Liber Abaci - Liber Abaci

Страница из Liber Abaci от Biblioteca Nazionale di Firenze. В списке справа показаны числа 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 ( Последовательность Фибоначчи ). 2, 8 и 9 напоминают арабские цифры больше, чем Восточные арабские цифры или Индийские цифры

Liber Abaci (также пишется как Liber Abbaci;^[1] «Книга расчетов») - это исторический латинский манускрипт 1202 г. арифметика Леонардо Пизанский, посмертно известный как Фибоначчи.

Liber Abaci была одной из первых западных книг, описывающих Индусско-арабская система счисления и использовать символы, напоминающие современные "арабские цифры ". Обращаясь к приложениям как коммерческих торговцев, так и математиков, он продвигал превосходство системы и использование этих символов.^[2]

Хотя название книги также было переведено как «Книга абака», Сиглер (2002) пишет, что это ошибка: цель книги - описать методы выполнения расчетов без помощи счеты, и в качестве Руда (1948) подтверждает, что спустя столетия после его публикации алгоритмисты (приверженцы стиля расчета, продемонстрированного в Liber Abaci) оставался в конфликте с абакистами (традиционалистами, которые продолжали использовать абак в сочетании с римскими цифрами). Историк математики Карл Бойер заявил в своем История математики: «Книга, в которой Фибоначчи описал новый алгоритм, является знаменитой классикой, завершенной в 1202 году, но носит вводящее в заблуждение название - Liber abaci (или книга счётов). нет на счетах; это очень подробный трактат по алгебраическим методам и проблемам, в котором настоятельно рекомендуется использование индо-арабских цифр ».^[3]

Резюме разделов

Первый раздел знакомит с индусско-арабской системой счисления, включая методы преобразования между различными системами представления. В этот раздел также включено первое известное описание судебное отделение для проверки того, является ли число составной и если так, факторинг Это.^[4]

Во втором разделе представлены примеры из торговли, например, конверсия валюта и измерения, и расчеты прибыль и интерес.

В третьем разделе обсуждается ряд математических проблем; например, он включает (гл. II.12) Китайская теорема об остатках, идеальные числа и Простые числа Мерсенна а также формулы для арифметический ряд и для квадратные пирамидальные числа. Другим примером в этой главе, описывающим рост популяции кроликов, было происхождение Последовательность Фибоначчи автор которых наиболее известен сегодня.

В четвертом разделе приводятся приближения, как численные, так и геометрические, иррациональные числа например, квадратные корни.

В книгу также включены доказательства в Евклидова геометрия. Метод решения алгебраических уравнений Фибоначчи показывает влияние египетского математика начала 10 века. Абу Камил Шуджах ибн Аслам.^[5]

Обозначение Фибоначчи для дробей

В чтении Liber Abaci, полезно понять обозначение Фибоначчи для рациональных чисел, обозначение, которое по форме занимает промежуточное положение между Египетские фракции обычно использовались до того времени и пошлые фракции все еще используется сегодня.^[6] Между нотацией Фибоначчи и современной нотацией дробей есть три ключевых различия.

1. Обычно мы пишем дробь справа от целого числа, к которому она добавляется, например ${\displaystyle \scriptstyle 2\,{\frac {1}{3}}}$ на 7/3. Вместо этого Фибоначчи записал бы ту же дробь слева, т.е. ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{3}}\,2}$.
2. Фибоначчи использовал составная фракция запись, в которой последовательность числителей и знаменателей разделяет одну и ту же дробную черту; каждый такой член представляет собой дополнительную дробь данного числителя, деленную на произведение всех знаменателей ниже и справа от него. Это, ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {b\,\,a}{d\,\,c}}={\frac {a}{c}}+{\frac {b}{cd}}}$, и ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {c\,\,b\,\,a}{f\,\,e\,\,d}}={\frac {a}{d}}+{\frac {b}{de}}+{\frac {c}{def}}}$. Обозначения читались справа налево. Например, 29/30 можно записать как ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1\,\,2\,\,4}{2\,\,3\,\,5}}}$, представляющий значение ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {4}{5}}+{\frac {2}{3\times 5}}+{\frac {1}{2\times 3\times 5}}}$. Это можно рассматривать как форму смешанный корень обозначение, и было очень удобно иметь дело с традиционными системами весов, мер и валюты. Например, для единиц длины ступня составляет 1/3 двор, и дюйм составляет 1/12 фута, поэтому количество 5 ярдов, 2 фута и ${\displaystyle \scriptstyle 7{\frac {3}{4}}}$ дюймы можно представить в виде составной дроби: ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {3\ \,7\,\,2}{4\,\,12\,\,3}}\,5}$ ярдов. Однако типичные обозначения традиционных мер, хотя и основаны на смешанных основаниях системы счисления, не записывают знаменатели явно; явные знаменатели в обозначениях Фибоначчи позволяют ему использовать разные системы счисления для разных задач, когда это удобно. Сиглер также указывает на случай, когда Фибоначчи использует составные дроби, в которых все знаменатели равны 10, предвосхищая современное десятичное представление дробей.
3. Фибоначчи иногда записывал несколько дробей рядом друг с другом, представляя собой сумму данных дробей. Например, 1/3 + 1/4 = 7/12, поэтому такие обозначения, как ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{4}}\,{\frac {1}{3}}\,2}$ будет представлять собой число, которое теперь чаще будет записываться как смешанное число ${\displaystyle \scriptstyle 2\,{\frac {7}{12}}}$, или просто неправильная дробь ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {31}{12}}}$. Обозначение этой формы можно отличить от последовательностей числителей и знаменателей, разделяющих черту дроби, по видимому разрыву на полосе. Если все числители равны 1 в дроби, записанной в этой форме, и все знаменатели отличаются друг от друга, результатом будет представление числа в египетской дроби. Это обозначение также иногда сочеталось с обозначением составной дроби: две составные дроби, написанные рядом друг с другом, представляли собой сумму дробей.

Сложность этой записи позволяет записывать числа разными способами, и Фибоначчи описал несколько методов преобразования одного стиля представления в другой. В частности, глава II.7 содержит список методов преобразования неправильной дроби в египетскую дробь, включая жадный алгоритм для египетских дробей, также известное как расширение Фибоначчи – Сильвестра.

Modus Indorum

в Liber Abaci, Фибоначчи говорит следующее, вводя Modus Indorum (метод индейцев), сегодня известный как Индусско-арабская система счисления или позиционное обозначение с основанием 10. Также были введены цифры, которые очень напоминали современные арабские цифры.

Поскольку мой отец был государственным служащим вдали от нашей родины в Bugia таможня, созданная для пизанских купцов, которые часто собирались там, он привел меня к себе в молодости, надеясь найти для меня полезное и комфортное будущее; там он хотел, чтобы я изучал математику и преподавал в течение нескольких дней. Благодаря чудесному обучению искусству девяти индийских фигур знакомство с этим искусством и знание этого искусства понравились мне больше всего, и я учился у них, кто бы ни был в этом разбирался, из соседнего Египта, Сирии, Греции, Сицилии. и Прованс, и их различные методы, в которые я впоследствии много ездил, чтобы тщательно изучить, и я узнал из собравшихся диспутов. Но этот в целом алгоритм и даже дуги Пифагора я все равно считал почти ошибкой по сравнению с индийским методом. Поэтому, строго придерживаясь индийского метода и внимательно изучая его, исходя из собственного чутья, добавляя кое-что, а еще кое-что из тонкого евклидова геометрического искусства, применяя сумму, которую я смог воспринять в этой книге, я работал над тем, чтобы это вместе в xv отдельных главах, демонстрирующих определенные доказательства почти для всего, что я вложил, так что в дальнейшем этот метод совершенствовался над остальными, эта наука была наставлена ​​для нетерпеливых, и для итальянского народа, прежде всего других, которые до сих пор встречаются без минимума. Если я случайно упустил что-то менее или более подходящее или необходимое, я умоляю вас о снисхождении ко мне, так как нет никого без вины, и во всем он был бы очень осторожен.

Девять индийских фигур:

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Этими девятью цифрами и знаком 0, который арабы называют зефиром, написано любое число ... (Сиглер 2002; увидеть Гримм 1973 для другого перевода)

Другими словами, в своей книге он выступал за использование цифр 0–9 и размещаемая стоимость. До этого времени в Европе использовались римские цифры, что делало современную математику практически невозможной. Таким образом, книга внесла важный вклад в распространение десятичных чисел. Однако распространение индуистско-арабской системы, как пишет Оре, было "длительным", еще много веков широко распространилась и не стала полной до конца XVI века, резко ускорившись только в 1500-х годах с появлением книгопечатания.

Текстовая история

Впервые рукопись появилась в 1202 году. Копии этой версии не известны. Пересмотренная версия Liber Abaci, посвященный Майкл Скот, появился в 1227 году нашей эры.^[7][8] Сохранилось по крайней мере девятнадцать рукописей, содержащих части этого текста.^[9] Существует три полных версии этой рукописи XIII и XIV веков.^[10] Есть еще девять неполных копий, известных между тринадцатым и пятнадцатым веками, и, возможно, другие еще не идентифицированы.^{[10] [9]}

Не было известной печатной версии Liber Abaci до итальянского перевода Бонкомпаньи 1857 года. ^[9] Первым полным английским переводом был текст Сиглера 2002 года.^[9]

Примечания

1. "Liber Abaci Фибоначчи (Книга расчетов)". Университет Юты. 13 декабря 2009 г.. Получено 27 ноября 2018.
2. Кейт Девлин (2012). Человек чисел: арифметическая революция Фибоначчи. Книги Уокера. ISBN  978-0802779083.
3. Бойер, Карл (1968). История математики. Нью-Йорк, Лондон, Сидней: John Wiley & Sons. п. 280.
4. Моллин, Ричард А. (2002). «Краткая история факторинга и тестирования на простоту Б.С. (до компьютеров)». Математический журнал. 75 (1): 18–29. Дои:10.2307/3219180. Г-Н  2107288. См. Также Sigler, pp. 65–66.
5. О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. "Абу Камил Шуджа ибн Аслам ", Архив истории математики MacTutor.
6. Мойон, Марк; Списсер, Мэривонн (3 июня 2015 г.). "L'arithmétique des fractions dans l'œuvre de Fibonacci: fondements & usages". Архив истории точных наук. 69 (4): 391–427. Дои:10.1007 / s00407-015-0155-y.
7. Scott, T. C .; Маркетос, П., "Майкл Скот", в О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (ред.), Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
8. Scott, T. C .; Маркетос, П. (март 2014 г.), О происхождении последовательности Фибоначчи (PDF), Архив истории математики MacTutor, Университет Сент-Эндрюс
9. Германо, Джузеппе (2013). «Новые редакционные взгляды на Liber Abaci Фибоначчи». Reti Medievali Rivista. Дои:10.6092/1593-2214/400.
10. Словарь научной биографии (PDF).

использованная литература

• Гримм, Р. Э. (1973), "Автобиография Леонардо Пизано" (PDF), Ежеквартальный отчет Фибоначчи, 11 (1): 99–104.
• Сиглер, Лоуренс Э. (пер.) (2002), Liber Abaci Фибоначчи, Springer-Verlag, ISBN  0-387-95419-8.
• Руда, Эйстейн (1948), Теория чисел и ее история, Макгроу Хилл. Доступна также версия Dover, 1988 г., ISBN  978-0-486-65620-5.