Квадратное пирамидальное число - Square pyramidal number

Геометрическое представление квадратного пирамидального числа 1 + 4 + 9 + 16 = 30.

Пирамида пушечные ядра в Исторический музей Страсбурга. Количество шаров в пирамиде можно рассчитать как пирамидальное число в пятом квадрате, 55.

В математика, а число пирамиды, или же квадратно-пирамидальное число, это фигуральное число который представляет количество сфер в стопке в пирамида с квадратным основанием. Квадратные пирамидальные числа также решают проблему подсчета количества квадратов в п × п сетка.

Формула

Первые несколько квадратных пирамидальных чисел:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, ... (последовательность A000330 в OEIS ).

Эти числа можно выразить формулой как

${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}.}$

Это частный случай Формула Фаульхабера, и может быть доказано математическая индукция.^[1] Эквивалентная формула приведена в Фибоначчи с Liber Abaci (1202, гл. II.12).

В современной математике фигуральные числа формализованы Многочлены Эрхарта. Полином Эрхарта L(п,т) многогранника п это многочлен который подсчитывает количество целых точек в копии п который расширяется путем умножения всех его координат на число т. Многочлен Эрхарта пирамиды, основание которой представляет собой единичный квадрат с целыми координатами, а вершина - целая точка на высоте, равной единице над базовой плоскостью, равен (т + 1)(т + 2)(2т + 3)/6 = п_{т + 1}.^[2]

Отношение к другим фигуральным числам

Квадратные пирамидальные числа также могут быть выражены как суммы биномиальные коэффициенты:

${\displaystyle P_{n}={\binom {n+2}{3}}+{\binom {n+1}{3}}.}$

Биномиальные коэффициенты, встречающиеся в этом представлении, равны тетраэдрические числа, и эта формула выражает квадратное пирамидальное число как сумму двух тетраэдрических чисел так же, как квадратные числа представляют собой суммы двух последовательных треугольные числа.

Действительно, разделение каждого слоя (см. Рисунок в правом верхнем углу страницы) на две треугольные части дает результат через хоккейная клюшка.

Меньшее тетраэдрическое число представляет 1 + 3 + 6 + ⋯ + Т_{п + 1} и больший 1 + 3 + 6 + ⋯ + Т_{п + 2}. Смещая большее и добавляя, получаем 1, (1 + 3), (3 + 6), (6 + 10_…, квадратные числа.

В этой сумме одно из двух тетраэдрических чисел подсчитывает количество шаров в сложенной пирамиде, которые находятся непосредственно над или по одну сторону от диагонали основного квадрата, а другое тетраэдрическое число в сумме подсчитывает количество шаров, которые находятся по другую сторону диагонали. Квадратные пирамидальные числа также иначе связаны с тетраэдрическими числами:

${\displaystyle P_{n}={\frac {1}{4}}{\binom {2n+2}{3}}.}$

Сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел равна октаэдрическое число.

Увеличение пирамиды, у основания края которой есть п шары, добавив к одной из его треугольных граней тетраэдр чей базовый край имеет п − 1 шары производит треугольная призма. Точно так же пирамида может быть выражена как результат вычитания тетраэдра из призмы. Это геометрическое рассечение приводит к другому соотношению:

${\displaystyle P_{n}=n{\binom {n+1}{2}}-{\binom {n+1}{3}}.}$

В проблема с пушечным ядром спрашивает, какие числа одновременно квадратные и квадратно-пирамидальные. Кроме 1, есть только одно другое число, обладающее этим свойством: 4900, которое одновременно является 70-м квадратным числом и 24-м квадратным пирамидальным числом. Этот факт был доказан Г. Н. Уотсон в 1918 г.^[3]

Другое отношение связано с треугольником Паскаля: в то время как классический треугольник Паскаля со сторонами (1,1) имеет диагонали с натуральными числами, треугольными числами и тетраэдрическими числами, генерируя числа Фибоначчи как суммы выборок по диагоналям, сестра Паскаль со сторонами ( 2,1) имеет эквивалентные диагонали с нечетными числами, квадратными числами и квадратными пирамидальными числами, соответственно, и генерирует (с помощью той же процедуры) числа Люка, а не числа Фибоначчи.^{[нужна цитата ]}

Таким же образом, как квадратные пирамидальные числа можно определить как сумму последовательных квадратов, квадратные треугольные числа можно определить как сумму последовательных кубиков.

Также,

${\displaystyle P_{n}={\binom {n+3}{4}}-{\binom {n+1}{4}}}$

что разница двух числа пентатопа.

Это можно увидеть, развернув:

${\displaystyle n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-2)(n-1)n(n+1)=n(n+1)\left(n^{2}+5n+6-n^{2}+3n-2\right)=n(n+1)(8n+4)}$

и разделив на 24.

Также,

${\displaystyle P_{n}={\frac {2n+1}{3}}{\binom {n+1}{2}}}$

Квадраты в квадрате

Квадратная сетка 5 на 5 с выделенными тремя из 55 квадратов.

Обычный математическая головоломка предполагает нахождение количества квадратов в большом п к п квадратная сетка. Это число можно получить следующим образом:

• Количество 1 × 1 ящики, найденные в сетке, п².
• Количество 2 × 2 ящики, найденные в сетке, (п − 1)². Их можно подсчитать, посчитав все возможные верхние левые углы 2 × 2 коробки.
• Количество k × k коробки (1 ≤ k ≤ п) найдено в сетке (п − k + 1)². Их можно подсчитать, посчитав все возможные верхние левые углы k × k коробки.

Отсюда следует, что количество квадратов в п × п квадратная сетка:

${\displaystyle n^{2}+(n-1)^{2}+(n-2)^{2}+(n-3)^{2}+\ldots +1^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.}$

То есть решение головоломки дается квадратными пирамидальными числами.

Количество прямоугольников в квадратной сетке задается квадратные треугольные числа.

Вывод формулы суммирования

Воспроизвести медиа

Иллюстрация формулы суммы квадратов
1² + ⋯ + п² = п(п + 1)(2п + 1)/6
Шесть экземпляров квадратной пирамиды могут уместиться в кубоид размером п(п + 1)(2п + 1).

Разница двух последовательных квадратных чисел всегда является нечетным числом. Точнее из-за тож k² − (k − 1)² = 2k − 1, разница между kй и (k − 1)й квадратный номер 2k − 1. Это дает следующую схему:

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccccccccc}0&&1&&4&&9&&16&&25&\ldots &(n-1)^{2}&&n^{2}\\&1&&3&&5&&7&&9&&\ldots &&2n-1&\end{array}}}$

Следовательно, любое квадратное число можно записать как сумму нечетных чисел, то есть:

${\displaystyle n^{2}=\sum _{i=1}^{n}(2i-1).}$

Это представление квадратных чисел можно использовать для выражения суммы первых п квадратные числа на нечетные числа, расположенные в треугольнике, причем сумма всех чисел в треугольнике равна сумме первых п квадратные числа:

${\displaystyle {\begin{array}{rcccccccc}\scriptstyle 1^{2}\scriptstyle =&1&&&&&&&\\\scriptstyle 2^{2}\scriptstyle =&1&3&&&&&&\\\scriptstyle 3^{2}\scriptstyle =&1&3&5&&&&&\\\scriptstyle 4^{2}\scriptstyle =&1&3&5&7&&&&\\\scriptstyle 5^{2}\scriptstyle =&1&3&5&7&9&&&\\\vdots &\vdots &&&&&\ddots &&\\\scriptstyle (n-1)^{2}\scriptstyle =&1&\cdots &&&&\cdots &\scriptstyle 2n-3&\\\scriptstyle n^{2}\scriptstyle =&1&\cdots &&&&\cdots &\scriptstyle 2n-3&\scriptstyle 2n-1\end{array}}}$

Одни и те же нечетные числа теперь расположены двумя разными способами в конгруэнтных треугольниках.

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}\scriptstyle 2n-1&&&&&&\\\scriptstyle 2n-3&\scriptstyle 2n-3&&&&&\\\vdots &&\ddots &&&&\\9&\cdots &\cdots &9&&&&\\7&\cdots &\cdots &7&7&&&\\5&\cdots &\cdots &5&5&5\\3&\cdots &\cdots &3&3&3&3\\1&\cdots &\cdots &1&1&1&1&1\\\hline \scriptstyle =n^{2}&\scriptstyle =(n-1)^{2}&\cdots &\scriptstyle =5^{2}&\scriptstyle =4^{2}&\scriptstyle =3^{2}&\scriptstyle =2^{2}&\scriptstyle =1^{2}\end{array}}}$    ${\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}1&&&&&&&\\3&1&&&&&&\\5&3&1&&&&&\\7&5&3&1&&&&\\9&7&5&3&1&&&\\\vdots &&&&&\ddots &&\\\scriptstyle 2n-3&\cdots &&&&\cdots &1&\\\scriptstyle 2n-1&\scriptstyle 2n-3&&&&\cdots &&1\\\hline \scriptstyle =n^{2}&\scriptstyle =(n-1)^{2}&\cdots &\scriptstyle =5^{2}&\scriptstyle =4^{2}&\scriptstyle =3^{2}&\scriptstyle =2^{2}&\scriptstyle =1^{2}\end{array}}}$

Если сложить три треугольника друг над другом, получатся столбцы, состоящие из трех чисел, у которых есть свойство, что их сумма всегда равна 2п + 1. В каждой вершине сумма столбца равна 2п − 1 + 1 + 1 = 2п + 1. Теперь, если вы переходите из одного столбца в другой, тогда в одном треугольнике число увеличится на два, но во втором треугольнике оно уменьшится на два и останется прежним в третьем треугольнике, следовательно, сумма столбца останется постоянной. Есть 1 + 2 + ⋯ + п = п(п + 1)/2 таких столбцов, поэтому сумма чисел во всех трех треугольниках равна п(п + 1)(2п + 1)/2. Это в 3 раза больше суммы первого п квадратные числа, поэтому он дает:

${\displaystyle P_{n}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$

Примечания

1. Хопкрофт, Мотвани и Ульман (2007), п. 20
2. Бек, М .; Де Лоэра, Дж. А.; Девелин, М .; Pfeifle, J .; Стэнли, Р. П. (2005), «Коэффициенты и корни многочленов Эрхарта», Целочисленные точки в многогранниках - геометрия, теория чисел, алгебра, оптимизация., Contemp. Математика, 374, Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc., Стр. 15–36, МИСТЕР  2134759.
3. Энглин, В. С. (1990). "Головоломка квадратной пирамиды". Американский математический ежемесячный журнал. 97 (2): 120–124. Дои:10.2307/2323911. JSTOR  2323911.

Рекомендации

• Абрамовиц, М.; Стегун, И.А., ред. (1964). Справочник по математическим функциям. Прикладная математика. Серии. 55. Национальное бюро стандартов. стр.813. ISBN  0-486-61272-4.
• Бейлер, А. Х. (1964). Развлечение в теории чисел. Дувр. стр.194. ISBN  0-486-21096-0.
• Гольдони, Г. (2002). "Наглядное доказательство суммы первых п квадратов и на сумму первых п факториалы второго порядка ". Математический интеллект. 24 (4): 67–69. Дои:10.1007 / bf03025326.
• Сиглер, Лоуренс Э. (пер.) (2002). Liber Abaci Фибоначчи. Springer-Verlag. С. 260–261. ISBN  0-387-95419-8.
• Хопкрофт, Джон Э.; Мотвани, Раджив; Ульман, Джеффри Д. (2007). Введение в теорию автоматов, языки и вычисления (3-е изд.). Пирсон / Аддисон Уэсли. ISBN  9780321455369.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Квадратное пирамидальное число». MathWorld.