Древнеегипетская математика - Ancient Egyptian mathematics

«Математика в Древнем Египте» перенаправляется сюда. Для книги Аннетт Имхаузен см. Математика в Древнем Египте: контекстуальная история.

Древнеегипетская математика это математика который был разработан и использован в Древний Египет c. 3000 до с. 300До н.э., от Древнее царство Египта примерно до начала Эллинистический Египет. Древние египтяне использовали система счисления для подсчета и решения письменных математических задач, часто включающих умножение и фракции. Доказательства египетской математики ограничены скудным количеством сохранившиеся источники написано на папирус. Из этих текстов известно, что древние египтяне понимали концепции геометрия, например, определение площадь поверхности и объем трехмерных форм, полезных для Архитектурное Проектирование, и алгебра, такой как метод ложной позиции и квадратные уравнения.

Обзор

Письменные свидетельства использования математики датируются по крайней мере 3200 г. до н.э., а этикетки из слоновой кости найдены в гробнице U-j Абидос. Эти ярлыки, по-видимому, использовались в качестве ярлыков для погребального инвентаря, а некоторые из них имеют цифры.^[1] Дополнительные доказательства использования десятичной системы счисления можно найти на Нармер Мэйсхед на котором изображены жертвы 400 000 волов, 1 422 000 коз и 120 000 пленных.^[2]

Доказательства использования математики в Старое королевство (ок. 2690–2180 гг. до н.э.) встречается редко, но его можно определить по надписям на стене рядом с мастаба в Мейдум который дает рекомендации по наклону мастабы.^[3] Линии на схеме расположены на расстоянии одного локоть и показать использование этого единица измерения.^[1]

Самые ранние истинные математические документы относятся к 12 династия (ок. 1990–1800 гг. до н.э.). В Московский математический папирус, то Египетская математическая кожа, то Математические папирусы Лахуна которые являются частью гораздо большей коллекции Кахун Папири и Берлинский папирус 6619 все относятся к этому периоду. В Математический папирус Райнда который датируется Второй промежуточный период (около 1650 г. до н.э.), как говорят, основан на более древнем математическом тексте 12-й династии.^[4]

Московский математический папирус и Математический папирус Райнда - это так называемые тексты математических задач. Они состоят из набора проблем с решениями. Эти тексты могли быть написаны учителем или учеником, решающим типовые математические задачи.^[1]

Интересная особенность древнеегипетский математика - это использование единичных дробей.^[5] Египтяне использовали некоторые специальные обозначения для дробей, такие как ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}}}$ и ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ и в некоторых текстах для ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$, но все остальные дроби были записаны как единицы измерения формы ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ или суммы таких долей единицы. Писцы использовали таблицы, чтобы помочь им работать с этими дробями. Например, египетский кожаный рулон математической математики представляет собой таблицу долей единиц, выраженных в виде сумм других долей единиц. Математический папирус Райнда и некоторые другие тексты содержат ${\displaystyle {\tfrac {2}{n}}}$ таблицы. Эти таблицы позволяли писцам переписывать любую часть формы ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ как сумма долей единицы.^[1]

Вовремя Новое Королевство (ок. 1550–1070 до н.э.) математические проблемы упоминаются в литературных Папирус Анастаси I, а Папирус Уилбур с момента Рамсес III записывает замеры земли. В рабочем поселке Дейр-эль-Медина несколько острака Было обнаружено, что при разработке гробниц были удалены рекордные объемы грязи.^[1][4]

Источники

Современное понимание древнеегипетской математики затруднено из-за нехватки доступных источников. Источники, которые действительно существуют, включают следующие тексты (которые обычно датируются Средним царством и вторым промежуточным периодом):

• В Московский математический папирус^[6]
• В Рулон египетской математической кожи^[6]
• В Математические папирусы Лахуна^[6]
• В Берлинский папирус 6619, написано около 1800 г. до н.э.
• В Ахмим Деревянная Табличка^[4]
• В Папирус Рейснера, датированный ранним Двенадцатая династия Египта и найден в Наг-эль-Дейре, древнем городе Тинис.^[6]
• В Математический папирус Райнда (RMP), датированный Второй промежуточный период (ок. 1650 г. до н.э.), но его автор, Ахмес, идентифицирует его как копию потерянного Поднебесная папирус. RMP - это самый крупный математический текст.^[6]

Из Нового Царства есть несколько математических текстов и надписей, связанных с вычислениями:

• В Папирус Анастаси I, художественный текст, написанный как (вымышленное) письмо писца по имени Хори и адресованное писцу по имени Аменемоп. Отрезок письма описывает несколько математических задач.^[4]
• Ostracon Senmut 153, текст, написанный иератическим языком^[4]
• Остракон Турин 57170, текст, написанный иератическим языком^[4]
• Ostraca из Дейр-эль-Медины содержат вычисления. Ostracon IFAO 1206, например, показывает расчет объемов, предположительно связанных с разработкой гробницы.^[4]

Цифры

Основные статьи: Египетские цифры и Египетская фракция

Древнеегипетские тексты могли быть написаны как на иероглифы или в иератический. В любом представлении система счисления всегда давалась с основанием 10. Число 1 изображалось простым штрихом, число 2 - двумя штрихами и т. Д. У чисел 10, 100, 1000, 10 000 и 1 000 000 были свои собственные иероглифы. Число 10 - это ковылять для крупного рогатого скота число 100 представлено свернутой веревкой, число 1000 представлено цветком лотоса, число 10000 представлено пальцем, число 100000 представлено лягушкой, а миллион представлен богом со своим руки подняты в обожании.^[6]

Иероглифы для египетских цифр^[2]

1	10	100	1000	10,000	100,000	1,000,000

Плиточная стела из Старое королевство принцесса Неферетиабет (датируется 2590–2565 гг. до н.э.) из ее гробницы в Гизе, роспись по известняку, теперь в Лувр

Египетские цифры восходят к Додинастический период. Этикетки из слоновой кости от Абидос запишите использование этой системы счисления. Также часто можно увидеть цифры в сценах предложения, чтобы указать количество предлагаемых предметов. Дочь короля Неферетиабет показан с предложением 1000 волов, хлеба, пива и т. д.

Египетская система счисления была аддитивной. Большие числа были представлены набором глифов, а значение было получено простым сложением отдельных чисел.

Эта сцена изображает количество крупного рогатого скота (скопировано египтологом Лепсиус ). В среднем регистре мы видим 835 голов крупного рогатого скота, слева, сразу за ними около 220 голов (коров?) И справа 2235 коз. В нижнем регистре мы видим 760 ослов слева и 974 козла справа.

Египтяне почти исключительно использовали дроби вида 1 / n. Заметным исключением является дробь 2/3, которая часто встречается в математических текстах. Очень редко для обозначения 3/4 использовался специальный глиф. Дробь 1/2 была представлена ​​глифом, который мог изображать кусок полотна, сложенный пополам. Дробь 2/3 была представлена ​​символом рта с двумя штрихами (разного размера). Остальные фракции всегда представлялись ртом, наложенным на число.^[6]

Иероглифы для некоторых дробей^[6]

${\displaystyle 1/2}$	${\displaystyle 1/3}$	${\displaystyle 2/3}$	${\displaystyle 1/4}$	${\displaystyle 1/5}$

Умножение и деление

Основная статья: Древнеегипетское умножение

Египетское умножение производилось путем многократного удвоения числа, которое нужно умножить (множимого), и выбора того, какое из удвоений складывать вместе (по сути, форма двоичный арифметика), метод, который связан с Древним царством. Рядом с цифрой 1 написано множимое; затем множимое добавлялось к самому себе, и результат записывался рядом с числом 2. Процесс продолжался до тех пор, пока удвоение не дало числа, превышающего половину числа множитель. Затем удвоенные числа (1, 2 и т. Д.) Будут многократно вычитаться из множителя, чтобы выбрать, какие из результатов существующих вычислений следует сложить вместе, чтобы получить ответ.^[2]

В качестве кратчайшего пути для больших чисел множимое также можно сразу умножить на 10, 100, 1000, 10000 и т. Д.

Например, в Задаче 69 Папируса Ринда (RMP) представлена ​​следующая иллюстрация, как если бы использовались иероглифические символы (а не реальный иератический сценарий RMP).^[6]

Умножить 80 × 14
Египетский расчет			Современный расчет
Результат	Множитель		Результат	Множитель
			80	1
			800	10
			160	2
			320	4
			1120	14

В обозначает промежуточные результаты, которые суммируются для получения окончательного ответа.

Приведенную выше таблицу также можно использовать для деления 1120 на 80. Мы могли бы решить эту проблему, найдя частное (80) как сумму тех множителей 80, которые в сумме дают 1120. В этом примере это даст частное 10 + 4 = 14.^[6] Более сложный пример алгоритма деления представлен в задаче 66. В общей сложности 3200 ro жира должны быть распределены равномерно в течение 365 дней.

Делим 3200 на 365

1	365
2	730
4	1460
8	2920
2/3	243​^1⁄3
1/10	36​^1⁄2
1/2190	1/6

Сначала писец удваивает 365 несколько раз, пока не будет достигнуто максимально возможное кратное 365, которое меньше 3200. В этом случае 8 умноженное на 365 равно 2920, а дальнейшее добавление кратных 365 явно даст значение больше 3200. Далее отметил, что ${\displaystyle (2/3+1/10+1/2190)}$ умножение на 365 дает нам необходимое нам значение 280. Следовательно, мы находим, что 3200 деленное на 365 должно равняться ${\displaystyle 8+2/3+1/10+1/2190}$.^[6]

Алгебра

Основная статья: Египетская алгебра

Проблемы египетской алгебры появляются как в Математический папирус Райнда и Московский математический папирус а также несколько других источников.^[6]

Ага в иероглифы

Проблемы Aha включают поиск неизвестных величин (называемых Aha), если дана сумма количества и части (ей). В Математический папирус Райнда также содержит четыре таких типа проблем. Проблемы 1, 19 и 25 Московского папируса - это проблемы Ага. Например, в задаче 19 нужно вычислить величину, взятую 1 и¹⁄₂ раз и прибавил к 4, чтобы получить 10.^[6] Другими словами, в современных математических обозначениях нас просят решить линейное уравнение:

${\displaystyle {\frac {3}{2}}\times x+4=10.\ }$

Для решения этих проблем Aha используется метод, называемый метод ложного положения. Этот прием еще называют методом ложного предположения. Писец подставлял в задачу первоначальное предположение ответа. Решение, использующее ложное предположение, будет пропорционально фактическому ответу, и писец найдет ответ, используя это соотношение.^[6]

Математические сочинения показывают, что писцы использовали (наименьшее) общее кратное, чтобы превратить задачи с дробями в задачи с использованием целых чисел. В связи с этим рядом с дробями написаны красные вспомогательные числа.^[6]

Использование фракций глаза Гора показывает некоторые (рудиментарные) знания о геометрической прогрессии. Знание арифметических прогрессий также очевидно из математических источников.^[6]

Квадратные уравнения

Древние египтяне были первой цивилизацией, которая разработала и решила проблему второй степени (квадратичный ) уравнения. Эта информация находится в Берлинский папирус фрагмент. Кроме того, египтяне решают алгебраические уравнения первой степени, найденные в Математический папирус Райнда.^[7]

Геометрия

Основная статья: Египетская геометрия

Изображение проблемы 14 из Московский математический папирус. Задача включает диаграмму с указанием размеров усеченной пирамиды.

Существует лишь ограниченное количество задач из Древнего Египта, касающихся геометрии. Геометрические проблемы возникают как в Московский математический папирус (MMP) и в Математический папирус Райнда (RMP). Примеры демонстрируют, что Древние египтяне умел вычислять площади нескольких геометрических фигур, а также объемы цилиндров и пирамид.

• Площадь:
  • Треугольники: Сценаристы записывают задачи вычисления площади треугольника (RMP и MMP).^[6]
  • Прямоугольники: Проблемы по площади прямоугольного земельного участка возникают в ПСО и ММП.^[6] Аналогичная проблема появляется в Математические папирусы Лахуна В Лондоне.^[8][9]
  • Круги: В задаче 48 RMP сравнивается площадь круга (аппроксимированного восьмиугольником) и его описывающего квадрата. Результат этой задачи используется в задаче 50, где писец находит площадь круглого поля диаметром 9 хет.^[6]
  • Полушарие: Задача 10 в MMP находит область полушария.^[6]
• Объемы:
  • Цилиндрические зернохранилища: Несколько задач вычисляют объем цилиндрических зернохранилищ (RMP 41–43), в то время как задача 60 RMP, кажется, касается колонны или конуса вместо пирамиды. Он довольно небольшой и крутой, с секедом (обратным уклоном) в четыре пальмы (на локоть).^[6] В разделе IV.3 Математические папирусы Лахуна объем зернохранилища с круглым основанием определяется по той же методике, что и RMP 43.
  • Прямоугольные зернохранилища: Несколько проблем в Московский математический папирус (проблема 14) и в Математический папирус Райнда (числа 44, 45, 46) вычислить объем прямоугольного зернохранилища.^[6][8]
  • Усеченная пирамида (усеченная пирамида): Объем усеченной пирамиды рассчитывается в MMP 14.^[6]

Seqed

Задача 56 RMP указывает на понимание идеи геометрического подобия. В этой задаче обсуждается соотношение пробег / подъем, также известное как seqed. Такая формула понадобится для построения пирамид. В следующей задаче (Задача 57) высота пирамиды вычисляется из длины основания и секед (По-египетски - величина, обратная наклону), в то время как в задаче 58 дается длина основания и высота, и эти измерения используются для вычисления последовательности. В задаче 59 часть 1 вычисляет последовательность, а вторая часть может быть вычислением для проверки ответа: Если вы построите пирамиду со стороной основания 12 [локтей] и длиной 5 ладоней 1 палец; на какой высоте?^[6]

Смотрите также

• Красный вспомогательный номер
• История математики
  • История геометрии
• Египетские иероглифы и Транслитерация древнеегипетского
• Древнеегипетские единицы измерения и технологии
• Математика и архитектура

Рекомендации

1. Имхаузен, Аннетт (2006). «Древнеегипетская математика: новые взгляды на старые источники». Математический интеллект. 28 (1): 19–27. Дои:10.1007 / bf02986998. S2CID  122060653.
2. Бертон, Дэвид (2005). История математики: введение. Макгроу – Хилл. ISBN  978-0-07-305189-5.
3. Росси, Коринна (2007). Архитектура и математика в Древнем Египте. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-69053-9.
4. Кац V, Имхасен А, Робсон Э, Даубен Дж. У., Плофкер К., Берггрен Дж. Л. (2007). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: Справочник. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-11485-9.
5. Реймер, Дэвид (2014-05-11). Считай как египтянин: практическое введение в древнюю математику. Издательство Принстонского университета. ISBN  9781400851416.
6. Клагетт, Маршалл, Древняя египетская наука, Справочник. Том третий: Древнеегипетская математика (Мемуары Американского философского общества) Американское философское общество. 1999 г. ISBN  978-0-87169-232-0
7. Мур, Дебора Лела (1994). Африканские корни математики (2-е изд.). Детройт, штат Мичиган: профессиональные образовательные услуги. ISBN  1884123007.
8. R.C. Арчибальд Математика до греческой науки, Новая серия, Том 73, № 1831 (31 января 1930 г.), стр. 109–121
9. Аннетт Имхаузен Сайт Digitalegypt: Lahun Papyrus IV.3

дальнейшее чтение

• Бойер, Карл Б. 1968. История математики. Джон Вили. Перепечатка Princeton U. Press (1985).
• Чейс, Арнольд Баффам. 1927–1929. Математический папирус Райнда: вольный перевод и комментарии с избранными фотографиями, переводами, транслитерациями и дословными переводами. 2 тт. Классика в математическом образовании 8. Оберлин: Математическая ассоциация Америки. (Перепечатано Рестон: Национальный совет учителей математики, 1979). ISBN  0-87353-133-7
• Клагетт, Маршалл. 1999 г. Древнеегипетская наука: справочник. Том 3: Древнеегипетская математика. Мемуары Американского философского общества 232. Филадельфия: Американское философское общество. ISBN  0-87169-232-5
• Кушу, Сильвия. 1993 г. Mathématiques égyptiennes: Recherches sur les connaissances mathématiques de l'Égypte pharaonique. Париж: Издания Le Leopard d'Or
• Даресси, Г. "Острака", Каирский музей древностей Egyptiennes Каталог General Ostraca hieraques, том 1901, номер 25001-25385.
• Жиллингс, Ричард Дж. 1972. Математика во времена фараонов. MIT Press. (Имеются оттиски Dover).
• Имхаузен, Аннетт. 2003. «Ägyptische Algorithmen». Висбаден: Харрасовиц
• Джонсон, Г., Шрираман, Б., Зальцштейн. 2012. «Где планы? Социально-критический и архитектурный обзор ранней египетской математики» | В Бхарат Шрираман, Редактор. Перекресток истории математики и математического образования. Энтузиаст математики из Монтаны Монографии по математическому образованию 12, Information Age Publishing, Inc., Шарлотт, Северная Каролина
• Нойгебауэр, Отто (1969) [1957]. Точные науки в древности (2-е изд.). Dover Publications. ISBN  978-0-486-22332-2. PMID  14884919.
• Пит, Томас Эрик. 1923 г. Математический папирус Райнда, Британский музей 10057 и 10058. Лондон: University Press of Liverpool Limited и Hodder & Stoughton limited
• Реймер, Дэвид (2014). Считай как египтянин: практическое введение в древнюю математику. Принстон, штат Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN  978-0-691-16012-2.
• Робинс, Р. Гей. 1995. "Математика, астрономия и календари в Египте фараонов". В Цивилизации Древнего Ближнего Востокапод редакцией Джека М. Сассона, Джона Р. Бейнса, Гэри Бекмана и Карен С. Рубинсон. Vol. 3 из 4 томов. Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Шрибнера. (Перепечатано Пибоди: Hendrickson Publishers, 2000). 1799–1813
• Робинс, Р. Гей и Чарльз К. Д. Шут. 1987 г. Математический папирус Райнда: древнеегипетский текст. Лондон: Публикации Британского музея. ISBN  0-7141-0944-4
• Сартон, Джордж. 1927 г. Введение в историю науки, Том 1. Виллианс и Уильямс.
• Strudwick, Найджел Г. и Рональд Дж. Лепрохон. 2005 г. Тексты эпохи пирамид. Brill Academic Publishers. ISBN  90-04-13048-9.
• Струве, Василий Васильевич и Борис Александрович Тураев. 1930 г. Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste в Москве. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik; Abteilung A: Quellen 1. Берлин: J. Springer
• Ван дер Варден, Б.Л. 1961 г. Пробуждение науки ". Oxford University Press.
• Вымазалова, Хана. 2002 г. Деревянные таблички из Каира ...., Archiv Orientalni, том 1, страницы 27–42.
• Виршинг, Армин. 2009 г. Die Pyramiden von Giza - Mathematik in Stein gebaut. (2-е изд.) Книги по запросу. ISBN  978-3-8370-2355-8.

внешняя ссылка

• Египетская арифметика
• Введение в раннюю математику