Линейное уравнение - Linear equation

Два графика линейных уравнений с двумя переменными

В математика, а линейное уравнение является уравнение это может быть помещено в форму

${displaystyle a_{1}x_{1}+cdots +a_{n}x_{n}+b=0,}$

куда ${displaystyle x_{1},ldots ,x_{n}}$ являются переменные (или же неизвестные ), и ${displaystyle b,a_{1},ldots ,a_{n}}$ являются коэффициенты, которые часто действительные числа. Коэффициенты можно рассматривать как параметры уравнения, и может быть произвольным выражения при условии, что они не содержат ни одной из переменных. Чтобы получить осмысленное уравнение, коэффициенты ${displaystyle a_{1},ldots ,a_{n}}$ не обязательно, чтобы все были равны нулю.

В качестве альтернативы можно получить линейное уравнение, приравняв нулю a линейный полином над некоторыми поле, из которого берутся коэффициенты.

В решения такого уравнения - это значения, которые при подстановке неизвестных делают равенство истинным.

В случае только одной переменной есть ровно одно решение (при условии, что ${displaystyle a_{1}eq 0}$). Часто термин линейное уравнение неявно относится к этому конкретному случаю, в котором переменная разумно называется неизвестный.

В случае двух переменных каждое решение можно интерпретировать как Декартовы координаты точки Евклидова плоскость. Решения линейного уравнения образуют линия в евклидовой плоскости, и, наоборот, каждую линию можно рассматривать как совокупность всех решений линейного уравнения с двумя переменными. Это происхождение термина линейный для описания этого типа уравнений. В более общем смысле решения линейного уравнения в п переменные образуют гиперплоскость (подпространство размерности п − 1) в Евклидово пространство измерения п.

Линейные уравнения часто встречаются во всей математике и их приложениях в физика и инженерное дело отчасти потому, что нелинейные системы часто хорошо аппроксимируются линейными уравнениями.

В статье рассматривается случай одного уравнения с коэффициентами из поля действительные числа, для которого изучаются реальные решения. Все его содержание относится к сложный решений и, в более общем смысле, для линейных уравнений с коэффициентами и решениями в любых поле. В случае нескольких одновременных линейных уравнений см. система линейных уравнений.

Одна переменная

Часто термин линейное уравнение неявно относится к случаю только одной переменной.

В этом случае уравнение можно записать в виде

${displaystyle ax+b=0,}$

и имеет уникальное решение

${displaystyle x=-{frac {b}{a}}}$

в общем случае, когда а ≠ 0. В этом случае имя неизвестный разумно дано переменной Икс.

Если а = 0, есть два случая. Либо б равно также 0, и каждое число является решением. Иначе б ≠ 0, а решения нет. В этом последнем случае уравнение называется непоследовательный.

Две переменные

В случае двух переменных любое линейное уравнение можно записать в виде

${displaystyle ax+by+c=0,}$

где переменные Икс и у, а коэффициенты равны а, б и c.

Эквивалентное уравнение (то есть уравнение с точно такими же решениями):

${displaystyle Ax+By=C,}$

с А = а, B = б, и C = –c

Этим эквивалентным вариантам иногда дают общие имена, например общая форма или же стандартная форма.^[1]

Существуют и другие формы линейного уравнения (см. Ниже), которые все можно преобразовать в стандартную форму с помощью простых алгебраических манипуляций, таких как добавление одной и той же величины к обоим членам уравнения или умножение обоих членов на одну и ту же ненулевую константу.

Линейная функция

Основная статья: Линейная функция (исчисление)

Если б ≠ 0, уравнение

${displaystyle ax+by+c=0}$

является линейным уравнением с единственной переменной у для каждого значения Икс. Таким образом, это уникальное решение для у, который задается

${displaystyle y=-{frac {a}{b}}x-{frac {c}{b}}.}$

Это определяет функция. В график этой функции является линия с склон ${displaystyle -{frac {a}{b}}}$ и у-перехват ${displaystyle -{frac {c}{b}}.}$ Функции, график которых представляет собой линию, обычно называют линейные функции в контексте исчисление. Однако в линейная алгебра, а линейная функция - это функция, которая отображает сумму в сумму образов слагаемых. Итак, для этого определения указанная выше функция линейна только тогда, когда c = 0, то есть когда линия проходит через начало координат. Во избежание путаницы функции, график которых представляет собой произвольную линию, часто называют аффинные функции.

Геометрическая интерпретация

Вертикальная линия уравнения Икс = а

Горизонтальная линия уравнения у = б

Каждое решение (Икс, у) линейного уравнения

${displaystyle ax+by+c=0}$

можно рассматривать как Декартовы координаты точки в Евклидова плоскость. При такой интерпретации все решения уравнения образуют линия, при условии, что а и б оба не равны нулю. И наоборот, каждая линия - это набор всех решений линейного уравнения.

Фраза «линейное уравнение» берет свое начало в этом соответствии между линиями и уравнениями: линейное уравнение с двумя переменными - это уравнение, решения которого образуют линию.

Если б ≠ 0, линия - это график функции из Икс это было определено в предыдущем разделе. Если б = 0, линия вертикальная линия (это линия, параллельная у-оси) уравнения ${displaystyle x=-{frac {c}{a}},}$ что не является графиком функции Икс.

Аналогично, если а ≠ 0, линия - график функции от у, и если а = 0, есть горизонтальная линия уравнения ${displaystyle y=-{frac {c}{b}}.}$

Уравнение линии

Есть разные способы определения линии. В следующих подразделах для каждого случая приводится линейное уравнение линии.

Форма наклона – пересечения

Невертикальную линию можно определить по ее наклону. м, и это у-перехват у₀ (в у координата его пересечения с у-ось). В этом случае его линейное уравнение можно написать

${displaystyle y=mx+y_{0}.}$

Если к тому же линия не горизонтальна, ее можно определить по ее наклону и Икс-перехват Икс₀. В этом случае его уравнение можно записать

${displaystyle y=m(x-x_{0}),}$

или, что то же самое,

${displaystyle y=mx-mx_{0}.}$

Эти формы основаны на привычке рассматривать не вертикальную линию как график функции.^[2] Для линии, заданной уравнением

${displaystyle ax+by+c=0,}$

эти формы легко выводятся из соотношений

${displaystyle {egin{aligned}m&=-{frac {a}{b}},x_{0}&=-{frac {c}{a}},y_{0}&=-{frac {c}{b}}.end{aligned}}}$

Форма точка – уклон

Невертикальную линию можно определить по ее наклону. м, а координаты ${displaystyle x_{1},y_{1}}$ любой точки линии. В этом случае линейное уравнение линии имеет вид

${displaystyle y=y_{1}+m(x-x_{1}),}$

или же

${displaystyle y=mx+y_{1}-mx_{1}.}$

Это уравнение также можно записать

${displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}$

для того, чтобы подчеркнуть, что наклон линии может быть вычислен по координатам любых двух точек.

Форма перехвата

Линия, которая не параллельна оси и не проходит через начало координат, разрезает оси в двух разных точках. Значения перехвата Икс₀ и у₀ этих двух точек отличны от нуля, и уравнение прямой имеет вид^[3]

${displaystyle {frac {x}{x_{0}}}+{frac {y}{y_{0}}}=1.}$

(Легко проверить, что линия, определяемая этим уравнением, имеет Икс₀ и у₀ как значения перехвата).

Двухточечная форма

Учитывая две разные точки (Икс₁, у₁) и (Икс₂, у₂), через них проходит ровно одна линия. Есть несколько способов написать линейное уравнение этой линии.

Если Икс₁ ≠ Икс₂, наклон линии равен ${displaystyle {frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$ Таким образом, форма точечного уклона^[3]

${displaystyle y-y_{1}={frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1}).}$

К расчетные знаменатели, получаем уравнение

${displaystyle (x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0,}$

что справедливо также, когда Икс₁ = Икс₂ (для проверки этого достаточно проверить, что две заданные точки удовлетворяют уравнению).

Эта форма не является симметричной в двух данных точках, но симметричная форма может быть получена путем перегруппировки постоянных членов:

${displaystyle (y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0}$

(замена двух точек меняет знак левой части уравнения).

Детерминантная форма

Двухточечная форма уравнения прямой может быть выражена просто через детерминант. Для этого есть два распространенных способа.

Уравнение ${displaystyle (x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0}$ является результатом разложения определителя в уравнении

${displaystyle {egin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}end{vmatrix}}=0.}$

Уравнение ${displaystyle (y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0}$ можно получить, разложив по первой строке определитель в уравнении

${displaystyle {egin{vmatrix}x&y&1x_{1}&y_{1}&1x_{2}&y_{2}&1end{vmatrix}}=0.}$

Помимо того, что эта форма очень проста и мнемонична, она имеет то преимущество, что является частным случаем более общего уравнения гиперплоскость проходя через п точки в пространстве измерения п – 1. Эти уравнения основаны на условии линейная зависимость точек в проективное пространство.

Более двух переменных

Всегда можно предположить, что линейное уравнение с более чем двумя переменными имеет вид

${displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+cdots +a_{n}x_{n}+b=0.}$

Коэффициент б, часто обозначаемый а₀ называется постоянный срок, иногда абсолютный срок,^{[нужна цитата ]}. В зависимости от контекста термин коэффициент может быть зарезервирован для а_я с я > 0.

При работе с ${displaystyle n=3}$ переменные, обычно используются ${displaystyle x,;y}$ и ${displaystyle z}$ вместо индексированных переменных.

Решением такого уравнения является п-кортежи такие, что замена каждого элемента кортежа соответствующей переменной преобразует уравнение в истинное равенство.

Чтобы уравнение было значимым, коэффициент хотя бы одной переменной должен быть ненулевым. Фактически, если каждая переменная имеет нулевой коэффициент, то, как упоминалось для одной переменной, уравнение либо непоследовательный (за б ≠ 0) как не имеющий решения, или все п- пары решения.

В п-наборы, являющиеся решениями линейного уравнения в п переменные являются Декартовы координаты точек (п − 1)-размерный гиперплоскость в п-размерный Евклидово пространство (или же аффинное пространство если коэффициенты являются комплексными числами или принадлежат какому-либо полю). В случае трех переменных эта гиперплоскость является самолет.

Если задано линейное уравнение с а_j ≠ 0, то уравнение можно решить относительно Икс_j, уступая

${displaystyle x_{j}=-{frac {b}{a_{j}}}-sum _{iin {1,ldots ,n},ieq j}{frac {a_{i}}{a_{j}}}x_{i}.}$

Если коэффициенты равны действительные числа, это определяет ценный функция п реальные переменные.

Смотрите также

• Линейное уравнение над кольцом
• Алгебраическое уравнение
• Линейное неравенство

Примечания

1. Барнетт, Зиглер и Байлин, 2008 г., стр. 15
2. Ларсон и Хостетлер 2007, п. 25
3. Уилсон и Трейси 1925, стр. 52-53

Рекомендации

• Barnett, R.A .; Ziegler, M.R .; Байлин, К. (2008), Колледж математики для бизнеса, экономики, наук о жизни и социальных наук (11-е изд.), Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси: Пирсон, ISBN  0-13-157225-3
• Ларсон, Рон; Хостетлер, Роберт (2007), Precalculus: краткий курс, Хоутон Миффлин, ISBN  978-0-618-62719-6
• Wilson, W.A .; Трейси, Дж. (1925), Аналитическая геометрия (пересмотренное издание), округ Колумбия Хит

внешняя ссылка

• "Линейное уравнение", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]