Линия (геометрия) - Line (geometry)

Красная и синяя линии на этом графике имеют одинаковые уклон (уклон); красная и зеленая линии совпадают y-перехват (через ось Y в том же месте).

Представление одного отрезок.

В геометрии понятие линия или же прямая линия был введен древними математиками для представления прямых объектов (т. е. не имеющих кривизна ) с незначительной шириной и глубиной. Линии - это идеализация таких объектов, которые часто описываются двумя точки (например., ${ displaystyle { overleftrightarrow {AB}}}$ ) или упоминается с помощью одной буквы (например, ${ displaystyle ell}$ ).^[1]^[2]

До 17 века линии определялись как «[…] первый вид количества, который имеет только одно измерение, а именно длину, без какой-либо ширины или глубины, и представляет собой не что иное, как поток или движение точки, которая […] оставит от своего воображаемого движения некоторый след в длину, за исключением любой ширины. […] Прямая линия - это линия, которая одинаково простирается между ее точками ".^[3]

Евклид описал линию как «длину без ширины», которая «лежит одинаково по отношению к точкам на самой себе»; он представил несколько постулаты в качестве основных недоказуемых свойств, из которых он построил всю геометрию, которая теперь называется Евклидова геометрия чтобы избежать путаницы с другими геометрическими формами, которые были введены с конца 19 века (например, неевклидов, проективный и аффинная геометрия ).

В современной математике, учитывая множество геометрий, понятие линии тесно связано со способом описания геометрии. Например, в аналитическая геометрия, прямая на плоскости часто определяется как набор точек, координаты которых удовлетворяют заданному линейное уравнение, но в более абстрактной обстановке, например геометрия падения, линия может быть самостоятельным объектом, отличным от множества точек, лежащих на ней.

Когда геометрия описывается набором аксиомы, понятие линии обычно остается неопределенным (так называемый примитивный объект). Затем свойства линий определяются аксиомами, которые к ним относятся. Одним из преимуществ этого подхода является гибкость, которую он дает пользователям геометрии. Таким образом, в дифференциальная геометрия, строку можно интерпретировать как геодезический (кратчайший путь между точками), а в некоторых проективные геометрии, линия - это двумерное векторное пространство (все линейные комбинации двух независимых векторов). Эта гибкость также выходит за рамки математики и, например, позволяет физикам рассматривать путь светового луча как линию.

Определения против описаний

Все определения в конечном итоге круговой в природе, поскольку они зависят от понятий, которые сами должны иметь определения, зависимость, которая не может продолжаться бесконечно, не возвращаясь к исходной точке. Чтобы избежать этого порочного круга, некоторые концепции следует воспринимать как примитивный концепции; термины, которым не дано определения.^[4] В геометрии понятие линии часто воспринимается как примитивное.^[5] В тех ситуациях, когда линия является определенным понятием, как в координатная геометрия, некоторые другие фундаментальные идеи принимаются за примитивы. Когда концепция линии является примитивной, поведение и свойства линий определяются аксиомы которые они должны удовлетворить.

При неаксиоматической или упрощенной аксиоматической трактовке геометрии концепция примитивного понятия может быть слишком абстрактной, чтобы с ней иметь дело. В этом случае можно обеспечить описание или же ментальный образ примитивного понятия, чтобы дать основу для построения понятия, на котором формально базировались бы (неустановленные) аксиомы. Некоторые авторы называют описания этого типа определениями в этом неформальном стиле изложения. Это неправильные определения, и их нельзя использовать в формальных доказательствах утверждений. «Определение» линии в Элементы Евклида попадает в эту категорию.^[6] Даже в том случае, если рассматривается конкретная геометрия (например, Евклидова геометрия ), среди авторов нет общепринятого согласия относительно того, каким должно быть неформальное описание строки, когда предмет не рассматривается формально.

В евклидовой геометрии

Когда геометрия была впервые формализована Евклид в Элементы, он определил генеральную линию (прямую или изогнутую) как «длину без ширины», при этом прямая линия была линией, «лежащей на одном уровне с точками».^[7] Эти определения не имеют большого смысла, поскольку они используют термины, которые сами по себе не определены. Фактически, сам Евклид не использовал эти определения в этой работе и, вероятно, включил их, чтобы прояснить читателю, о чем идет речь. В современной геометрии линия просто воспринимается как неопределенный объект со свойствами, заданными аксиомы,^[8] но иногда определяется как набор точек, подчиняющихся линейной зависимости, когда не определено какое-либо другое фундаментальное понятие.

В аксиоматический формулировка евклидовой геометрии, такой как Гильберта (Первоначальные аксиомы Евклида содержали различные недостатки, исправленные современными математиками),^[9] Утверждается, что линия имеет определенные свойства, которые связывают ее с другими линиями и точки. Например, для любых двух различных точек существует уникальная линия, содержащая их, и любые две различные линии пересекаются не более чем в одной точке.^[10] В двоем размеры (т.е. евклидова самолет ), две прямые, которые не пересекаются, называются параллельно. В более высоких измерениях две прямые, которые не пересекаются, параллельны, если они содержатся в самолет, или же перекос если их нет.

Любой набор из конечного числа прямых разбивает плоскость на выпуклые многоугольники (возможно, неограниченный); этот раздел известен как расположение линий.

На декартовой плоскости

Строки в Декартова плоскость или, в более общем смысле, в аффинные координаты, можно описать алгебраически линейные уравнения.

В два измерения, уравнение для невертикальных линий часто приводится в форма пересечения склонов:

{ displaystyle y = mx + b}

куда:

м это склон или же градиент линии.

б это y-перехват линии.

Икс это независимая переменная функции у = ж(Икс).

Наклон прямой через точки ${ Displaystyle А (х_ {а}, у_ {а})}$ и ${ displaystyle B (x_ {b}, y_ {b})}$ , когда ${ displaystyle x_ {a} neq x_ {b}}$ , дан кем-то ${ displaystyle m = (y_ {b} -y_ {a}) / (x_ {b} -x_ {a})}$ и уравнение этой линии можно записать ${ Displaystyle у = м (х-х_ {а}) + у_ {а}}$ .

В ${ Displaystyle mathbb {R ^ {2}}}$ , каждая строка ${ displaystyle L}$ (включая вертикальные линии) описывается линейным уравнением вида

{ Displaystyle L = {(х, y) середина топора + по = с }}

с фиксированной реальной коэффициенты а, б и c такой, что а и б оба не равны нулю. В этой форме вертикальные линии соответствуют уравнениям с б = 0.

Существует множество различных способов написать уравнение линии, которые можно преобразовать из одного в другое с помощью алгебраических манипуляций. Эти формы (см. Линейное уравнение для других форм) обычно называются по типу информации (данных) о строке, которая необходима для записи формы. Некоторые из важных данных линии - это ее наклон, x-перехват, известные точки на прямой и пересечение по оси Y.

Уравнение прямой, проходящей через две разные точки ${ displaystyle P_ {0} (x_ {0}, y_ {0})}$ и ${ displaystyle P_ {1} (x_ {1}, y_ {1})}$ можно записать как

{ displaystyle (y-y_ {0}) (x_ {1} -x_ {0}) = (y_ {1} -y_ {0}) (x-x_ {0})}

.

Если Икс₀ ≠ Икс₁, это уравнение можно переписать в виде

{ displaystyle y = (x-x_ {0}) , { frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} + y_ {0}}

или же

{ displaystyle y = x , { frac {y_ {1} -y_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} + { frac {x_ {1} y_ {0} -x_ {0} -x_ { 0} y_ {1}} {x_ {1} -x_ {0}}} ,.}

В три измерения, линии могут нет описываются одним линейным уравнением, поэтому они часто описываются параметрические уравнения:

{ displaystyle x = x_ {0} + at}

{ displaystyle y = y_ {0} + bt}

{ displaystyle z = z_ {0} + ct}

куда:

Икс, у, и z все функции независимой переменной т который превышает реальные числа.

(Икс₀, у₀, z₀) - любая точка на прямой.

а, б, и c связаны с наклоном линии, так что вектор (а, б, c) параллельна прямой.

Их также можно описать как одновременное решение двух линейные уравнения

{ displaystyle a_ {1} x + b_ {1} y + c_ {1} z-d_ {1} = 0}

{ displaystyle a_ {2} x + b_ {2} y + c_ {2} z-d_ {2} = 0}

такой, что ${ displaystyle (a_ {1}, b_ {1}, c_ {1})}$ и ${ displaystyle (a_ {2}, b_ {2}, c_ {2})}$ не пропорциональны (отношения ${ displaystyle a_ {1} = ta_ {2}, b_ {1} = tb_ {2}, c_ {1} = tc_ {2}}$ подразумевать ${ displaystyle t = 0}$ ). Это следует из того, что в трех измерениях одно линейное уравнение обычно описывает самолет а линия - это то, что является общим для двух различных пересекающихся плоскостей.

В нормальной форме

В нормальная форма (также называемый Нормальная форма Гессена,^[11] после немецкого математика Людвиг Отто Гессен ), основан на нормальный сегмент для данной линии, которая определяется как сегмент линии, проведенный из источник перпендикулярно линии. Этот сегмент соединяет начало координат с ближайшей к нему точкой на линии. Нормальная форма уравнения прямой на плоскости имеет вид:

{ Displaystyle у грех тета + х соз тета -р = 0,}

куда θ - угол наклона нормального сегмента (ориентированный угол от единичного вектора Икс ось к этому сегменту), и п - (положительная) длина нормального отрезка. Нормальная форма может быть получена из общей формы ${ displaystyle ax + by = c}$ разделив все коэффициенты на

{ displaystyle { frac {c} {| c |}} { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}.}

В отличие от форм пересечения наклона и пересечения, эта форма может представлять любую линию, но также требует только двух конечных параметров, θ и п, подлежит уточнению. Если п > 0, то θ однозначно определено по модулю 2 $π$ . С другой стороны, если линия проходит через начало координат (c = 0, п = 0) сбрасывается $c /| c |$ термин для вычисления грехаθ и потомуθ, и θ определяется только по модулю $π$ .

В полярных координатах

В полярные координаты на евклидовой плоскости уравнение прямой с пересечением наклона выражается как:

{ displaystyle r = { frac {mr cos theta + b} { sin theta}},}

куда м - наклон линии, а b - у-перехват. Когда θ = 0 график будет неопределенным. Уравнение можно переписать, чтобы устранить несплошности следующим образом:

{ Displaystyle г грех тета = г-н соз тета + b.}

В полярных координатах на евклидовой плоскости форму пересечения уравнения для линии, которая не является горизонтальной, невертикальной и не проходит через полюс, может быть выражена как,

{ displaystyle r = { frac {1} {{ frac { cos theta} {x_ {o}}} + { frac { sin theta} {y_ {o}}}}}}

куда ${ displaystyle x_ {o}}$ и ${ displaystyle y_ {o}}$ представляют Икс и у Приведенное выше уравнение не применимо для вертикальных и горизонтальных линий, потому что в этих случаях одна из точек пересечения не существует. Более того, это не применимо к линиям, проходящим через полюс, поскольку в этом случае оба Икс и у перехваты нулевые (что здесь недопустимо, так как ${ displaystyle x_ {o}}$ и ${ displaystyle y_ {o}}$ являются знаменателями). Вертикальная линия, не проходящая через полюс, задается уравнением

{ displaystyle r cos theta = x_ {o}.}

Точно так же горизонтальная линия, которая не проходит через полюс, задается уравнением

{ displaystyle r sin theta = y_ {o}.}

Уравнение линии, проходящей через полюс, просто записывается как:

{ Displaystyle загар тета = м}

куда м наклон линии.

Как векторное уравнение

Векторное уравнение прямой, проходящей через точки A и B, имеет вид ${ Displaystyle mathbf {r} = mathbf {OA} + lambda , mathbf {AB}}$ (где λ - скаляр ).

Если а вектор OA и б вектор OB, то уравнение прямой можно записать: ${ displaystyle mathbf {r} = mathbf {a} + lambda ( mathbf {b} - mathbf {a})}$ .

Луч начинается в точке А описывается ограничением λ. Один луч получается, если λ ≥ 0, а противоположный луч исходит из λ ≤ 0.

В евклидовом пространстве

В трехмерное пространство, а уравнение первой степени в переменных Икс, у, и z определяет плоскость, поэтому два таких уравнения, при условии, что плоскости, которые они порождают, не параллельны, определяют линию, которая является пересечением плоскостей. В более общем плане в п-мерное пространство п-1 уравнение первой степени в п координировать переменные определяют строку при подходящих условиях.

В общем Евклидово пространство, р^п (и аналогично в любом другом аффинное пространство ), линия L проходя через две разные точки а и б (рассматриваемые как векторы) - это подмножество

{ Displaystyle L = {(1-т) , а + т , б середина т в mathbb {R} }}

Направление линии от а (т = 0) в б (т = 1), или, другими словами, в направлении вектора б − а. Различные варианты а и б может дать ту же строку.

Коллинеарные точки

Говорят, что три точки коллинеарен если они лежат на одной линии. Три балла обычно определить самолет, но в случае трех коллинеарных точек это делает нет случаться.

В аффинные координаты, в п-мерное пространство точек Икс=(Икс₁, Икс₂, ..., Икс_п), Y=(у₁, у₂, ..., у_п), и Z=(z₁, z₂, ..., z_п) коллинеарны, если матрица

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & x_ {1} & x_ {2} & dots & x_ {n} 1 & y_ {1} & y_ {2} & dots & y_ {n} 1 & z_ {1} & z_ {2 } & точки & z_ {n} end {bmatrix}}}

имеет классифицировать меньше 3. В частности, для трех точек на плоскости (п = 2), указанная выше матрица является квадратной, а точки коллинеарны тогда и только тогда, когда ее детерминант равно нулю.

Эквивалентно для трех точек на плоскости, точки коллинеарны тогда и только тогда, когда наклон между одной парой точек равен наклону между любой другой парой точек (в этом случае наклон между оставшейся парой точек будет равен наклону других) . По расширению, k точки на плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда они есть (k–1) пары точек имеют одинаковые попарные наклоны.

В Евклидова геометрия, то Евклидово расстояние d(а,б) между двумя точками а и б может использоваться для выражения коллинеарности между тремя точками:^[12]^[13]

Точки а, б и c коллинеарны тогда и только тогда, когда d(Икс,а) = d(c,а) и d(Икс,б) = d(c,б) подразумевает Икс=c.

Однако есть и другие понятия расстояния (например, Манхэттенское расстояние ), для которого это свойство неверно.

В геометриях, где понятие линии примитивное понятие, как это может быть в некоторых синтетические геометрии необходимы другие методы определения коллинеарности.

Типы линий

В некотором смысле^[14] все линии в евклидовой геометрии равны в том смысле, что без координат их нельзя отличить друг от друга. Однако линии могут играть особую роль по отношению к другим объектам в геометрии и делиться на типы в соответствии с этой взаимосвязью. Например, относительно конический (а круг, эллипс, парабола, или же гипербола ), строки могут быть:

касательные линии, которые касаются конуса в одной точке;
секущие линии, которые пересекают конику в двух точках и проходят через ее внутреннюю часть;
внешние линии, не пересекающиеся с коникой ни в одной точке евклидовой плоскости; или же
а директриса, расстояние которого от точки помогает установить, находится ли точка на конике.

В контексте определения параллелизм в евклидовой геометрии поперечный это линия, которая пересекает две другие линии, которые могут быть или не быть параллельны друг другу.

Для более общего алгебраические кривые, строки также могут быть:

я-секущие линии, пересекающиеся с кривой в я очки подсчитываются без кратности, или
асимптоты, к которому кривая приближается произвольно близко, не касаясь ее.

Что касается треугольники у нас есть:

Для выпуклый четырехугольник с не более чем двумя параллельными сторонами, Линия Ньютона это линия, которая соединяет середины двух диагонали.

Для шестиугольник с вершинами, лежащими на конике, имеем Линия Паскаля и в частном случае, когда коника представляет собой пару прямых, мы имеем Линия паппуса.

Параллельные линии линии в одной плоскости, которые никогда не пересекаются. Пересекающиеся линии разделяют одну общую точку. Совпадающие линии совпадают друг с другом - каждая точка, которая находится на одной из них, также находится на другой.

Перпендикулярные линии линии, которые пересекаются в прямые углы.

В трехмерное пространство, косые линии - это линии, которые не находятся в одной плоскости и, следовательно, не пересекаются.

В проективной геометрии

Во многих моделях проективная геометрия, представление линии редко соответствует понятию «прямой кривой», как это визуализируется в евклидовой геометрии. В эллиптическая геометрия мы видим типичный пример этого.^[15] В сферическом представлении эллиптической геометрии линии представлены большие круги сферы с обозначенными диаметрально противоположными точками. В другой модели эллиптической геометрии линии представлены евклидовой самолеты проходящий через начало координат. Несмотря на то, что эти представления визуально различны, они удовлетворяют всем свойствам (например, две точки, определяющие уникальную линию), которые делают их подходящими представлениями для линий в этой геометрии.

Расширения

Рэй

Учитывая линию и любую точку А на нем мы можем рассмотреть А как разложение этой строки на две части, каждая из которых называется луч и точка А называется его начальная точка. Он также известен как полупрямая линия, одномерный полупространство. Точка А считается членом луча.^[16] Интуитивно луч состоит из точек на прямой, проходящей через А и продолжаться бесконечно, начиная с А, только в одном направлении по линии. Однако, чтобы использовать это понятие луча в доказательствах, требуется более точное определение.

Учитывая разные точки А и B, они определяют единственный луч с начальной точкой А. Поскольку две точки определяют уникальную линию, этот луч состоит из всех точек между А и B (включая А и B) и все точки C на линии через А и B такой, что B между А и C.^[17] Иногда это также выражается как набор всех точек C такой, что А не между B и C.^[18] Точка D, на линии, определяемой А и B но не в луче с начальной точкой А определяется по B, определит другой луч с начальной точкой А. С уважением к AB луч, ОБЪЯВЛЕНИЕ луч называется противоположный луч.

Таким образом, мы бы сказали, что две разные точки, А и B, определим линию и разложим эту строку на несвязный союз открытого сегмента $(А, B)$ и два луча, до н.э и ОБЪЯВЛЕНИЕ (смысл D не изображен на схеме, а находится слева от А на линии AB). Это не противоположные лучи, поскольку они имеют разные начальные точки.

В евклидовой геометрии два луча с общим концом образуют угол.

Определение луча зависит от понятия промежуточности точек на прямой. Отсюда следует, что лучи существуют только для геометрий, для которых существует это понятие, обычно Евклидова геометрия или же аффинная геометрия над упорядоченное поле. С другой стороны, лучей не существует в проективная геометрия ни в геометрии над неупорядоченным полем, как сложные числа или любой конечное поле.

Отрезок

А отрезок является частью линии, которая ограничена двумя различными конечными точками и содержит каждую точку на линии между ее конечными точками. В зависимости от того, как определен линейный сегмент, любая из двух конечных точек может быть или не быть частью линейного сегмента. Два или более линейных сегмента могут иметь некоторые из тех же отношений, что и прямые, например быть параллельными, пересекающимися или наклонными, но, в отличие от линий, они могут не быть ни одним из них, если они копланарный и либо не пересекаются, либо коллинеарен.

Геодезические

«Краткость» и «прямолинейность» линии, интерпретируемые как свойство расстояние по линии между любыми двумя его точками минимизируется (см. неравенство треугольника ), можно обобщить и приводит к понятию геодезические в метрические пространства.

Смотрите также

Примечания

^ «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-16.
^ Вайсштейн, Эрик В. "Линия". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-16.
^ На (довольно старом) французском: «La ligne est la première espece de Quantité, laquelle a tant seulement une Dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre selected que le flux ou coulement du poinct, lequel [… ] laissera de son mouvement, Imminaire quelque vestige en long, expt de toute latitude. […] La ligne droicte est celle qui est également estenduë entre ses points ». Страницы 7 и 8 из Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs фигурки и демонстрации, avec la corrections des erreurs comises és autres traductions, Пьер Мардел, Лион, MDCXLV (1645).
^ Кокстер 1969, п. 4
^ Faber 1983, п. 95
^ Faber 1983, п. 95
^ Faber, Приложение A, стр. 291.
^ Фабер, Часть III, стр. 95.
^ Фабер, Часть III, стр. 108.
^ Faber, Приложение B, стр. 300.
^ Бохер, Максим (1915), Плоская аналитическая геометрия: вводные главы по дифференциальному исчислению, Х. Холт, стр. 44, в архиве из оригинала на 13.05.2016.
^ Алессандро Падоа, Un nouveau système de définitions pour la géométrie euclidienne, Международный конгресс математиков, 1900
^ Бертран Рассел, Принципы математики, п. 410
^ Технически группа коллинеации действует переходно на множестве линий.
^ Фабер, Часть III, стр. 108.
^ Иногда мы можем рассматривать луч без начальной точки. Такие лучи называются открыто лучей, в отличие от типичного луча, который можно было бы назвать закрыто.
^ Уайли-младший, 1964 г., п. 59, Определение 3
^ Педое 1988, п. 2

внешняя ссылка

[1] «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-16.

[2] Вайсштейн, Эрик В. "Линия". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-16.

[3] На (довольно старом) французском: «La ligne est la première espece de Quantité, laquelle a tant seulement une Dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre selected que le flux ou coulement du poinct, lequel [… ] laissera de son mouvement, Imminaire quelque vestige en long, expt de toute latitude. […] La ligne droicte est celle qui est également estenduë entre ses points ». Страницы 7 и 8 из Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs фигурки и демонстрации, avec la corrections des erreurs comises és autres traductions, Пьер Мардел, Лион, MDCXLV (1645).

[4] Кокстер 1969, п. 4

[5] Faber 1983, п. 95

[6] Faber 1983, п. 95

[7] Faber, Приложение A, стр. 291.

[8] Фабер, Часть III, стр. 95.

[9] Фабер, Часть III, стр. 108.

[10] Faber, Приложение B, стр. 300.

[11] Бохер, Максим (1915), Плоская аналитическая геометрия: вводные главы по дифференциальному исчислению, Х. Холт, стр. 44, в архиве из оригинала на 13.05.2016.

[12] Алессандро Падоа, Un nouveau système de définitions pour la géométrie euclidienne, Международный конгресс математиков, 1900

[13] Бертран Рассел, Принципы математики, п. 410

[14] Технически группа коллинеации действует переходно на множестве линий.

[15] Фабер, Часть III, стр. 108.

[16] Иногда мы можем рассматривать луч без начальной точки. Такие лучи называются открыто лучей, в отличие от типичного луча, который можно было бы назвать закрыто.

[17] Уайли-младший, 1964 г., п. 59, Определение 3

[18] Педое 1988, п. 2

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]