать достаточно маленькими, чтобы их можно было рассматривать как соответствующие. кривая обычным способом измерение с рулеткой. Но при измерении бесконечно «волнистой» фрактальной кривой, такой как снежинка Коха, невозможно найти достаточно маленький прямой сегмент, который соответствовал бы кривой, потому что зубчатый узор всегда снова появлялся в сколь угодно малых масштабах, по сути, немного оттягивая больше рулетки в общую длину, измеренную каждый раз, когда кто-то пытался подогнать ее все туже и туже к кривой. В результате требуется бесконечная лента, чтобы полностью покрыть всю кривую, то есть снежинка имеет бесконечный периметр.[1]

История

А Коха снежинка представляет собой фрактал, который начинается с равностороннего треугольника, а затем заменяет среднюю треть каждого линейного сегмента парой линейных сегментов, образующих равносторонний выступ
Канторовский (тройной) набор.

История фракталов ведет свой путь от теоретических исследований к современным приложениям в компьютерной графике, при этом несколько известных людей внесли свой вклад в канонические фрактальные формы.[9][10] Распространенной темой в древней традиционной африканской архитектуре является использование фрактального масштабирования, при котором небольшие части структуры имеют тенденцию выглядеть похожими на более крупные части, такие как круглая деревня, состоящая из круглых домов.[38]В соответствии с Перехватчик математика, лежащая в основе фракталов, начала формироваться в 17 веке, когда математик и философ Готфрид Лейбниц задумался рекурсивный самоподобие (хотя он ошибся, подумав, что только прямая линия был самоподобным в этом смысле).[39] В своих работах Лейбниц использовал термин «дробные показатели», но сетовал на то, что «геометрия» их еще не знала.[1]:405 Действительно, согласно различным историческим источникам, после этого момента немногие математики занимались проблемами, и работа тех, кто это делал, оставалась неясной в основном из-за сопротивления таким незнакомым возникающим концепциям, которых иногда называли математическими «монстрами».[7][9][10] Таким образом, только через два столетия 18 июля 1872 г. Карл Вейерштрасс представил первое определение функция с график который сегодня считался бы фракталом, имеющим не-интуитивно понятный свойство быть везде непрерывный но нигде не дифференцируемый в Королевской прусской академии наук.[9]:7[10] Кроме того, разность частных становится сколь угодно большой по мере увеличения индекса суммирования.[40] Вскоре после этого, в 1883 году, Георг Кантор, посетивший лекции Вейерштрасса,[10] опубликованные примеры подмножества реальной линии, известной как Канторовские наборы, которые обладали необычными свойствами и теперь признаны фракталами.[9]:11–24 Также в последней половине того века Феликс Кляйн и Анри Пуанкаре ввела категорию фракталов, которые стали называть «самообратными» фракталами.[1]:166

А Юля набор, фрактал, связанный с множеством Мандельброта
А Прокладка Серпинского может быть сгенерирован фрактальным деревом.

Одна из следующих вех наступила в 1904 году, когда Хельге фон Кох, расширяя идеи Пуанкаре и недовольный абстрактным и аналитическим определением Вейерштрасса, дал более геометрическое определение, включая нарисованные от руки изображения аналогичной функции, которая теперь называется Коха снежинка.[9]:25[10] Еще одна веха наступила десятью годами позже, в 1915 году, когда Вацлав Серпинский построил свой знаменитый треугольник затем, год спустя, его ковер. К 1918 году два французских математика, Пьер Фату и Гастон Джулия хотя и работали независимо, но по существу одновременно пришли к результатам, описывающим то, что теперь рассматривается как фрактальное поведение, связанное с отображением сложные числа и итерационных функций, что приводит к дальнейшим идеям о аттракторы и репеллеры (то есть точки, которые притягивают или отталкивают другие точки), которые стали очень важными при изучении фракталов.[4][9][10] Вскоре после того, как эта работа была представлена, к марту 1918 г., Феликс Хаусдорф расширил определение «размерности», что существенно для эволюции определения фракталов, чтобы позволить множествам иметь нецелочисленные измерения.[10] Идея самоподобных кривых была продолжена Поль Леви, который в своей статье 1938 г. Плоские или космические кривые и поверхности, состоящие из частей, похожих на целое, описал новую фрактальную кривую, Кривая Леви C.[примечания 1]

А странный аттрактор что показывает мультифрактал масштабирование
Равномерный фрактал треугольника центра масс
2x 120-градусный рекурсивный IFS

Различные исследователи постулировали, что без помощи современной компьютерной графики ранние исследователи были ограничены тем, что они могли изобразить на ручных рисунках, поэтому у них не было средств визуализировать красоту и оценить некоторые значения многих из обнаруженных ими паттернов ( Набор Джулии, например, можно было визуализировать только через несколько итераций как очень простые рисунки).[1]:179[7][10] Однако все изменилось в 1960-х годах, когда Бенуа Мандельброт начал писать о самоподобии в таких статьях, как Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и дробная размерность,[41][42] который основан на более ранней работе Льюис Фрай Ричардсон. В 1975 г.[11] Мандельброт закрепил за собой сотни лет мысли и математического развития, придумав слово «фрактал», и проиллюстрировал свое математическое определение поразительными компьютерными визуализациями. Эти изображения, например его канонические Набор Мандельброта, захватили народное воображение; многие из них были основаны на рекурсии, что привело к популярному значению термина «фрактал».[43][7][9][39]

В 1980 г. Лорен Карпентер выступил с презентацией на СИГГРАФ где он представил свое программное обеспечение для создания и рендеринга фрактально сгенерированных ландшафтов.[44]

Определение и характеристика

Часто цитируемое описание, которое Мандельброт опубликовал для описания геометрических фракталов, является «грубым или фрагментированным. геометрическая форма которые можно разделить на части, каждая из которых (по крайней мере приблизительно) является копией целого в уменьшенном размере ";[1] это обычно полезно, но ограничено. Авторы расходятся во мнениях относительно точного определения фрактал, но чаще всего подробно описывают основные идеи самоподобия и необычные отношения фракталов с пространством, в которое они встроены.[1][5][2][4][45]

Был согласован один момент: фрактальные модели характеризуются фрактальные измерения, но в то время как эти числа определяют количественно сложность (т.е. изменение деталей с изменением масштаба), они не описывают однозначно и не конкретизируют детали того, как построить определенные фрактальные паттерны.[46] В 1975 году, когда Мандельброт придумал слово «фрактал», он сделал это для обозначения объекта, Размерность Хаусдорфа – Безиковича больше, чем его топологическая размерность.[11] Однако это требование не выполняется кривые, заполняющие пространство такой как Кривая Гильберта.[примечания 2]

Из-за трудностей, связанных с поиском одного определения фракталов, некоторые утверждают, что фракталы вообще не следует строго определять. В соответствии с Сокольничий, фракталы должны, помимо того, что они нигде не дифференцируются и могут иметь фрактальная размерность, только в целом характеризоваться гештальт из следующих функций;[2]

  • Самоподобие, которое может включать:
  • Точное самоподобие: идентично во всех масштабах, таких как Коха снежинка
  • Квазисамоподобие: аппроксимирует один и тот же образец в разных масштабах; может содержать уменьшенные копии всего фрактала в искаженном и вырожденном виде; например, Набор Мандельброта Спутники являются приближениями всего набора, но не точными копиями.
  • Статистическое самоподобие: повторяет образец стохастически поэтому числовые или статистические показатели сохраняются по шкалам; например., случайно сгенерированные фракталы как хорошо известный пример береговая линия Британии для которого нельзя было ожидать найти сегмент, масштабируемый и повторяющийся так же четко, как повторяющийся блок, который определяет фракталы, подобные снежинке Коха.[4]
  • Качественное самоподобие: как во временном ряду[16]
  • Мультифрактал масштабирование: характеризуется более чем одним фрактальным измерением или правилом масштабирования
  • Тонкая или детальная структура в произвольно малых масштабах. Следствием такой структуры является то, что фракталы могут иметь эмерджентные свойства[47] (относится к следующему критерию в этом списке).
  • Неравномерность на местном и глобальном уровнях, которую нелегко описать традиционными Евклидово геометрическое язык. Для изображений фрактальных узоров это выражается такими фразами, как «плавно нагромождение поверхностей» и «завихрения за завитками».[6]
  • Просто и "возможно рекурсивный "определения; видеть Общие методы создания фракталов

В совокупности эти критерии формируют руководящие принципы для исключения определенных случаев, например тех, которые могут быть самоподобными без других типичных фрактальных особенностей. Прямая линия, например, самоподобна, но не фрактальна, потому что ей не хватает деталей, легко описывается на евклидовом языке, имеет то же самое. Хаусдорфово измерение в качестве топологическая размерность, и полностью определен без необходимости рекурсии.[1][4]

Общие методы создания фракталов

Смотрите также: Программное обеспечение для генерации фракталов

Смоделирован самоподобный паттерн ветвления in silico с помощью L-системы принципы[25]

Изображения фракталов могут быть созданы программы генерации фракталов. Из-за эффект бабочки, небольшое изменение одной переменной может иметь непредсказуемый исход.

Фрактал, порожденный правило конечного подразделения для переменная ссылка

Смоделированные фракталы

Фрактальные модели широко моделировались, хотя и в пределах диапазона масштабов, а не бесконечно, из-за практических ограничений физического времени и пространства. Модели могут имитировать теоретические фракталы или природные явления с фрактальными особенностями. Результатами процесса моделирования могут быть высокохудожественные визуализации, результаты для исследования или эталоны для фрактальный анализ. Перечислены некоторые конкретные приложения фракталов к технике. в другом месте. Изображения и другие результаты моделирования обычно называют «фракталами», даже если они не имеют строго фрактальных характеристик, например, когда можно увеличить область фрактального изображения, которая не проявляет каких-либо фрактальных свойств. Также они могут включать расчет или отображение артефакты которые не являются характеристиками истинных фракталов.

Смоделированные фракталы могут быть звуками,[20] цифровые изображения, электрохимические узоры, циркадные ритмы,[53] Фрактальные узоры реконструированы в физическом трехмерном пространстве.[28]:10 и виртуально часто называют "in silico "моделирование.[50] Модели фракталов обычно создаются с использованием программное обеспечение для генерации фракталов который реализует методы, подобные описанным выше.[4][16][28] Как одна иллюстрация, деревья, папоротники, клетки нервной системы,[25] сосудистая сеть крови и легких,[50] и другие разветвления закономерности в природе можно смоделировать на компьютере с помощью рекурсивных алгоритмы и L-системы техники.[25] Рекурсивный характер некоторых паттернов очевиден на определенных примерах - ветке дерева или вайя из папоротник это миниатюрная копия целого: не идентична, но похожа по своей природе. Точно так же случайные фракталы использовались для описания / создания многих очень необычных объектов реального мира. Ограничение моделирования фракталов состоит в том, что сходство фрактальной модели с природным явлением не доказывает, что моделируемое явление сформировано процессом, аналогичным алгоритмам моделирования.

Природные явления с фрактальными особенностями

Дальнейшая информация: Узоры в природе

Приблизительные фракталы, встречающиеся в природе, демонстрируют самоподобие в расширенных, но конечных диапазонах масштабов. Например, связь между фракталами и листьями в настоящее время используется для определения количества углерода, содержащегося в деревьях.[54] Явления, имеющие фрактальные свойства, включают:

  • Кристаллы инея, встречающиеся в природе на холодном стекле, образуют фрактальные узоры

  • Граница фрактального бассейна в геометрической оптической системе[60]

  • Фрактал образуется при разрыве двух покрытых клеем акрил листы

  • Пробой высокого напряжения в блоке акрилового стекла толщиной 4 дюйма (100 мм) создает фрактал Фигура Лихтенберга

  • Романеско брокколи, показывая самоподобный форма, приближающая естественный фрактал

  • Фрактальные схемы размораживания, полярный Марс. Паттерны образованы сублимацией замороженного CO2. Ширина изображения около километра.

  • Слизь плесень Brefeldia maxima растет фрактально на дереве

В творческих работах

Дальнейшая информация: Фрактальное искусство и Математика и искусство

С 1999 г. более 10 научных групп провели фрактальный анализ более 50 Джексон Поллок картины (1912–1956), созданные путем заливки краски непосредственно на его горизонтальные холсты.[74][75][76][77][78][79][80][81][82][83][84][85][86] В последнее время фрактальный анализ был использован для достижения 93% успеха в различении реальных Поллоков от имитаций.[87] Когнитивные нейробиологи показали, что фракталы Поллока вызывают такое же снижение стресса у наблюдателей, как фракталы, созданные компьютером, и фракталы Природы.[88]

Декалькомания, техника, используемая такими художниками, как Макс Эрнст, может создавать фрактальные узоры.[89] Он заключается в том, чтобы зажать краску между двумя поверхностями и раздвинуть их.

Кибернетик Рон Эглаш предположил, что фрактальная геометрия и математика преобладают в Африканское искусство, игры, гадание, торговля и архитектура. Круглые дома появляются в кругах кругов, прямоугольные дома - в прямоугольниках прямоугольников и т. Д. Такие узоры масштабирования также можно найти в африканском текстиле, скульптуре и даже прическах косичек.[31][90] Хокки Ситунгкир также предложил аналогичные свойства в индонезийском традиционном искусстве, батик, и украшения встречается в традиционных домах.[91][92]

Этноматематик Рон Эглаш обсудил планируемую планировку Город Бенин используя фракталы как основу не только в самом городе и деревнях, но даже в комнатах домов. Он прокомментировал, что «когда европейцы впервые приехали в Африку, они считали архитектуру очень неорганизованной и, следовательно, примитивной. Им никогда не приходило в голову, что африканцы могли использовать форму математики, которую они еще даже не открыли». [93]

В интервью 1996 г. Майкл Сильверблатт, Дэвид Фостер Уоллес признал, что структура первого проекта Бесконечная шутка он дал своему редактору Майкл Питч был вдохновлен фракталами, в частности Треугольник Серпинского (он же прокладка Серпинского), но этот отредактированный роман «больше похож на однобокую прокладку Серпинского».[30]

Некоторые работы голландского художника М. К. Эшер, Такие как Предел круга III, содержат формы, повторяющиеся до бесконечности, которые становятся все меньше и меньше по мере приближения к краям, в шаблоне, который всегда будет выглядеть одинаково при увеличении.

  • Фрактал, моделирующий поверхность горы (анимация)

  • 3D рекурсивное изображение

  • Рекурсивное фрактальное изображение бабочки

Физиологические реакции

Люди оказались особенно хорошо приспособленными к обработке фрактальных паттернов со значениями D от 1,3 до 1,5.[94] Когда люди видят фрактальные модели со значениями D от 1,3 до 1,5, это имеет тенденцию к снижению физиологического стресса.[95][96]

Приложения в технологии

Основная статья: Фрактальный анализ

Ионная тяга

Когда двумерные фракталы повторяются много раз, периметр фрактала увеличивается до бесконечности, но площадь никогда не может превышать определенное значение. Фрактал в трехмерном пространстве подобен; такой фрактал может иметь бесконечную площадь поверхности, но никогда не превышать определенный объем.[118] Это можно использовать для максимизации эффективности ионный двигатель при выборе конструкции и материала электронного эмиттера. Если все сделано правильно, эффективность процесса выбросов может быть максимальной.[119]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Оригинальная бумага, Леви, Поль (1938). "Les Courbes planes ou gauches et les surface composées de party semblables au tout". Journal de l'École Polytechnique: 227–247, 249–291., переведено на Эдгар, страницы 181–239.
  2. ^ Отображение кривой Гильберта не является гомеоморфизм, поэтому он не сохраняет топологическую размерность. Топологическая размерность и хаусдорфова размерность образа гильбертова отображения в р2 оба равны 2. Отметим, однако, что топологическая размерность график отображения Гильберта (множество в р3) равно 1.

Рекомендации

  1. ^ а б c d е ж грамм час я j k л м п о Мандельброт, Бенуа Б. (1983). Фрактальная геометрия природы. Макмиллан. ISBN  978-0-7167-1186-5.
  2. ^ а б c d е Фалконер, Кеннет (2003). Фрактальная геометрия: математические основы и приложения. Джон Вили и сыновья. xxv. ISBN  978-0-470-84862-3.
  3. ^ а б Бриггс, Джон (1992). Фракталы: модели хаоса. Лондон: Темза и Гудзон. п. 148. ISBN  978-0-500-27693-8.
  4. ^ а б c d е ж грамм час я j Вичек, Тамаш (1992). Явления фрактального роста. Сингапур / Нью-Джерси: World Scientific. С. 31, 139–146. ISBN  978-981-02-0668-0.
  5. ^ а б c Гуйе, Жан-Франсуа (1996). Физика и фрактальные структуры. Париж / Нью-Йорк: Массон Спрингер. ISBN  978-0-387-94153-0.
  6. ^ а б c Мандельброт, Бенуа Б. (2004). Фракталы и хаос. Берлин: Springer. п. 38. ISBN  978-0-387-20158-0. Фрактальное множество - это такое, для которого фрактальная размерность (Хаусдорфа-Безиковича) строго превышает топологическую размерность.
  7. ^ а б c d е Гордон, Найджел (2000). Знакомство с фрактальной геометрией. Даксфорд: Значок. п.71. ISBN  978-1-84046-123-7.
  8. ^ Сегал, С. Л. (июнь 1978 г.). «Продолжение примера Римана непрерывной« недифференцируемой »функции». Математический интеллект. 1 (2): 81–82. Дои:10.1007 / BF03023065. S2CID  120037858.
  9. ^ а б c d е ж грамм час Эдгар, Джеральд (2004). Классика о фракталах. Боулдер, Колорадо: Westview Press. ISBN  978-0-8133-4153-8.
  10. ^ а б c d е ж грамм час я Троше, Холли (2009). «История фрактальной геометрии». MacTutor История математики. Архивировано из оригинал 12 марта 2012 г.
  11. ^ а б c d Альберс, Дональд Дж .; Александерсон, Джеральд Л. (2008). «Бенуа Мандельброт: своими словами». Математические люди: анкеты и интервью. Уэлсли, Массачусетс: А.К. Петерс. п. 214. ISBN  978-1-56881-340-0.
  12. ^ Мандельброт, Бенуа. «24/7 Лекция по фракталам». Шнобелевские премии 2006 г.. Невероятное исследование.
  13. ^ Мандельброт, Б. Б .: Фрактальная геометрия природы. У. Х. Фриман и компания, Нью-Йорк (1982); п. 15.
  14. ^ Йенс Федер (2013). Фракталы. Springer Science & Business Media. п. 11. ISBN  978-1-4899-2124-6.
  15. ^ Джеральд Эдгар (2007). Мера, топология и фрактальная геометрия. Springer Science & Business Media. п. 7. ISBN  978-0-387-74749-1.
  16. ^ а б c Питерс, Эдгар (1996). Хаос и порядок на рынках капитала: новый взгляд на циклы, цены и волатильность рынка. Нью-Йорк: Вили. ISBN  978-0-471-13938-6.
  17. ^ Крапивский, П.Л .; Бен-Наим, Э. (1994). «Мультимасштабирование в стохастических фракталах». Письма о физике A. 196 (3–4): 168. Bibcode:1994ФЛА..196..168К. Дои:10.1016/0375-9601(94)91220-3.
  18. ^ Hassan, M. K .; Роджерс, Дж. Дж. (1995). «Модели фрагментации и стохастические фракталы». Письма о физике A. 208 (1–2): 95. Bibcode:1995ФЛА..208 ... 95Н. Дои:10.1016 / 0375-9601 (95) 00727-к.
  19. ^ Hassan, M. K .; Павел, Н. И .; Pandit, R.K .; Куртс, Дж. (2014). «Диадическое множество Кантора и его кинетический и стохастический аналог». Хаос, солитоны и фракталы. 60: 31–39. arXiv:1401.0249. Bibcode:2014CSF .... 60 ... 31H. Дои:10.1016 / j.chaos.2013.12.010. S2CID  14494072.
  20. ^ а б Братья, Харлан Дж. (2007). «Структурное масштабирование в Сюите № 3 Баха для виолончели». Фракталы. 15 (1): 89–95. Дои:10.1142 / S0218348X0700337X.
  21. ^ а б Тан, Джан Озан; Коэн, Майкл А .; Eckberg, Dwain L .; Тейлор, Дж. Эндрю (2009). «Фрактальные свойства вариабельности сердечного периода человека: физиологические и методологические последствия». Журнал физиологии. 587 (15): 3929–41. Дои:10.1113 / jphysiol.2009.169219. ЧВК  2746620. PMID  19528254.
  22. ^ а б c Булдырев, Сергей В .; Goldberger, Ary L .; Хавлин, Шломо; Пэн, Чунг-Кан; Стэнли, Х. Юджин (1995). «Фракталы в биологии и медицине: от ДНК к сердцебиению». В Бунде, Армин; Хавлин, Шломо (ред.). Фракталы в науке. Springer.
  23. ^ а б Лю, Цзин З .; Чжан, Лу Д .; Юэ, Гуан Х. (2003). «Фрактальное измерение в мозжечке человека, измеренное с помощью магнитно-резонансной томографии». Биофизический журнал. 85 (6): 4041–4046. Bibcode:2003BpJ .... 85.4041L. Дои:10.1016 / S0006-3495 (03) 74817-6. ЧВК  1303704. PMID  14645092.
  24. ^ а б Karperien, Audrey L .; Jelinek, Herbert F .; Бьюкен, Аластер М. (2008). "Подсчет ячеек анализа формы микроглии при шизофрении, болезни Альцгеймера и аффективном расстройстве". Фракталы. 16 (2): 103. Дои:10.1142 / S0218348X08003880.
  25. ^ а б c d е Jelinek, Herbert F .; Карпериен, Одри; Корнфорт, Дэвид; Сезар, Роберто; Леандро, Хорхе де Хесус Гомеш (2002). «MicroMod-L-системный подход к нейронному моделированию». В Sarker, Ruhul (ред.). Материалы семинара: Шестой совместный семинар Австралии и Японии по интеллектуальным и эволюционным системам, Университетский дом, АНУ. Университет Нового Южного Уэльса. ISBN  9780731705054. OCLC  224846454. Получено 3 февраля, 2012. Место проведения: Канберра, Австралия
  26. ^ а б Ху, Шугэн; Ченг, Цюмин; Ван, Ле; Се, Шуюнь (2012). «Мультифрактальная характеристика стоимости городской жилой земли в пространстве и времени». Прикладная география. 34: 161–170. Дои:10.1016 / j.apgeog.2011.10.016.
  27. ^ а б Карпериен, Одри; Jelinek, Herbert F .; Леандро, Хорхе де Хесус Гомеш; Соареш, Жоао В. Б .; Cesar Jr, Роберто М .; Лаки, Алан (2008). «Автоматизированное выявление пролиферативной ретинопатии в клинической практике». Клиническая офтальмология (Окленд, Новая Зеландия). 2 (1): 109–122. Дои:10.2147 / OPTH.S1579. ЧВК  2698675. PMID  19668394.
  28. ^ а б c d Losa, Gabriele A .; Нонненмахер, Тео Ф. (2005). Фракталы в биологии и медицине. Springer. ISBN  978-3-7643-7172-2.
  29. ^ а б c Ваннуччи, Паола; Леони, Лоренцо (2007). «Структурная характеристика декольте Коста-Рики: свидетельства сейсмически индуцированных пульсаций флюида». Письма по науке о Земле и планетах. 262 (3–4): 413. Bibcode:2007E и PSL.262..413V. Дои:10.1016 / j.epsl.2007.07.056.
  30. ^ а б Уоллес, Дэвид Фостер (4 августа 2006 г.). "Книжный червь на KCRW". Kcrw.com. Получено 17 октября, 2010.
  31. ^ а б Эглаш, Рон (1999). «Африканские фракталы: современные вычисления и традиционный дизайн». Нью-Брансуик: Издательство Университета Рутгерса. Архивировано из оригинал 3 января 2018 г.. Получено 17 октября, 2010.
  32. ^ а б Оствальд, Майкл Дж. И Воан, Жозефина (2016) Фрактальное измерение архитектуры. Бирхаузер, Базель. Дои:10.1007/978-3-319-32426-5.
  33. ^ Барангер, Майкл. «Хаос, сложность и энтропия: физическая беседа для нефизиков» (PDF).
  34. ^ а б c СМ. Песня, С. Хэвлин, Х.А. Максе (2005). «Самоподобие сложных сетей». Природа. 433 (7024): 392–5. arXiv:cond-mat / 0503078. Дои:10.1038 / природа03248. PMID  15674285. S2CID  1985935.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
  35. ^ СМ. Песня, С. Хэвлин, Х.А. Максе (2006). «Истоки фрактальности в росте сложных сетей». Природа Физика 2. 275.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
  36. ^ H.D. Розенфельд, С. Хэвлин, Д. Бен-Авраам (2007). «Фрактальные и трансфрактальные рекурсивные безмасштабные сети». Новый J. Phys. 175 (9).CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
  37. ^ Эглаш, Рон (1999). Африканские фракталы Современные вычисления и аборигенный дизайн. ISBN  978-0-8135-2613-3.
  38. ^ а б Пиковер, Клиффорд А. (2009). Книга по математике: от Пифагора до 57-го измерения, 250 вех в истории математики. Стерлинг. п. 310. ISBN  978-1-4027-5796-9.
  39. ^ «Фрактальная геометрия». www-history.mcs.st-and.ac.uk. Получено 11 апреля, 2017.
  40. ^ Мандельброт, Б. (1967). "Какова длина побережья Британии?". Наука. 156 (3775): 636–638. Bibcode:1967Научный ... 156..636М. Дои:10.1126 / science.156.3775.636. PMID  17837158. S2CID  15662830.
  41. ^ Бэтти, Майкл (4 апреля 1985 г.). «Фракталы - геометрия между измерениями». Новый ученый. 105 (1450): 31.
  42. ^ Расс, Джон С. (1994). Фрактальные поверхности. 1. Springer. п. 1. ISBN  978-0-306-44702-0. Получено 5 февраля, 2011.
  43. ^ kottke.org. 2009. Vol Libre, потрясающий компьютерный фильм 1980 года. [Онлайн] Доступно по адресу: http://kottke.org/09/07/vol-libre-an-amazing-cg-film-from-1980
  44. ^ Эдгар, Джеральд (2008). Мера, топология и фрактальная геометрия. Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 1. ISBN  978-0-387-74748-4.
  45. ^ Карпериен, Одри (2004). Определение морфологии микроглии: форма, функция и фрактальная размерность. Университет Чарльза Стерта. Дои:10.13140/2.1.2815.9048.
  46. ^ Спенсер, Джон; Томас, Майкл С. С .; Макклелланд, Джеймс Л. (2009). К единой теории развития: пересмотр коннекционизма и теории динамических систем. Оксфорд / Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-530059-8.
  47. ^ Фрейм, Ангус (3 августа 1998 г.). «Системы с повторяющимися функциями». В Pickover, Клиффорд А. (ред.). Хаос и фракталы: путешествие в компьютерную графику: подборка передовых исследований за десять лет. Эльзевир. С. 349–351. ISBN  978-0-444-50002-1. Получено 4 февраля, 2012.
  48. ^ «Ковер Хаферман». Вольфрам Альфа. Получено 18 октября, 2012.
  49. ^ а б c d Hahn, Horst K .; Георг, Манфред; Пайтген, Хайнц-Отто (2005). «Фрактальные аспекты трехмерной конструктивной оптимизации сосудов». In Losa, Gabriele A .; Нонненмахер, Тео Ф. (ред.). Фракталы в биологии и медицине. Springer. С. 55–66. ISBN  978-3-7643-7172-2.
  50. ^ Дж. У. Кэннон, У. Дж. Флойд, У. Р. Парри. Правила конечного деления. Конформная геометрия и динамика, т. 5 (2001), стр. 153–196.
  51. ^ Дж. У. Кэннон, У. Флойд и У. Парри. Рост кристаллов, биологический рост клеток и геометрия. Формирование паттернов в биологии, зрении и динамике, стр. 65–82. Мировой научный, 2000. ISBN  981-02-3792-8, ISBN  978-981-02-3792-9.
  52. ^ Фатхаллах-Шейх, Хасан М. (2011). «Фрактальное измерение циркадных часов дрозофилы». Фракталы. 19 (4): 423–430. Дои:10.1142 / S0218348X11005476.
  53. ^ «Охота на скрытое измерение». Новая звезда. PBS. WPMB-Мэриленд. 28 октября 2008 г.
  54. ^ Садех, Саназ (2017). «Плазменная мембрана разделена самоподобной кортикальной актиновой сеткой». Физический обзор X. 7 (1): 011031. arXiv:1702.03997. Bibcode:2017PhRvX ... 7a1031S. Дои:10.1103 / PhysRevX.7.011031. ЧВК  5500227. PMID  28690919.
  55. ^ Лавджой, Шон (1982). «Отношение площади к периметру для областей дождя и облаков». Наука. 216 (4542): 185–187. Bibcode:1982Наука ... 216..185Л. Дои:10.1126 / science.216.4542.185. PMID  17736252. S2CID  32255821.
  56. ^ Карбоне, Алессандра; Громов, Михаил; Прусинкевич, Пшемыслав (2000). Формирование паттернов в биологии, видении и динамике. World Scientific. п. 78. ISBN  978-981-02-3792-9.
  57. ^ К.-К. Пэн, С.В. Булдырев, А.Л. Гольдбергер, С. Хавлин, Ф. Шортино, М. Саймонс, Х. Стэнли (1992). «Дальние корреляции в нуклеотидных последовательностях». Природа. 356 (6365): 168–70. Дои:10.1038 / 356168a0. PMID  1301010. S2CID  4334674.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
  58. ^ Сорнетт, Дидье (2004). Критические явления в естествознании: хаос, фракталы, самоорганизация и беспорядок: концепции и инструменты. Springer. С. 128–140. ISBN  978-3-540-40754-6.
  59. ^ а б Sweet, D .; Ott, E .; Йорк, Дж. А. (1999), "Сложная топология в хаотическом рассеянии: лабораторное наблюдение", Природа, 399 (6734): 315, Bibcode:1999Натура.399..315S, Дои:10.1038/20573, S2CID  4361904
  60. ^ С. Хэвлин, Д. Бен-Авраам (1982). «Фрактальная размерность полимерных цепей». J. Phys. А. 15 (6): L311 – L316. Дои:10.1088/0305-4470/15/6/011.
  61. ^ Бунде, Армин; Хавлин, Шломо (1996). Фракталы и неупорядоченные системы.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
  62. ^ Аддисон, Пол С. (1997). Фракталы и хаос: иллюстрированный курс. CRC Press. С. 44–46. ISBN  978-0-7503-0400-9. Получено 5 февраля, 2011.
  63. ^ Пинкус, Дэвид (сентябрь 2009 г.). «Хаотическая жизнь: фрактальные мозги, фрактальные мысли». психологияtoday.com.
  64. ^ Энрайт, Мэтью Б.; Лейтнер, Дэвид М. (27 января 2005 г.). «Массовая фрактальная размерность и компактность белков». Физический обзор E. 71 (1): 011912. Bibcode:2005PhRvE..71a1912E. Дои:10.1103 / PhysRevE.71.011912. PMID  15697635.
  65. ^ Такаясу, Х. (1990). Фракталы в физических науках. Манчестер: Издательство Манчестерского университета. п.36. ISBN  9780719034343.
  66. ^ Цзюнь, Ли; Остоя-Старжевский, Мартин (1 апреля 2015 г.). «Края колец Сатурна фрактальны». SpringerPlus. 4,158: 158. Дои:10.1186 / s40064-015-0926-6. ЧВК  4392038. PMID  25883885.
  67. ^ Мейер, Ив; Рокес, Сильви (1993). Прогресс в вейвлет-анализе и приложениях: материалы Международной конференции "Вейвлеты и приложения", Тулуза, Франция - июнь 1992 г.. Atlantica Séguier Frontières. п. 25. ISBN  978-2-86332-130-0. Получено 5 февраля, 2011.
  68. ^ Ожован М.И., Дмитриев И.Е., Батюхнова О.Г. Фрактальная структура пор глинистого грунта. Атомная энергия, 74, 241–243 (1993).
  69. ^ Sreenivasan, K. R .; Менево, К. (1986). «Фрактальные грани турбулентности». Журнал гидромеханики. 173: 357–386. Bibcode:1986JFM ... 173..357S. Дои:10.1017 / S0022112086001209.
  70. ^ de Silva, C.M .; Филип, Дж .; Chauhan, K .; Meneveau, C .; Марусич, И. (2013). «Многомасштабная геометрия и масштабирование турбулентно-нетурбулентной границы раздела в пограничных слоях с высоким числом Рейнольдса». Phys. Rev. Lett. 111 (6039): 192–196. Bibcode:2011Научный ... 333..192А. Дои:10.1126 / science.1203223. PMID  21737736. S2CID  22560587.
  71. ^ Сингх, Чамкор; Мацца, Марко (2019), «Электрификация в зернистых газах приводит к ограниченному фрактальному росту», Научные отчеты, Издательская группа Nature, 9 (1): 9049, Дои:10.1038 / с41598-019-45447-х, ЧВК  6588598, PMID  31227758
  72. ^ Фалконер, Кеннет (2013). Фракталы, очень краткое введение. Издательство Оксфордского университета.
  73. ^ Taylor, R.P .; и другие. (1999). «Фрактальный анализ капельных картин Поллока». Природа. 399 (6735): 422. Bibcode:1999Натура.399..422Т. Дои:10.1038/20833. S2CID  204993516.
  74. ^ Mureika, J. R .; Dyer, C.C .; Купчик, Г.С. (2005). «Мультифрактальная структура в непрезентабельном искусстве». Физический обзор E. 72 (4): 046101–1–15. arXiv:физика / 0506063. Bibcode:2005ПхРвЭ..72д6101М. Дои:10.1103 / PhysRevE.72.046101. PMID  16383462. S2CID  36628207.
  75. ^ Redies, C .; Hasenstein, J .; Дензлер, Дж. (2007). «Статистика фрактальных изображений в визуальном искусстве: сходство с естественными сценами». Пространственное видение. 21 (1): 137–148. Дои:10.1163/156856807782753921. PMID  18073055.
  76. ^ Lee, S .; Olsen, S .; Гуч, Б. (2007). «Моделирование и анализ картин Джексона Поллока». Журнал математики и искусств. 1 (2): 73–83. CiteSeerX  10.1.1.141.7470. Дои:10.1080/17513470701451253. S2CID  8529592.
  77. ^ Alvarez-Ramirez, J .; Ибарра-Вальдес, Ц .; Rodriguez, E .; Дагдуг, Л. (2008). "1 / f-шумовая структура в капельных картинах Поллока". Physica A. 387 (1): 281–295. Bibcode:2008PhyA..387..281A. Дои:10.1016 / j.physa.2007.08.047.
  78. ^ Graham, D.J .; Филд, Д. Дж. (2008). «Вариации интенсивности для репрезентативного и абстрактного искусства, а также для искусства восточного и западного полушарий» (PDF). Восприятие. 37 (9): 1341–1352. CiteSeerX  10.1.1.193.4596. Дои:10.1068 / p5971. PMID  18986061. S2CID  2794724.
  79. ^ Alvarez-Ramirez, J .; Echeverria, J.C .; Родригес, Э. (2008). «Производительность многомерного метода R / S для оценки экспоненты Херста». Physica A. 387 (26): 6452–6462. Bibcode:2008PhyA..387.6452A. Дои:10.1016 / j.physa.2008.08.014.
  80. ^ Coddington, J .; Elton, J .; Rockmore, D .; Ван, Ю. (2008). «Мультифрактальный анализ и аутентификация картин Джексона Поллока». Труды SPIE. 6810 (68100F): 1–12. Bibcode:2008SPIE.6810E..0FC. Дои:10.1117/12.765015. S2CID  7650553.
  81. ^ Аль-Айюб, М .; Irfan, M. T .; Аист, Д. Г. (2009). «Повышение уровня многофункциональных классификаторов визуальных текстур для аутентификации капельных картин Джексона Поллока». Труды SPIE по компьютерному зрению и анализу изображений искусства II. Компьютерное зрение и анализ изображений искусства II. 7869 (78690H): 78690H. Bibcode:2011SPIE.7869E..0HA. Дои:10.1117/12.873142. S2CID  15684445.
  82. ^ Mureika, J. R .; Тейлор, Р. П. (2013). «Абстрактные экспрессионисты и автоматисты: мультифрактальная глубина?». Обработка сигналов. 93 (3): 573. Дои:10.1016 / j.sigpro.2012.05.002.
  83. ^ Taylor, R.P .; и другие. (2005). «Аутентификация картин Поллока с использованием фрактальной геометрии». Письма с распознаванием образов. 28 (6): 695–702. Дои:10.1016 / j.patrec.2006.08.012.
  84. ^ Jones-Smith, K .; и другие. (2006). "Фрактальный анализ: возвращаясь к картинам Поллока". Природа. 444 (7119): E9–10. Bibcode:2006 Натур.444E ... 9J. Дои:10.1038 / природа05398. PMID  17136047. S2CID  4413758.
  85. ^ Taylor, R.P .; и другие. (2006). «Фрактальный анализ: возвращаясь к картинам Поллока (Ответ)». Природа. 444 (7119): E10–11. Bibcode:2006Натура.444Э..10Т. Дои:10.1038 / природа05399. S2CID  31353634.
  86. ^ Шамар, Л. (2015). "Что делает минтая Полтая: подход машинного зрения" (PDF). Международный журнал искусств и технологий. 8: 1–10. CiteSeerX  10.1.1.647.365. Дои:10.1504 / IJART.2015.067389.
  87. ^ Taylor, R.P .; Spehar, B .; Van Donkelaar, P .; Хагерхолл, К. М. (2011). «Перцепционные и физиологические реакции на фракталы Джексона Поллока». Границы нейробиологии человека. 5: 1–13. Дои:10.3389 / fnhum.2011.00060. ЧВК  3124832. PMID  21734876.
  88. ^ Кадр, Майкл; и Mandelbrot, Benoît B .; Панорама фракталов и их использования
  89. ^ Нельсон, Брин; Сложная математика, лежащая в основе дизайна африканской деревни Фрактальные модели используют повторение в большом и малом масштабе, San Francisco Chronicle, среда, 23 февраля 2009 г.
  90. ^ Ситунгкир, Хокки; Дахлан, Ролан (2009). Физика батик: имплементаси креатиф мелалуй сифат фрактал пада батик секара компьютерный. Джакарта: Грамедия Пустака Утама. ISBN  978-979-22-4484-7
  91. ^ Рулистия, Новая Д. (6 октября 2015 г.). «Приложение отображает историю батика нации». The Jakarta Post. Получено 25 сентября, 2016.
  92. ^ Кутонин, Мавуна (18 марта 2016 г.). «История городов № 5: Бенин-Сити, могучая средневековая столица, ныне потерянная без следа». Проверено 2 апреля 2018 года.
  93. ^ Тейлор, Ричард П. (2016). «Фрактальная беглость: тесная связь между мозгом и обработкой фрактальных стимулов». В Ди Иева, Антонио (ред.). Фрактальная геометрия мозга. Серия Спрингера в вычислительной неврологии. Springer. С. 485–496. ISBN  978-1-4939-3995-4.
  94. ^ Тейлор, Ричард П. (2006). «Снижение физиологического стресса с помощью фрактального искусства и архитектуры». Леонардо. 39 (3): 245–251. Дои:10.1162 / leon.2006.39.3.245. S2CID  8495221.
  95. ^ Для дальнейшего обсуждения этого эффекта см. Тейлор, Ричард П .; Спехар, Бранка; Донкелаар, Пол Ван; Хагерхолл, Кэролайн М. (2011). «Перцепционные и физиологические реакции на фракталы Джексона Поллока». Границы нейробиологии человека. 5: 60. Дои:10.3389 / fnhum.2011.00060. ЧВК  3124832. PMID  21734876.
  96. ^ Hohlfeld, Robert G .; Коэн, Натан (1999). «Самоподобие и геометрические требования для частотной независимости в антеннах». Фракталы. 7 (1): 79–84. Дои:10.1142 / S0218348X99000098.
  97. ^ Райнер, Ричард; Вальтерайт, Патрик; Бенхелифа, Фуад; Мюллер, Стефан; Валчер, Герберт; Вагнер, Сандрин; Набережная, Рюдигер; Шлехтвег, Михаэль; Амбахер, Оливер; Амбахер, О. (2012). «Фрактальные структуры для низкоомных силовых транзисторов AlGaN / GaN большой площади». Труды ISPSD: 341–344. Дои:10.1109 / ISPSD.2012.6229091. ISBN  978-1-4577-1596-9. S2CID  43053855.
  98. ^ Чживэй Хуанг; Юнхо Хван; Викрант Ауте; Райнхард Радермахер (2016). «Обзор фрактальных теплообменников» (PDF) Международная конференция по охлаждению и кондиционированию воздуха. Документ 1725
  99. ^ Чен, Янгуан (2011). «Моделирование фрактальной структуры распределений по размерам городов с использованием корреляционных функций». PLOS ONE. 6 (9): e24791. arXiv:1104.4682. Bibcode:2011PLoSO ... 624791C. Дои:10.1371 / journal.pone.0024791. ЧВК  3176775. PMID  21949753.
  100. ^ "Приложения". Архивировано из оригинал 12 октября 2007 г.. Получено Двадцать первое октября, 2007.
  101. ^ «Определение« жизни такой, какой мы ее не знаем »с помощью фрактального анализа»
  102. ^ Смит, Роберт Ф .; Mohr, David N .; Торрес, Висенте Э .; Offord, Kenneth P .; Мелтон III, Л. Джозеф (1989). «Почечная недостаточность у внебольничных больных с легкой бессимптомной микрогематурией». Труды клиники Мэйо. 64 (4): 409–414. Дои:10.1016 / с0025-6196 (12) 65730-9. PMID  2716356.
  103. ^ Ландини, Габриэль (2011). «Фракталы в микроскопии». Журнал микроскопии. 241 (1): 1–8. Дои:10.1111 / j.1365-2818.2010.03454.x. PMID  21118245. S2CID  40311727.
  104. ^ Ченг, Цюмин (1997). «Мультифрактальное моделирование и анализ лакунарности». Математическая геология. 29 (7): 919–932. Дои:10.1023 / А: 1022355723781. S2CID  118918429.
  105. ^ Чен, Янгуан (2011). «Моделирование фрактальной структуры распределений по размерам городов с использованием корреляционных функций». PLOS ONE. 6 (9): e24791. arXiv:1104.4682. Bibcode:2011PLoSO ... 624791C. Дои:10.1371 / journal.pone.0024791. ЧВК  3176775. PMID  21949753.
  106. ^ Буркле-Элизондо, Херардо; Вальдес-Сепеда, Рикардо Давид (2006). «Фрактальный анализ мезоамериканских пирамид». Нелинейная динамика, психология и науки о жизни. 10 (1): 105–122. PMID  16393505.
  107. ^ Браун, Клиффорд Т .; Witschey, Walter R.T .; Либович, Ларри С. (2005). «Разбитое прошлое: фракталы в археологии». Журнал археологического метода и теории. 12: 37–78. Дои:10.1007 / s10816-005-2396-6. S2CID  7481018.
  108. ^ Саиди, Пантеха; Соренсен, Сорен А. (2009). «Алгоритмический подход к созданию тестовых полей после стихийных бедствий для поисковых и спасательных агентов» (PDF). Труды Всемирного инженерного конгресса 2009 г.: 93–98. ISBN  978-988-17-0125-1.
  109. ^ Bunde, A .; Хавлин, С. (2009). «Фрактальная геометрия, краткое введение». Энциклопедия сложности и системологии. п. 3700. Дои:10.1007/978-0-387-30440-3_218. ISBN  978-0-387-75888-6.
  110. ^ "Внутреннее устройство GPU" (PDF).
  111. ^ "патенты Sony".
  112. ^ "описание swizzled и гибридных плиточных swizzled текстур".
  113. ^ «US8773422B1 - Система, метод и компьютерный программный продукт для группировки линейно упорядоченных примитивов». Патенты Google. 4 декабря 2007 г.. Получено 28 декабря, 2019.
  114. ^ «US20110227921A1 - Обработка данных трехмерной компьютерной графики на нескольких механизмах шейдинга». Патенты Google. 15 декабря 2010 г.. Получено 27 декабря, 2019.
  115. ^ "Базы данных о турбулентности Джона Хопкинса".
  116. ^ Li, Y .; Perlman, E .; Wang, M .; Ян, ю .; Meneveau, C .; Burns, R .; Chen, S .; Szalay, A .; Эйинк, Г. (2008). «Кластер общедоступной базы данных о турбулентности и приложения для изучения лагранжевой эволюции увеличения скорости турбулентности». Журнал турбулентности. 9: N31. arXiv:0804.1703. Bibcode:2008JTurb ... 9 ... 31L. Дои:10.1080/14685240802376389. S2CID  15768582.
  117. ^ «Введение в фрактальную геометрию». www.fractal.org. Получено 11 апреля, 2017.
  118. ^ ДеФеличе, Дэвид (18 августа 2015 г.). "НАСА - Ионная тяга". НАСА. Получено 11 апреля, 2017.

[1]

дальнейшее чтение

  • Барнсли, Майкл Ф .; и Восход, Хоули; Фракталы везде. Бостон: Academic Press Professional, 1993. ISBN  0-12-079061-0
  • Duarte, German A .; Фрактальный рассказ. О взаимосвязи между геометрией и технологией и ее влиянии на нарративные пространства. Билефельд: стенограмма, 2014. ISBN  978-3-8376-2829-6
  • Сокольничий, Кеннет; Приемы фрактальной геометрии. Джон Вили и сыновья, 1997 год. ISBN  0-471-92287-0
  • Юргенс, Хартмут; Пайтген, Хайнц-Отто; и Саупе, Дитмар; Хаос и фракталы: новые рубежи науки. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1992. ISBN  0-387-97903-4
  • Мандельброт, Бенуа Б.; Фрактальная геометрия природы. Нью-Йорк: У. Х. Фриман и Ко, 1982. ISBN  0-7167-1186-9
  • Пайтген, Хайнц-Отто; и Саупе, Дитмар; ред .; Наука о фрактальных изображениях. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1988. ISBN  0-387-96608-0
  • Пиковер, Клиффорд А.; изд .; Хаос и фракталы: путешествие в компьютерную графику - 10-летний сборник передовых исследований. Эльзевир, 1998. ISBN  0-444-50002-2
  • Джонс, Джесси; Фракталы для Macintosh, Waite Group Press, Corte Madera, CA, 1993. ISBN  1-878739-46-8.
  • Лауверье, Ганс; Фракталы: бесконечно повторяющиеся геометрические фигуры, Перевод Софии Гилл-Хоффштадт, Princeton University Press, Princeton NJ, 1991. ISBN  0-691-08551-X, ткань. ISBN  0-691-02445-6 мягкая обложка. «Эта книга написана для широкой аудитории ...» Включает в себя примеры программ BASIC в приложении.
  • Спротт, Жюльен Клинтон (2003). Хаос и анализ временных рядов. Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-850839-7.
  • Валь, Бернт; Ван Рой, Питер; Ларсен, Майкл; и Кампман, Эрик; Изучение фракталов на Macintosh, Эддисон Уэсли, 1995. ISBN  0-201-62630-6
  • Лесмуар-Гордон, Найджел; Цвета бесконечности: красота, сила и смысл фракталов. 2004. ISBN  1-904555-05-5 (К книге прилагается DVD Артур Кларк документальное введение в концепцию фракталов и Набор Мандельброта.)
  • Лю, Хуацзе; Фрактальное искусство, Чанша: Hunan Science and Technology Press, 1997, ISBN  9787535722348.
  • Гуйе, Жан-Франсуа; Физика и фрактальные структуры (Предисловие Б. Мандельброта); Массон, 1996. ISBN  2-225-85130-1и Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1996. ISBN  978-0-387-94153-0. Из печати. Доступна в формате PDF по адресу.«Физика и фрактальные структуры» (На французском). Jfgouyet.fr. Получено 17 октября, 2010.
  • Бунде, Армин; Хавлин, Шломо (1996). Фракталы и неупорядоченные системы. Springer.
  • Бунде, Армин; Хавлин, Шломо (1995). Фракталы в науке. Springer.
  • бен-Авраам, Даниил; Хавлин, Шломо (2000). Диффузия и реакции во фракталах и неупорядоченных системах. Издательство Кембриджского университета.
  • Фалконер, Кеннет (2013). Фракталы, очень краткое введение. Издательство Оксфордского университета.

внешняя ссылка

  1. ^ Санто Банерджи, М. К. Хассан, Саян Мукерджи и А. Говрисанкар, Фрактальные паттерны в нелинейной динамике и приложениях. (CRC Press, Taylor & Francis Group, 2019)