Двоичное число - Binary number

В математике и цифровая электроника, а двоичное число это номер выраженный в система счисления с основанием 2 или же двоичная система счисления, в котором используются только два символа: обычно "0" (нуль ) и «1» (один ).

Система счисления с основанием 2 - это позиционная запись с основание из 2. Каждая цифра называется кусочек. Из-за его простой реализации в цифровая электронная схема с помощью логические ворота, двоичная система используется практически всеми современными компьютеры и компьютерные устройства, как предпочтительная система использования по сравнению с различными другими человеческими методами общения из-за простоты языка.

История

Современная двоичная система счисления изучалась в Европе в 16-17 веках. Томас Харриот, Хуан Карамуэль и Лобковиц, и Готфрид Лейбниц. Однако системы, связанные с двоичными числами, появились раньше во многих культурах, включая Древний Египет, Китай и Индию. Лейбниц был особенно вдохновлен китайцами И Цзин.

Египет

Смотрите также: Древнеегипетская математика

Считается, что арифметические значения были представлены частями Глаза Гора.

Книжники Древнего Египта использовали две разные системы для своих фракций: Египетские фракции (не относящиеся к двоичной системе счисления) и Глаз Гора дроби (так называемые, потому что многие историки математики считают, что символы, используемые для этой системы, могут быть расположены так, чтобы образовать глаз Horus, хотя это оспаривается).^[1] Фракции Гора-Глаза представляют собой двоичную систему счисления дробных количеств зерна, жидкостей или других единиц измерения, в которой доля гекат выражается как сумма двоичных дробей 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 и 1/64. Ранние формы этой системы можно найти в документах из Пятая династия Египта, приблизительно 2400 г. до н.э., а его полностью развитая иероглифическая форма относится к Девятнадцатая династия Египта, примерно 1200 г. до н.э.^[2]

Метод, используемый для древнеегипетское умножение также тесно связан с двоичными числами. В этом методе умножение одного числа на второе выполняется последовательностью шагов, в которых значение (первоначально первое из двух чисел) либо удваивается, либо к нему добавляется первое число; порядок, в котором должны выполняться эти шаги, задается двоичным представлением второго числа. Этот метод можно увидеть в использовании, например, в Математический папирус Райнда, который датируется примерно 1650 годом до нашей эры.^[3]

Китай

Даосский багуа

В И Цзин датируется 9 веком до нашей эры в Китае.^[4] Двоичная запись в И Цзин используется для интерпретации четвертичный гадание техника.^[5]

Он основан на даосской двойственности Инь и Янь.^[6]Восемь триграмм (Багуа) и набор 64 гексаграммы ("шестьдесят четыре" гуа), аналогичные трехбитным и шестибитным двоичным числам, использовались по крайней мере еще в Династия Чжоу древнего Китая.^[4]

В Династия Сун ученый Шао Юн (1011–1077) преобразовал гексаграммы в формат, напоминающий современные двоичные числа, хотя он не намеревался использовать свое расположение математически.^[5] Просмотр журнала младший бит поверх одиночных гексаграмм в Площадь Шао Юна и чтение по строкам либо снизу справа вверх слева со сплошными линиями как 0 и пунктирными линиями как 1, либо сверху слева направо вниз со сплошными линиями как 1 и пунктирными линиями как 0 гексаграммы могут интерпретироваться как последовательность от 0 до 63.^[7]

Индия

Индийский ученый Пингала (ок. II в. до н.э.) разработал бинарную систему для описания просодия.^[8][9] Он использовал двоичные числа в форме коротких и длинных слогов (последние равны по длине двум коротким слогам), делая их похожими на азбука Морзе.^[10][11] Они были известны как Лагху (свет) и гуру (тяжелые) слоги.

Индийская классика Пингалы под названием Чандамшастра (8.23) описывает формирование матрицы, чтобы дать уникальное значение каждому счетчику. «Чандамшастра» буквально переводится как наука о метрах на санскрите. Двоичные представления в системе Пингалы увеличиваются вправо, а не влево, как в двоичных числах современных позиционная запись.^[10][12] В системе Пингалы числа начинаются с цифры один, а не с нуля. Четыре коротких слога «0000» - это первый образец и соответствует значению один. Числовое значение получается добавлением единицы к сумме разместить значения.^[13]

Другие культуры

Жители острова Мангарева в Французская Полинезия использовали гибридный двоичныйдесятичный система до 1450 г.^[14] Щелевые барабаны с двоичными тонами используются для кодирования сообщений в Африке и Азии.^[6]Наборы бинарных комбинаций, подобные И Цзин, также использовались в традиционных африканских системах гадания, таких как Если а также в средневековый Западный геомантия.

Западные предшественники Лейбница

В конце 13 века Рамон Лулль имел амбиции объяснить всю мудрость во всех отраслях человеческого знания того времени. Для этой цели он разработал общий метод, или Ars generalis, основанный на бинарных комбинациях ряда простых базовых принципов или категорий, в связи с чем его считали предшественником компьютерной науки и искусственного интеллекта.^[15]

В 1605 г. Френсис Бэкон обсудили систему, посредством которой буквы алфавита могут быть сокращены до последовательностей двоичных цифр, которые затем могут быть закодированы как едва заметные вариации шрифта в любом произвольном тексте.^[16] Что важно для общей теории двоичного кодирования, он добавил, что этот метод может быть использован с любыми объектами вообще: «при условии, что эти объекты могут иметь только двукратное различие, как, например, колокола, трубы, огни и факелы, отчет». мушкетов и любых других подобных инструментов ".^[16] (Видеть Шифр Бэкона.)

Джон Напье в 1617 году описал систему, которую он назвал арифметика местоположения для выполнения двоичных вычислений с использованием непозиционного буквенного представления.Томас Харриот исследовал несколько позиционных систем счисления, в том числе двоичную, но не опубликовал свои результаты; позже они были найдены среди его бумаг.^[17]Возможно, первая публикация системы в Европе была опубликована Хуан Карамуэль и Лобковиц, в 1700 г.^[18]

Лейбниц и И Цзин

Готфрид Лейбниц

Лейбниц изучал двоичную нумерацию в 1679 году; его работа появляется в его статье Explication de l'Arithmétique Binaire (опубликована в 1703 г.) Полное название статьи Лейбница переводится на английский как "Объяснение двоичной арифметики, в которой используются только символы 1 и 0, с некоторыми замечаниями о ее полезности и о свете, который она проливает на древние китайские цифры Фу Си ".^[19] В системе Лейбница используются 0 и 1, как в современной двоичной системе счисления. Пример двоичной системы счисления Лейбница выглядит следующим образом:^[19]

0 0 0 1 числовое значение 2⁰

0 0 1 0 числовое значение 2¹

0 1 0 0 числовое значение 2²

1 0 0 0 числовое значение 2³

Лейбниц интерпретировал гексаграммы И Цзин как свидетельство бинарного исчисления.^[20]Как Синофил, Лейбниц знал об И-Цзин, с восхищением отметил, как его гексаграммы соответствуют двоичным числам от 0 до 111111, и пришел к выводу, что это отображение свидетельствует об основных достижениях Китая в своего рода философском математика он восхищался.^[21]Лейбниц впервые познакомился с И Цзин через его контакты с французскими иезуитами Иоахим Буве, который посетил Китай в 1685 году в качестве миссионера. Лейбниц увидел И Цзин гексаграммы как подтверждение универсальность его собственных религиозных убеждений как христианина.^[20] Двоичные числа занимали центральное место в теологии Лейбница. Он считал, что двоичные числа символизируют христианскую идею Creatio ex nihilo или создание из ничего.^[22]

[Концепция, которую] нелегко передать язычникам, это создание ex nihilo через всемогущую силу Бога. Теперь можно сказать, что ничто в мире не может лучше представить и продемонстрировать эту силу, чем происхождение чисел, поскольку оно представлено здесь через простое и неприукрашенное представление «Единица и Ноль или Ничто».

— Письмо Лейбница в Герцог Брауншвейгский прилагается с И Цзин гексаграммы^[20]

Более поздние разработки

Джордж Буль

В 1854 году британский математик Джордж Буль опубликовал важный документ, в котором подробно описывается алгебраический система логика это станет известно как Булева алгебра. Его логические вычисления должны были стать инструментом в разработке цифровых электронных схем.^[23]

В 1937 г. Клод Шеннон защитил кандидатскую диссертацию в Массачусетский технологический институт который впервые в истории реализовал булеву алгебру и двоичную арифметику с использованием электронных реле и переключателей. Озаглавленный Символьный анализ релейных и коммутационных цепей, Тезис Шеннона, по сути, обосновал практическую цифровая схема дизайн.^[24]

В ноябре 1937 г. Джордж Стибиц, а затем работая в Bell Labs, завершил релейный компьютер, который он назвал «Модель К» (для «Kitchen ", где он его собрал), который рассчитывается с использованием двоичного сложения.^[25] Bell Labs одобрила полную исследовательскую программу в конце 1938 года под руководством Стибица. Их компьютер комплексных чисел, завершенный 8 января 1940 г., смог вычислить сложные числа. В демонстрации Американское математическое общество конференция в Дартмутский колледж 11 сентября 1940 года Стибиц смог посылать удаленные команды вычислителю комплексных чисел по телефонным линиям через телетайп. Это была первая вычислительная машина, когда-либо использовавшаяся удаленно по телефонной линии. Некоторые участники конференции, которые были свидетелями демонстрации, были Джон фон Нейман, Джон Мочли и Норберт Винер, писавший об этом в своих воспоминаниях.^[26][27][28]

В Z1 компьютер, который был разработан и построен Конрад Зузе между 1935 и 1938 годами использовались Логическая логика и двоичные числа с плавающей запятой.^[29]

Представление

Любое число может быть представлено последовательностью биты (двоичные цифры), которые, в свою очередь, могут быть представлены любым механизмом, способным находиться в двух взаимоисключающих состояниях. Любой из следующих рядов символов можно интерпретировать как двоичное числовое значение 667:

1	0	1	0	0	1	1	0	1	1
|	―	|	―	―	|	|	―	|	|
☒	☐	☒	☐	☐	☒	☒	☐	☒	☒
у	п	у	п	п	у	у	п	у	у

А двоичные часы может использовать Светодиоды для выражения двоичных значений. В этих часах каждый столбец светодиодов показывает двоично-десятичная дробь цифра традиционного шестидесятеричный время.

Числовое значение, представленное в каждом случае, зависит от значения, присвоенного каждому символу. На заре компьютерных технологий для представления двоичных значений использовались переключатели, перфорированные отверстия и перфорированные бумажные ленты.^[30] В современном компьютере числовые значения могут быть представлены двумя разными напряжения; на магнитный диск, магнитная полярность может быть использовано. "Положительный", "да Состояние «или включено» не обязательно эквивалентно числовому значению единицы; это зависит от используемой архитектуры.

В соответствии с обычным представлением цифр с использованием арабские цифры, двоичные числа обычно записываются с помощью символов 0 и 1. При записи двоичные числа часто имеют нижний индекс, префикс или суффикс, чтобы указать их основание или основание. Следующие обозначения эквивалентны:

• 100101 двоичный (явное указание формата)
• 100101b (суффикс, обозначающий двоичный формат; также известный как Соглашение Intel^[31][32])
• 100101B (суффикс, обозначающий двоичный формат)
• bin 100101 (префикс, указывающий двоичный формат)
• 100101₂ (нижний индекс, обозначающий систему счисления с основанием 2 (двоичную))
• % 100101 (префикс, обозначающий двоичный формат; также известный как Конвенция Motorola^[31][32])
• 0b100101 (префикс, обозначающий двоичный формат, распространенный в языках программирования)
• 6b100101 (префикс, указывающий количество бит в двоичном формате, распространенный в языках программирования)
• # b100101 (префикс, обозначающий двоичный формат, распространенный в языках программирования Lisp)

При разговоре двоичные числа обычно читаются по цифре, чтобы отличить их от десятичных. Например, двоичное число 100 произносится один ноль ноль, скорее, чем Сто, чтобы сделать его двоичную природу явным и для целей корректности. Поскольку двоичное число 100 представляет собой значение четыре, было бы непонятно называть это число как Сто (слово, обозначающее совершенно другое значение или сумму). В качестве альтернативы двоичное число 100 можно прочитать как «четыре» (правильное ценить), но это не делает явной его бинарную природу.

Подсчет в двоичном формате

Десятичный номер	Двоичный номер
0	0
1	1
2	10
3	11
4	100
5	101
6	110
7	111
8	1000
9	1001
10	1010
11	1011
12	1100
13	1101
14	1110
15	1111

Подсчет в двоичной системе аналогичен подсчету в любой другой системе счисления. Начиная с одной цифры, счет продолжается по каждому символу в возрастающем порядке. Прежде чем приступить к изучению двоичного счета, полезно кратко обсудить более знакомые десятичный система подсчета как ориентир.

Десятичный счет

Десятичный при подсчете используются десять символов 0 через 9. Подсчет начинается с инкрементальной подстановки наименее значащей цифры (крайняя правая цифра), которую часто называют цифрой. первая цифра. Когда доступные символы для этой позиции исчерпаны, младший разряд сбрасывается на 0, а следующая более значимая цифра (на одну позицию слева) увеличивается (переполнение), и возобновляется инкрементная замена младшего разряда. Этот метод сброса и переполнения повторяется для каждой значимой цифры. Подсчет происходит следующим образом:

000, 001, 002, ... 007, 008, 009, (крайняя правая цифра сбрасывается на ноль, а цифра слева от нее увеличивается)

010, 011, 012, ...

   ...

090, 091, 092, ... 097, 098, 099, (две крайние правые цифры сбрасываются на ноль, а следующая цифра увеличивается)

100, 101, 102, ...

Бинарный счет

Этот счетчик показывает, как считать в двоичном формате от нуля до тридцать один.

Уловка для вечеринки, позволяющая угадать число, на каких карточках оно напечатано, использует биты двоичного представления числа. В файле SVG щелкните карточку, чтобы переключить ее

Бинарный подсчет выполняется по той же процедуре, за исключением того, что только два символа 0 и 1 доступны. Таким образом, после того, как цифра достигает 1 в двоичном формате, приращение сбрасывает ее до 0, но также вызывает приращение следующей цифры слева:

0000,

0001, (крайняя правая цифра начинается заново, а следующая цифра увеличивается)

0010, 0011, (две крайние правые цифры начинаются заново, а следующая цифра увеличивается)

0100, 0101, 0110, 0111, (три крайние правые цифры начинаются заново, а следующая цифра увеличивается)

1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 ...

В двоичной системе каждая цифра представляет собой возрастающую степень 2, причем крайняя правая цифра представляет 2⁰, следующий представляет 2¹, то 2², и так далее. Значение двоичного числа - это сумма степеней двойки, представленная каждой цифрой «1». Например, двоичное число 100101 преобразуется в десятичную форму следующим образом:

100101₂ = [ ( 1 ) × 2⁵ ] + [ ( 0 ) × 2⁴ ] + [ ( 0 ) × 2³ ] + [ ( 1 ) × 2² ] + [ ( 0 ) × 2¹ ] + [ ( 1 ) × 2⁰ ]

100101₂ = [ 1 × 32 ] + [ 0 × 16 ] + [ 0 × 8 ] + [ 1 × 4 ] + [ 0 × 2 ] + [ 1 × 1 ]

100101₂ = 37₁₀

Фракции

Дроби в двоичной арифметике завершаются, только если 2 единственный главный фактор в знаменатель. В результате 1/10 не имеет конечного двоичного представления (10 имеет основные факторы 2 и 5). Это приводит к тому, что 10 × 0,1 не точно равно 1 дюйм. арифметика с плавающей запятой. Например, чтобы интерпретировать двоичное выражение для 1/3 = 0,010101 ..., это означает: 1/3 = 0 × 2⁻¹ + 1 × 2⁻² + 0 × 2⁻³ + 1 × 2⁻⁴ + ... = 0,3125 + ... Невозможно найти точное значение с помощью суммы конечного числа обратных степеней двойки, нули и единицы в двоичном представлении 1/3 чередуются навсегда.

Дробная часть	Десятичный	Двоичный	Дробное приближение
1/1	1 или же 0.999...	1 или же 0.111...	1/2 + 1/4 + 1/8...
1/2	0.5 или же 0.4999...	0.1 или же 0.0111...	1/4 + 1/8 + 1/16 . . .
1/3	0.333...	0.010101...	1/4 + 1/16 + 1/64 . . .
1/4	0.25 или же 0.24999...	0.01 или же 0.00111...	1/8 + 1/16 + 1/32 . . .
1/5	0.2 или же 0.1999...	0.00110011...	1/8 + 1/16 + 1/128 . . .
1/6	0.1666...	0.0010101...	1/8 + 1/32 + 1/128 . . .
1/7	0.142857142857...	0.001001...	1/8 + 1/64 + 1/512 . . .
1/8	0.125 или же 0.124999...	0.001 или же 0.000111...	1/16 + 1/32 + 1/64 . . .
1/9	0.111...	0.000111000111...	1/16 + 1/32 + 1/64 . . .
1/10	0.1 или же 0.0999...	0.000110011...	1/16 + 1/32 + 1/256 . . .
1/11	0.090909...	0.00010111010001011101...	1/16 + 1/64 + 1/128 . . .
1/12	0.08333...	0.00010101...	1/16 + 1/64 + 1/256 . . .
1/13	0.076923076923...	0.000100111011000100111011...	1/16 + 1/128 + 1/256 . . .
1/14	0.0714285714285...	0.0001001001...	1/16 + 1/128 + 1/1024 . . .
1/15	0.0666...	0.00010001...	1/16 + 1/256 . . .
1/16	0.0625 или же 0.0624999...	0.0001 или же 0.0000111...	1/32 + 1/64 + 1/128 . . .

Двоичная арифметика

Арифметика в двоичной системе очень похожа на арифметику в других системах счисления. Сложение, вычитание, умножение и деление могут выполняться над двоичными числами.

Добавление

Основная статья: Сумматор (электроника)

В принципиальная электрическая схема для двоичного полусумматор, который складывает два бита вместе, создавая биты суммы и переноса

Самая простая арифметическая операция в двоичной системе - это сложение. Сложить два однозначных двоичных числа относительно просто, используя форму переноса:

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0, перенесем 1 (так как 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2¹) )

Добавление двух цифр «1» дает цифру «0», а 1 нужно будет добавить в следующий столбец. Это похоже на то, что происходит в десятичной системе счисления, когда некоторые однозначные числа складываются вместе; если результат равен или превышает значение системы счисления (10), цифра слева увеличивается:

5 + 5 → 0, перенесем 1 (так как 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10¹) )

7 + 9 → 6, перенесем 1 (так как 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10¹) )

Это известно как несущий. Когда результат сложения превышает значение цифры, процедура состоит в том, чтобы «перенести» избыточную сумму, разделенную на основание системы счисления (то есть 10/10), влево, добавив ее к следующему позиционному значению. Это правильно, так как вес следующей позиции выше на коэффициент, равный основанию системы счисления. В двоичном формате перенос работает точно так же:

  1 1 1 1 1 (переносимые цифры)    0 1 1 0 1+   1 0 1 1 1-------------= 1 0 0 1 0 0 = 36

В этом примере две цифры складываются вместе: 01101₂ (13₁₀) и 10111₂ (23₁₀). В верхнем ряду показаны использованные биты переноса. Начиная с крайнего правого столбца, 1 + 1 = 10₂. 1 переносится влево, а 0 пишется внизу самого правого столбца. Добавляется второй столбец справа: 1 + 0 + 1 = 10₂ опять таки; переносится 1, а внизу пишется 0. Третий столбец: 1 + 1 + 1 = 11₂. На этот раз переносится 1, а в нижнем ряду написано 1. Таким образом получается окончательный ответ 100100₂ (36 десятичных знаков).

Когда компьютеры должны сложить два числа, действует правило: x xor у = (х + у) мод 2 для любых двух битов x и y также позволяет производить очень быстрые вычисления.

Метод длительного ношения

Упрощением для многих задач двоичного сложения является Метод длительного ношения или же Метод Брукхауса сложения двоичных файлов. Этот метод обычно полезен в любом двоичном сложении, в котором одно из чисел содержит длинную «цепочку» единиц. Он основан на простой предпосылке, что в двоичной системе, когда дана "строка" цифр, полностью состоящая из п единицы (куда: п - любое целое число), добавление 1 приведет к числу 1, за которым следует строка п нули. Эта концепция логически следует так же, как и в десятичной системе счисления, где добавление 1 к строке п 9s приведет к цифре 1, за которой следует строка п 0 с:

     Двоичное десятичное 1 1 1 1 1 аналогично 9 9 9 9 + 1 + 1 ——————————————————————— 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

Такие длинные строки довольно часто встречаются в двоичной системе. Отсюда можно сделать вывод, что большие двоичные числа могут быть добавлены за два простых шага без чрезмерных операций переноса. В следующем примере две цифры складываются вместе: 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0₂ (958₁₀) и 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1₂ (691₁₀), используя традиционный метод переноса слева и метод длинного переноса справа:

Традиционный метод ношения Метод длительного ношения vs. 1 1 1 1 1 1 1 1 (переносимые цифры) 1 ← 1 ←            переносите 1 до тех пор, пока не пройдет одна цифра после "строки" под 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 зачеркнуть «строку», + 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 + 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 и зачеркните цифру, которая была добавлена ​​к нему ——————————————————————————————————————— —————— = 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1

В верхнем ряду показаны использованные биты переноса. Вместо стандартного переноса из одного столбца в следующий может быть добавлена ​​цифра «1» самого низкого порядка с «1» в соответствующем значении разряда под ним, а «1» может быть перенесена на одну цифру после конца серии. «Использованные» числа необходимо вычеркнуть, так как они уже добавлены. Другие длинные струны могут быть отменены аналогичным образом. Затем просто сложите оставшиеся цифры обычным образом. Таким образом можно получить окончательный ответ: 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1₂ (1649₁₀). В нашем простом примере с использованием малых чисел традиционный метод переноса требовал восьми операций переноса, тогда как метод длительного переноса требовал только двух, что означает существенное сокращение усилий.

Таблица сложения

	0	1
0	0	1
1	1	10

Таблица двоичного сложения похожа, но не такая, как таблица истинности из логическая дизъюнкция операция ${\displaystyle \lor }$. Разница в том, что ${\displaystyle 1}$${\displaystyle \lor }$${\displaystyle 1=1}$, пока ${\displaystyle 1+1=10}$.

Вычитание

Дальнейшая информация: представление числа со знаком и два дополнения

Вычитание работает примерно так же:

0 − 0 → 0

0-1 → 1, заимствовать 1

1 − 0 → 1

1 − 1 → 0

Вычитание цифры «1» из цифры «0» дает цифру «1», в то время как 1 необходимо вычесть из следующего столбца. Это известно как заимствование. Принцип такой же, как и при переноске. Когда результат вычитания меньше 0, наименьшего возможного значения цифры, процедура состоит в том, чтобы «заимствовать» дефицит, разделенный на основание системы счисления (то есть 10/10) слева, вычитая его из следующего позиционного ценить.

    * * * * (столбцы, отмеченные звездочкой, заимствованы из) 1 1 0 1 1 1 0− 1 0 1 1 1 ---------------- = 1 0 1 0 1 1 1

  * (столбцы, отмеченные звездочкой, заимствованы из) 1 0 1 1 1 1 1-1 0 1 0 1 1 ---------------- = 0 1 1 0 1 0 0

Вычитание положительного числа эквивалентно добавление а отрицательное число равных абсолютная величина. Компьютеры используют представление числа со знаком для обработки отрицательных чисел - чаще всего два дополнения обозначение. Такие представления устраняют необходимость в отдельной операции «вычитание». Вычитание с использованием дополнения до двух можно резюмировать следующей формулой:

A - B = A + не B + 1

Умножение

Умножение в двоичном формате аналогичен его десятичному аналогу. Два числа А и B можно умножить на частичные произведения: для каждой цифры в B, произведение этой цифры в А вычисляется и записывается на новой строке со сдвигом влево так, чтобы его крайняя правая цифра совпадала с цифрой в B что было использовано. Сумма всех этих частичных произведений дает окончательный результат.

Поскольку в двоичном формате всего две цифры, есть только два возможных результата каждого частичного умножения:

• Если цифра в B равно 0, частичное произведение также равно 0
• Если цифра в B равно 1, частичное произведение равно А

Например, двоичные числа 1011 и 1010 умножаются следующим образом:

           1 0 1 1   (А)         × 1 0 1 0   (B) --------- 0 0 0 0 ← Соответствует крайнему правому нулю в B   + 1 0 1 1 ← Соответствует следующей "единице" в B   +   0 0 0 0   + 1 0 1 1   ---------------   = 1 1 0 1 1 1 0

Двоичные числа также можно умножать на биты после двоичная точка:

               1 0 1 . 1 0 1     А (5,625 в десятичной системе) × 1 1 0. 0 1 B (6,25 в десятичной системе) ------------------- 1. 0 1 1 0 1 ← Соответствует единице в B     + 0 0. 0 0 0 0 ← Соответствует нулю в B     + 0 0 0. 0 0 0 + 1 0 1 1. 0 1 + 1 0 1 1 0. 1 --------------------------- = 1 0 0 0 1 1. 0 0 1 0 1 (35,15625 в десятичной системе)

Смотрите также Алгоритм умножения Бута.

Таблица умножения

	0	1
0	0	0
1	0	1

Двоичная таблица умножения такая же, как и в таблица истинности из логическое соединение операция ${\displaystyle \land }$.

Разделение

Основная статья: Длинное деление § Двоичное деление

Смотрите также: Алгоритм деления § Целочисленное деление (без знака) с остатком

Длинное деление в двоичном формате снова похож на его десятичный аналог.

В приведенном ниже примере делитель это 101₂, или 5 в десятичном формате, а дивиденд это 11011₂, или 27 в десятичной системе счисления. Процедура такая же, как и при десятичном длинное деление; здесь делитель 101₂ переходит в первые три цифры 110₂ дивиденда один раз, поэтому в верхней строке написано «1». Этот результат умножается на делитель и вычитается из первых трех цифр делимого; следующая цифра («1») добавляется для получения новой трехзначной последовательности:

              1        ___________1 0 1   ) 1 1 0 1 1        − 1 0 1          -----          0 0 1

Затем процедура повторяется с новой последовательностью, продолжаясь до тех пор, пока не будут исчерпаны все цифры делимого:

             1 0 1       ___________1 0 1  ) 1 1 0 1 1       − 1 0 1         -----             1 1 1         −   1 0 1             -----               1 0

Таким образом частное из 11011₂ делится на 101₂ это 101₂, как показано в верхней строке, а остаток, показанный в нижней строке, равен 10₂. В десятичном выражении это соответствует тому факту, что 27 разделить на 5 равно 5, а остаток - 2.

Помимо деления в столбик, можно также разработать процедуру так, чтобы учесть избыточное вычитание из частичного остатка на каждой итерации, что приведет к альтернативным методам, которые менее систематичны, но в результате более гибки.^[33]

Квадратный корень

Процесс извлечения двоичного квадратного корня цифра за цифрой такой же, как и для десятичного квадратного корня, и объясняется Вот. Пример:

             1 0 0 1            ---------           √ 1010001             1            ---------      101     01                0             --------      1001     100                 0             --------      10001    10001               10001              -------                   0

Побитовые операции

Основная статья: Побитовая операция

Хотя это не связано напрямую с числовой интерпретацией двоичных символов, последовательностями битов можно управлять с помощью Булевы логические операторы. Когда строка двоичных символов обрабатывается таким образом, она называется побитовая операция; логические операторы И, ИЛИ ЖЕ, и XOR может выполняться над соответствующими битами в двух двоичных числах, предоставленных как входные. Логический НЕТ операция может выполняться над отдельными битами в виде единственного двоичного числа, предоставленного в качестве входных данных. Иногда такие операции могут использоваться в качестве арифметических сокращений, а также могут иметь другие вычислительные преимущества. Например, арифметический сдвиг слева от двоичного числа эквивалентно умножению на (положительную, целую) степень двойки.

Преобразование в другие системы счисления и обратно

Десятичный

Преобразование (357)₁₀ в двоичную запись приводит к (101100101)

Преобразовать из базы-10 целое число к его (двоичному) эквиваленту по основанию 2 число равно делится на два. Остальное - это младший бит. Частное снова делится на два; его остаток становится следующим младшим битом. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнуто частное. Последовательность остатков (включая конечное частное от единицы) образует двоичное значение, так как каждый остаток должен быть либо нулем, либо единицей при делении на два. Например, (357)₁₀ выражается как (101100101)_2.^[34]

Преобразование из base-2 в base-10 просто инвертирует предыдущий алгоритм. Биты двоичного числа используются один за другим, начиная со старшего (крайнего левого) бита. Начиная со значения 0, предыдущее значение удваивается, а затем добавляется следующий бит, чтобы получить следующее значение. Это можно организовать в виде таблицы с несколькими столбцами. Например, чтобы преобразовать 10010101101₂ в десятичный:

Предыдущее значение	× 2 +	Следующий бит	Следующее значение
0	× 2 +	1	= 1
1	× 2 +	0	= 2
2	× 2 +	0	= 4
4	× 2 +	1	= 9
9	× 2 +	0	= 18
18	× 2 +	1	= 37
37	× 2 +	0	= 74
74	× 2 +	1	= 149
149	× 2 +	1	= 299
299	× 2 +	0	= 598
598	× 2 +	1	= 1197

Результат 1197₁₀. Первое предшествующее значение 0 - это просто начальное десятичное значение. Этот метод является применением Схема Хорнера.

Двоичный	1	0	0	1	0	1	0	1	1	0	1
Десятичный	1×2^10 +	0×2^9 +	0×2^8 +	1×2^7 +	0×2^6 +	1×2^5 +	0×2^4 +	1×2^3 +	1×2^2 +	0×2^1 +	1×2^0 =	1197

Дробные части числа преобразуются аналогичными методами. Они снова основаны на эквивалентности сдвига с удвоением или уменьшением вдвое.

В виде дробного двоичного числа, например 0,11010110101₂, первая цифра ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}}$, второй ${\displaystyle {\begin{matrix}({\frac {1}{2}})^{2}={\frac {1}{4}}\end{matrix}}}$и т. д. Таким образом, если на первом месте после десятичной дроби стоит 1, то число не меньше ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}}$, наоборот. Удвоение этого числа равно как минимум 1. Это предлагает алгоритм: многократно удваивайте число, которое нужно преобразовать, записывайте, если результат равен как минимум 1, а затем отбрасывайте целую часть.

Например, ${\displaystyle {\begin{matrix}({\frac {1}{3}})\end{matrix}}}$₁₀в двоичном формате:

Преобразование	Результат
${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}}$	0.
${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\times 2={\frac {2}{3}}<1\end{matrix}}}$	0.0
${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {2}{3}}\times 2=1{\frac {1}{3}}\geq 1\end{matrix}}}$	0.01
${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\times 2={\frac {2}{3}}<1\end{matrix}}}$	0.010
${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {2}{3}}\times 2=1{\frac {1}{3}}\geq 1\end{matrix}}}$	0.0101

Таким образом, повторяющаяся десятичная дробь 0.3... эквивалентно повторяющейся двоичной дроби 0.01... .

Или, например, 0,1₁₀в двоичном формате:

Преобразование	Результат
0.1	0.
0.1 × 2 = 0.2 < 1	0.0
0.2 × 2 = 0.4 < 1	0.00
0.4 × 2 = 0.8 < 1	0.000
0.8 × 2 = 1.6 ≥ 1	0.0001
0.6 × 2 = 1.2 ≥ 1	0.00011
0.2 × 2 = 0.4 < 1	0.000110
0.4 × 2 = 0.8 < 1	0.0001100
0.8 × 2 = 1.6 ≥ 1	0.00011001
0.6 × 2 = 1.2 ≥ 1	0.000110011
0.2 × 2 = 0.4 < 1	0.0001100110

Это также повторяющаяся двоичная дробь 0,00011.... Может показаться удивительным, что завершающие десятичные дроби могут иметь повторяющиеся расширения в двоичном формате. Именно по этой причине многие удивляются, обнаружив, что 0,1 + ... + 0,1 (10 добавлений) отличается от 1 в арифметика с плавающей запятой. Фактически, единственные двоичные дроби с завершающимися расширениями имеют форму целого числа, деленного на степень 2, а 1/10 - нет.

Окончательное преобразование из двоичной дроби в десятичную. Единственная трудность возникает с повторяющимися дробями, но в противном случае метод состоит в том, чтобы преобразовать дробь в целое число, преобразовать ее, как указано выше, а затем разделить на соответствующую степень двойки в десятичной системе счисления. Например:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=&1100&.1{\overline {01110}}\ldots \\x\times 2^{6}&=&1100101110&.{\overline {01110}}\ldots \\x\times 2&=&11001&.{\overline {01110}}\ldots \\x\times (2^{6}-2)&=&1100010101\\x&=&1100010101/111110\\x&=&(789/62)_{10}\end{aligned}}}$

Другой способ преобразования из двоичного в десятичный, часто более быстрый для человека, знакомого с шестнадцатеричный, заключается в том, чтобы сделать это косвенно - сначала преобразовав (${\displaystyle x}$ в двоичном формате) в (${\displaystyle x}$ в шестнадцатеричном формате), а затем преобразовав (${\displaystyle x}$ в шестнадцатеричном формате) в (${\displaystyle x}$ в десятичной системе счисления).

Для очень больших чисел эти простые методы неэффективны, потому что они выполняют большое количество умножений или делений, когда один операнд очень большой. Простой алгоритм разделяй и властвуй асимптотически более эффективен: заданное двоичное число делится на 10.^k, куда k выбирается таким образом, чтобы частное примерно равнялось остатку; затем каждая из этих частей преобразуется в десятичную, и две соединенный. Учитывая десятичное число, его можно разделить на две части примерно одинакового размера, каждая из которых преобразуется в двоичную, после чего первая преобразованная часть умножается на 10.^k и добавлен ко второй переделанной части, где k - количество десятичных цифр во второй, наименее значимой части перед преобразованием.

Шестнадцатеричный

Основная статья: Шестнадцатеричный

0шестнадцатеричный	=	0декабрь	=	0окт		0	0	0	0
1шестнадцатеричный	=	1декабрь	=	1окт		0	0	0	1
2шестнадцатеричный	=	2декабрь	=	2окт		0	0	1	0
3шестнадцатеричный	=	3декабрь	=	3окт		0	0	1	1
4шестнадцатеричный	=	4декабрь	=	4окт	0	1	0	0
5шестнадцатеричный	=	5декабрь	=	5окт	0	1	0	1
6шестнадцатеричный	=	6декабрь	=	6окт	0	1	1	0
7шестнадцатеричный	=	7декабрь	=	7окт	0	1	1	1
8шестнадцатеричный	=	8декабрь	=	10окт	1	0	0	0
9шестнадцатеричный	=	9декабрь	=	11окт	1	0	0	1
Ашестнадцатеричный	=	10декабрь	=	12окт	1	0	1	0
Bшестнадцатеричный	=	11декабрь	=	13окт	1	0	1	1
Cшестнадцатеричный	=	12декабрь	=	14окт	1	1	0	0
Dшестнадцатеричный	=	13декабрь	=	15окт	1	1	0	1
Eшестнадцатеричный	=	14декабрь	=	16окт	1	1	1	0
Fшестнадцатеричный	=	15декабрь	=	17окт	1	1	1	1

Двоичное число может быть легче преобразовано в шестнадцатеричное и обратно. Это потому, что основание шестнадцатеричной системы (16) - степень системы счисления двоичной системы (2). В частности, 16 = 2⁴, поэтому для представления одной шестнадцатеричной цифры требуется четыре двоичных разряда, как показано в соседней таблице.

Чтобы преобразовать шестнадцатеричное число в его двоичный эквивалент, просто подставьте соответствующие двоичные цифры:

3А₁₆ = 0011 1010₂

E7₁₆ = 1110 0111₂

Чтобы преобразовать двоичное число в его шестнадцатеричный эквивалент, разделите его на группы по четыре бита. Если количество бит не кратно четырем, просто вставьте дополнительные 0 биты слева (называемые набивка ). Например:

1010010₂ = 0101 0010 сгруппированы с заполнением = 52₁₆

11011101₂ = 1101 1101 сгруппировано = DD₁₆

Чтобы преобразовать шестнадцатеричное число в его десятичный эквивалент, умножьте десятичный эквивалент каждой шестнадцатеричной цифры на соответствующую степень 16 и сложите полученные значения:

C0E7₁₆ = (12 × 16³) + (0 × 16²) + (14 × 16¹) + (7 × 16⁰) = (12 × 4096) + (0 × 256) + (14 × 16) + (7 × 1) = 49,383₁₀

Восьмеричный

Основная статья: Восьмеричный

Двоичный файл также легко конвертируется в восьмеричный система счисления, так как в восьмеричной системе счисления используется основание 8, которое является сила двух (а именно, 2³, поэтому для представления восьмеричной цифры требуется ровно три двоичных цифры). Соответствие восьмеричных и двоичных чисел такое же, как для первых восьми цифр числа. шестнадцатеричный в таблице выше. Двоичный 000 эквивалентен восьмеричной цифре 0, двоичный 111 эквивалентен восьмеричной цифре 7 и так далее.

Восьмеричный	Двоичный
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

Преобразование из восьмеричного в двоичное происходит так же, как и для шестнадцатеричный:

65₈ = 110 101₂

17₈ = 001 111₂

И от двоичного к восьмеричному:

101100₂ = 101 100₂ grouped = 54₈

10011₂ = 010 011₂ сгруппированы с padding = 23₈

И от восьмеричного к десятичному:

65₈ = (6 × 8¹) + (5 × 8⁰) = (6 × 8) + (5 × 1) = 53₁₀

127₈ = (1 × 8²) + (2 × 8¹) + (7 × 8⁰) = (1 × 64) + (2 × 8) + (7 × 1) = 87₁₀

Представление действительных чисел

Нецелые числа могут быть представлены с помощью отрицательных степеней, которые отсчитываются от других цифр с помощью точка счисления (называется десятичная точка в десятичной системе счисления). Например, двоичное число 11.01₂ средства:

1 × 2^1	(1 × 2 = 2)	плюс
1 × 2^0	(1 × 1 = 1)	плюс
0 × 2^−1	(0 × ​^1⁄2 = 0)	плюс
1 × 2^−2	(1 × ​^1⁄4 = 0.25)

Всего 3,25 десятичной дроби.

Все диадические рациональные числа ${\displaystyle {\frac {p}{2^{a}}}}$ есть прекращение двоичное число - двоичное представление имеет конечное число членов после точки счисления. Другой рациональное число имеют двоичное представление, но вместо завершения они повторяться, с конечной последовательностью цифр, повторяющейся бесконечно. Например

${\displaystyle {\frac {1_{10}}{3_{10}}}={\frac {1_{2}}{11_{2}}}=0.01010101{\overline {01}}\ldots \,_{2}}$

${\displaystyle {\frac {12_{10}}{17_{10}}}={\frac {1100_{2}}{10001_{2}}}=0.1011010010110100{\overline {10110100}}\ldots \,_{2}}$

Феномен, заключающийся в том, что двоичное представление любого рационального числа либо завершается, либо повторяется, также встречается в других основанных на системе счисления системах счисления. См., Например, объяснение в десятичный. Еще одно сходство заключается в существовании альтернативных представлений для любого завершающего представления, основанных на том факте, что 0.111111... это сумма геометрическая серия 2⁻¹ + 2⁻² + 2⁻³ + ... что равно 1.

Двоичные числа, которые не заканчиваются и не повторяются, представляют иррациональные числа. Например,

• 0.10100100010000100000100 ... имеет шаблон, но это не повторяющийся шаблон фиксированной длины, поэтому число иррационально
• 1.0110101000001001111001100110011111110 ... это двоичное представление ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, то квадратный корень из 2 Еще одно иррациональное. На нем нет заметного рисунка.

Смотрите также

• Математический портал

• Сбалансированный тройной
• Бинарный код
• Десятичное число с двоичным кодом
• Бинарный палец
• Код Грея
• IEEE 754
• Регистр сдвига с линейной обратной связью
• Смещение двоичное
• Quibinary
• Сокращение слагаемых
• Избыточное двоичное представление
• Повторяющаяся десятичная дробь
• Два дополнения

Рекомендации

1. Робсон, Элеонора; Стедалл, Жаклин, ред. (2009), «Миф № 2: фракции глаза Гора», Оксфордский справочник по истории математики, Oxford University Press, стр. 790, г. ISBN  9780199213122
2. Хрисомалис, Стивен (2010), Числовые обозначения: сравнительная история, Cambridge University Press, стр. 42–43, ISBN  9780521878180.
3. Рудман, Питер Стром (2007), Как возникла математика: первые 50 000 лет, Книги Прометея, стр. 135–136, ISBN  9781615921768.
4. Эдвард Хакер; Стив Мур; Лоррейн Пацко (2002). И Цзин: аннотированная библиография. Рутледж. п. 13. ISBN  978-0-415-93969-0.
5. Редмонд и Хон (2014), п. 227.
6. Джонатан Шектман (2003). Новаторские научные эксперименты, изобретения и открытия 18 века. Издательство "Гринвуд". п. 29. ISBN  978-0-313-32015-6.
7. Чжунлянь, Ши; Вэньчжао, Ли; Позер, Ганс (2000). Бинарная система Лейбница и "Сяньтян Ту" Шао Юна в: Das Neueste über China: G.W. Leibnizens Novissima Sinica von 1697: Internationales Symposium, Берлин 4. бис 7. Октябрь 1997 г.. Штутгарт: Франц Штайнер Верлаг. С. 165–170. ISBN  3515074481.
8. Санчес, Хулио; Кантон, Мария П. (2007). Программирование микроконтроллера: микрочип PIC. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. п. 37. ISBN  978-0-8493-7189-9.
9. В. С. Энглин и Дж. Ламбек, Наследие Фалеса, Springer, 1995, ISBN  0-387-94544-X
10. Двоичные числа в Древней Индии
11. Математика для поэтов и барабанщиков В архиве 16 июня 2012 г. Wayback Machine (pdf, 145 КБ)
12. Стахов Алексей; Олсен, Скотт Энтони (2009). Математика гармонии: от Евклида до современной математики и информатики. ISBN  978-981-277-582-5.
13. Б. ван Ноутен, "Двоичные числа в древности Индии", Журнал индийских исследований, том 21, 1993, стр. 31-50
14. Бендер, Андреа; Беллер, Зигард (16 декабря 2013 г.). «Мангареванское изобретение двоичных шагов для облегчения вычислений». Труды Национальной академии наук. 111 (4): 1322–1327. Дои:10.1073 / pnas.1309160110. ЧВК  3910603. PMID  24344278.
15. (см. Bonner 2007 [1] В архиве 3 апреля 2014 г. Wayback Machine, Фидора и др. 2011 г. [2] )
16. Бэкон, Фрэнсис (1605). «Развитие обучения». Лондон. С. Глава 1.
17. Ширли, Джон В. (1951). «Двоичное счисление перед Лейбницем». Американский журнал физики. 19 (8): 452–454. Bibcode:1951AmJPh..19..452S. Дои:10.1119/1.1933042.
18. Ineichen, R. (2008). "Лейбниц, Карамуэль, Харриот и дас Дуалсистем" (PDF). Mitteilungen der deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком). 16 (1): 12–15. Дои:10.1515 / dmvm-2008-0009. S2CID  179000299.
19. Лейбниц Г., Explication de l'Arithmétique Binaire, Die Mathematische Schriften, изд. К. Герхард, Берлин 1879, т. 7, стр. 223; Англ. перевод[3]
20. J.E.H. Смит (2008). Лейбниц: Какой рационалист ?: Какой рационалист?. Springer. п. 415. ISBN  978-1-4020-8668-7.
21. Эйтон, Эрик Дж. (1985). Лейбниц: биография. Тейлор и Фрэнсис. С. 245–8. ISBN  0-85274-470-6.
22. Юэнь-Тинг Лай (1998). Лейбниц, мистицизм и религия. Springer. С. 149–150. ISBN  978-0-7923-5223-5.
23. Буль, Джордж (2009) [1854]. Исследование законов мысли, на которых основаны математические теории логики и вероятностей (Macmillan, Dover Publications, перепечатано с исправлениями [1958] под ред.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-108-00153-3.
24. Шеннон, Клод Элвуд (1940). Символьный анализ релейных и коммутационных схем. Кембридж: Массачусетский технологический институт. HDL:1721.1/11173.
25. "Национальный зал славы изобретателей - Джордж Р. Стибиц". 20 августа 2008 г. Архивировано с оригинал 9 июля 2010 г.. Получено 5 июля 2010.
26. "Джордж Стибиц: Биография". Департамент математики и компьютерных наук, Университет Денисон. 30 апреля 2004 г.. Получено 5 июля 2010.
27. «Пионеры - люди и идеи, которые имели значение - Джордж Стибиц (1904–1995)». Керри Редшоу. 20 февраля 2006 г.. Получено 5 июля 2010.
28. "Джордж Роберт Стибиц - некролог". Калифорнийская ассоциация компьютерной истории. 6 февраля 1995 г.. Получено 5 июля 2010.
29. Рохас, Р. (1997). "Наследие Конрада Цузе: Архитектура Z1 и Z3" (PDF). IEEE Annals of the History of Computing. 19 (2): 5–15. Дои:10.1109/85.586067.
30. «Введение в двоичный код - Revision 1 - GCSE Computer Science». BBC. Получено 26 июн 2019.
31. Кювелер, Герд; Швох, Дитрих (2013) [1996]. Arbeitsbuch Informatik - eine praxisorientierte Einführung in die Datenverarbeitung mit Projektaufgabe (на немецком). Vieweg-Verlag, перепечатка: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-3-322-92907-5. ISBN  978-3-528-04952-2. 9783322929075. Получено 5 августа 2015.
32. Кювелер, Герд; Швох, Дитрих (4 октября 2007 г.). Informatik für Ingenieure und Naturwissenschaftler: PC- und Mikrocomputertechnik, Rechnernetze (на немецком). 2 (5-е изд.). Vieweg, перепечатка: Springer-Verlag. ISBN  978-3834891914. 9783834891914. Получено 5 августа 2015.
33. "Полное руководство по высшей математике по делению в столбик и его вариантам - для целых чисел". Математическое хранилище. 24 февраля 2019 г.. Получено 26 июн 2019.
34. «Базовая система». Получено 31 августа 2016.

дальнейшее чтение

• Санчес, Хулио; Кантон, Мария П. (2007). Программирование микроконтроллера: микрочип PIC. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. п. 37. ISBN  978-0-8493-7189-9.
• Редмонд, Джеффри; Хон, Цзы-Ки (2014). Обучение И Цзин. Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-976681-9.

внешняя ссылка

• Бинарная система в завязать узел
• Преобразование дробей в завязать узел
• Система BiLiteral Cypher сэра Фрэнсиса Бэкона, предшествует двоичной системе счисления.