Расстояние от точки до линии - Distance from a point to a line

В Евклидова геометрия, то расстояние от точки до линии самый короткий расстояние из данного точка в любую точку на бесконечном прямая линия. Это перпендикуляр расстояние от точки до линии, длина отрезок который соединяет точку с ближайшей точкой на линии. Формулу для его расчета можно вывести и выразить несколькими способами.

Знание расстояния от точки до линии может быть полезно в различных ситуациях - например, при нахождении кратчайшего расстояния до дороги, количественной оценке разброса на графике и т. Д. Регрессия Деминга, тип аппроксимации линейной кривой, если зависимые и независимые переменные имеют одинаковую дисперсию, это приводит к ортогональная регрессия в котором степень несовершенства подгонки измеряется для каждой точки данных как перпендикулярное расстояние точки от линии регрессии.

Декартовы координаты

Линия, определяемая уравнением

В случае прямой на плоскости, заданной уравнением топор + к + c = 0, куда а, б и c находятся настоящий константы с а и б не оба нуля, расстояние от линии до точки (Икс₀, у₀) является^{[1][2]:стр.14}

${\displaystyle \operatorname {distance} (ax+by+c=0,(x_{0},y_{0}))={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Точка на этой прямой, ближайшая к (Икс₀, у₀) имеет координаты:^[3]

${\displaystyle x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}}{\text{ and }}y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}.}$

Горизонтальные и вертикальные линии

В общем уравнении прямой топор + к + c = 0, а и б не могут оба равняться нулю, если c также равен нулю, и в этом случае уравнение не определяет линию. Если а = 0 и б ≠ 0, линия горизонтальна и имеет уравнение у = −c/б. Расстояние от (Икс₀, у₀) к этой линии отмеряется по вертикальному отрезку длины |у₀ − (−c/б)| = |к₀ + c|/|б| в соответствии с формулой. Аналогично для вертикальных линий (б = 0) расстояние между той же точкой и линией равно |топор₀ + c|/|а|, при измерении по горизонтальному отрезку.

Линия определяется двумя точками

Если линия проходит через две точки п₁ = (Икс₁, у₁) и п₂ = (Икс₂, у₂) тогда расстояние (Икс₀, у₀) из строки:^[4]

${\displaystyle \operatorname {distance} (P_{1},P_{2},(x_{0},y_{0}))={\frac {|(y_{1}-y_{2})x_{0}+(x_{2}-x_{1})y_{0}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}.}$

Знаменателем этого выражения является расстояние между п₁ и п₂. В числителе вдвое больше площади треугольника с вершинами в трех точках, (Икс₀, у₀), п₁ и п₂. Видеть: Площадь треугольника § Использование координат. Выражение эквивалентно ${\textstyle h={\frac {2A}{b}}}$, которое можно получить, переписав стандартную формулу площади треугольника: ${\textstyle A={\frac {1}{2}}bh}$, куда б длина стороны, а час - высота перпендикуляра от противоположной вершины.

Доказательства

Алгебраическое доказательство

Это доказательство действительно только в том случае, если линия не является ни вертикальной, ни горизонтальной, то есть мы предполагаем, что ни а ни б в уравнении прямая равна нулю.

Линия с уравнением топор + к + c = 0 имеет наклон −а/б, поэтому любая линия, перпендикулярная ей, будет иметь наклон б/а (отрицательная обратная). Позволять (м, п) быть точкой пересечения линии топор + к + c = 0 и перпендикулярная ему линия, проходящая через точку (Икс₀, у₀). Линия, проходящая через эти две точки, перпендикулярна исходной линии, поэтому

${\displaystyle {\frac {y_{0}-n}{x_{0}-m}}={\frac {b}{a}}.}$

Таким образом,${\displaystyle a(y_{0}-n)-b(x_{0}-m)=0,}$и возводя это уравнение в квадрат, получаем:

${\displaystyle a^{2}(y_{0}-n)^{2}+b^{2}(x_{0}-m)^{2}=2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m).}$

Теперь рассмотрим,

${\displaystyle {\begin{aligned}(a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}&=a^{2}(x_{0}-m)^{2}+2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)+b^{2}(y_{0}-n)^{2}\\&=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}\right)\end{aligned}}}$

используя приведенное выше уравнение в квадрате. Но у нас также есть,

${\displaystyle (a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=(ax_{0}+by_{0}-am-bn)^{2}=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}}$

поскольку (м, п) на топор + к + c = 0.Таким образом,

${\displaystyle \left(a^{2}+b^{2}\right)\left((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}\right)=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}}$

и мы получаем длину отрезка, определяемую этими двумя точками,

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}}}={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$^[5]

Геометрическое доказательство

Схема для геометрического доказательства

Это доказательство действительно только в том случае, если линия не является горизонтальной или вертикальной.^[6]

Отбросьте перпендикуляр из точки п с координатами (Икс₀, у₀) в строку с уравнением Топор + К + C = 0. Обозначьте основание перпендикуляра. р. Проведите вертикальную линию через п и обозначим его пересечение с заданной линией S. В любой момент Т на линии нарисуйте прямоугольный треугольник TVU стороны которого представляют собой горизонтальные и вертикальные отрезки прямых с гипотенузой TU по заданной линии и горизонтальной стороне длины |B| (см. диаграмму). Вертикальная сторона ∆TVU будет иметь длину |А| так как линия имеет наклон -А/B.

∆ССН и ∆TVU находятся похожие треугольники, поскольку они оба являются прямоугольными треугольниками и ∠PSR ≅ ∠TUV поскольку они соответствуют углам трансверсали параллельным прямым PS и УФ (оба - вертикальные линии).^[7] Соответствующие стороны этих треугольников находятся в одинаковом соотношении, поэтому:

${\displaystyle {\frac {|{\overline {PR}}|}{|{\overline {PS}}|}}={\frac {|{\overline {TV}}|}{|{\overline {TU}}|}}.}$

Если точка S имеет координаты (Икс₀,м) тогда |PS| = |у₀ - м| и расстояние от п к строке:

${\displaystyle |{\overline {PR}}|={\frac {|y_{0}-m||B|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}$

С S находится на линии, мы можем найти значение m,

${\displaystyle m={\frac {-Ax_{0}-C}{B}},}$

и наконец получим:^[8]

${\displaystyle |{\overline {PR}}|={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}$

Разновидностью этого доказательства является размещение V в точке P и вычисление площади треугольника ∆УВТ два способа получить это ${\displaystyle D|{\overline {TU}}|=|{\overline {VU}}||{\overline {VT}}|}$где D - высота ∆УВТ проведенная к гипотенузе ∆УВТ из п. Затем формулу расстояния можно использовать для выражения ${\displaystyle |{\overline {TU}}|}$, ${\displaystyle |{\overline {VU}}|}$, и ${\displaystyle |{\overline {VT}}|}$через координаты точки P и коэффициенты уравнения линии, чтобы получить указанную формулу.^{[нужна цитата ]}

Доказательство проекции вектора

Позволять п - точка с координатами (Икс₀, у₀) и пусть данная линия имеет уравнение топор + к + c = 0. Пусть также Q = (Икс₁, у₁) быть любой точкой на этой линии и п вектор (а, б) начиная с точки Q. Вектор п перпендикулярно линии, а расстояние d с точки п на прямую равна длине ортогональной проекции ${\displaystyle {\overrightarrow {QP}}}$ на п. Длина этого выступа определяется по формуле:

${\displaystyle d={\frac {|{\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} |}{\|\mathbf {n} \|}}.}$

Сейчас же,

${\displaystyle {\overrightarrow {QP}}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1}),}$ так ${\displaystyle {\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})}$ и ${\displaystyle \|\mathbf {n} \|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},}$

таким образом

${\displaystyle d={\frac {|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

С Q это точка на линии, ${\displaystyle c=-ax_{1}-by_{1}}$, и так,^[9]

${\displaystyle d={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Другая формула

Можно создать другое выражение, чтобы найти кратчайшее расстояние от точки до линии. Этот вывод также требует, чтобы линия не была вертикальной или горизонтальной.

Точка P задана с координатами (${\displaystyle x_{0},y_{0}}$Уравнение прямой задается формулой ${\displaystyle y=mx+k}$. Уравнение нормали к той прямой, которая проходит через точку P, задается ${\displaystyle y={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}}$.

Точка, в которой эти две прямые пересекаются, является ближайшей точкой на исходной прямой к точке P. Следовательно:

${\displaystyle mx+k={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}.}$

Мы можем решить это уравнение для Икс,

${\displaystyle x={\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}.}$

В у координату точки пересечения можно найти, подставив это значение в Икс в уравнение исходной линии,

${\displaystyle y=m{\frac {(x_{0}+my_{0}-mk)}{m^{2}+1}}+k.}$

Используя уравнение для определения расстояния между двумя точками, ${\displaystyle d={\sqrt {(X_{2}-X_{1})^{2}+(Y_{2}-Y_{1})^{2}}}}$, мы можем сделать вывод, что формула для определения кратчайшего расстояния между линией и точкой следующая:

${\displaystyle d={\sqrt {\left({{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}-x_{0}}\right)^{2}+\left({m{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}+k-y_{0}}\right)^{2}}}={\frac {|k+mx_{0}-y_{0}|}{\sqrt {1+m^{2}}}}.}$

Напоминая, что м = -а/б и k = - c/б для линии с уравнением топор + к + c = 0, небольшое алгебраическое упрощение сводит это к стандартному выражению.^[10]

Векторная формулировка

Иллюстрация векторной постановки.

Уравнение линии можно представить в виде вектор форма:

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} }$

Здесь а точка на линии, а п это единичный вектор в направлении линии. Тогда как скаляр т меняется, Икс дает локус линии.

Расстояние до произвольной точки п к этой строке дается

${\displaystyle \operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \|.}$

Эта формула может быть получена следующим образом: ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }$ вектор из п к точке а на линии. потом ${\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} }$ проектируемая длина на линию, и поэтому

${\displaystyle ((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$

вектор, являющийся проекция из ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }$ на линию. Таким образом

${\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$

компонент ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }$ перпендикулярно линии. Тогда расстояние от точки до линии будет просто норма этого вектора.^[4] Эта более общая формула не ограничивается двумя измерениями.

Другая векторная формулировка

Если векторное пространство ортонормированный и если строка (л ) проходит через точку A и имеет вектор направления ${\displaystyle {\vec {u}}}$, расстояние между точкой P и линией (л) является

${\displaystyle d(\mathrm {P} ,(l))={\frac {\left\|{\overrightarrow {\mathrm {AP} }}\times {\vec {u}}\right\|}{\|{\vec {u}}\|}}}$

куда ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AP} }}\times {\vec {u}}}$ это перекрестное произведение векторов ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AP} }}}$ и ${\displaystyle {\vec {u}}}$ и где ${\displaystyle \|{\vec {u}}\|}$ векторная норма ${\displaystyle {\vec {u}}}$.

Обратите внимание, что перекрестные произведения существуют только в размерах 3 и 7.

Смотрите также

• Нормальная форма Гессена
• Линия-линия пересечения
• Расстояние между двумя линиями
• Расстояние от точки до плоскости
• Наклонные линии # Расстояние

Примечания

1. Ларсон и Хостетлер 2007, п. 452
2. Испания 2007
3. Ларсон и Хостетлер 2007, п. 522
4. Воскресенье, Дэн. «Линии и расстояние от точки до линии». softSurfer. Получено 6 декабря 2013.
5. Между достоверностью и неопределенностью: статистика и вероятность в пяти единицах с примечаниями к историческому происхождению и иллюстративным числовым примерам
6. Баллантайн и Джерберт 1952 не упоминайте об этом ограничении в своей статье
7. Если два треугольника находятся на противоположных сторонах линии, эти углы конгруэнтны, потому что они являются альтернативными внутренними углами.
8. Баллантайн и Джерберт 1952
9. Антон 1994, стр. 138-9
10. Ларсон и Хостетлер 2007, п. 522

Рекомендации

• Антон, Ховард (1994), Элементарная линейная алгебра (7-е изд.), John Wiley & Sons, ISBN  0-471-58742-7
• Ballantine, J.P .; Джерберт, А. (1952), «Расстояние от прямой или плоскости до точки», Американский математический ежемесячный журнал, 59: 242–243, Дои:10.2307/2306514
• Ларсон, Рон; Хостетлер, Роберт (2007), Precalculus: краткий курс, Houghton Mifflin Co., ISBN  0-618-62719-7
• Испания, Барри (2007) [1957], Аналитические коники, Dover Publications, ISBN  0-486-45773-7

дальнейшее чтение

• Деза, Мишель Мари; Деза, Елена (2013), Энциклопедия расстояний (2-е изд.), Springer, p. 86, ISBN  9783642309588