Египетская геометрия - Egyptian geometry

Египетская геометрия относится к геометрия поскольку он был разработан и использован в Древний Египет. Их геометрия был необходимым результатом геодезия сохранить планировку и собственность сельскохозяйственных угодий, которые ежегодно затоплялись Река Нил.[1]

У нас есть лишь ограниченное количество задач из Древнего Египта, касающихся геометрии. Геометрические проблемы возникают как в Московский математический папирус (MMP) и в Математический папирус Райнда (RMP). Примеры показывают, что древние египтяне умели вычислять площади нескольких геометрических форм, а также объемы цилиндров и пирамид.

Площадь

Древние египтяне записывали свои проблемы в нескольких частях. Они дали название и данные для данной проблемы, в некоторых текстах они показали, как решить проблему, и в качестве последнего шага они подтвердили, что проблема была правильной. Писцы не использовали никаких переменных, и задачи были написаны в форме прозы. Решения были записаны поэтапно с описанием процесса.

Египетский круг

Египетские единицы длины засвидетельствованы из Ранний династический период. Хотя он относится к 5-й династии, Палермский камень записал уровень река Нил во время правления ранней династии фараон Джер, когда высота Нила составляла 6 локтей и 1 пальму (около 3,217 м или 10 футов 6,7 дюйма).[2] А Третья династия На диаграмме показано, как построить круглый свод, используя размеры тела по дуге. Если площадь Квадрата составляет 434 единицы. Площадь круга 433,7.

В остракон, изображающий эту диаграмму был найден возле Ступенчатая пирамида из Саккара. Кривая разделена на пять частей, и высота кривой указывается в локтях, ладонях и цифрах в каждой из частей.[3][4]

В какой-то момент длины были стандартизированы локоть стержни. Примеры были найдены в могилах чиновников, отмечая долгое времяпровождение. Царские локти использовались для земельных мер, таких как дороги и поля. Четырнадцать стержней, в том числе один стержень в два локтя, были описаны и сопоставлены Лепсиус.[5] Два примера известны из Саккара могила майя, казначей Тутанхамон.

Другой был найден в гробнице Ха (TT8 ) в Фивы. Эти локти имеют длину 52,5 см (20,7 дюйма) и разделены на ладони и кисти: каждая ладонь разделена на четыре пальца слева направо, а пальцы далее подразделяются на ро справа налево. Правила тоже разделены на руки[6] так, например, одна ступня дается как три руки и пятнадцать пальцев, а также как четыре ладони и шестнадцать пальцев.[2][4][7][8][9][6][

Удочка Cubit из Туринского музея.

Геодезические и передвижные измерения проводились с использованием стержней, шестов и связанных веревок. Сцена в гробнице Menna в Фивы показывает геодезистов, измеряющих участок земли с помощью веревки с узлами, завязанными через равные промежутки времени. Подобные сцены можно найти в гробницах Аменхотеп-Сеси, Хаэмхата и Джесеркаресенеба. Шары веревки также показаны на Новое Королевство статуи чиновников, таких как Сененмут, Аменемхет-Зурер и Пенанхор.[3]

Области
ОбъектИсточникФормула (в современных обозначениях)
треугольникЗадача 51 в RMP и задачи 4, 7 и 17 в MMP
b = основание, h = высота
прямоугольникиЗадача 49 в RMP и проблема 6 в MMP и Lahun LV.4. проблема 1
b = основание, h = высота
кругЗадачи 51 в RMP и задачи 4, 7 и 17 в MMP
d = диаметр. Здесь используется значение 256/81 = 3,16049 ... для

полушариеПроблема 10 в MMP

Треугольники:
Древние египтяне знали, что площадь треугольника равна куда б = база и час = высота. Расчеты площади треугольника появляются как в RMP, так и в MMP.[10]

Прямоугольники:
Задача 49 от RMP находит площадь прямоугольного участка земли.[10] Задача 6 MMP находит длины сторон прямоугольной области с учетом отношения длин сторон. Эта проблема, похоже, идентична одной из Математические папирусы Лахуна В Лондоне. Проблема интересна еще и тем, что очевидно, что египтяне знали квадратные корни. У них даже был специальный иероглиф для нахождения квадратного корня. Он выглядит как угол и фигурирует в пятой строке задачи. Мы подозреваем, что у них были таблицы, дающие квадратные корни некоторых часто используемых чисел. Однако таких таблиц не найдено.[11] Задача 18 MMP вычисляет площадь отрезка ткани одежды.[10]

Задача 1 Папируса Лахуна в LV.4 представлена ​​как: Площадь 40 "мГн" на 3 "мГн" должна быть разделена на 10 участков, каждая из которых должна иметь ширину 1/2 1/4 их длины.[12] Перевод проблемы и ее решения в том виде, в каком оно представлено во фрагменте, можно найти на веб-сайте Университетского колледжа Лондона.[13]

Круги:
В задаче 48 RMP сравнивается площадь круга (аппроксимированного восьмиугольником) и его описывающего квадрата. Результат этой задачи используется в задаче 50.

Обрежьте каждую сторону. Убираем угловые треугольники. Получившаяся восьмиугольная фигура приближается к окружности. Площадь восьмиугольной фигуры составляет:

Затем мы приближаем 63 к 64 и отмечаем, что

Таким образом, число играет роль π = 3,14159 ....

То, что эта восьмиугольная фигура, площадь которой легко вычисляется, так точно аппроксимирует площадь круга, просто удача. Получить лучшее приближение к площади, используя более мелкие деления квадрата и аналогичный аргумент, непросто. [10]

Задача 50 РМП находит площадь круглого поля диаметром 9 хет.[10] Это решается с помощью приближения, согласно которому круговое поле диаметром 9 имеет такую ​​же площадь, что и квадрат со стороной 8. Задача 52 находит площадь трапеции с (очевидно) одинаково наклонными сторонами. Длины параллельных сторон и расстояние между ними - заданные числа.[11]

Полушарие:
Задача 10 MMP вычисляет площадь полушария.[11]

Объемы

Изображение проблемы 14 из Московский математический папирус. Задача включает диаграмму с указанием размеров усеченной пирамиды.

Несколько задач вычисляют объем цилиндрических зернохранилищ (41, 42 и 43 RMP), в то время как задача 60 RMP, кажется, касается колонны или конуса вместо пирамиды. Он довольно небольшой и крутой, с секедом (уклоном) четыре пальмы (на локоть).[10]

Проблема, возникающая в разделе IV.3 Математические папирусы Лахуна вычисляет объем зернохранилища с круглым основанием. Похожую проблему и процедуру можно найти в папирусе Райнда (проблема 43). Московский математический папирус (проблема 14) и в Математический папирус Райнда (числа 44, 45, 46) вычислить объем прямоугольного зернохранилища.[10][11]

Задача 14 Московского математического папируса вычисляет объем усеченной пирамиды, также известной как усеченная пирамида.

Объемы
ОбъектИсточникФормула (в современных обозначениях)
Цилиндрические зернохранилищаRMP 41 измеряется в кубических локтях
Цилиндрические зернохранилищаRMP 42, Лахун IV.3 (измеряется в харах).
Прямоугольные зернохранилищаРМП 44-46 и ММП 14
w = ширина, l = длина, h = высота
Усеченная пирамида (усеченная пирамида)ММП 14

Seqed

Задача 56 RMP указывает на понимание идеи геометрического подобия. В этой задаче обсуждается соотношение пробег / подъем, также известное как seqed. Такая формула понадобится для построения пирамид. В следующей задаче (Задача 57) высота пирамиды вычисляется из длины основания и seqed (По-египетски для уклона), а в задаче 58 дается длина основания и высота, и эти измерения используются для вычисления последовательности.

В задаче 59 часть 1 вычисляет последовательность, а вторая часть может быть вычислением для проверки ответа: Если вы построите пирамиду со стороной основания 12 [локтей] и длиной 5 ладоней 1 палец; на какой высоте? [10]

Рекомендации

  1. ^ Эрлих, Хагай; Эрлих, Хэггай; Гершони, И. (2000). Нил: истории, культуры, мифы. Издательство Lynne Rienner. п. 80-81. ISBN  978-1-55587-672-2. Получено 9 января 2020. Нил занимал важное место в египетской культуре; это повлияло на развитие математики, географии и календаря; Египетская геометрия продвинулась вперед благодаря практике измерения земли, «потому что разлив Нила вызвал исчезновение границ земли каждого человека».
  2. ^ а б Клагетт (1999).
  3. ^ а б Коринна Росси, Архитектура и математика в Древнем Египте, Cambridge University Press, 2007
  4. ^ а б Энглебах, Кларк (1990). Древнеегипетское строительство и архитектура. Нью-Йорк: Дувр. ISBN  0486264858.
  5. ^ Лепсиус (1865), стр. 57 и сл.
  6. ^ а б Лоприено, Антонио (1996). Древнеегипетский. Нью-Йорк: КУБОК. ISBN  0521448492.
  7. ^ Гардинер, Аллен (1994). Египетская грамматика 3-е издание. Оксфорд: Институт Гриффита. ISBN  0900416351.
  8. ^ Фолкнер, Раймонд (1991). Краткий словарь среднеегипетского языка. Асмолеанский музей института Гриффита, Оксфорд. ISBN  0900416327.
  9. ^ Жиллингс, Ричард (1972). Математика во времена фараонов. Массачусетский технологический институт. ISBN  0262070456.
  10. ^ а б c d е ж грамм час Клагетт, Маршалл, Древняя египетская наука, Справочник. Том третий: Древнеегипетская математика (Мемуары Американского философского общества) Американское философское общество. 1999 г. ISBN  978-0-87169-232-0
  11. ^ а б c d R.C. Математика Арчибальда до греческой науки, Новая серия, Том 71, № 1831 (31 января 1930 г.), стр.109-121
  12. ^ Аннетт Имхаузен Сайт Digitalegypt: Lahun Papyrus IV.3
  13. ^ Аннетт Имхаузен Сайт Digitalegypt: Lahun Papyrus LV.4

Библиография